精品解析：四川省泸州市龙马潭区泸化中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋期期末质量监测质量评估 九年级数学 注意事项： 1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，选择题用2B铅笔将答案填涂在答题卡对应题目标号的位置 上，其余各题用0.5毫术黑色墨迹签宇笔将答案写在答题卡上，在本试卷和草稿 纸上答题无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色．下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称的特点逐一判断即可． 【详解】解：A：不是轴对称图形，故A错误； B：是轴对称图形，故B正确； C：不是轴对称图形，故C错误； D：不是轴对称图形，故D错误； 故选：B． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数顶点式为，顶点坐标为． 该二次函数已表示为顶点式，直接可读出顶点坐标． 【详解】二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 3. 下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 一箭双雕 D. 旭日东升 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据不可能事件的定义（一定不会发生的事件），分析各成语的含义，即可作答． 【详解】解：A、水中捞月：月亮在水中仅为倒影，无法实际捞取，一定不会发生，为不可能事件； B、守株待兔：兔子可能偶然撞树桩，不是不可能事件； C、一箭双雕：可能发生，不是不可能事件； D、旭日东升：太阳从东方升起是必然事件，不是不可能事件； 故选：A． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，选项A错误，因为合并同类项后应为；选项C错误，因为分配律应用后应为；选项D错误，因为展开后应为；只有选项B正确． 【详解】解：A、，故 A错误. B、，故 B正确. C、，故C错误. D、，故D错误. 故选：B． 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，将方程化为完全平方式． 通过移项、配方的步骤，将给定的一元二次方程转化为完全平方式，从而得出答案． 【详解】解：， 移项得， ， ， 故选：D． 6. 已知圆锥的底面半径是2，侧面展开图的圆心角为，则其侧面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后根据扇形的面积公式计算扇形的面积，从而得到圆锥的侧面积． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得， 解得， 所以圆锥的侧面积． 故选：A． 7. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式， 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 8. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角．由旋转的性质可知，可算出，就可以算出旋转角． 【详解】解：由旋转的性质可知：，是旋转角， ， ， ， 故选：D． 9. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？若设正方形田的边长为x，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．根据正方形面积公式和圆面积公式，结合题意列出方程． 【详解】解：正方形田的边长为， 正方形面积为， 圆形田的直径与正方形边长相等，为， 圆半径为， 圆面积为， 面积之和为 252， ， 故选 C． 10. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，为圆O的直径，弦于点E，，，则直径的长是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于的半径的方程． 连接，设的半径是r，利用垂径定理和勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：连接，设的半径是r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11. 定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为(　　) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，理解互为相关函数的定义是解题的关键，本题是选择题使用排除法更简单．求出二次函数的相关函数的解析式，结合图像分析选项中的几个关键点，，再解方程结合图象判断即可． 【详解】二次函数的相关函数为， 大致函数图像如下： 如图1所示，当线段与二次函数的相关函数的图象有1个公共点时， ∵二次函数的对称轴为， ∴当时，，则 解得， 如图2所示，当线段与二次函数的相关函数的图象有3个公共点时， ∵抛物线与轴交点纵坐标为1， ∴，解得； ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象有2个公共点； 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象有3个公共点， ∵二次函数经过点， ∴， 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象有2个公共点， ∵抛物线y=经过点， ∴，解得， ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象有个公共点． 综上所述，的取值范围是或． 故选：C． 12. 如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（　　） A. 4或 B. 4或 C. 6或 D. 6或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图形上点的坐标特征、切线的性质、垂径定理、勾股定理，设与轴相切于，连接，过点作于，连接，设，由切线的性质得，由勾股定理得，求出，即可求解；掌握垂径定理，切线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形由勾股定理进行求解是解题关键． 【详解】解：如图，设与轴相切于，连接，过点作于，连接， ， 与x轴相切， 轴， ， 的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上， 设， ， ， 在中， ， ， 解得：，， 当时， ， 当时， ， 半径是6或； 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 13. 分解因式：_________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键：若已知点，，则线段的中点的坐标为． 由中点坐标公式即可直接得出答案． 【详解】解：，， 线段的中点的坐标为，即， 故答案为：． 15. 已知a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 根据方程根的定义，将已知条件代入表达式求解． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， 即， ∴ ． 故答案为：． 16. 如图，已知四边形是正方形，且线段，，，则___． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，解一元二次方程，将顺时针旋转度得，进而证明，得出，，设正方形的边长为，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：将顺时针旋转度得， ∴，,， ∴ ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ， 设正方形的边长为，则， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17. 矩形中，，，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接．则的最大值是 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点M，连接，当成一条直线时，有最大值，利用勾股定理及直角三角形斜边中线的性质可得答案． 【详解】解：取的中点M，连接，当成一条直线时，有最大值， 在中，， 在中，， ∴的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角形三边关系、直角三角形斜边上中线的性质，读懂题意，得出当成一条直线时，有最大值是解本题的关键． 三、解答题：本大题共2个小题，每小题8分，共16分 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用立方根的性质、有理数的乘方运算法则、绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 19. 先化简，再求值：，其中a=2． 【答案】 ，4． 【解析】 【分析】先进行分式的除法运算，再进行分式的加减法运算，化简后把数值代入进行计算即可得. 【详解】原式= = =， 当a=2时，原式===4． 四、解答题：本大题共3个小题，每小题10分，共30分 20. 微信圈有篇热传的文章《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机！》．年教育部办公厅下发关于加强中小学生手机管理工作的通知．通知中提到：有限带入校园，细化管理措施，加强教育引导，做好家校沟通，强化督促检查五点学校管理措施．为了解学生手机使用情况，某学校组织开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，图②的统计图．已知“查资料”的人数是人． （1）在这次调查中，一共抽取了______名学生； （2）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角的度数是______度； （3）补全条形统计图； （4）在使用手机“查资料”的学生中，恰有人每周都是使用手机分钟，其中女男，计划在这个学生中随机抽选两个到全年级分享手机管理使用经验，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中有一个男生的概率． 【答案】（1）名 （2）度 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）将人数除所占百分比即可得到总人数； （2）各部分对应圆心角是用百分比乘直接求解； （3）总人数减去其他部分的人数即可； （4）将所有可能性的结果数出后直接计算比值即为概率． 【小问1详解】 （人）． ∴一共抽取了名学生． 故答案为：100； 【小问2详解】 ∴“玩游戏”对应的圆心角的度数是度， 故答案为：126; 【小问3详解】 （人） 【小问4详解】 如图所示，总共有种可能出现的结果，其中有一个男生的有种可能的结果， 所以所选两个学生中有一个男生的概率为． 【点睛】此题考查统计与概率，解题关节是分析图表中的数据，先求出总人数，再依题意求解圆心角的度数和各部分的人数，尤其是画树状图时需要仔细分析事件的先后顺序． 21. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求m的值． （2）已知等腰的一个边长为7，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1）5 （2）17 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质． （1）根据判别式的意义可得，再根据根与系数的关系得，，接着利用得到，进行求解即可； （2）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去． 【小问1详解】 解：根据题意得：，解得， ，， ，即， ， 解得，， 而， 的值为5； 【小问2详解】 解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得，， 当时，，解得，而，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，则，故舍去， 所以这个三角形的周长为17． 22. 一阆中特产商店销售某种规格的保宁醋，经市场调查发现，这种规格的保宁醋月销量（件）是售价（元／件）的一次函数，该保宁醋的月销售总利润（售价-成本）×月销量，三者有如下数据： 售价（元／件） 30 40 60 月销量（件） 210 180 120 月销售总利润（元） 2100 3600 4800 （1）试求关于的函数关系式（的取值范围不必写出）； （2）求当保宁醋售价为多少元时，月销售总利润有最大值，最大值为多少元？ （3）由于进价下降，从本月起，该规格保宁醋成本下降元／件（），且物价局规定该保宁醋售价最高不得超过元／件．若月销量与售价仍满足（1）中的关系，预计本月总利润最高为元，请你求出的值． 【答案】（1） （2）当售价为元时，月销售总利润有最大值，最大值为元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，用待定系数法求解即可； （2）根据销售利润的关系式求解即可； （3）根据题意重新列出二次函数，再结合自变量的取值范围，以及函数轴对称的位置，判断出当，总利润最高，代入函数表达式进行求解即可． 【小问1详解】 解：令关于的函数表达式为， 当时，，当时，，代入函数表达式， 得，解得， 故函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，，利润， 由此计算出成本为， 故成本价为元／件， ∴， 化简得， ∴当时，利润最大，最大利润为元． 【小问3详解】 解：利润， 函数图像对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，总利润最高，为元 得， 解得，满足条件； 故的值为． 五、解答题：本大题共3个小题，每小题12分，共36分 23. 如图，甲，乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处正北方向200海里的处执行任务．观测点在出发点的西北方向且在目的地的西南方向，观测点在出发点的北偏东方向且在目的地的北偏东方向．（参考数据：） （1）求AC的距离．（结果保留根号） （2）在本次任务执行中，甲巡逻艇选择途经观测点，乙巡逻艇选择途经观测点，已知甲巡逻艇的速度为每小时20海里，乙巡逻艇的速度比甲巡逻艇的速度每小时快10海里，请通过计算说明甲、乙巡逻艇谁先到达目的地D．（结果精确到0.1） 【答案】（1）海里 （2） 解：中，， ． ， ． ． 甲巡逻艇用时为小时． 由（1）知 ． 海里． 乙巡逻艇用时为小时． ， 乙巡逻艇先到达目的地． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函数，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．有公共直角边的先求这条直角边． （1）过点作，垂足为，先求得，由，求得，在中，，再求解即可； （2）先求得，再由，可得，从而得出，可得出甲巡逻艇用时为小时，再求得，得出海里，再比较可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得，在中，， ． ， ． 在中，． 海里． 【小问2详解】 略 24. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 25. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； （3）点在线段上运动时，是否存在点，使得四点围成的四边形面积最大？若存在，求出点的坐标，并求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入解析式求得a、b即可解答； （2）先求得、，再求得直线的解析式，设，则，，其中，可得，再根据列方程求解即可解答； （3）如图：分别连接BN，根据可得，由（1）（2）易知， ，然后根据二次函数的性质求得的最大值，进而求得的最大值即可解答． 【小问1详解】 解：∵将两点在抛物线的解析式上， ∴解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∵，点D在y轴负半轴， ∴，即； 设直线的表达式为， 则，解得， 直线的关系表达式为， 设，则，，其中， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴，解得： ， (舍去)， 故当四边形是平行四边形时，． 【小问3详解】 解：如图：分别连接， ∵ ， 由（1）（2）易知， ， ∴当最大时，最大，即， ∵点E在线段上运动， ∴， ∴当 时， 最大面积．即，最大面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期末质量监测质量评估 九年级数学 注意事项： 1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，选择题用2B铅笔将答案填涂在答题卡对应题目标号的位置 上，其余各题用0.5毫术黑色墨迹签宇笔将答案写在答题卡上，在本试卷和草稿 纸上答题无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色．下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 一箭双雕 D. 旭日东升 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径是2，侧面展开图的圆心角为，则其侧面积为（　　） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 无法确定 8. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？若设正方形田的边长为x，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，为圆O的直径，弦于点E，，，则直径的长是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 11. 定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为(　　) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 12. 如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（　　） A. 4或 B. 4或 C. 6或 D. 6或 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 13. 分解因式：_________________ 14. 在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为___________． 15. 已知a是方程的一个实数根，则的值为________． 16. 如图，已知四边形是正方形，且线段，，，则___． 17. 矩形中，，，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接．则的最大值是 ___________． 三、解答题：本大题共2个小题，每小题8分，共16分 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中a=2． 四、解答题：本大题共3个小题，每小题10分，共30分 20. 微信圈有篇热传的文章《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机！》．年教育部办公厅下发关于加强中小学生手机管理工作的通知．通知中提到：有限带入校园，细化管理措施，加强教育引导，做好家校沟通，强化督促检查五点学校管理措施．为了解学生手机使用情况，某学校组织开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，图②的统计图．已知“查资料”的人数是人． （1）在这次调查中，一共抽取了______名学生； （2）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角的度数是______度； （3）补全条形统计图； （4）在使用手机“查资料”的学生中，恰有人每周都是使用手机分钟，其中女男，计划在这个学生中随机抽选两个到全年级分享手机管理使用经验，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中有一个男生的概率． 21. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求m的值． （2）已知等腰的一个边长为7，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 22. 一阆中特产商店销售某种规格的保宁醋，经市场调查发现，这种规格的保宁醋月销量（件）是售价（元／件）的一次函数，该保宁醋的月销售总利润（售价-成本）×月销量，三者有如下数据： 售价（元／件） 30 40 60 月销量（件） 210 180 120 月销售总利润（元） 2100 3600 4800 （1）试求关于的函数关系式（的取值范围不必写出）； （2）求当保宁醋售价为多少元时，月销售总利润有最大值，最大值为多少元？ （3）由于进价下降，从本月起，该规格保宁醋成本下降元／件（），且物价局规定该保宁醋售价最高不得超过元／件．若月销量与售价仍满足（1）中的关系，预计本月总利润最高为元，请你求出的值． 五、解答题：本大题共3个小题，每小题12分，共36分 23. 如图，甲，乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处正北方向200海里的处执行任务．观测点在出发点的西北方向且在目的地的西南方向，观测点在出发点的北偏东方向且在目的地的北偏东方向．（参考数据：） （1）求AC的距离．（结果保留根号） （2）在本次任务执行中，甲巡逻艇选择途经观测点，乙巡逻艇选择途经观测点，已知甲巡逻艇的速度为每小时20海里，乙巡逻艇的速度比甲巡逻艇的速度每小时快10海里，请通过计算说明甲、乙巡逻艇谁先到达目的地D．（结果精确到0.1） 24. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； （3）点在线段上运动时，是否存在点，使得四点围成的四边形面积最大？若存在，求出点的坐标，并求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $