专题09定义.命题.证明寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题09定义.命题.证明寒假预习讲义 1 预习目标 •熟记定义、命题、证明等核心概念，能准确判断命题、拆分并改写命题。 ·理解证明的必要性，掌握证明的基本步骤和规范书写格式，会标注推理依据。 ·会举反例证假命题，能独立完成基础命题的证明，熟练用：.”表述。 ·能写出命题的逆命题，判断原命题与逆命题的真假，理解互逆定理。 ·建立初步逻辑推理思维，养成严谨的推理习惯，为课堂学习做好铺垫。 预习内容概览 预习必备 1.定义与命题 2.证明 知识点梳理 3.互逆命题 1.是否为命题 2.命题的题设与结论 3.命题真假的判定 4.真假命题举例 常考题型 5.写出逆命题 6.互逆命题的判定 精讲精炼 7.命题三要素 8.以几何为背景的推理与论证 9.以代数为背景的推理与论证 10.定理与证明 11.互逆定理 强化巩固 (解答题6题) 3 知识点梳理 【知识点01.定义与命题】 1.定义 对名称或术语的含义进行描述、做出规定，就是给出它们的定义。 要求：定义必须清晰、准确，不产生歧义。 试卷第1页，共3页 2. 命题 (1)定义 判断一件事情的句子，叫做命题。 关键特征： ①是陈述句（感叹句、疑问句、祈使句都不是）； ②能判断真假（要么对，要么错，无模糊性）。 (2)命题的结构 任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式： 条件（题设）：“如果”后面的部分，是命题中已知的事项； 结论：“那么”后面的部分，是由条件推出的事项。 改写技巧：找准命题中“已知什么得出什么”，无明显关联词时补充完整，保 持原意不变。 (3)命题的分类 真命题：正确的命题，即由条件能推出结论； 假命题：错误的命题，即由条件不能推出结论。 判断假命题的方法：举反例（举出一个满足条件但不满足结论的例子，即可证明 是假命题)。 【知识点02.证明】 1. 证明的必要性 小学阶段对几何结论的认识多靠观察、测量、实验，但这些方法存在局限性： 观察可能有视觉误差； 测量会有精度误差： 实验只能验证特殊情况，不能覆盖所有情况。→只有通过逻辑推理的证明，才 能得到普遍、正确的结论。 2.证明的定义 根据已知的真命题，确定某个命题真实性的推理过程，叫做证明。 证明的依据：①题目的已知条件；②学过的定义、公理、定理；③已经证明 过的结论。 3.证明的基本步骤（核心，必须牢记） 试卷第1页，共3页 (1)审题：分清命题的条件（已知）和结论（求证）； (2)画图：根据题意画出准确的图形，标注已知条件（图形要贴合题意，不特 殊化)； (3)写“已知”“求证”： 已知：将命题的条件用数学语言表示出来； 求证：将命题的结论用数学语言表示出来； (④)写证明过程：从己知条件出发，一步步通过逻辑推理推出结论，每一步都要 写依据（括号内标注）。 4.证明的书写格式（规范，入门关键） 开头写：已知： ;求证：… 证明过程： (因为)》 (依据)，.（所以).…（依据)； 结尾写：综上，…成立（或直接证得结论即可）。 【知识点03.互逆命题】 互逆命题的定义 其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。 形式：若原命题为“如果P,那么q”,则逆命题为“如果q,那么p”。 2.互逆命题的性质 任何一个命题都有逆命题（只需交换条件和结论即可）； 原命题为真命题，其逆命题不一定为真命题； 原命题为假命题，其逆命题也可能为真命题。 3.互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么这个逆命题就是原定理的逆定理 ，这两个定理叫做互逆定理。 注意：定理一定有逆命题，但不一定有逆定理（只有逆命题为真时，才是逆定理）。 常考题型精讲精练 【题型1.是否为命题】 【典例】下列语句中，是命题的是() A.作线段AB=CD B.∠A=90°吗？ 试卷第1页，共3页 C.垂直用符号“⊥”表示 D.对顶角相等 【跟踪专练1】有下列语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也 不是负数；④画直角三角形ABC;⑤因为a>b,所以a>c.其中，是命题的是 (填 序号)· 【跟踪专练2】下列语句中，是命题的是() A.你喜欢数学吗？ B.取线段AB的中点 C.美丽的天空 D.两直线平行，内错角相等 【题型2.命题的题设与结论】 【典例】命题“同位角相等”的条件是 【跟踪专练1】命题“两个锐角相等”的条件是(). A.两个角 B.相等 C.两个角是锐角D.锐角相等 【跟踪专练2】用三个不等式a>b,ab>0, 上<士中的两个不等式作为题设条件，余下的 a b 一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出 一个真命题 【题型3.命题真假判定】 【典例】下列语句中，①过点P作直线BC的垂线；②延长线段MN；③直线没有延长线； ④射线有延长线.是假命题的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【跟踪专练1】命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是命题（真/假）· 【跟踪专练2】下列命题中：①使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；②由三条线段 首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；③三角形可以分为等腰三角形和三边都不相等的三 角形；④只有一条高在三角形的内部时，那么这个三角形一定是钝角三角形.正确的命题有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【题型4.真假命题举例】 【典例】举反例说明命题“若x<1,则x<0”是假命题时，可举的反例是：x=」 (写 出一个即可可) 【跟踪专练1】要判断命题“若a>b,则a2>b2”是错误的，可以举一个反例，则下列反例 试卷第1页，共3页 中符合要求的是() A.a=2,b=-1 B.a=-1,b=-2 C.a=2,b=1 D.a=-1,b=0 【跟踪专练2】可以用一个数m的值说明命题“如果m能被4整除，那么它也能被8整除”是 假命题，这个数m可以是 【题型5.写出逆命题】 【典例】已知命题“如果a=b,那么-a=-b”,则该命题的逆命题是() A.如果a=b,那么-a=-b B.如果-a=-b,那么a=b C.如果a=b,那么-a≠-b D.如果-≠-b,那么a=b 【跟踪专练1】把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果.那么..”的形式 为一 【跟踪专练2】以下命题的逆命题中，属于真命题的是() A.如果a>0,b>0,则a+b>0 B.直角都相等 C.两直线平行，同位角相等 D.若a=b,则a2=b 【题型6.互逆命题的判定】 【典例】命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为Q,b,斜边长为E,那么 +b2=c2.命题2：如果一个三角形的三条边长分别为a,b,E,且a+b2=c2,那么 这个三角形是直角三角形.则命题1与命题2是 命题 【跟踪专练1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是() A.互为逆命题B.互逆定理 C.公理 D.假命题 【跟踪专练2】命题“如果x=y川，那么x2=y2”的逆命题是（) A.如果xy,那么x2y2 B.如果x=以，那么x2y2 C.如果x2=y2,那么x=y D.如果x2y2,那么xy川 【题型7.命题三要素】 【典例】要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事 实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 要说明一个命题是假命题，通常可以通过」 的方法，命题的反例是具备命题的条 件，但不具备命题的 的实例。 【跟踪专练1】实验、观察、归纳得到的结论正确.因此，要判断一个数学结论是否 试卷第1页，共3页 正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 【跟踪专练2】试说明“若∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，∠A=∠C,则∠B=∠D”是真 命题.以下是排乱的推理过程： ①因为∠A=∠C(已知)： ②因为∠A+∠B=180°，∠C+LD=180°（已知）； ③所以∠B=180°-∠A,∠D=180°-∠C(等式的性质)； ④所以∠B=∠D(等量代换)； ⑤所以∠B=180°-∠C(等量代换). 正确的顺序是() A.①→③→②-→⑤→④ B.②→③→⑤→①→④ C.②→③-→①→⑤→④ D.②→⑤→①→③→④ 【题型8.以几何为背景的推理与论证】 【典例】《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出 更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法.这种方法所体现的数学思想是 () 几何原本 翅当Q A.数形结合思想 B,分类讨论思想 C.转化思想 D.公理化思想 【跟踪专练1】如图，在长方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的一个三等分点，FB 与EC,ED分别交于点G,H,FC与ED交于点I.则 S四边形GHC= S四边形ABCD 试卷第1页，共3页 【题型9.以代数为背景推理与论证】 【典例】用一个平底锅烙饼（每次只能放两张饼），烙热一张饼2分钟（正反面各需一分钟）， 问烙热3张饼至少需 三分钟 【跟踪专练1】当n是正整数时，n(n+1+1一定是()， A.奇数 B.偶数 C.质数 D.合数 【跟踪专练2】“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不 倦的精神，默默滋养着一届又一届学生.鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码， 这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀.现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这 串神秘的手机密码： ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确： ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确： ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确. 【题型10.定理与证明】 【典例】下列真命题能作为基本事实的是() A.对顶角相等 B.三角形的内角和是180° C.在平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直 D.内错角相等，两直线平行 【跟踪专练1】下列命题可以作定理的有个. ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③r=5是方程)x+7=9x+2的根：④三角形的内角和是180. 6 【跟踪专练2】下列说法正确的是() A.真命题的逆命题是真命题 B.每个定理都有逆定理 试卷第1页，共3页 C.每个命题都有逆命题 D.假命题的逆命题是假命题 【题型11.互逆定理】 【典例】下列说法错误的是() A.任何命题都有逆命题 B.真命题的逆命题不一定是正确的 C.任何定理都有逆定理 D.一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一 定是正确的 【跟踪专练1】定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是 【跟踪专练2】下列定理中，没有逆定理的是() A.同旁内角互补，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同位角相等，两直线平行 D.互为相反数的两个数的绝对值相等 强化巩固通关 1.指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角. (2)绝对值等于5的数一定是5. (3)两个钝角相等 (4)如果a=b,b=c,那么a=c. 2.写出下列命题的逆命题： (1)如果a=b,那么a2=b2; (2)同角的余角相等； (3)如果|a曰b1,那么a=b; (④)等腰三角形的两个底角相等， 3.下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例 (1)如果ab=0,那么a=0,且b=0. (2)如果|aHb,那么a=b. 4.已知命题“如果ab<0,那么a>0,b<0.” (1)写出此命题的题设和结论； (②)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明. 5.写出下列命题“若p,则g的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假. 试卷第1页，共3页 (1)全等三角形的对应边相等： (2)互为相反数的两个数的和为零. 6.求所有正整数n,使得存在正整数，2，x2012,满足x1<x2<…<x202,且 1+2+…+2012 =n X1X2X2012 试卷第1页，共3页 专题09定义.命题.证明寒假预习讲义 ·熟记定义、命题、证明等核心概念，能准确判断命题、拆分并改写命题。 ·理解证明的必要性，掌握证明的基本步骤和规范书写格式，会标注推理依据。 ·会举反例证假命题，能独立完成基础命题的证明，熟练用 “∵∴” 表述。 ·能写出命题的逆命题，判断原命题与逆命题的真假，理解互逆定理。 ·建立初步逻辑推理思维，养成严谨的推理习惯，为课堂学习做好铺垫。 预习必备 知识点梳理 1.定义与命题 2.证明 3.互逆命题 常考题型 精讲精炼 1.是否为命题 2.命题的题设与结论 3.命题真假的判定 4.真假命题举例 5.写出逆命题 6.互逆命题的判定 7.命题三要素 8.以几何为背景的推理与论证 9.以代数为背景的推理与论证 10.定理与证明 11.互逆定理 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.定义与命题】 1. 定义 对名称或术语的含义进行描述、做出规定，就是给出它们的定义。 要求：定义必须清晰、准确，不产生歧义。 2. 命题 (1)定义 判断一件事情的句子，叫做命题。 关键特征： 1 是陈述句（感叹句、疑问句、祈使句都不是）； 2 能判断真假（要么对，要么错，无模糊性）。 (2)命题的结构 任何一个命题都可以写成 “如果…… 那么……” 的形式： 条件（题设）：“如果” 后面的部分，是命题中已知的事项； 结论：“那么” 后面的部分，是由条件推出的事项。 改写技巧：找准命题中 “已知什么”“得出什么”，无明显关联词时补充完整，保持原意不变。 (3)命题的分类 真命题：正确的命题，即由条件能推出结论； 假命题：错误的命题，即由条件不能推出结论。 判断假命题的方法：举反例（举出一个满足条件但不满足结论的例子，即可证明是假命题）。 【知识点02.证明】 1. 证明的必要性 小学阶段对几何结论的认识多靠观察、测量、实验，但这些方法存在局限性： 观察可能有视觉误差； 测量会有精度误差； 实验只能验证特殊情况，不能覆盖所有情况。→ 只有通过逻辑推理的证明，才能得到普遍、正确的结论。 2. 证明的定义 根据已知的真命题，确定某个命题真实性的推理过程，叫做证明。 证明的依据：① 题目的已知条件；② 学过的定义、公理、定理；③ 已经证明过的结论。 3.证明的基本步骤（核心，必须牢记） (1)审题：分清命题的条件（已知）和结论（求证）； (2) 画图：根据题意画出准确的图形，标注已知条件（图形要贴合题意，不特殊化）； (3)写 “已知”“求证”： 已知：将命题的条件用数学语言表示出来； 求证：将命题的结论用数学语言表示出来； (4)写证明过程：从已知条件出发，一步步通过逻辑推理推出结论，每一步都要写依据（括号内标注）。 4. 证明的书写格式（规范，入门关键） 开头写：已知：……；求证：……； 证明过程：∵ （因为）……（依据），∴ （所以）……（依据）； 结尾写：综上，…… 成立（或直接证得结论即可）。 【知识点03.互逆命题】 1. 互逆命题的定义 两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。 形式：若原命题为 “如果 p，那么 q”，则逆命题为 “如果 q，那么 p”。 2. 互逆命题的性质 任何一个命题都有逆命题（只需交换条件和结论即可）； 原命题为真命题，其逆命题不一定为真命题； 原命题为假命题，其逆命题也可能为真命题。 3. 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么这个逆命题就是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理。 注意：定理一定有逆命题，但不一定有逆定理（只有逆命题为真时，才是逆定理）。 【题型1.是否为命题】 【典例】下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题的定义，根据“能判断真假的陈述句叫做命题”，逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】命题的定义是“能判断真假的陈述句”， 选项A“作线段”是操作指令，不是陈述句，也无法判断真假，所以选项A不是命题； 选项B“吗？”是疑问句，不是陈述句，所以选项B不是命题； 选项C“垂直用符号‘⊥’表示”是陈述符号的表示方法，并非能判断真假的命题类语句，所以选项C不是命题； 选项D“对顶角相等”是陈述句，且可以判断其为真，符合命题的定义，所以选项D是命题． 故选：D． 【跟踪专练1】有下列语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；⑤因为，所以．其中，是命题的是 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查命题的判断，根据命题的定义，对某一事件作出判断的语句叫做命题，逐一进行判断即可． 【详解】解：植物生长都需要水，是命题，故①符合题意； 负数大于正数，是命题，故②符合题意； 零既不是正数，也不是负数，是命题，故③符合题意； 画直角三角形，不是命题，故④不符合题意； 因为，所以，是命题，故⑤符合题意； 故答案为：①②③⑤． 【跟踪专练2】下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、你喜欢数学吗？是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、取线段的中点，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、美丽的天空，是描叙性语言，没有作出判断，不是命题； 、两直线平行，内错角相等，是命题，符合题意； 故选：． 【题型2.命题的题设与结论】 【典例】命题“同位角相等”的条件是 ． 【答案】两角是同位角 【分析】本题主要考查了命题的定义，命题“同位角相等”是省略形式，可转化为“如果两角是同位角，那么它们相等”的标准命题形式，从而确定条件部分． 【详解】解：命题“同位角相等”的完整表述是“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，其中“如果”后面的部分是条件，即“两个角是同位角”，简写为“两角是同位角”． 故答案为：两角是同位角． 【跟踪专练1】命题“两个锐角相等”的条件是（    ）． A．两个角 B．相等 C．两个角是锐角 D．锐角相等 【答案】C 【分析】本题考查命题，命题由条件和结论组成，通常形式为“如果条件，那么结论”，题目中的命题“两个锐角相等”可还原为“如果两个角是锐角，那么它们相等”，因此条件为“两个角是锐角”． 【详解】解：命题“两个锐角相等”的条件是两个角是锐角． 故选：C． 【跟踪专练2】用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 【答案】 3 如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么 【分析】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件 为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明． 【详解】解：当选取，作为条件，为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件，为结论时， ∵， ∴当时，则 ，即，符合题意； 当时，则 ，即，不符合题意； ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件 为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么． 故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么． 【题型3.命题真假判定】 【典例】下列语句中，①过点P作直线的垂线；②延长线段；③直线没有延长线；④射线有延长线．是假命题的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查的知识点是命题的判断及假命题，先判断语句是否为命题，然后再判断命题是否为假命题解答即可． 【详解】解：①过点P作直线的垂线，不是命题； ②延长线段，不是命题； ③直线没有延长线，是真命题； ④射线有延长线，是假命题； 故选：B． 【跟踪专练1】命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是 命题（真/假）． 【答案】真 【分析】本题主要考查了命题，掌握相反数的性质是解题的关键． 根据判断一件事情的语句，叫做命题．正确的命题是真命题进行分析即可． 【详解】解：命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”的条件是两个数互为相反数，结论是这两个数绝对值相等，这是一个真命题． 故答案为：真． 【跟踪专练2】下列命题中：①使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；②由三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；③三角形可以分为等腰三角形和三边都不相等的三角形；④只有一条高在三角形的内部时，那么这个三角形一定是钝角三角形．正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查真假命题的判断，熟练掌握命题、定理与证明是解题的关键，根据相对应的命题、定理与证明进行判断即可得到答案． 【详解】解：①符合不等式的解的定义，故正确； ②三角形需要满足“三边不在同一直线上”的条件，故错误； ③符合按边分类的定义，故正确； ④对于直角三角形，只有斜边上的高在三角形内部，另外两条高（即直角边）在三角形的边上．因此，“只有一条高在三角形的内部”的三角形可能是钝角三角形或直角三角形，故错误． 综上所述：①和③正确， 故选：C． 【题型4.真假命题举例】 【典例】举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是： (写出一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是学会举例说明是假命题，答案不唯一，只要满足的数即可，如． 【详解】解：时，， ∴“若，则”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解题． 【详解】解：A、，且，满足命题，不符合题意； B、，且，不满足命题，符合题意； C、，且，满足命题，不符合题意； D、，不满足命题，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】可以用一个数的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，这个数可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理、真命题与假命题；正确判断真命题与假命题是解决问题的关键．由整除的性质得出是假命题，即可得出结论． 【详解】解：可以用一个的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题， 这个值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5.写出逆命题】 【典例】已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么， 故选：B． 【跟踪专练1】把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为 ． 【答案】如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握命题与定理的写法． 一个命题由题设和结论两部分组成，一般都能写成“如果…，那么…”的形式．如果后面是条件，那么后面是结论． 【详解】因为“等边三角形三个内角都相等”的逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形，则可写成如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形． 故答案为：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形． 【跟踪专练2】以下命题的逆命题中，属于真命题的是（   ） A．如果，，则 B．直角都相等 C．两直线平行，同位角相等 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，逆命题的真假识别，掌握逆命题把原命题的题设变为结论，把结论变为题设，逆命题的真假识别方法是解题关键． 首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论得出答案． 【详解】解：A．逆命题为：如果，则，，反例，，，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意； B．逆命题为：相等角是直角，反例，但不是直角，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意； C．逆命题为：同位角相等，两直线平行，根据平行线判定定理知其是真命题，故该选项的逆命题是真命题，符合题意； D．逆命题为：，则，反例，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【题型6.互逆命题的判定】 【典例】命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 【跟踪专练1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 【跟踪专练2】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 【题型7.命题三要素】 【典例】要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 ． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的 的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 【跟踪专练1】实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 【跟踪专练2】试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 【题型8.以几何为背景的推理与论证】 【典例】《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 【跟踪专练1】如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则 ． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 【题型9.以代数为背景推理与论证】 【典例】用一个平底锅烙饼（每次只能放两张饼），烙热一张饼2分钟（正反面各需一分钟），问烙热3张饼至少需 分钟． 【答案】3 【分析】若先把两只饼煎熟，则在煎第三张饼时，锅中只有一只饼而造成浪费，所以应把两只饼的两面错开煎． 【详解】应先往锅中放入两只饼，先煎熟一面后拿出一只，再放入另一只，当再煎熟一面时把熟的一只拿出来，再放入早拿出的那只，使两只并同时熟，共需3分钟． 故答案为3． 【点睛】本题考查了推理与论证，在解答此类题目时要根据实际情况进行推论，既要节省时间又不能造成浪费． 【跟踪专练1】当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握奇数与偶数的积为偶数．分n是偶数与奇数两种情况分析，同时结合奇数与偶数的积的特征即得结果． 【详解】当n是偶数时，是奇数，而偶数×奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 当n是奇数时，是偶数，而奇数×偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 故选A． 【跟踪专练2】“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码： ． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 【题型10.定理与证明】 【典例】下列真命题能作为基本事实的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和是 C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理．数学公理也叫数学基本事实，都是人们在实践经验中得到的结论，没有经过证明得出的．判断所给命题是否是经过证明得出的结论，即可解答． 【详解】解：四个选项中，A，B，D需要证明得出的结论，只有C是基本事实． 故选：C． 【跟踪专练1】下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题是真命题 B．每个定理都有逆定理 C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题是假命题 【答案】C 【分析】本题考查了命题的相关概念及定理，命题由题设和结论两部分组成，所以所有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定理，真命题的逆命题不一定是真命题，真命题的逆命题不一定是假命题，据此逐项判断即可，掌握命题、逆命题及逆定理的相关概念是解题的关键． 【详解】解：、真命题的逆命题不一定是真命题，此选项说法错误，不符合题意； 、每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理，此选项说法错误，不符合题意； 、每个命题都有逆命题，此选项说法正确，符合题意； 、假命题的逆命题不一定是假命题，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【题型11.互逆定理】 【典例】下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的 C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的 【答案】C 【分析】根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】A．任何命题都有逆命题，故A正确，不符合题意； B．真命题的逆命题不一定为真，故B正确，不符合题意； C．任何定理不一定都有逆定理，故C错误，符合题意； D．定理一定是正确的，一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题，定理的定义．如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题．定理是指用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理． 【跟踪专练1】定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是 ． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案． 【详解】解：“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是：同旁内角互补，两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 【跟踪专练2】下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【答案】D 【分析】分别写出个命题逆命题，即可求解． 【详解】解：A、逆定理为：两直线平行，同旁内角互补，故本选项不符合题意； B、逆定理为：两直线平行，内错角相等，故本选项不符合题意； C、逆定理为：两直线平行，同位角相等，故本选项不符合题意； D、逆命题为：绝对值相等的两个数互为相反数，是假命题，即该定理没有逆定理，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了逆定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 1．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 2．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 【答案】(1)如果，那么 (2)相等的两个角是同一个角的余角 (3)如果，那么 (4)有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题的概念是解决本题的关键． （1）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （2）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （3）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （4）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解． 【详解】（1）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角； （3）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 3．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 【答案】(1)假命题，反例：， (2)假命题，反例：， 【分析】本题考查了判断命题真假，反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）若，根据乘法的性质，只需其中一个因数为0即可，并非要求两个因数同时为0． （2）绝对值表示的是数到原点的距离，因此仅说明和到原点的距离相等，但和可能是互为相反数的关系． 【详解】（1）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但此时． （2）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但． 4．已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)题设为，结论为， (2)假命题，举例见解析 【分析】本题考查命题的含义，真假命题的判断，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键； （1）如果后面的部分为条件，那么后面的部分为结论； （2）先说明命题的真假性，然后举出反例即可求解； 【详解】（1）解：此命题的题设为，结论为，． （2）解：此命题是假命题， 当a为负数，b为正数时，，但是，， 例如：当，时，，但是，． 5．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 6．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $