精品解析：2025-2026学年莆田第二十五中学九年级上学期期末数学试题

2025-2026学年上学期莆田第二十五中学九年级数学期末考卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若将方程进行配方，则该方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 4. 如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 乌鲁木齐市林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，弦于E，，，则的值是( ) A. 13 B. 20 C. 26 D. 28 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的位似比为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的半径是，侧面展开图为半圆形，制作1个这样的烟囱帽需要铁皮的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④（为实数）；⑤若，，是该抛物线上的三点，则．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 12. 已知点与点是关于原点的对称点，则_____． 13. 如图，直线过点，且，则______． 14. 若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是______． 15. 在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的人是_____人． 16. 如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心，其中结论正确的是________(只需填写序号)． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程： 18. 二次函数的图象如图所示，其中图象与x轴交于点A和点B． （1）求此二次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 19. 为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练． （1）小明抽到甲训练场的概率为______； （2）用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率． 20. 如图是由棱长都为1cm的6块小正方体组成的简单几何体． （1）请在方格中画出该几何体的三个视图． （2）请直接写出这个几何体的体积为 ，表面积（包括底面）为 ． 21. 如图，已知点E在直角的斜边上，以为直径的与直角边相切于点D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 22. 如图，已知的半径为，在中，是圆的半径，且，点C在线段的延长线上，且． （1）求线段的长； （2）求的正弦值． 23. 滕王阁（图1）位于江西省南昌市东湖区沿江路，是南昌市的地标性建筑，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而闻名于世．滕王阁与湖南岳阳楼、湖北黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一，世称“西江第一楼”．如图2，在被誉为“西江第一楼”的滕王阁前，有一段风景优美的斜坡，斜坡AB的坡度，全长恰好为12米．为了计算滕王阁的高度，游客们使用高科技测角设备，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D处的仰角为，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为． （1）求斜坡的高度； （2）求滕王阁的高度． 24. 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 25. 如图，已知A，B两点的坐标分别为(40，0)和(0，30)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，同时直线EF由x轴为起始位置以每秒1个单位长度的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接EP，FP，设动点P与直线EF同时出发，运动时间为t秒． （1）求t=15秒时，求EF的长度； （2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160(平方单位)?若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． （3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期莆田第二十五中学九年级数学期末考卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 若将方程进行配方，则该方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程：配方法的应用，根据移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后化为完全平方公式，即可作答． 【详解】解： ∴ 故选：A 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案． 【详解】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键． 4. 如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．在直角三角形中，根据正弦的意义可求解． 【详解】解：如图， ∴， ∴； 故选B 5. 乌鲁木齐市林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，折线统计图．大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图找到频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，随着移植数量的增加，成活的频率逐步稳定在附近， ∴可估计这种树苗移植成活的概率约是， 故选：B． 6. 如图，为的直径，弦于E，，，则的值是( ) A. 13 B. 20 C. 26 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，设圆的半径为，则，由垂径定理可得， ，中由勾股定理建立方程求解即可； 【详解】如图，连接， 设圆的半径为，则， 由垂径定理可得，， 中，， ， 解得：，， ， 故选：C． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的位似比为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，进而根据相似三角形的性质可求解． 本题考查了位似变换的概念和性质，掌握位似图形的基本概念是解题关键． 【详解】解：∵， ∴, ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴ 则与的位似比为：， 故选：A． 8. 如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的半径是，侧面展开图为半圆形，制作1个这样的烟囱帽需要铁皮的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．根据圆锥底面圆的周长是其侧面展开图得到的扇形的弧长进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 由题意得， ∴， ∵烟囱冒的底面半径是， ∴底面圆周长为：， ∴一个烟囱帽的面积为． 故选：B． 9. 如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用长方形的面积计算公式，结合新长方形花坛的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设扩展的宽度为， 依题意，得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④（为实数）；⑤若，，是该抛物线上的三点，则．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质、二次函数与系数之间的关系，根据二次函数的对称轴即可判断①；根据抛物线与x轴的两个交点的位置可判断抛物线与y轴交点的位置判断的符号，根据开口方向以及对称轴判断的符号，即可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点的位置可得点的位置，即可判断③；根据抛物线的对称轴求出顶点坐标为，由此可得为抛物线的最大值，即可判断④；根据抛物线开口向下，且对称轴为，可得抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值越大，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，顶点在第二象限，与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴ ∵ ∴ 故②错误； 对于，当时，， ∵抛物线与x轴的另一个交点在和之间，顶点在第二象限，开口向下， ∴点在第二象限， ∴， 由①得，，即， ∴， 即，故③正确； 对于，当时，，当（t为实数）时，， ∵抛物线对称轴为， ∴点为抛物线的顶点， 又∵抛物线开口向下， ∴为抛物线的最大值， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线开口向下，且对称轴为， 观察图象可得，在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值越大， ∴，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤，共4个， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键． 利用二次函数性质求二次函数的顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标是， 故答案为：． 12. 已知点与点是关于原点的对称点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，掌握知识点是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标性质，横坐标和纵坐标均互为相反数，可求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵点与点是关于原点O的对称点， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，直线过点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，过作轴于点，由，则，，然后根据正切的定义即可求解，掌握三角函数的有关定义是解题的关键． 【详解】解：过作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式，设圆锥的母线长是，利用扇形面积公式表示出圆锥侧面积，再利用圆锥侧面积公式表示出圆锥侧面积，根据面积建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设圆锥的母线长是， 则有， 整理得， 解得（不合题意，舍去），， 圆锥的母线长是； 故答案为：． 15. 在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的人是_____人． 【答案】10 【解析】 【分析】设参加这次聚会的人是x人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设参加这次聚会的人是x人， 依题意得45， ∴x2﹣x﹣90＝0， ∴x＝10或x＝﹣9(负值舍去)． 答：参加这次聚会的人是10人． 故答案为：10 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 16. 如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心，其中结论正确的是________(只需填写序号)． 【答案】②③ 【解析】 【详解】试题分析：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误； ∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CF⊥AB，∴∠AEP=90°，∴∠ADB=∠AEP，又∠PAE=∠BAD，∴△APE∽△ABD，∴∠ABD=∠APE，又∠APE=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确； 由AB是直径，则∠ACQ=90°，如果能说明P是斜边AQ的中点，那么P也就是这个直角三角形外接圆的圆心了．Rt△BQD中，∠BQD=90°-∠6， Rt△BCE中，∠8=90°-∠5，而∠7=∠BQD，∠6=∠5， 所以∠8=∠7， 所以CP=QP；由②知：∠3=∠5=∠4，则AP=CP； 所以AP=CP=QP，则点P是△ACQ的外心，选项③正确． 则正确的选项序号有②③．故答案为②③． 考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．三角形的外接圆与外心；4．相似三角形的判定与性质． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）1；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，解一元二次方程． （1）先化简二次根式，计算特殊角的三角函数值，零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）移项后根据公式法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ，，， ， ， 解得：，． 18. 二次函数的图象如图所示，其中图象与x轴交于点A和点B． （1）求此二次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键． （1）将已知点坐标代入，利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据二次函数的图象可得答案． 【小问1详解】 解：由已知，函数图象经过， 将点A，B坐标代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 由已知，二次函数图象与x轴的交点横坐标分别为， 不等式的解集为或． 19. 为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练． （1）小明抽到甲训练场的概率为______； （2）用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明抽到甲训练场的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意，可以画出如下树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且这些结果出现的可能性相等． 小明和小天抽到同一场地训练（记为事件）的结果有3种， 所以，． 【点睛】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图是由棱长都为1cm的6块小正方体组成的简单几何体． （1）请在方格中画出该几何体的三个视图． （2）请直接写出这个几何体的体积为 ，表面积（包括底面）为 ． 【答案】（1）该几何体的主视图、左视图和俯视图如下： （2）6，24 【解析】 【分析】本题考查作图-三视图、几何体的体积和表面积． （1）根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形即可； （2）6块小正方体的体积，即为几何体的体积，数三个视图有多少个小正方形，小正方形的个数乘以2，再乘以小正方形的面积即可得几何体表面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：几何体的体积为， 几何体的表面积（包括底面）为， 故答案为：6，24． 21. 如图，已知点E在直角的斜边上，以为直径的与直角边相切于点D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）的半径为6 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理、等边对等角、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，结合题意得出，由平行线的性质结合等边对等角得出，即可得证； （2）证明，由相似三角形的性质求出的长，即可得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵与圆相切于点D． ∴， ∵为的直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的半径为6． 22. 如图，已知的半径为，在中，是圆的半径，且，点C在线段的延长线上，且． （1）求线段的长； （2）求的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作于点D，根据，可得是等腰直角三角形，从而得到，，即可求解； （2）过点B作于点E，在中，根据锐角三角函数，可得，从而得到，再由锐角三角函数，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点O作于点D， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点B作于点E， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 滕王阁（图1）位于江西省南昌市东湖区沿江路，是南昌市的地标性建筑，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而闻名于世．滕王阁与湖南岳阳楼、湖北黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一，世称“西江第一楼”．如图2，在被誉为“西江第一楼”的滕王阁前，有一段风景优美的斜坡，斜坡AB的坡度，全长恰好为12米．为了计算滕王阁的高度，游客们使用高科技测角设备，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D处的仰角为，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为． （1）求斜坡的高度； （2）求滕王阁的高度． 【答案】（1）斜坡的高度为6米 （2）滕王阁的高度为米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用． （1）由题意得，则，在中求得，即可根据角的直角三角形的性质解答即可； （2）过点A作，垂足为点F，则米，，在中求得，设米，根据正切求出和长，根据列方程解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得． ∵斜坡的坡度， ∴， 在中，， ∴， ∴（米）． 答：斜坡的高度为6米． 【小问2详解】 解：如图，过点A作，垂足为点F． 由题意得米，． 在中，米， ∴ （米）． 设米， ∴米． 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴米． ∵， ∴， 解得， ∴米． 答：滕王阁的高度为米． 24. 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 【答案】任务1：矩形， 任务2：设， 由第一步折叠知：  ， 由第二步折叠知：  ． 在中， ， 由第三步折叠知：  ．  ，  ． 矩形的宽与长的比值为，即矩形为黄金矩形． 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得 设， 四边形，为正方形，  ，， ， ，． 设反比例函数关系式为，把代入，  ． 即点落在的函数图象上． 当时，．  点也落在的函数图象上．  点是在同一个反比例函数图象上． 若为宽，如图，则， 设， 四边形，为正方形， ，，  ． ，． 同理可得：点不在同一个反比例函数图象上． 【解析】 【分析】任务1：先证明，证明即可得到答案； 任务2：先证明，证明即可得到答案； 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得，设，可得，．设反比例函数关系式为，再进一步可得结论；若为宽，如图，则，同法可得结论． 【详解】解：任务1：黄金矩形为矩形． 理由如下： 如图， 设， 由第一步折叠知： ， 由第二步折叠知： ． 在中， ， 由第三步折叠知： ． ， ∴， ∴矩形为黄金矩形； 任务2： 略 任务3： 略 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，黄金矩形的含义，反比例函数的应用，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 25. 如图，已知A，B两点的坐标分别为(40，0)和(0，30)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，同时直线EF由x轴为起始位置以每秒1个单位长度的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接EP，FP，设动点P与直线EF同时出发，运动时间为t秒． （1）求t=15秒时，求EF的长度； （2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160(平方单位)?若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． （3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似． 【答案】（1）20； （2）不存在，理由： ∵， ∴， ∴，整理，得． ∵， ∴方程没有实数根， ∴不存在使得的面积等于160（平方单位）的t值． （3）或 【解析】 【分析】（1）由于轴，则 ，当时，，易证，得到从而求出的长度，得出的面积； （2）假设存在这样的，使得的面积等于160，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论； （3）如果与相似，由于 则只能点与点对应，然后分两种情况分别讨论：①点与点对应；②点与点对应． 【详解】解：（1）∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 当时，， ∵A（40，0），B（0，30）， ，， ∴BE=15， ∴； （2）略 （3）当时，． ∴，即， 解得， 时，， ∴，即， 解得， ∴当或时，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $