6.3.4 空间距离的计算（题型专练，4基础&5提升题型+培优）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.3.4 空间距离的计算 题型一 用空间向量求点到平面的距离 1．（25-26高二上·河南·月考）如图，在四棱锥中，平面平面， ，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·月考）在正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点到平面的距离为 ． 4．（25-26高二上·天津南开·月考）在直三棱柱中，是棱的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，E为棱的中点.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 题型二 用空间向量求直线/平面到平面的距离 1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南邵阳·月考）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·新疆巴音郭楞·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 5．（23-24高二上·山东淄博·月考）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 题型三 用空间向量求点到直线的距离 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）如图，在正方体中，，，分别为，的中点.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到线段的距离. 2．（25-26高二上·河北邢台·月考）在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西·月考）已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（   ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西渭南·月考）在长方体中，，，点M满足，则点M到直线的距离为 . 5．（25-26高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为 .    题型四 用空间向量求异面直线间的距离 1．（23-24高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 2．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 3．（23-24高二下·江苏淮安·月考）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 4．（25-26高二上·河南新乡·月考）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 题型一 由点到平面的距离求参数 1．（25-26高二上·云南昆明·月考）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中 为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面 ，是的中点.    (1)求证： 平面； (2)若. ①求平面与平面夹角的正弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4．（25-26高二上·湖北·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 题型二 由点到直线的距离求参数 1．（2025·江苏南通·二模）在四面体中，，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，点到直线的距离为1，则四面体体积的最大值为（   ） A． B．1 C． D．3 2．（25-26高二·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证： 平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面，为中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)设点N在直线上，若的面积是，求的值. 4．（23-24高二上·山东青岛·月考）如图，在直三棱柱中，为的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：条件①：平面的面积为；条件②：；条件③：点到平面的距离为. (1)求二面角所成角的正弦值； (2)点是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围. 题型三 公垂线最短 1．（25-26高二上·湖北·月考）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为 . 3．（25-26高二上·福建泉州·月考）在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 4．（25-26高二上·陕西西安·月考）在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为 . 题型四 求点到平面距离的范围与最值 1．（25-26高二上·上海黄浦·期末）在棱长为的正方体中，平面与棱分别交于点.若为菱形，，则点到平面的距离的取值范围是 . 2．【多选题】（25-26高二上·福建·期中）已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则（    ） A．当时，不存在点，使得平面 B．当，满足时，不存在点，使得与平面所成角为 C．当，满足时，点到平面的距离的最小值为 D．当，满足时，三棱锥的体积的最小值为 3．【多选题】（25-26高二上·河南·月考）如图，在棱长为的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（   ） A． B．点到平面的距离的取值范围为 C．直线与直线所成角的取值范围为 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 4．（2025·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为3，点在上运动，点在棱上运动，上有一点满足，且，则动点到平面距离的最小值为 ． 题型五 求点到直线的距离与最值 1．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）在正三棱柱中，，P是线段上的一动点，则点P到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点． (1)求平面和平面夹角的余弦值； (2)连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度． 3．（24-25高三下·山西·月考）如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值： (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 4．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)设是线段上一点，如果点是在平面内，判断点在线段的位置并证明你的结论； (3)点在线段上运动，求点到直线的距离最大值. 1．【多选题】（25-26高二·全国·假期作业）伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转成图3所示的集合体．若图3中每个正方体的棱长都为1，则（   ） A． B．若为线段上的一个动点，则的最大值为2 C．点到直线的距离为 D．异面直线与所成角的正切值为 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为 3．【多选题】（25-26高二上·辽宁·期末）空间直角坐标系中，平面和方程之间具有如下关系：（1）平面上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在平面上，则称平面为方程的平面，方程为平面的方程，并且称为平面的一个法向量.已知平面方程分别为和，平面和的交线为，则（    ） A．若点在直线上，则 B．平面和所成角的余弦值等于 C．点到平面的距离为 D．若平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值等于 4．【多选题】（2025高二上·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 5．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中的点，且满足 ，则多面体 体积的最大值为 . 6．【多选题】（25-26高三上·江苏·月考）已知正四棱锥的所有棱长均为4，以四棱锥的侧面为底面，作一个正四面体（与在平面的异侧），得到一个新的几何体，则下列关于该新几何体的说法正确的是（    ） A． B．新几何体六个顶点在同一个球面上 C．平面 D．异面直线与的公垂线段长为 7．【多选题】（25-26高二上·江西南昌·月考）如左图，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，垂足为D，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（） A． B．点D到直线AB的距离为 C．点D到平面ABM的距离为 D．平面OBD与平面ABM夹角的余弦值为 8．【多选题】（25-26高二上·山东济宁·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（    ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.4 空间距离的计算 题型一 用空间向量求点到平面的距离 1．（25-26高二上·河南·月考）如图，在四棱锥中，平面平面， ，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间关系可证明线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即可用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】由取的中点为，连接，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：    由，则， 可得：， 又因为为的中点，所以， 即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离为， 故选：A. 2．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量法求解即可. 【详解】由题意知， 所以点到平面的距离. 故选：A. 3．（25-26高二上·安徽·月考）在正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相应点和向量坐标，再求出平面法向量，最后利用点到平面距离公式计算求解． 【详解】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， ，若点为线段上靠近的三等分点， ， ，， 设平面的法向量为， ，令，则， 点到平面的距离． 故答案为：． 4．（25-26高二上·天津南开·月考）在直三棱柱中，是棱的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角； （2）利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）由题意如图建立空间直角坐标系，则， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令得，故， 由题意可知平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， 则. （2）由（1）可知， 则点到平面的距离为， 故点到平面的距离为. 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，E为棱的中点.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，求出直线的向量与平面的法向量，利用向量夹角公式计算直线与平面所成角的正弦值. （2）求出平面的法向量，借助点到平面的距离公式，计算点到平面的距离. 【详解】（1）以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.    可得，，，，由为棱的中点，得， ，，. 设为平面的法向量， 则，即，令，则，， 得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）向量，设平面的法向量， ，即，令，则，， 得为平面的一个法向量， 则， 所以点到平面的距离为. 题型二 用空间向量求直线/平面到平面的距离 1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为 . 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 3．（23-24高二上·湖南邵阳·月考）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      4．（25-26高二上·新疆巴音郭楞·月考）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 5．（23-24高二上·山东淄博·月考）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 题型三 用空间向量求点到直线的距离 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）如图，在正方体中，，，分别为，的中点.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到线段的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合向量的数量积求夹角即可. （2）利用点到直线的距离公式的向量表示求解即可. 【详解】（1）以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，因为正方体棱长，    所以，，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设直线与平面所成角为， 则 . 故直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）知，，， 所以点到线段的距离为： . 故点到线段的距离为. 2．（25-26高二上·河北邢台·月考）在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到直线EF的距离. 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，，， 所以，， 则点到直线EF的距离是. 故选：B 3．（25-26高二上·江西·月考）已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可. 【详解】由题可得，又直线的方向向量为， 故， 所以点到的距离为. 故选：A. 4．（25-26高二上·陕西渭南·月考）在长方体中，，，点M满足，则点M到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】以为原点建系，利用坐标计算得出向量在上的投影向量的模长、，再利用勾股定理可得. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，得， 则向量在上的投影向量的模长为， 又，则点M到直线的距离为. 故答案为： 5．（25-26高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为 .    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，得到向量，再利用向量投影公式求在上投影向量的模，最后结合勾股定理即可求出. 【详解】由题意得，以B为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，, ，，， ， 设点D到直线的距离为，则， 故答案为：. 题型四 用空间向量求异面直线间的距离 1．（23-24高二下·甘肃武威·期末）已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则 . 故答案为： 2．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 【答案】 【分析】求得与，都垂直的一个向量，利用可求直线与之间的距离. 【详解】以为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系，    则，，， 设与，都垂直的一个向量， 则，取，则，， 所以与BD1，CD都垂直的一个向量， 所以直线与之间的距离为. 故答案为： 3．（23-24高二下·江苏淮安·月考）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离. 【详解】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 4．（25-26高二上·河南新乡·月考）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 5．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 题型一 由点到平面的距离求参数 1．（25-26高二上·云南昆明·月考）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中 为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）已知侧面底面，应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）建立空间向量求出平面PAD的法向量和平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解； （3）设点，再应用点到平面距离公式计算求参即可. 【详解】（1）为的中点， 侧面底面. 侧面底面平面， 平面. （2）∵底面为直角梯形， 其中 ， ，又平面， ∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面PAD的法向量. 设平面的法向量， 则，取，得. 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设线段上存在， 使得它到平面的距离为， 到平面的距离， 解得或（舍去）， 则，则 2．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，进而利用线面角的向量方法即可求解； （3）假设存在点，设，再利用点到平面的距离为即可求出的值. 【详解】（1） 连接,连接， 四边形为正方形，为中点，为BC的中点，， 平面，平面， 平面； （2）取的中点，的中点，连接，， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， 两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设， ，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 则点到平面的距离为， 解得，或（舍）， 在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面 ，是的中点.    (1)求证： 平面； (2)若. ①求平面与平面夹角的正弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①②存在， 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； ②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1）    取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即，平面，平面， 平面； （2）①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 因为平面，且平面， 所以平面平面， 又因为平面平面，，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的正弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意，设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得， 解得或（舍去），即. 4．（25-26高二上·湖北·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）先由条件证明平面，再由平面得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段上存在一点，满足，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【详解】（1）因为平面，平面，则， 在正方形中，，因平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 因平面，故平面. （2）由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，平面，平面， 因平面，则， 因点是的中点，.，则， 因平面，则平面， 因平面，则， 因平面，则平面， 因平面，则，即. 由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，， ， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以 即平面与平面的夹角的正弦值为. （3）由（2）可得，则， 假设线段上存在一点，满足， 则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则得或. 故在线段上是否存在一点或，使得点到平面的距离为. 题型二 由点到直线的距离求参数 1．（2025·江苏南通·二模）在四面体中，，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，点到直线的距离为1，则四面体体积的最大值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出的相关边长和面积，再利用面面垂直的性质确定三棱锥的高所在直线，通过点到直线的距离公式求出点到平面距离的最大值，最后根据三棱锥体积公式求出四面体体积的最大值. 【详解】已知在等腰直角三角形中，，. 设，则，即，解得. 根据三角形面积公式.   因为为的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，. 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理，所以平面.   以为原点，分别以所在直线为，轴，过作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系. 则，，，. 设，则，. 因为，可得，化简得.   已知，. 根据点到直线的距离公式，可得到距离. 又因为点到直线的距离为，所以，即. 因为，所以当时，取得最大值，则的最大值为，即点到平面距离的最大值.   ，根据三棱锥体积公式，所以.   则四面体体积的最大值为. 故选：C. 2．（25-26高二·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证： 平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，点点坐标用表示出来，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面，为中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)设点N在直线上，若的面积是，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过说明两两垂直，以为轴建立直角坐标系，利用向量法求面面角； （2）先根据面积求出点N点到的距离，然后利用向量法通过点线距离公式计算即可. 【详解】（1）由已知在中， ， ， 又四边形是平行四边形，， 取中点H，则， ，，两两垂直， 以为轴建立直角坐标系， 则为边上的高， ， ， M为中点，， ， 设平面的法向量为， ， ，取， 设平面的法向量为， ，取， 平面与平面夹角余弦值为； （2）设，则； ， ，设N点到的距离为d， 则， ， ，即， . 另解：，设N点到的距离为d， 则， ， 延长至E，使得，则且， 又平面，所以平面， 而平面，，所以E点即为N点，. 4．（23-24高二上·山东青岛·月考）如图，在直三棱柱中，为的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：条件①：平面的面积为；条件②：；条件③：点到平面的距离为. (1)求二面角所成角的正弦值； (2)点是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先以为一组正交基底，建立空间直角坐标系.不管是选①②，①③，②③，都通过条件以及的长度，利用平面法向量的求法，求出平面和平面的法向量，利用公式计算即可； （2）解法一：根据条件确定点的轨迹，设出点的坐标后，利用条件可建立坐标横坐标和纵坐标之间的关系式，近一步利用向量求出线面的正弦值，利用函数关系可求出范围； 解法二：利用三个向量共面，建立三个向量之间的线性关系，转化为坐标后，可表示出点的坐标，利用条件可建立坐标横坐标和纵坐标之间的关系式，近一步利用向量求出线面的正弦值，利用函数关系可求出范围. 【详解】（1）因为直三棱柱，所以平面ABC，又CA，平面ABC， 所以，，又. 以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，（，）， 则，，，，，. 选①②， 因为直三棱柱中，平面平面且平面平面又，平面,又平面，. 则又由①得平面的面积为， 由②得， 解得，.所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，，取，则， 设平面的一个法向量为， 则，，取，则， 设二面角所成角的平面角为， 所以，因为，所以， 所以二面角所成角的正弦值为. 选①③， 因为直三棱柱中，平面平面且平面平面又，平面,又平面，. 又由①得平面的面积为， 由①③得，即，解得，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，，取，则， 设平面的一个法向量为， 则，，取，则 设二面角所成角的平面角为， 所以 因为，所以， 所以二面角所成角的正弦值为. 选②③， 由②得， 由②③得，即，解得，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，，取，则， 设平面的一个法向量为， 则,，取，则 设二面角所成角的平面角为， 所以， 因为，所以， 所以二面角所成角的正弦值为. （2）解法一：取AB中点Q，连接PQ，CQ， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为1的半圆，设点，所以， 因为，，所以，所以， 设CP与平面所成角为，由及平面的一个法向量为知，， 因为，所以， 所以CP与平面所成角的正弦值的取值范围为. 解法二：设， 由得， 因为，所以，即，所以. 设CP与平面所成角为，， 又由（1）知，平面的一个法向量为， 所以，，因为，所以. 所以CP与平面所成角的正弦值的取值范围为. 题型三 公垂线最短 1．（25-26高二上·湖北·月考）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先利用线面垂直证得平面，然后将求的最小值转化为求异面直线AB，PC的距离，建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面， 又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： 3．（25-26高二上·福建泉州·月考）在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，进而点的坐标可以用来表示，由题可知，时, 取得最小值，利用数量积为0，即可求出，进而可知的模长. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 因为点在线段上，点在线段上， 所以设，， ，，又，， 所以，，则， 当的长度最小时，有，， 所以，即，解得， 此时，所以， 所以的长度最小值为. 故选：C. 4．（25-26高二上·陕西西安·月考）在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为 . 【答案】/ 【分析】如图建系，求得各点坐标及坐标，进而可求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离公式，代入计算，即可得答案. 【详解】取中点D，中点E，连接DA，DE， 因为，所以， 因为直三棱柱，所以平面， 又平面， 所以， 因为，， 所以， 以D为原点，DB、DA、DE为x，y，z轴正方向建系， 所以， 则， 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即， 令，则， 所以异面直线与的公垂线的一个方向向量为， 所以PQ的最小距离即为异面直线与的距离d， 根据异面直线间距离公式，即PQ的最小值为. 故答案为：    题型四 求点到平面距离的范围与最值 1．（25-26高二上·上海黄浦·期末）在棱长为的正方体中，平面与棱分别交于点.若为菱形，，则点到平面的距离的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题设建立空间直角坐标系，设出点的坐标，结合为菱形和条件可得到，；由此得到，然后求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式得到关于的关系式，最后根据的范围即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则， 设，则； 因为为菱形，由，得； 由，得，所以或； 当时，由知，与条件矛盾，所以，此时，； 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，所以； 又，所以点到平面的距离为； 由且，得； 所以，所以，所以， 所以，即点到平面的距离的取值范围是. 故答案为：. 2．【多选题】（25-26高二上·福建·期中）已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则（    ） A．当时，不存在点，使得平面 B．当，满足时，不存在点，使得与平面所成角为 C．当，满足时，点到平面的距离的最小值为 D．当，满足时，三棱锥的体积的最小值为 【答案】BCD 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，通过向量法逐项分析即可. 【详解】以为原点，以方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以； 对于A：当时，取，则， 所以， 所以，所以， 因为平面，所以平面，故A错误； 对于B：设平面的一个法向量为， 则， 所以，取，则，所以， 若与平面所成角为，则， 因为，所以， 化简可得，此时，所以方程无解， 所以不存在点，使得与平面所成角为，故B正确； 对于C：因为，所以，所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 所以点到平面的距离为， 因为，所以， 所以点到平面的距离的最小值为，故C正确； 对于D：是边长为的正三角形，所以， 因为，设， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 所以点到平面的距离为， 因为，所以， 所以，此时，所以， 所以三棱锥的体积的最小值为，故D正确； 故选：BCD. 3．【多选题】（25-26高二上·河南·月考）如图，在棱长为的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（   ） A． B．点到平面的距离的取值范围为 C．直线与直线所成角的取值范围为 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ACD 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法逐项判断即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 、、，设点，其中， 对于A选项，，， 所以，则，A对； 对于B选项，设平面的一个法向量为，， 则，令，可得，， 所以，点到平面的距离为，B错； 对于C选项，，， ， 当时，， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，则，此时， 综上所述，， 设直线与直线所成角为，则， 因为，故，C对； 对于D选项，， 令，其中， 任取、且， 则 ， 因为，所以，，， 所以，，同理， 所以，即，故函数在上单调递增， 且，，故当时，， 所以，D对. 故选：ACD. 4．（2025·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为3，点在上运动，点在棱上运动，上有一点满足，且，则动点到平面距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，计算证得线面垂直，得是平面的一个法向量．设到平面距离为，根据公式计算距离，设，结合辅助角公式计算最值． 【详解】如图所示，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ， 则，，， 即， 连接，因为，所以， 则，， 又，又，平面， 平面， 则是平面的一个法向量， 设到平面距离为，则， 由上可设， 则，其中， 故动点到平面距离的最小值为． 故答案为：． 题型五 求点到直线的距离与最值 1．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）在正三棱柱中，，P是线段上的一动点，则点P到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量法求出，，，设（），求出，利用点到直线的距离公式求出点P到直线的距离. 【详解】以A为原点，AB，所在直线分别为x轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以，，，， 所以，，. 设（），则， 故点P到直线的距离 . 故选：A.    2．（25-26高二上·浙江·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点． (1)求平面和平面夹角的余弦值； (2)连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出二面角的余弦值. （2）根据坐标求出到直线的距离最短的点的坐标，然后根据空间两点距离公式求出线段的长度即可. 【详解】（1）以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以， 设平面和平面的法向量分别为. 则有，， 所以有，两式相减，令，则. ，令，则. 所以. 所以平面和平面的夹角的余弦值为 . （2）设，，因为，，， 所以，所以. 因为，,所以. 所以，所以， 所以点到直线的距离为， 其中，所以当时，点到直线的距离最短， 此时，又，所以. 3．（24-25高三下·山西·月考）如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值： (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果； （3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值. 【详解】（1）由直四棱柱知，底面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，． 所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面． （2）因为底面，平面， 所以，因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 因为， 则，令，则， 平面的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）设， 则， 设到直线的距离为， 则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 4．（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)设是线段上一点，如果点是在平面内，判断点在线段的位置并证明你的结论； (3)点在线段上运动，求点到直线的距离最大值. 【答案】(1) (2)是的中点，证明见解析 (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值； （2）设出点的坐标，利用向量法来确定点的位置. （3）利用向量法来求得点到直线的距离最大值. 【详解】（1）直角梯形中，由已知可得，， ∴，即， 又是以为斜边的等腰直角三角形，∴， 取中点，连接，则，， 则，∴， 又，∴， ∴，，而，平面， ∴平面， 因此可以为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，即， 又， ， 直线PB与平面PAC所成角为，则． （2）是的中点，证明如下： ，，，，为的中点， 所以，设， 则， 若点是在平面内，则， 则，解得，所以是的中点. （3）设，，，， ，， 所以点到直线的距离为 ，所以点到直线的距离最大值为. 【点睛】方法点睛：在空间中求解直线和平面的位置关系、点和平面的位置关系等问题时，可以考虑利用空间向量的方法，通过建立空间直角坐标系，利用坐标来表示点、线、面，由此来对问题进行求解. 1．【多选题】（25-26高二·全国·假期作业）伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转成图3所示的集合体．若图3中每个正方体的棱长都为1，则（   ） A． B．若为线段上的一个动点，则的最大值为2 C．点到直线的距离为 D．异面直线与所成角的正切值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标，A求出相关向量，根据向量的数乘及加减运算计算即可；B计算出，结合二次函数的性质求解即可；C根据向量法求点到直线的距离公式求解即可；D根据向量法求异面直线的夹角即可. 【详解】以为原点，以，为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. A：，，，. ，正确； B：设 ，则，所以. 所以，， 所以. 令 ，则在上单调递减，在上单调递增. 又，， 所以在上的最大值为3，即的最大值为3，错误； C：，， ，，. 所以点到直线的距离为，正确； D：，， 设异面直线与所成角为 . 则， 所以，，正确. 故选：ACD 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为 【答案】/ 【分析】根据直线方程确定直线上的一点和直线的方向向量，再求出向量，最后利用点到直线的距离公式进行计算. 【详解】由题意知，直线的方程可变形为， 所以直线经过点，方向向量为，则. 又，，， 所以. 所以点到距离为：. 故答案为： 3．【多选题】（25-26高二上·辽宁·期末）空间直角坐标系中，平面和方程之间具有如下关系：（1）平面上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在平面上，则称平面为方程的平面，方程为平面的方程，并且称为平面的一个法向量.已知平面方程分别为和，平面和的交线为，则（    ） A．若点在直线上，则 B．平面和所成角的余弦值等于 C．点到平面的距离为 D．若平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值等于 【答案】ACD 【分析】选项A，代入方程和可得；选项B，由题意分别得到平面和的法向量和，进而可得；选项C，先在平面找到一点，利用点到平面距离的向量求法可得；选项D，先取直线上一点，进而可得的一个方向向量，结合平面的一个法向量为，进而可得. 【详解】选项A：因，故且， 得，解得，故A正确； 选项B：由题意平面的法向量为， 平面的法向量为， 设平面和所成角为， 故，故B错误； 选项C：平面上一个点为，则, 则到平面的距离为，故C正确； 选项D：由令得， 故，故的一个方向向量， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，故D正确， 故选：ACD 4．【多选题】（2025高二上·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，选项A和D，利用空间中点到直线距离公式求解，选项B，利用点到面的距离公式求解，选项C，将面到面的距离问题转换点到面的问题进行求解. 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， ， ， ，, 所以，，结合模长公式得， 则到直线的距离，故A不正确； 易知，又，， 所以，则平面的一个法向量为， 则点到平面的距离，故B正确； ，，， 设平面的法向量为，则， 所以，令，得，，所以， 所以点到平面的距离， 因为平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 即该距离为，故C正确； 因为，所以，，则， 所以点到的距离，故D不正确， 故选：BC． 5．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中的点，且满足 ，则多面体 体积的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意建立合适的空间直角坐标系，得到 点坐标，然后求出点到平面的距离的最大值，再根据三棱锥的体积公式得到的体积，即可求解． 【详解】由已知，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 因为 ， 则 ，则 ， 不妨取平面的法向量为， 则点到平面的距离为 ， 当且仅当时取“=”， 又， 所以，即三棱锥的体积的最大值为， 又因为 为 的中点，则， 所以多面体 的体积的最大值为. 故答案为：. 6．【多选题】（25-26高三上·江苏·月考）已知正四棱锥的所有棱长均为4，以四棱锥的侧面为底面，作一个正四面体（与在平面的异侧），得到一个新的几何体，则下列关于该新几何体的说法正确的是（    ） A． B．新几何体六个顶点在同一个球面上 C．平面 D．异面直线与的公垂线段长为 【答案】ACD 【分析】通过线面垂直的判定定理可证得四点共面，通过证明四边形为平行四边形，进而证明，判断A正确；通过判断新几何体是斜棱柱，可判断其六个顶点不在同一球面上，判断B；由线面平行的判定定理判断C；根据异面直线间的距离的向量求法求得异面直线与的公垂线段长，判断D. 【详解】对于A，如图所示，取的中点，取的中点，连接. 因为正四面体和正四棱锥的所有棱长均为4，所以，且. 因为平面，所以平面. 因为∥，所以. 因为四边形为正方形，所以∥，且，所以，且. 因为平面，所以平面. 所以四点共面. 所以四边形为平行四边形.所以∥. 所以.所以A正确. 对于B，由A的判断可得，相等，且两两平行. 因为，所以新几何体是三棱柱. 因为侧棱与不垂直，所以侧棱与底面不垂直，所以新几何体是斜三棱柱.所以其六个顶点不能在同一球面上.所以B不正确. 对于C，由A的判断知∥，平面，平面，所以∥平面.所以C正确. 对于D，连接，记.则是正方形的中心，且，且. 连接，则平面，且. 所以两两垂直，以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则.所以. 由C的判断知，∥，所以四边形是平行四边形，所以. 设，且. 则，即. 令，则，所以. 因为，所以. 所以异面直线与的公垂线段长为. 故选： 7．【多选题】（25-26高二上·江西南昌·月考）如左图，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，垂足为D，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（） A． B．点D到直线AB的距离为 C．点D到平面ABM的距离为 D．平面OBD与平面ABM夹角的余弦值为 【答案】ABC 【分析】根据题目条件求出图1中点的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点的坐标，再逐项判断作答． 【详解】由题可知，点为函数最大值点，点为函数最小值点，是轴交点， 结合余弦函数图像可得： 在图2中建立如图所示空间坐标系. 则，，，， ，故A正确； ，， ， ， 点到直线的距离为，B正确. 设平面的法向量， ， ，， ，点到平面的距离： ，故C正确， 平面在平面上，故可取为平面的法向量， 平面的法向量， ，故D错误. 故选：ABC 8．【多选题】（25-26高二上·山东济宁·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（    ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】以顶点建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标.由向量的数量积判断与的位置关系，即可判断A选项；由向量的数量积求得和公垂线的方向向量，利用投影求得两条异面直线的距离，判断B选项；利用向量的数量积证明线线垂直，即可求得点到直线的距离，判断C选项；由向量的数量积求平面的法向量，利用向量投影求得点到平面的距离，判断D选项. 【详解】在正方体中，以点为原点建立空间直角坐标系， ∴，，， ∵， ∴，∴ ，∴， ∴，∵，， ∴，， 由定义可知线段是异面直线与的公垂线段，A选项正确； 设向量为和公垂线的方向向量， 则，令，则，即， 由∵， ∴异面直线与的距离，B选项正确； ∵，， ∵，∴ ∴点到直线的距离，C选项错误； 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， ∴点到平面的距离，D选项正确. 故选：ABD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $