精品解析：北京市通州区2025-2026学年高一上学期期末考试数学样题

通州区2025-2026学年度第一学期期末 高中一年级数学样题 2026年1月 本套样题共4页，共138分.建议时长110分钟.学生务必将答案答在答题卡上，在样题上作答无效.结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题 每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数，则的零点所在区间是　　 A. B. C. D. 5. 角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 9. 在通信网络中，信号从基站传输到手机的过程中，会因传输线（如光纤、电缆）的损耗导致功率衰减.其衰减程度大致符合，其中表示信号衰减量（单位：），常数表示传输线的输入功率（单位：），表示传输线的输出功率，某通信公司测试了两根传输线的衰减程度，已知两根传输线的输入功率相同，且传输线甲的衰减量比传输线乙大，则传输线甲的输出功率与传输线乙的输出功率的关系是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，，若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，，则下列判断正确的是（ ） A. 且， B. 且， C. 且， D. 且， 第二部分（非选择题 共98分） 二、填空题 每小题5分，共25分. 11. 已知函数，则该函数定义域为 _____. 12. 计算________. 13. 已知函数，且的最大值为，则的最小正周期为________；的最大值为________. 14. 已知函数，若没有零点，则实数的一个取值为________；若，，则的取值范围是________. 15 已知函数，有下列四个命题： ①任取，都有； ②若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则； ③函数有3个零点； ④的单调递增区间为. 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题共73分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，且. （1）求的解集； （2）若函数的两个零点为，，求的值. 17. 已知角，的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点. （1）求，的值； （2）求的值； （3）若角终边绕原点逆时针转过后与角的终边重合，求的值. 18. 已知函数，其中，.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，使得存在且唯一确定. （1）求和的值； （2）求在区间的最大值和最小值. 条件①：函数最小正周期为； 条件②：函数图象关于对称； 条件③：. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 19 已知函数. （1）求的值； （2）求的最小正周期和单调递增区间； （3）将函数图象上各点横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若锐角满足，求的值. 20. 已知函数，其中实数. （1）若，求的值； （2）判断并证明函数奇偶性； （3）若对任意的实数，函数在区间内总存在，使得成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2025-2026学年度第一学期期末 高中一年级数学样题 2026年1月 本套样题共4页，共138分.建议时长110分钟.学生务必将答案答在答题卡上，在样题上作答无效.结束后，请将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题 每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由， 又，则. 故选：D 2. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据终边相同角正弦值相等，将的正弦化成的正弦，，即可求出结果. 详解：由诱导公式可得，，，故选A. 点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题. 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数和函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】对于A ，，定义域为关于原点对称， 令，则， ， 是偶函数， 当时，， 底数， 在区间单调递增，故A正确； 对于B，，定义域为关于原点对称， 令，则， 是奇函数，故B错误； 对于C，，定义域关于原点对称， 令，则， ， 是偶函数， 在区间单调递增， 不满足在区间上单调递增，故C错误； 对于D，，定义域为，不关于原点对称， 是非奇非偶函数，故D错误. 故选：A 4. 若函数，则的零点所在区间是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的单调性与连续性，利用零点存在性定理判断即可． 【详解】解：函数，在时是连续增函数， 因为，， 所以，由零点存在性定理可知，函数的零点在，即存在使得． 故选：B． 5. 角顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边对应角的大小写出点的横坐标即可. 【详解】由题意，点的横坐标是. 故选：C 6. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、三角函数的性质，确定，，的取值范围，判断即可. 【详解】在上单调递增， ， ， 在单调递减， ， ， ， 在区间单调递增， ， ， . 故选：B 7. 函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出与关于轴对称的函数，再将所得函数的图象向左平移一个单位，即可求解. 【详解】设与关于轴对称的函数为，且为函数的图象上任一点， 则关于轴的对称点为，所以点在的图象上， 则，又的图象向左平移一个单位得到，所以， 故选：B. 8. 已知，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式及三角函数值的关系，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系即可. 【详解】若，，则，充分性成立， 若，则，可得或，，必要性不成立， 所以“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9. 在通信网络中，信号从基站传输到手机的过程中，会因传输线（如光纤、电缆）的损耗导致功率衰减.其衰减程度大致符合，其中表示信号衰减量（单位：），常数表示传输线的输入功率（单位：），表示传输线的输出功率，某通信公司测试了两根传输线的衰减程度，已知两根传输线的输入功率相同，且传输线甲的衰减量比传输线乙大，则传输线甲的输出功率与传输线乙的输出功率的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，结合对数的运算性质化简，即可得. 【详解】由题意，则. 故选：D 10. 设函数，，若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，，则下列判断正确的是（ ） A. 且， B. 且， C. 且， D. 且， 【答案】D 【解析】 【分析】将函数进行整理，先通过函数的单调性以及变化趋势判断的符号，再利用函数图象分析的符号，最后即可得到的符号. 【详解】依题意，由，整理得， 令，此时将条件转化为函数有且仅有两个不同的交点， 交点横坐标为，纵坐标满足， 若，的图象开口向下，在时，， ，如图所示， 因此此时有两个解满足，没有符合的选项，舍去； （左侧可能有一个交点，右侧无交点，不符合舍去）. 当时，的图象开口向上，关于轴对称的抛物线，且； 是向左或向右平移得到的单调递增的对数函数， 由得，则， 令，不妨设， 由得 得， 因为，且，， 所以. 又因为原函数的交点纵坐标，， 所以，由上已知，， 故， 故选： 第二部分（非选择题 共98分） 二、填空题 每小题5分，共25分. 11. 已知函数，则该函数的定义域为 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型函数的定义域运算求解. 【详解】解：由已知令，解得， 则函数的定义域为. 故答案为：. 12. 计算________. 【答案】 【解析】 【分析】应用指数幂和对数的运算性质化简求值. 【详解】由. 故答案为： 13. 已知函数，且的最大值为，则的最小正周期为________；的最大值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用辅助角公式和，即可求出的最小正周期，结合条件得，再由重要不等式，即可求解. 【详解】因为，其中， 所以最小正周期，又的最大值为，则， 所以，又，当且仅当时取等号，所以的最大值为， 故答案为：，. 14. 已知函数，若没有零点，则实数的一个取值为________；若，，则的取值范围是________. 【答案】 ①. 2（答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】由解析式得函数的定义域，由分式型函数的性质及已知有，再应用基本不等式求函数的值域，根据零点的个数求参数范围，由函数不等式恒成立等价于上恒成立，求右侧最大值即可得. 【详解】由的定义域为，显然时，存在零点， 当时，在上单调递增，且值域为，显然存在零点， 所以，则时，时， 要使没有零点，只需，即即可，如， 若，，则上恒成立， 所以上恒成立，而，即. 故答案为：2， 15. 已知函数，有下列四个命题： ①任取，都有； ②若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则； ③函数有3个零点； ④的单调递增区间为. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，结合的值域，可求出类周期函数的值域，进而可判断命题正误；对于②③，结合函数的图象，可判断命题正误；对于④，结合函数的图象，可求出类周期函数的单调递增区间； 【详解】对于①，因，当时，，所以; 当时，则， 所以，所以; 当时，则， 所以，所以; 当时，则， 所以，所以; 所以当时， ， 所以的值域为， 所以任取，都有，故①正确； 对于②，结合题意与①的结论，可画出的大致图象（如图）， 由图象知若关于的方程有且只有两个不同的实根，时，且,故②错误； 对于③，结合函数的图象（如图）， 可知与有5个交点，所以函数有5个零点，故③错误； 对于④，结合函数的图象，可知函数的单调递增区间为，故④正确. 故答案为：①④ 三、解答题共73分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，且. （1）求的解集； （2）若函数的两个零点为，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知列方程求得，再解一元二次不等式求解集； （2）由题意得，求出其零点，代入目标式求值即可. 【小问1详解】 由题设，可得，所以， 所以，故解集为； 【小问2详解】 由（1）得， 令，可得， 所以. 17. 已知角，的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点. （1）求，的值； （2）求的值； （3）若角终边绕原点逆时针转过后与角的终边重合，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求值即可. （2）结合，利用诱导公式化简并代入求值即可. （3）结合，利用两角和的正切公式求值即可. 【小问1详解】 由题意，角的终边过点. 所以根据任意角三角函数的定义可得； 【小问2详解】 由（1）得， 所以. 【小问3详解】 由题意，因为角的终边过点， 所以根据任意角三角函数的定义可得； 所以. 18. 已知函数，其中，.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，使得存在且唯一确定. （1）求和的值； （2）求在区间的最大值和最小值. 条件①：函数最小正周期为； 条件②：函数的图象关于对称； 条件③：. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1）选择见解析，， （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）选择①和②，根据条件，利用正弦函数的性质即可求解；选择①和③，根据条件，利用正弦函数的性质即可求解；选择②和③，根据条件得，且，不合题意； （2）由（1）得，再利用正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为，且， 选择条件①和②，因为函数最小正周期为，则，得到， 又函数的图象关于对称，则，得到， 又，取，得到，所以，. 选择条件①和③，因为函数最小正周期为，则，得到， 又，则，又，所以，故，. 选择条件②和③，因为，则，又，所以， 又函数的图象关于对称，则，得到， 又，由，知不唯一，所以不唯一确定，不合题意. 【小问2详解】 由（1）知，因为，则， 所以，故在区间上的最大值为，最小值为. 19. 已知函数. （1）求的值； （2）求的最小正周期和单调递增区间； （3）将函数图象上各点横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若锐角满足，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化简 为正弦型函数，再代入 计算； （2）根据化简后的正弦型函数，利用周期公式求最小正周期，再通过解不等式求单调递增区间； （3）按图像变换规则得到 ，利用已知条件求出 和 ，再用三角恒等变换求 . 【小问1详解】 . 代入 ，得： 【小问2详解】 最小正周期 ； 由 ，解得， 即单调递增区间为 . 【小问3详解】 将函数图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍得 ， 再向左平移 个单位得：， 由 ，得 ，即 . 因为 为锐角， 所以 ，， . 20. 已知函数，其中实数. （1）若，求的值； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）若对任意的实数，函数在区间内总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）奇函数，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知得，利用对数运算求参数值； （2）由奇偶性的定义判断的奇偶性； （3）将问题化为时的值域包含，利用二次函数的性质求函数的值域，列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由，则，且， 所以，满足； 【小问2详解】 为奇函数，证明如下： 由题设，即函数的定义域为，且， 由， 所以为奇函数，得证； 【小问3详解】 由题设， 由，则， 所以，则， 其中且，而，则， 所以时的值域包含， 令，且， 所以，只需， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $