2025-2026学年人教版数学七年级上册 寒假巩固作业 07解一元一次方程

寒假巩固作业07解一元一次方程 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 2．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法与步骤是解答本题的关键． （1）根据移项、合并同类项、系数化为1的方法求出未知数的值即可； （2）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法求出未知数的值即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ． 3．解方程． (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤“移项，合并同类项，系数化为1”即得出答案； （2）根据解一元一次方程的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，合并得：， 系数化为“1”，得：； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为“1”，得：． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 5．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练计算是解题的关键． （1）方程去括号，移项，合并同类项，系数化1即可； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，包括去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤．对于有分母的方程，需要先找到分母的最小公倍数去分母． （1）去括号，移项合并同类项，系数化为1即可； （2）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为1，得 7．阅读下面解方程的部分解题过程，并完成相应问题． 解方程：． 解：        （第一步）         （第二步） …… (1)上面过程中有一处错误： 错误的是第_____步，错误的原因是_________________________． (2)把正确的解题过程写下来． 【答案】(1)二， 去分母时，方程右边的5没有乘以6 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）第二步去分母时，方程右边的5没有乘以6，据此可得答案； （2）先把分母化为整数，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察可知第二步出现错误，错误原因是去分母时，方程右边的5没有乘以6； （2）解： 把分母化为整数得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 8．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解方程 解：去分母（方程两边乘4），得  ① 去括号，得  ② 移项，得  ③ 合并同类项，得  ④ (1)以上求解步骤中，第①步的依据是______； (2)上述小萌的解题过程从第______步开始出现错误； (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 【答案】(1) 等式的性质 (2)① (3) 见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解； （2）根据等式的性质即可作答； （3）依次去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1，即可解方程． 【详解】（1）解：第一步的依据是：等式的性质， 故答案为：等式的性质； （2）解：第①步开始出现错误，错误的原因是去分母时，漏乘了； 故答案为：①； （3）解：， 方程两边乘4，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 合并同类项，得． 9．解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键： （1）去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 系数化为1，得． （2）解：原方程变形为：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．我们定义：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）已知关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16 【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义进行验证即可； （2）将方程变形为，根据差解方程的定义，其常规解需等于其差解值，故可列出方程，解此方程即可得到答案； （3）根据差解方程的定义求出，整理得到即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的解是，且， ∴方程是“差解方程”， 故答案为：是； （2）解： ， 解得， ∵方程是“差解方程”，即是“差解方程”， ∴ ∴， 解得； （3）解：根据题意，得， ∴， ∴． 11．定义：如果两个一元一次方程的解和为0，我们就称这两个方程互为“圆满方程”． 例如： 方程，解为，方程，解为，因为，所以方程和互为“圆满方程”． (1)下列方程互为“圆满方程”的是______（填序号）； ①；② ；③． (2)若关于x的方程与方程互为“圆满方程”，求m的值； (3)若无论m取何值时，关于x的方程 （a， b为常数）与方程互为“圆满方程”，求的值． 【答案】(1)①② (2)12 (3)7 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据“圆满方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）先分别求每一个方程的解，再根据“圆满方程”的定义判断即可； （2）先求出的解，再由“圆满方程”的定义得到方程，再如求解参数； （3）先求出方程的解为，整理方程得，再由“圆满方程”的定义将代入得，整理得，，则得到且，求解，即可求解代数式的值． 【详解】（1）解：①， ， 解得； ② ， 解得； ③ 解得 ∵ ∴方程①和②互为“圆满方程”， 故答案为：①②； （2）解： 解得 ∴方程的解为， ∵与方程互为“圆满方程” ∴方程的解为 代入 解得； （3）解： 解得 ∵与方程互为“圆满方程” ∴方程的解恒为， 对于 整理得， 代入得 整理得， ∵该式对任意m成立， ∴且， 解得 ∴． 12．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为． (1)求a的值； (2)求原方程的解． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的错解问题． （1）根据“方程右边的忘记乘12”得到小明去分母后的方程，进而将代入求解即可； （2）得到正确的方程，进而根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得， ∵小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12， ∴小明去分母后的方程应为， ∵求出的解为， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴方程为， 两边乘12，得， 去括号得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为1得． 13．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (3)若该方程有负整数解，求整数的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，为使m最大，应取最大的、而且是7的倍数的负数，即，进而得解． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取负整数，取最大值， ∴应取最大的、而且是7的倍数的负数． ∴， ∴， ∴的值为． 14．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“和谐方程”，如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若某“和谐方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． 【答案】(1)6 (2) (3)4或 【分析】本题主要考查了新定义“和谐方程”，正确理解题意是解题关键． （1）首先解方程，可得，根据“和谐方程”的定义可知方程的解为，然后将代入方程并求解即可； （2）分别解两个方程，根据相反数的定义，进一步求解即可； （3）根据题意，其中一个方程的解为，则另一个方程的解为，结合该“和谐方程”的两个解的差为8，分情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得，解得； （2）解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“和谐方程”， ∴， ∴； （3）根据题意，其中一个方程的解为， 则另一个方程的解为， ∵该“和谐方程”的两个解的差为8， ∴或， 解得或． 15．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为． (1)请帮小林求a的值； (2)请帮小林求原方程的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，理解题意是解题的关键． （1）根据小林的错误解法求出a的值； （2）根据正确方程求出其解即可． 【详解】（1）解：， 去分母时，方程右边的漏乘了6，所以， 解得， 因为此时方程的解为， 所以， 解得； （2）当时，正确的方程为， ， ， ， ． 16．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． (1)方程与方程___________“美好方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，且比大2，求和的值． 【答案】(1)不是 (2) 【分析】（1）方程的解为；方程的解为 根据定义判断解答即可； （2）先求出方程的解，再根据关于的方程与方程是“美好方程”，且比大2，建立方程组解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用与解法，熟练掌握新定义，灵活解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：方程的解为；方程的解为 ， 由，不符合定义， 故方程与方程不是“美好方程”， 故答案为：不是； （2）解：， ， ， 解得； 又， ， 解得， 由关于的方程与方程是“美好方程”， 故即， 又比大2， 故，代入上式，得，整理得， 解得， 故． 17．定义：如果两个一元一次方程的解之和为8，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和谐方程”，请说明理由； (2)若“和谐方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值． 【答案】(1)方程与方程是“和谐方程”，理由见解析 (2)或8 【分析】（1）分别求解方程，再进行判断即可； （2）由题意得另一个方程的解，解绝对值方程即可． 本题考查了一元一次方程的求解，掌握一元一次方程的求解步骤，进行正确的计算是解题关键． 【详解】（1）解：方程与方程是“和谐方程”，理由如下： 解方程： 解得： 解方程： 解得： 又因为 所以方程与方程是“和谐方程” （2）解：因为“和谐方程”的两个解的和为8，其中一个解为n， 则另一个方程的解为， 那么， 则或， 解得：或8． 18．把（其中是常数，是未知数）这样的方程称为“和合方程”，其中“和合方程”的解称为“和合方程”的“和合值”． 例如：“和合方程”，其“和合值”为． (1)是“和合方程”的“和合值”，求的值； (2)若关于的“和合方程”的“和合值”是关于的方程的解，求此时符合要求的正整数的值． 【答案】(1)6 (2)，或，或， 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“和合方程”的定义，并能准确求解方程是解题的关键． （1）将代入方程，求出的值即可； （2）分别求出两个方程的解，由题意得，则有，即可求、的值． 【详解】（1）解：∵是“和合方程”的“和合值”， ∴， 解得：； （2）解：的解为， 的解为， 两个方程的解相同， ∴， ∴， 、是正整数， ，或，或，． 19．【定义】 若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m、n的值． 【答案】(1)① (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元一次方程及新定义问题的理解与运用． （1）先解出每个方程的解，再根据“友好方程”的定义进行判断即可； （2）先解出x的值，再根据“友好方程”的定义得，进而求得b的值； （3）先将解代入方程中得到新的式子求出m的值，再根据“友好方程”的定义即可求得n的值． 【详解】（1）解：①，解得：，而，①是“友好方程”； ②，解得：，而，②不是“友好方程”， 故答案为：①． （2）解：一元一次方程的解为， 由题意得，，解得． （3）解：将解代入方程中，得到：， ∵， ∴， ∵是“友好方程”， ∴， 将代入得：， 解得． 20．我们规定：表示7与3的差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看成，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)若，则的值． (2)由以上探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)8或 (2)有最小值，最小值为5 【分析】（1）根据题意，得或，解答即可． （2）对于任意有理数，表示有理数与数1的距离与有理数与数的距离和，根据题意，当有理数在时，和最小，且为． 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，分类探讨，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性． 【详解】（1）解：根据题意，得或， 解得或． （2）解：对于任意有理数，表示有理数与数1的距离与有理数与数的距离和， 当时，化简，得， 由，此时的距离和大于； 当时，化简，得， 由，此时的距离和大于； 当时，化简得，此时距离和为5． 故当有理数在时，和最小，且最小值为． 21．对于有理数，我们规定：： 例如． 【知识运用】 （1）若，则___________． 【知识迁移】 （2）若关于的方程有且只有三个不相等的解，求的值及相应方程的解． 【拓展提升】 （3）若，且，求的值． 【答案】(1) 4或 (2) 的值为1011，方程的解为3或2025或 (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、含有绝对值的方程、解一元一次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据自定义运算法则求解即可； （2）由题易得或，根据方程有且只有三个不相等的解可知有一个绝对值方程为0，继而分类讨论求解即可； （3）先由，变形整理可得，再结合和可得，即可得解． 【详解】解：（1），， ， ， 或， 或； 故答案为：4或； （2）， ， 或， 原方程存在三个不等解， 或， ，， ， ， 或， 或2025或， 答：的值为1011，方程的解为3或2025或； （3），， ， ，即， ， ， ， ， 整理可得， ， 且，， ， ． 22．对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________； (2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1．则的最大值为_______． 【答案】(1)7 (2)或 (3)3 【分析】此题考查了绝对值的应用，解题的关键是理解“相对关系值”的定义，熟练掌握绝对值的性质． （1）根据“相对关系值”的定义，求解即可； （2）根据“相对关系值”的定义，列方程，求解即可； （3）根据题意列出方程，再分为四种情况，分别讨论，根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答即可． 【详解】（1）解：， ∴和3关于1的“相对关系值”为， 故答案为： （2）解： 和关于的“相对关系值”为， ， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，的值为或； （3）解：和关于的“相对关系值”为， ； 分四种情况： 当，时，，则； 当，时，，则， 得到； 当，时，，则， 得到； 当，时，，则， 由此可知的最大值为； 故答案为： 23．阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示、在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是；数轴上表示与的两点之间的距离是_____． (2)若，则_____． (3)满足的有理数有_____个． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离的计算，绝对值的性质的综合，解绝对值方程； （1）根据材料提示的两点之间距离的计算方法即可求解； （2）根据绝对值的性质即可求解； （3）根据绝对值的性质，结合数轴即可求解． 【详解】（1）解：与的两点之间的距离是， 与的两点之间的距离是， 故答案为：，． （2）解： 当时，；当时，； ∴或， 故答案为：或． （3）解：根据材料提示两点之间距离公式， ，表示点到表示的点，与点到表示的点的距离和为，   ∵ 当时，，不合题意 因此必在点的两侧 当时， ∴ 解得： 当时， ∴ 解得： ∴满足的有理数有个， 故答案为：． 24．对于有理数，，，我们规定：． 例如：． 【知识运用】（1）①计算：________． ②若，求的值． 【综合运用】（2）若，求的值． 【知识迁移】（3）若，则的值为________． 【知识拓展】（4）当有且只有三个不相等的解时，直接写出的值． 【答案】 （1）① 1；② 3或；（2）3或；（3）4或2；（4）1 【分析】本题主要考查了新定义运算、含有绝对值的方程、解一元一次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据新定义运算法则求解即可；②根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可； （2）根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可； （3）根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可； （4）由题意得，得到或，根据方程有且只有三个不相等的解可知有一个绝对值方程为0，继而分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴，即， ∴的值为或； （2）解：∵， ， ， ∴或， ∴或， ∴的值为或； （3）解：∵， ， ， 或， ∴或， 故答案为：或； （4）解：∵， ， 或， 或， 原方程存在三个不等解， 或， ，， ∴， ， ， 或， 或或（符合题意）， ∴的值为1． 25．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，② ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)①否；②是 (2)3或9 (3)或 【分析】（1）先求解给定的一元一次方程的解，再求解关于的方程的所有解，验证是否存在使得； （2）先解方程，再求解关于的一元一次方程，根据建立方程求解； （3）先解关于的方程，再根据表示，代入关于的方程求解即可． 【详解】（1）解： 的解为； ①方程的解是，，故不是“十全十美方程”； ②方程的解是或，当时，，是“十全十美方程”； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是，即， 若，，则，解得：； 若，，则，解得：； 的值为3或9； （3）的值为或，理由如下： 由， 解得：， ， ， 即的一个解是：， ， 整理得：， ∵分母m不能为0， ， ， ①当时，， ②当时，， 的值为或． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法、绝对值方程的解法以及新定义“十全十美方程”的理解与应用；解题步骤包括：先求出给定一元一次方程的解，再求出关于的方程的所有解，根据判断是否为“十全十美方程”，对于涉及参数的问题，通过解方程建立参数关系求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假巩固作业07解一元一次方程 目录 题型一、解方程 1 题型二、已知一元一次方程的解求参数 2 题型三、一元一次方程解的关系 3 题型四、绝对值方程 4 题型一、解方程 1．解方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1) (2) 3．解方程． (1) (2) 4．解方程： (1)； (2)． 5．解方程： (1) (2) 6．解方程： (1)； (2)． 7．阅读下面解方程的部分解题过程，并完成相应问题． 解方程：． 解：        （第一步）         （第二步） …… (1)上面过程中有一处错误： 错误的是第_____步，错误的原因是_________________________． (2)把正确的解题过程写下来． 8．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小萌同学的解题过程： 解方程 解：去分母（方程两边乘4），得  ① 去括号，得  ② 移项，得  ③ 合并同类项，得  ④ (1)以上求解步骤中，第①步的依据是______； (2)上述小萌的解题过程从第______步开始出现错误； (3)请帮小萌改正错误，写出完整的解题过程． 9．解方程： (1) ； (2)． 题型二、已知一元一次方程的解求参数 10．我们定义：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程_______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【知识应用】 （3）已知关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值． 11．定义：如果两个一元一次方程的解和为0，我们就称这两个方程互为“圆满方程”． 例如： 方程，解为，方程，解为，因为，所以方程和互为“圆满方程”． (1)下列方程互为“圆满方程”的是______（填序号）； ①；② ；③． (2)若关于x的方程与方程互为“圆满方程”，求m的值； (3)若无论m取何值时，关于x的方程 （a， b为常数）与方程互为“圆满方程”，求的值． 12．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为． (1)求a的值； (2)求原方程的解． 13．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (3)若该方程有负整数解，求整数的最大值． 题型三、一元一次方程解的关系 14．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“和谐方程”，如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若某“和谐方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． 15．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为． (1)请帮小林求a的值； (2)请帮小林求原方程的正确解． 16．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． (1)方程与方程___________“美好方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，且比大2，求和的值． 17．定义：如果两个一元一次方程的解之和为8，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和谐方程”，请说明理由； (2)若“和谐方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值． 18．把（其中是常数，是未知数）这样的方程称为“和合方程”，其中“和合方程”的解称为“和合方程”的“和合值”． 例如：“和合方程”，其“和合值”为． (1)是“和合方程”的“和合值”，求的值； (2)若关于的“和合方程”的“和合值”是关于的方程的解，求此时符合要求的正整数的值． 19．【定义】 若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m、n的值． 题型四、绝对值方程 20．我们规定：表示7与3的差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看成，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)若，则的值． (2)由以上探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 21．对于有理数，我们规定：： 例如． 【知识运用】 （1）若，则___________． 【知识迁移】 （2）若关于的方程有且只有三个不相等的解，求的值及相应方程的解． 【拓展提升】 （3）若，且，求的值． 22．对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________； (2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1．则的最大值为_______． 23．阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示、在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是；数轴上表示与的两点之间的距离是_____． (2)若，则_____． (3)满足的有理数有_____个． 24．对于有理数，，，我们规定：． 例如：． 【知识运用】（1）①计算：________． ②若，求的值． 【综合运用】（2）若，求的值． 【知识迁移】（3）若，则的值为________． 【知识拓展】（4）当有且只有三个不相等的解时，直接写出的值． 25．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，② ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $