第7章 相交线与平行线 （寒假衔接讲义）（5大知识点预习+11 大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期

第7章 相交线与平行线 知识点1：相交线 1.核心概念：对顶角（有公共顶点、两边互为反向延长线）、邻补角（有公共顶点和公共边、另一边互为反向延长线）、垂线（两直线相交成直角时互相垂直）。 2.关键性质：对顶角相等；邻补角互补（和为）；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短（点到直线的距离是垂线段的长度）。 知识点2：平行线的判定 1.定义判定：同一平面内，不相交的两条直线是平行线。 2.角的关系判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；平行于同一直线的两条直线平行。 知识点3：平行线的性质 1.基础性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 2.拓展性质：平行线间的距离处处相等；平行直线被第三条直线所截，形成的角的平分线仍平行（或垂直）。 知识点4：命题、定理与证明 1.命题：判断一件事情的语句，由题设和结论组成，可改写为“如果……那么……”形式；分为真命题（结论一定成立）和假命题（举反例即可否定）。 2.定理与证明：经过推理证实的真命题是定理；证明需按“已知—求证—证明”步骤，依据定义、公理、定理进行逻辑推理。 知识点5：平移 1.性质：平移不改变图形的形状和大小；对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等；对应点连线平行（或共线）且相等。 2.作图：确定平移方向和距离→找关键点→平移关键点→连接对应点。 【基础必考题型】 【题型1】对顶角与邻补角的角度计算 1.核心知识点 对顶角相等的性质。 邻补角互补的性质。 2.解题方法技巧 标记图形：找出对顶角和邻补角，用符号标注已知角和未知角。 建立等式：根据“对顶角相等”或“邻补角和为”列方程，求解未知角。 【例题1】.（25-26七年级上·山西·月考）如图，这是一把剪刀的示意图．当剪刀口增加时，的度数变化情况为（   ） A．不变 B．增加 C．减少 D．增加 【变式题1-1】.（25-26七年级上·湖南郴州·期末）如图，点O是直线上一点，，，则 度． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线和相交于点，，平分． (1)若，则______°． (2)若， ①求的度数； ②求的度数． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知与是邻补角，是的角平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)指出的余角． 【题型2】垂线相关计算与判断 1.核心知识点 垂线的定义（夹角为）。 垂线段最短的性质。 2.解题方法技巧 角度计算：利用垂直关系转化为直角，结合对顶角、邻补角推导未知角。 距离判断：区分“垂线段”与“点到直线的距离”，垂线段长度即为距离。 【例题2】.（25-26七年级上·北京延庆·期末）如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，于点，射线在内，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·期末）如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 【题型3】平行线判定与性质的基础应用 1.核心知识点 平行线的判定方法（同位角、内错角、同旁内角）。 平行线的性质（同位角、内错角、同旁内角的数量关系）。 2.解题方法技巧 判定平行：由角的关系→推平行，明确角的类型（同位角/内错角/同旁内角）。 性质应用：由平行→推角的关系，直接套用平行线性质求解角度。 【例题3】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）直线，的位置如图所示，已知，，． (1)直线与平行吗？请说明理由； (2)求的度数． 【变式题3-1】.（2025-2026学年八年级上学期期末检测数学试题）如图，点E，F，G分别在直线上，，．求证：． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，直线与直线，分别交于点，．若于点，，求的度数． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·全国·期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有 个人的说法是正确的． 【题型4】命题的识别与真假判断 1.核心知识点 命题的定义（判断一件事情的陈述句）。 真命题与假命题的判定方法。 2.解题方法技巧 识别命题：排除疑问句、祈使句、无判断语句，只保留陈述句。 真假判断：真命题结合定义定理验证，假命题举一个反例即可。 【例题4】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角互补 C．内错角相等 D．同旁内角相等 【变式题4-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）对于命题“若，则、都大于”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题中是真命题的是（   ） A．若，则， B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．不相交的两条直线是平行线 【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．若，则 B．任何一个角都比它的补角小 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 【题型5】平移的基础作图与性质应用 1.核心知识点 平移的性质（对应线段、对应角相等）。 平移作图的步骤。 2.解题方法技巧 作图关键：找准关键点，按指定方向和距离平移，规范连接对应点。 性质应用：利用“对应线段相等”“对应角相等”直接计算线段长度或角度。 【例题5】.（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，洪洪量得三边长分别为，，．将其向右侧平移后得到，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式题5-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（   ） A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 【变式题5-2】.（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，将周长为的三角形沿方向向右平移，得到三角形．求四边形的周长． 【培优高频题型】 【题型6】命题改写与证明依据填写 1.核心知识点 命题的组成（题设、结论）。 证明的逻辑依据（定义、公理、定理）。 2.解题方法技巧 改写命题：找准题设和结论，补充“如果……那么……”连接词，不改变原意。 填写依据：结合推理步骤，匹配对应的定义（如垂线定义）、公理（如平行公理）或定理（如平行线性质）。 【例题6】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）命题：“如果，那么的结论是 ． 【变式题6-1】.（2025八年级上·山东青岛·专题练习）命题“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”改写成如果 ，那么 ． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·湖南·月考）小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月 号．（填日期） 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 【题型7】平行线间多折点的角度计算 1.核心知识点 平行线的性质（同位角、内错角、同旁内角）。 辅助线添加技巧（过拐点作平行线）。 2.解题方法技巧 添加辅助线：过每个拐点作已知平行线的平行线，将多折角转化为多个同位角/内错角。 角度转化：利用平行线性质，将分散的角集中，建立角度和差关系。 【例题7】.（25-26八年级上·山东青岛·周测）如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（22-23七年级下·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【题型8】平移与几何图形的综合计算（周长、面积） 1.核心知识点 平移的性质（图形面积、周长不变）。 三角形、四边形周长与面积的计算。 2.解题方法技巧 周长计算：平移后图形周长可通过原图形周长加减平移产生的线段长度。 面积计算：平移不规则部分，拼成规则图形（如长方形），简化计算。 【例题8】.（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图，在长方形长，宽地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为3米时耕地面积为 平方米． 【变式题8-1】.（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 【变式题8-2】.（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【变式题8-3】.（24-25七年级下·河南安阳·月考）光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 【压轴素养题型】 【题型9】平行线与角平分线的综合探究 1.核心知识点 平行线的性质与判定。 角平分线的定义（平分后两角相等）。 2.解题方法技巧 标记等角：用相同符号标注角平分线产生的等角，结合平行线性质转化角。 推导关系：建立“平行线→角关系→角平分线→新角关系”的逻辑链，探究未知角与已知角的数量关系。 【例题9】.（24-25七年级下·四川泸州·月考）请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分平分，且求证：． 证明：平分，平分，（已知）， ， ______（___________）． （___________）． 即． （已知）， ___________（___________）． （___________）． 【变式题9-1】.（24-25六年级下·山东烟台·期中）直线和被直线所截，如图1，平分，平分．当时，小明证明的过程如下： 平分，平分．（已知）， ，（①）． ，（已知）， （②）． （③） 请你参考上述证明过程解决下列问题： (1)请写出理由：①______；②______；③______， (2)如图2，平分，平分，与满足什么条件时，？说明理由； (3)如图3，若，平分，平分，则与存在何种数量关系？说明理由． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知分别在上，点G在之间，连接． (1)当平分平分时， ①如图1，若，则的度数为_______（直接写出结果）； ②如图2，在的下方有一点平分平分，求的值； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，且满足时，求的值． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【题型10】跨学科融合：光的反射与建筑中的平行问题 1.核心知识点 平行线的判定与性质。 跨学科常识（光的反射定律：反射角=入射角）。 2.解题方法技巧 提取几何模型：从光的反射、建筑结构中分离“三线八角”模型，确定截线和被截直线。 角度转化：利用跨学科常识（如反射角=入射角）得到等角，再用平行线判定或性质求解。 【例题10】.（24-25七年级上·山西临汾·期末）在科学实验课上，小明做了两个富有趣味的实验，结果发现：1．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，而且当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过反复实验，小明还发现凸透镜具有这样一种特性，那就是它能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明精心设计了以下两个问题． (1)如图1，这是一块玻璃的两面，且．现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成为射线上的一点．已知，求的度数． (2)如图2，箭头所画的是光线的方向，是凸透镜的焦点，．若，，求的度数． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·江西宜春·期末）综合与实践： 【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究． 【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线会交于主光轴上一点． 【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究： 探究一：（1）在图①中，，和三个角之间存在着怎样的数量关系，并说明理由． 探究二：（2）在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 探究三：（3）在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，，，求的度数． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】 （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角 °． （2）如图3，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由． 【尝试探究】 （3）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请求出的度数． 【变式题10-3】.（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线 m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m进入潜望镜，最后沿直线n射出，求证：． (2)显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行， 且 则 (3)请你猜想：图3中， 当两平面镜 、的夹角 时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行，请说明理由． 【题型11】分类讨论：平行线中的角度关系探究 1.核心知识点 平行线的性质与判定。 分类讨论思想（图形位置不同导致角度关系不同）。 2.解题方法技巧 确定分类标准：按“点在平行线之间/外侧”“射线方向”等分类，避免漏解。 分别推导：每类情况画出图形，结合平行线性质推导角度关系，总结共性结论。 【例题11】.（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，，A、B分别为直线上两点，且，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒． (1)射线顺时针旋转_______秒，射线第一次成为的角平分线； (2)若射线、射线同时旋转秒，此时射线、射线有怎样的位置关系？请说明理由． (3)若射线绕点A顺时针先转动15秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动_______秒时，射线、射线互相平行． 【变式题11-1】.（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图，，A、B分别为直线、上两点，且，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且a、b满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点A顺时针先转动15秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【变式题11-2】.（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； (2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 【变式题11-3】.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，直线，连接 ，直线、 及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接 ， ，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） (1)如图1，当动点落在第①部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立）； (2)如图2，当动点落在第②部分时，探究 之间的关系并说明理由； (3)当动点落在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点的具体位置和相对应的结论． 易错点 1.混淆平行线的判定与性质：误将“两直线平行→同位角相等”（性质）用于“同位角相等→两直线平行”（判定），或反之。 2.“三线八角”识别错误：在复杂图形中找不到截线和被截直线，误判同位角、内错角、同旁内角的类型。 3.忽略“同一平面内”的前提：应用“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“平行于同一直线的两直线平行”时，忘记“同一平面内”的限制条件。 4.平移作图漏关键点：未找全图形的顶点、交点等关键点，导致平移后图形形状改变。 重点 1.对顶角与邻补角的性质应用：熟练利用“对顶角相等”“邻补角互补”进行角度计算。 2.平行线的判定与性质综合：能灵活切换“角的关系→平行”和“平行→角的关系”，解决综合推理题。 3.垂线与垂线段的应用：掌握“垂线段最短”的实际意义，能计算点到直线的距离。 4.平移的性质与作图：会按要求平移图形，利用平移性质解决周长、面积问题。 难点 1.平行线间多折点的角度计算：需准确添加辅助线（过拐点作平行线），将分散的角转化为可利用的同位角、内错角。 2.平行线与角平分线、垂线的综合推理：需构建多步逻辑链，结合多个知识点推导结论。 3.分类讨论思想的应用：在无图形题目中，需全面考虑点、线的位置关系，避免漏解。 4.平移与实际问题的结合：能将生活中的不规则场景转化为几何图形，通过平移优化求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，直线，相交于点．如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中是真命题的是（    ） A．9的平方根3 B．无限小数是无理数 C．同位角相等，两直线平行 D．若，则 3．如图，，直线与直线分别交于点E，F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处．此时若要把方向调整到与出发时一致，则调整的方向应是（    ） A．北偏东方向 B．北偏西方向 C．北偏东方向 D．北偏西方向 5．如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，直线，点在直线上，且，，则的度数是 ． 7．若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 ． 8．如图，已知，，相交于点，，则的度数是 ． 9．一副三角板按如图所示放置，，则的度数为 ． 10．如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定的是 （填序号）． 三、解答题 11．如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 12．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图①的方格纸中过点作直线，使； (2)在图②的方格纸中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，作． 本题考查作图应用与设计，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．（1）取格点，作直线即可． （2）取格点，作射线即可． 13．如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 14．按要求解答： (1)如下图，，与的位置关系是什么？请说明理由； (2)一个角的余角比这个角的补角的一半少，求这个角的度数． 15．如下图，射线平分，点在射线上，且交于点，是射线上的一个动点． (1)当平分时，若，求的度数； (2)当时，试探究和之间的数量关系． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 相交线与平行线 知识点1：相交线 1.核心概念：对顶角（有公共顶点、两边互为反向延长线）、邻补角（有公共顶点和公共边、另一边互为反向延长线）、垂线（两直线相交成直角时互相垂直）。 2.关键性质：对顶角相等；邻补角互补（和为）；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短（点到直线的距离是垂线段的长度）。 知识点2：平行线的判定 1.定义判定：同一平面内，不相交的两条直线是平行线。 2.角的关系判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；平行于同一直线的两条直线平行。 知识点3：平行线的性质 1.基础性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 2.拓展性质：平行线间的距离处处相等；平行直线被第三条直线所截，形成的角的平分线仍平行（或垂直）。 知识点4：命题、定理与证明 1.命题：判断一件事情的语句，由题设和结论组成，可改写为“如果……那么……”形式；分为真命题（结论一定成立）和假命题（举反例即可否定）。 2.定理与证明：经过推理证实的真命题是定理；证明需按“已知—求证—证明”步骤，依据定义、公理、定理进行逻辑推理。 知识点5：平移 1.性质：平移不改变图形的形状和大小；对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等；对应点连线平行（或共线）且相等。 2.作图：确定平移方向和距离→找关键点→平移关键点→连接对应点。 【基础必考题型】 【题型1】对顶角与邻补角的角度计算 1.核心知识点 对顶角相等的性质。 邻补角互补的性质。 2.解题方法技巧 标记图形：找出对顶角和邻补角，用符号标注已知角和未知角。 建立等式：根据“对顶角相等”或“邻补角和为”列方程，求解未知角。 【例题1】.（25-26七年级上·山西·月考）如图，这是一把剪刀的示意图．当剪刀口增加时，的度数变化情况为（   ） A．不变 B．增加 C．减少 D．增加 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等即可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ∴当剪刀口增加时，的度数也增加． 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·湖南郴州·期末）如图，点O是直线上一点，，，则 度． 【答案】110 【分析】该题考查了余角和补角的计算，根据，求出，再根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：110． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线和相交于点，，平分． (1)若，则______°． (2)若， ①求的度数； ②求的度数． 【答案】(1) (2)①； 【分析】本题考查了角的和差计算、对顶角的性质以及角平分线的定义，利用对顶角的性质及角平分线的性质进行角的转化是解题的关键． （1）先由得出，再用角的和差关系即可求出； （2）①先算出的度数，再利用对顶角相等的性质，得到即可；②由平分，得出，再用角的和差关系即可求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴； ②∵平分， ∴， ∴． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知与是邻补角，是的角平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)指出的余角． 【答案】(1) (2)的余角为和 【分析】本题考查了邻补角的定义，余角的定义，角平分线有关的计算． （1）由题意得到，再根据角平分线的定义得到，由即可求解； （2）由（1）知，则，再根据角平分线的定义可得，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵与是邻补角， ∴， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴的余角为和． 【题型2】垂线相关计算与判断 1.核心知识点 垂线的定义（夹角为）。 垂线段最短的性质。 2.解题方法技巧 角度计算：利用垂直关系转化为直角，结合对顶角、邻补角推导未知角。 距离判断：区分“垂线段”与“点到直线的距离”，垂线段长度即为距离。 【例题2】.（25-26七年级上·北京延庆·期末）如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角、垂直的定义、几何图形中角度计算等知识，首先根据“对顶角相等”可知，再由垂直的定义可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，于点，射线在内，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直定义，同角的余角相等，角平分线定义，根据垂直定义，同角的余角相等，角平分线定义逐一排除即可，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：、题中没有说明是平分线，故与不一定相等，该选项错误，不符合题意； 、题中没有说明是平分线，故与不一定相等，该选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·期末）如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 【答案】(1)MO (2)>  垂线段最短 (3) 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的定义，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）、（2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：由垂线段最短可知，线段的长度表示点到的距离； 故答案为：． （2）解：故答案为： ；垂线段最短． （3）解：，平分， ， ． 【题型3】平行线判定与性质的基础应用 1.核心知识点 平行线的判定方法（同位角、内错角、同旁内角）。 平行线的性质（同位角、内错角、同旁内角的数量关系）。 2.解题方法技巧 判定平行：由角的关系→推平行，明确角的类型（同位角/内错角/同旁内角）。 性质应用：由平行→推角的关系，直接套用平行线性质求解角度。 【例题3】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）直线，的位置如图所示，已知，，． (1)直线与平行吗？请说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)直线，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行即可得到结论； （2）根据平行线的性质得到的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】（1）解：直线，理由如下： ∵，， ∴， ∴直线； （2）解：如图所示，∵直线， ∴， ∵， ∴． 【变式题3-1】.（2025-2026学年八年级上学期期末检测数学试题）如图，点E，F，G分别在直线上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先根据，故，得，又因为，进行等量代换得，然后根据同旁内角互补，两直线平行，即可作答． 【详解】证明：， ． ． ， ． ． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，直线与直线，分别交于点，．若于点，，求的度数． 【答案】 【分析】首先利用垂直的定义确定直角，再结合角度的比例关系设未知数，通过角度和为建立方程，进而求解的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵设， 代入上式： ． ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直的定义及比例设元法，解题关键是通过垂直关系得到直角，再结合平行线性质建立角度间的数量关系，利用比例设未知数求解． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·全国·期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有 个人的说法是正确的． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；因此此题根据平行线的性质与判定进行求解即可． 【详解】解：小方：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小方的说法正确，小明的说法错误； 小辉：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小辉的说法正确； 小杰：连接，如图所示： 由已知条件并不能得出关于的判定条件，故小杰的说法错误； 综上所述：正确的说法有2个； 故答案为2． 【题型4】命题的识别与真假判断 1.核心知识点 命题的定义（判断一件事情的陈述句）。 真命题与假命题的判定方法。 2.解题方法技巧 识别命题：排除疑问句、祈使句、无判断语句，只保留陈述句。 真假判断：真命题结合定义定理验证，假命题举一个反例即可。 【例题4】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角互补 C．内错角相等 D．同旁内角相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题的真假性．平行线的性质，对顶角，内错角，同旁内角等内容．几何性质判断各命题的真假：对顶角相等是真命题；两直线平行时同位角相等而非互补；内错角相等需两直线平行；同旁内角互补而非相等，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、对顶角相等，故该选项是真命题； B、两直线平行时同位角相等，但并非互补，故该选项不是真命题； C、内错角只有在两直线平行时才相等，故该选项不是真命题； D、同旁内角在两直线平行时互补，而非相等，故该选项不是真命题； 故选：A 【变式题4-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）对于命题“若，则、都大于”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了假命题的反例证明，熟练掌握方法是解题的关键． 反例需满足且至少有一个角不大于． 【详解】解：A、，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； B、，且、都大于，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； C、，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； D、，且，可以说明它是假命题，故选项符合题意． 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题中是真命题的是（   ） A．若，则， B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据不等式的性质、等式的性质、平行线的性质、平面内两直线的位置关系逐项分析即可得解． 【详解】解：A、取，则但，该选项说法错误，是假命题，不符合题意； B、若，则两边平方得，该选项说法正确，是真命题，符合题意； C、只有当两条直线平行时，内错角才相等，该选项说法错误，是假命题，不符合题意； D、不相交的两条直线可能不在同一平面（如异面直线），不一定是平行线，该选项说法错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．若，则 B．任何一个角都比它的补角小 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据一元一次方程的解法、余角和补角的概念、角的和差、平行线的判定判断即可． 【详解】解：A选项：若，则，选项是假命题； B选项：，则的角等于它的补角，选项是假命题； C选项：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，选项是真命题； D选项：如：，则一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，选项是假命题． 故选：C． 【题型5】平移的基础作图与性质应用 1.核心知识点 平移的性质（对应线段、对应角相等）。 平移作图的步骤。 2.解题方法技巧 作图关键：找准关键点，按指定方向和距离平移，规范连接对应点。 性质应用：利用“对应线段相等”“对应角相等”直接计算线段长度或角度。 【例题5】.（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，洪洪量得三边长分别为，，．将其向右侧平移后得到，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移前后两个图形的对应线段相等即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 故选：C． 【变式题5-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（   ） A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移由平移方向和平移距离决定，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，掌握图形的平移是解题的关键． 利用平移变换的性质判断即可． 【详解】解：观察图象可知由图形①变成图形②，把图先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到． 故选：B． 【变式题5-2】.（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 【答案】(1)见解析 (2)平行；相等 【分析】本题考查了平移作图和平移的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）首先根据点和点的位置，得出点到移动的方向和距离，然后点和点作相应的移动得到点与点，顺次连接就可得到； （2）根据平移的性质对应点的连线平行且相等，直接得出，且． 【详解】（1）解：由点的对应点为点可知：将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点；根据点的平移方向和距离，同样平移点和点，得出点与点，顺次连接、、，就可得到． 如图所示： （2）解：根据平移性质可知：，且， 故答案为：平行；相等． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，将周长为的三角形沿方向向右平移，得到三角形．求四边形的周长． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，由平移可得，，结合周长为，即可求解． 【详解】解： 周长为， ， 由平移得，， ， 即四边形的周长为． 【培优高频题型】 【题型6】命题改写与证明依据填写 1.核心知识点 命题的组成（题设、结论）。 证明的逻辑依据（定义、公理、定理）。 2.解题方法技巧 改写命题：找准题设和结论，补充“如果……那么……”连接词，不改变原意。 填写依据：结合推理步骤，匹配对应的定义（如垂线定义）、公理（如平行公理）或定理（如平行线性质）。 【例题6】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）命题：“如果，那么的结论是 ． 【答案】 【分析】本题考查命题的组成，根据如果后面是条件，那么后面是结论，作答即可. 【详解】解：命题：“如果，那么的结论是； 故答案为：. 【变式题6-1】.（2025八年级上·山东青岛·专题练习）命题“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”改写成如果 ，那么 ． 【答案】 两个三角形的两个角及其夹边分别相等 这两个三角形全等 【分析】本题考查了学生写出命题的题设与结论的能力．改写成“如果……，那么……”的形式即可． 【详解】解：原命题的条件是“两角及其夹边分别相等”，结论是“两个三角形全等”， 因此改写为“如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形的两个角及其夹边分别相等，这两个三角形全等． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·湖南·月考）小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月 号．（填日期） 【答案】16 【分析】本题考查推理与论证和有理数加法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据6月有30天，再由小明条件可知，若有5个星期二，则第一个星期二必须在1日或2日；分别计算两种情况下星期二日期之和，判断是否满足小李条件（和不为75），从而确定第一个星期二为2日，进而找到第三个星期二日期即可． 【详解】解：6月有30天，若有5个星期二，则第一个星期二可能为1日或2日， 若1日为星期二，则星期二日期为1、8、15、22、29， 和为，与小李条件矛盾； 若2日为星期二，则星期二日期为2、9、16、23、30， 和为，符合小李条件． ∴第一个星期二为2日，第三个星期二为16日． 故答案为：16． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 【答案】(1)假命题，反例：， (2)假命题，反例：， 【分析】本题考查了判断命题真假，反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）若，根据乘法的性质，只需其中一个因数为0即可，并非要求两个因数同时为0． （2）绝对值表示的是数到原点的距离，因此仅说明和到原点的距离相等，但和可能是互为相反数的关系． 【详解】（1）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但此时． （2）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但． 【题型7】平行线间多折点的角度计算 1.核心知识点 平行线的性质（同位角、内错角、同旁内角）。 辅助线添加技巧（过拐点作平行线）。 2.解题方法技巧 添加辅助线：过每个拐点作已知平行线的平行线，将多折角转化为多个同位角/内错角。 角度转化：利用平行线性质，将分散的角集中，建立角度和差关系。 【例题7】.（25-26八年级上·山东青岛·周测）如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了应用平行线的性质求角度，先根据“两直线平行，内错角相等”求出，进而求出，然后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 【变式题7-1】.（22-23七年级下·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，则可得，再设，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）延长交于点，先根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质即可得证； （3）过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，，，再根据角平分线的定义、等量代换可得，然后根据可得，最后根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 设， ∵比的2倍少， ∴，即， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 【答案】142 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 过点B作，过点C作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点E作，则，因此． 【详解】解：过点B作，过点C作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：142． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，可得，即得，，根据求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作． ， ， ，． ， ， ， 与所成锐角的度数为． 【题型8】平移与几何图形的综合计算（周长、面积） 1.核心知识点 平移的性质（图形面积、周长不变）。 三角形、四边形周长与面积的计算。 2.解题方法技巧 周长计算：平移后图形周长可通过原图形周长加减平移产生的线段长度。 面积计算：平移不规则部分，拼成规则图形（如长方形），简化计算。 【例题8】.（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图，在长方形长，宽地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为3米时耕地面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，利用平移的性质将耕地部分组成一个矩形是解题的关键． 利用平移思想，得到耕地面积为长为，宽为的长方形的面积，进行求解即可． 【详解】解：由题意得，道路宽为3米时耕地面积为：； 故答案为： 【变式题8-1】.（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 【答案】(1)平方米 (2)条 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，平移的性质，正确计算是解题的关键． （1）观景桥经过平移，根据“长方形面积=长×宽”，桥的面积是用长方形湖泊的面积减去长是米，宽是米的长方形面积，即可解答； （2）用湖泊的面积乘每平方米投放金鱼的条数即可； 【详解】（1）解： （平方米）， ∴这座桥的面积是平方米； （2）（条）， ∴管理员准备投放条金鱼． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 【变式题8-3】.（24-25七年级下·河南安阳·月考）光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 【答案】(1)方案任选一种，小路的预算费用约为6000元，理由见解析 (2)小颖的思考正确．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了长方形的性质，平行线的判定及性质的实际应用． （1）由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为，所以小路的面积是固定的，所以三种方案的费用是一样的，根据预算费用面积每平米的费用计算即可； （2）过点C作，根据两直线平行，内错角相等得，进而得，再得，再由内错角相等得两直线平行即可； （3）过点C作，过点D作，过点E作，根据平行线的判定及性质可得结论． 【详解】（1）解：三种方案的预算费用都是6000元，故任选一种即可，理由如下： 由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为， ∴小路的面积为：， ∴小路的预算费用为：（元）， 即三种方案，小路的预算费用都约为6000元； （2）解：小颖的思考正确，理由如下： 如图，过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点C作，过点D作，过点E作， ∴，，， ∵草地为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【压轴素养题型】 【题型9】平行线与角平分线的综合探究 1.核心知识点 平行线的性质与判定。 角平分线的定义（平分后两角相等）。 2.解题方法技巧 标记等角：用相同符号标注角平分线产生的等角，结合平行线性质转化角。 推导关系：建立“平行线→角关系→角平分线→新角关系”的逻辑链，探究未知角与已知角的数量关系。 【例题9】.（24-25七年级下·四川泸州·月考）请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分平分，且求证：． 证明：平分，平分，（已知）， ， ______（___________）． （___________）． 即． （已知）， ___________（___________）． （___________）． 【答案】；角平分线的定义；；等式的性质；； 等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，根据角平分线定义得出，，证明，根据平行线的判定得出结论即可． 【详解】证明：平分，平分，（已知）， ，（角平分线的定义）． （等式性质）． 即． （已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；角平分线的定义；；等式的性质；； 等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【变式题9-1】.（24-25六年级下·山东烟台·期中）直线和被直线所截，如图1，平分，平分．当时，小明证明的过程如下： 平分，平分．（已知）， ，（①）． ，（已知）， （②）． （③） 请你参考上述证明过程解决下列问题： (1)请写出理由：①______；②______；③______， (2)如图2，平分，平分，与满足什么条件时，？说明理由； (3)如图3，若，平分，平分，则与存在何种数量关系？说明理由． 【答案】(1)①角平分线的定义 ②等量代换 ③同位角相等，两直线平行 (2)；理由见解析 (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是掌握对平行线的判定条件与性质． （1）结合角平分线定义，根据平行线的判定定理求解即可； （2）结合角平分线定义，根据平行线的判定定理求解即可； （3）结合角平分线定义，根据平行线的判定定理求解即可. 【详解】（1）证明：∵平分， 平分(已知)。 ∴， (角平分线定义)， ∵(已知)， ∴(等量代换)， ∴(同位角相等，两直线平行)； 故答案为：角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行 （2）解：当时，， 理由如下： ∵平分， 平分， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：与互余， 理由如下： ∵， ， ， ∵平分，平分， ， ， 即， 故与 互余． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知分别在上，点G在之间，连接． (1)当平分平分时， ①如图1，若，则的度数为_______（直接写出结果）； ②如图2，在的下方有一点平分平分，求的值； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，且满足时，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∵平分平分； ， ∴． 故答案为：． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 【题型10】跨学科融合：光的反射与建筑中的平行问题 1.核心知识点 平行线的判定与性质。 跨学科常识（光的反射定律：反射角=入射角）。 2.解题方法技巧 提取几何模型：从光的反射、建筑结构中分离“三线八角”模型，确定截线和被截直线。 角度转化：利用跨学科常识（如反射角=入射角）得到等角，再用平行线判定或性质求解。 【例题10】.（24-25七年级上·山西临汾·期末）在科学实验课上，小明做了两个富有趣味的实验，结果发现：1．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，而且当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过反复实验，小明还发现凸透镜具有这样一种特性，那就是它能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明精心设计了以下两个问题． (1)如图1，这是一块玻璃的两面，且．现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成为射线上的一点．已知，求的度数． (2)如图2，箭头所画的是光线的方向，是凸透镜的焦点，．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟记平行线的性质，利用角的关系求解； （1）先根据平行线的性质求出，再根据邻补角的性质求解即可； （2）根据平行线的性质求出，，再根据角的和差求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·江西宜春·期末）综合与实践： 【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究． 【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线会交于主光轴上一点． 【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究： 探究一：（1）在图①中，，和三个角之间存在着怎样的数量关系，并说明理由． 探究二：（2）在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 探究三：（3）在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）过点作，首先得到，设，可得，由于，可证，然后可求的度数； （3）过点作，设，则，可得，设，得到，则，然后，由于平行的可得，最后求得，代入求解即可． 【详解】（1），   理由如下：过点作，如图①， ， ，， ， ．   （2）过点作，如图②所示： 平分，， ， 平分， 设， 由（1）得：， ， 即， ，， ， ，， ， ；    （3）过点作，如图③所示： ， 设，则， ， 由对顶角相等得：， 设， ， ， ， 由（1）得：， ， 即， ，， ， ，， ， ， ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】 （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角 °． （2）如图3，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由． 【尝试探究】 （3）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请求出的度数． 【答案】（1）80；（2），理由见解析；（3）或. 【分析】本题考查的是平行线的性质的应用，平行公理的应用，角的和差运算； （1）因为两面镜子平行，所以入射角等于反射角，且同位角相等．已知入射光线与平面镜的夹角，则反射角也为，那么反射光线与平面镜的夹角为，同理另一面镜子的反射光线与平面镜夹角也为，进一步可得答案． （2）设，．证明，可得，即，再进一步可得答案． （3）如图，当在的下方时，过作，如图，当在的上方时，过作，再进一步的利用平行线的性质与角的和差运算可得答案. 【详解】（1）解：由入射角反射角可得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：． 理由：设，． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，． （3）解：如图，当在的下方时，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 如图，当在的上方时，过作， 同理可得：，， ∴， 综上：或. 【变式题10-3】.（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线 m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m进入潜望镜，最后沿直线n射出，求证：． (2)显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行， 且 则 (3)请你猜想：图3中， 当两平面镜 、的夹角 时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，关键是对性质定理和判定定理的熟练掌握和灵活运用． （1）先由得出，再根据已知得出，从而得出； （2）先由，求出，再根据，得出； （3）根据平行线的性质得出，根据平角定义求出，由，，得出，根据三角形内角和定理得出结论． 【详解】（1）证明：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， ，（已知）， （等量代换）， ， 即：， ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）解：， ， ， ， ， 故答案为：96； （3）解： 理由：∵， ， ， ，， ， ． 【题型11】分类讨论：平行线中的角度关系探究 1.核心知识点 平行线的性质与判定。 分类讨论思想（图形位置不同导致角度关系不同）。 2.解题方法技巧 确定分类标准：按“点在平行线之间/外侧”“射线方向”等分类，避免漏解。 分别推导：每类情况画出图形，结合平行线性质推导角度关系，总结共性结论。 【例题11】.（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，，A、B分别为直线上两点，且，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒． (1)射线顺时针旋转_______秒，射线第一次成为的角平分线； (2)若射线、射线同时旋转秒，此时射线、射线有怎样的位置关系？请说明理由． (3)若射线绕点A顺时针先转动15秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动_______秒时，射线、射线互相平行． 【答案】(1)25 (2)垂直，理由见解析 (3)或18 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，得到当旋转150度时，射线第一次成为的角平分线，用旋转度数除以旋转速度，进行求解即可； （2）求出时，的度数，进行判断即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当射线第一次成为的角平分线时，则：旋转的度数为， ∴； 故答案为：25． （2）如图，射线AM、射线BQ同时旋转秒，分别到达、的位置，令、相交于C， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线、射线同时旋转秒，此时； （3）如图，射线绕点A顺时针先转动15秒后，转动至的位置，， 设射线再转动秒时，射线、射线互相平行， 当时，，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， ， 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，射线再转动或18秒时，射线、射线互相平行， 故答案为：或18． 【变式题11-1】.（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图，，A、B分别为直线、上两点，且，若射线绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且a、b满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点A顺时针先转动15秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)， (2)至少旋转秒 (3)再转动秒或秒， 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，平行线的判定及性质，一元一次方程的应用；能熟练利用平行线的判定及性质进行求解是解题的关键． （1）由算术平方根和平方的非负性得，，即可求解； （2）设经过秒后，当射线与射线第一次交于，且，过作，由平行线的性质得，，结合，即可求解； （3）设再转动秒，射线、射线互相平行，分类讨论：①当时，②当时，即可求解； 【详解】（1）解： ， ，， 解得：，， 故答案为：，； （2）解：由（1）得射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒， 如图，设经过秒后，当射线与射线第一次交于，且，过作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：至少旋转秒时，射线、射线互相垂直； （3）解：射线绕点A顺时针先转动15秒， ， ， ， ， （秒）， （秒）， （秒）， 设再转动秒，射线、射线互相平行， 当时，射线与射线在的左侧相交， ①当时， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述：再转动秒或秒，射线、射线互相平行． 【变式题11-2】.（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； (2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 【答案】(1)成立，证明见解析 (2)不成立，新的结论为，证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用； （1）成立，理由如下：过点P作，利用两直线平行内错角相等得到 ，根据，得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； （2）不成立，新的结论为，理由为：过P作，同理得到 ，根据 ，等量代换即可得证； 【详解】（1）解：成立，理由如下： 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：不成立，新的结论为，理由为： 过P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式题11-3】.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，直线，连接 ，直线、 及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接 ， ，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） (1)如图1，当动点落在第①部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立）； (2)如图2，当动点落在第②部分时，探究 之间的关系并说明理由； (3)当动点落在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点的具体位置和相对应的结论． 【答案】(1)成立 (2)，见解析 (3)当动点在射线 的右侧时，结论是：；当动点在射线上，结论是：，或或；当动点在射线的左侧时，结论是． 【分析】（1）如图；延长交直线于点，则，由，可得； （2）如图；过作，则，，然后作答即可； （3）由题意知，（a）当动点在射线 的右侧时；（b）当动点在射线上；（c）当动点在射线的左侧时，3种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：成立；如图；延长交直线于点． （2）结论是， 如图，过作 （3）由题意知，分3种情况求解； （a）如图，当动点在射线 的右侧时，结论是：． 证明：如图，连接，连接 交 于， 又 （b）如图，当动点在射线上，结论是：，或或（任写一个即可） 证明：如图，点在射线上， 或或 （c）如图，当动点在射线的左侧时，结论是． 证明：如图，连接，连接交于， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质．熟练掌握平行线的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 易错点 1.混淆平行线的判定与性质：误将“两直线平行→同位角相等”（性质）用于“同位角相等→两直线平行”（判定），或反之。 2.“三线八角”识别错误：在复杂图形中找不到截线和被截直线，误判同位角、内错角、同旁内角的类型。 3.忽略“同一平面内”的前提：应用“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“平行于同一直线的两直线平行”时，忘记“同一平面内”的限制条件。 4.平移作图漏关键点：未找全图形的顶点、交点等关键点，导致平移后图形形状改变。 重点 1.对顶角与邻补角的性质应用：熟练利用“对顶角相等”“邻补角互补”进行角度计算。 2.平行线的判定与性质综合：能灵活切换“角的关系→平行”和“平行→角的关系”，解决综合推理题。 3.垂线与垂线段的应用：掌握“垂线段最短”的实际意义，能计算点到直线的距离。 4.平移的性质与作图：会按要求平移图形，利用平移性质解决周长、面积问题。 难点 1.平行线间多折点的角度计算：需准确添加辅助线（过拐点作平行线），将分散的角转化为可利用的同位角、内错角。 2.平行线与角平分线、垂线的综合推理：需构建多步逻辑链，结合多个知识点推导结论。 3.分类讨论思想的应用：在无图形题目中，需全面考虑点、线的位置关系，避免漏解。 4.平移与实际问题的结合：能将生活中的不规则场景转化为几何图形，通过平移优化求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，直线，相交于点．如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键． 根据，结合邻补角的定义可求出，再根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：，且， ， 解得：， ， 故选：A． 2．下列命题中是真命题的是（    ） A．9的平方根3 B．无限小数是无理数 C．同位角相等，两直线平行 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义、无理数的概念、平行线的判定定理以及不等式的性质，解题的关键是准确掌握各知识点的定义与适用条件． 判断命题真假需紧扣定义与定理；对选项A，依据平方根的定义分析；对选项B，根据无理数的概念判断；对选项C，按照平行线的判定定理验证；对选项D，通过举反例验证不等式变形的正误． 【详解】解：A、的平方根是，并非只有，此选项不符合题意； B、无限不循环小数才是无理数，无限循环小数是有理数，此选项不符合题意； C、同位角相等，两直线平行，这是平行线的判定定理，此选项符合题意； D、若，，满足，但，，此时，此选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，，直线与直线分别交于点E，F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，先得出，结合平行线的性质，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处．此时若要把方向调整到与出发时一致，则调整的方向应是（    ） A．北偏东方向 B．北偏西方向 C．北偏东方向 D．北偏西方向 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，根据题目的已知画出图形分析是解题的关键． 过点作，延长，利用平行线的性质先求出，从而求出，再利用平行线的性质求出，最后求出，即可解答． 【详解】解：过点作，延长，如图： 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴方向的调整应是北偏东方向， 故选：A． 5．如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作平行线，利用平行线的性质将角进行转化，结合角平分线的定义，推导出与的数量关系． 【详解】解:如图，过点作，过点作． ∵ ， ∴， ∴，． ∵ ，分别平分，， ∴，，， ∴． ∵ ， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题关键是通过作平行线将角进行转化，结合角平分线的定义建立角之间的数量关系． 二、填空题 6．如图，直线，点在直线上，且，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与垂直的定义，掌握垂直的夹角为、邻补角的和为是解题的关键． 先根据垂直的定义得到直角，结合的度数、可求出的度数，再利用邻补角的关系求出的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∴， ∵与是邻补角， ∴． 故答案为：． 7．若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是平行线的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能相等也可能互补，即可得出答案． 【详解】解：当的两边与的两边如图所示时，； 当的两边与的两边如图所示时， ； 故答案为：或． 8．如图，已知，，相交于点，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，平角的定义，准确识图是解题的关键． 先根据平角定义结合，可求出的度数，然后根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：，，相交于点，， ． 又与是对顶角， ． 故答案为：． 9．一副三角板按如图所示放置，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中角的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． 根据，得出，从而求出． 【详解】解：根据题意可得：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定的是 （填序号）． 【答案】③⑤ 【分析】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ，故①不符合题意； ， ，故②不符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④不符合题意； ，， ， ，故⑤符合题意． 综上所述，能判定的是③⑤． 故答案为：③⑤． 三、解答题 11．如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式； （2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴， ． 12．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图①的方格纸中过点作直线，使； (2)在图②的方格纸中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 本题考查作图应用与设计，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．（1）取格点，作直线即可． （2）取格点，作射线即可． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求． （2）解：（答案不唯一）如图②，即为所求． 13．如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质以及平行公理的推论，掌握平行线的判定与性质的互推关系和平行公理的推论是解题的关键． （1）利用角平分线定义得到角的等量关系，结合已知推出，再由平行线的同旁内角互补求出，最后根据角平分线求出． （2）由推出，结合（1）中已证的，根据平行公理的推论得出． 【详解】（1）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴，． （2）证明：∵， ∴． 由（1），得， ∴． 14．按要求解答： (1)如下图，，与的位置关系是什么？请说明理由； (2)一个角的余角比这个角的补角的一半少，求这个角的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、补角与余角的定义以及一元一次方程的应用，掌握同位角相等，两直线平行的判定方法和余角、补角的代数表示是解题的关键． （1）利用同角的补角相等推出同位角相等，再根据同位角相等，两直线平行判定与的位置关系； （2）设这个角的度数为，分别表示出它的余角和补角，根据题目中的数量关系列方程求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵，， ∴， ． （2）解：设这个角的度数为． 由题意，得， 解得． 故这个角的度数为． 15．如下图，射线平分，点在射线上，且交于点，是射线上的一个动点． (1)当平分时，若，求的度数； (2)当时，试探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先通过角平分线得到角的倍数关系，再结合平行线的内错角相等，最后在三角形中用内角和求角度； （2）利用角平分线和平行线的性质，推导角之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）解：如图①，当点在线段上时，设，则，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图②，当点在射线上时，设，则，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴ ， ∴， ∴． 综上所述，和之间的数量关系为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题关键是通过角平分线和平行线建立角的数量关系，结合代数设元法推导角之间的等式． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $