空间向量与立体几何：动点存在性问题、翻折问题期末专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何：动点存在性问题、翻折问题专项训练 空间向量与立体几何：动点存在性问题、翻折问题专项训练 考点目录 动点存在性问题 翻折问题 考点一 动点存在性问题 例1．（25-26高二上·北京·期末）图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面．如图2，的中点为． (1)求证：平面； (2)若的中点为．在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26高三上·安徽滁州·月考）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，的中点．    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 例3．（2026·河北·模拟预测）如图，多面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，，，，，． (1)求三棱锥的外接球球心的位置． (2)线段CD上是否存在一点M，使得二面角为直二面角？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 例4．（25-26高二上·广东东莞·月考）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点. (1)求平面和平面所成角的余弦值. (2)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，．    (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． ①求二面角的大小； ②棱上是否存在点，使得直线与平面所成角为?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：平面． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 变式2．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 变式3．（25-26高二上·天津津南·月考）如图，四棱锥中，侧面底面，，，，，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由. 变式4．（25-26高三上·北京石景山·期末）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 考点二 翻折问题 例1．（25-26高二上·四川内江·期末）如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，为中点. (1)若为线段中点，求证：，，，四点共面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 例2．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）在中，，，，是的中点，是的中点，是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值． 例3．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在矩形中，分别是的中点.将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的平面角为､连接，点分别在线段（不含端点）上移动，且    (1)若点为线段的中点时，证明：平面； (2)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 例4．（25-26高三上·江西·期中）如图，在等腰梯形中，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 变式1．（25-26高三上·云南昆明·期中）在直角梯形中，，，，，将四边形沿翻折至，使得为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 变式2．（25-26高三上·福建·期中）如图，在梯形中，，，，，是的中点，将沿翻折至，使得. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 变式3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图1，在平面多边形中，为直角三角形，，，如图2，现将沿AB向上翻折到图中的处，此时，. (1)证明：平面MAC； (2)求平面MAC与平面所成角的余弦值. 变式4．（2026·贵州毕节·一模）如图，在中，，点在上，点在上，，将沿翻折至，使得二面角的大小为.    (1)若为的中点，点在上，，证明：平面； (2)求平面与平面所成的二面角的正弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：动点存在性问题、翻折问题专项训练 空间向量与立体几何：动点存在性问题、翻折问题专项训练 考点目录 动点存在性问题 翻折问题 考点一 动点存在性问题 例1．（25-26高二上·北京·期末）图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面．如图2，的中点为． (1)求证：平面； (2)若的中点为．在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面 （2）取的中点为，连接，则且， 由直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 设，因为， 则， ， ， 设平面的法向量为， 取，则，即平面的法向量为， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 解得或（舍）. 所以线段上存在点，当时，使得平面与平面夹角的余弦值为. 例2．（25-26高三上·安徽滁州·月考）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，的中点．    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) ． (2)存在， ． 【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以 ， ， 又， 因为 ，所以 ． 以为原点，、、为 轴正方向建系，如图所示，    则 ， 所以 ， 设平面的法向量 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ，所以 ， 设 与平面 所成角为 ， 则 ， 所以 与平面 所成角的正弦值 ． （2）假设存在点，设 ，则 ， 所以 ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ，即 ， 所以 ， 整理得 ，解得 或 ， 所以 或 舍，    所以存在点使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，且 ． 例3．（2026·河北·模拟预测）如图，多面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，，，，，． (1)求三棱锥的外接球球心的位置． (2)线段CD上是否存在一点M，使得二面角为直二面角？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的中点 (2)存在，M为上靠近点的四等分点 【详解】（1）因为，，，平面ABCD， ，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以， 由题可得，，则，，又， 在中，由余弦定理可得， 由，可得，因为，平面，， 所以平面，又平面，所以， 取的中点，由和是直角三角形， 知到，，，四点的距离相等， 所以三棱锥的外接球球心为的中点. （2）由题可得，，两两垂直，故以为坐标原点， 分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，， ，，， 假设存在点M满足题意，设，，则， 设平面的一个法向量为， 则，故可取 设平面的法向量， 则，故可取. 因为二面角为直二面角，所以， 即，解得，所以M为上靠近点的四等分点. 故存在一点M，使得二面角为直二面角， 此时M为上靠近点的四等分点. 例4．（25-26高二上·广东东莞·月考）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点. (1)求平面和平面所成角的余弦值. (2)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）解：由题知，，在图2中，是平面内的相交直线， 所以平面，且为二面角的平面角，所以， 以为原点，过点在平面内作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （2）解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（1）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 变式1．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，．    (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． ①求二面角的大小； ②棱上是否存在点，使得直线与平面所成角为?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：平面． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在点，且. 【详解】（1）连接，因平面，、平面， 则且，即为直角三角形， 又，，则由勾股定理得， 在中，，且， 所以，为等腰直角三角形，也就是， 又因为，所以得平面.    （2）如图建立空间直角坐标系（以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，为与轴的交点）， 所以得，，，，.    由条件①：，，，可得 由条件②：平面，得，又因为，所以，也可得. 向量，，设， 有：，代入向量坐标：，取. 向量，，设， 同理列方程：，代入向量坐标：，取. 法向量夹角. 故二面角的大小为（即）. 设的坐标，则， 所以， 化简得，解得有效. 因此， 故存在点，且 变式2．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在， 【详解】（1） 连接,连接， 四边形为正方形，为中点，为BC的中点，， 平面，平面，平面； （2）取的中点，的中点，连接，， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， 两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设， ，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 则点到平面的距离为， 解得，或（舍）， 在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 变式3．（25-26高二上·天津津南·月考）如图，四棱锥中，侧面底面，，，，，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，1 【详解】（1）取中点，连接，，则， 又，，， ，则，， 所以为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为，为的中点，所以， 又因为侧面底面且交线为，侧面， 所以平面， 因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以， 分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. ，，，，，， ， 设平面的一个法向量， 则，令，得. ，， 设平面的一个法向量， 则，令，得. 设平面与平面夹角为， 所以，因此平面与平面夹角的余弦值为. （3）因为，设， 则， 平面的一个法向量， 设与平面所成角为 所以， 解得或（舍），所以存在，满足，使与平面所成角的正弦值为， 所以，. 变式4．（25-26高三上·北京石景山·期末）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在点，是靠近的三等分点. 【详解】（1）因为正方形，所以，平面，平面，所以平面， 同理，平面，平面，所以平面， 又，平面，故平面平面， 又平面，所以平面. （2）由，则，， 在正方形中，，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，，故，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，所以， 又， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设存在，设，又，则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 由题得平面，则，又，，平面， 所以平面，故为平面的法向量，且， ，解得或（舍去）， 所以在棱上存在一点，满足题意，此时是靠近的三等分点. 考点二 翻折问题 例1．（25-26高二上·四川内江·期末）如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，为中点. (1)若为线段中点，求证：，，，四点共面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，所以， 所以，，，四点共面； （2）取中点，连接，由，得， 而平面平面，平面平面平面， 则平面， 过作，则平面，又平面， 于是， 在矩形中，，， 则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为， 则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. （3）连接，由，得，而， 则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线 分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为， 则， 令，得， 设平面的法向量为， 因为，， 则， 令，得， 设平面和平面的夹角为， 则 令，，则，即， 则当时，有最小值， 所以平面和平面的夹角余弦值的最小值为． 例2．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）在中，，，，是的中点，是的中点，是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）是的中点， ∴翻折前，翻折后． 是的中点， ∴翻折前，翻折后． ∴翻折后，又，且方向相同， ，又是的中点，是的中点， ∴翻折前、后，，且方向相同， ， ∴翻折后，在中，； （2）由可知：四点共面， 则在平面中，过点作，交于点， 平面，， ∴以为原点，、、的方向分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， 设，则， ，，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，，， 设平面与平面的夹角为，则 ， ，，则， 当且仅当，即时，即时，等号成立． ∴平面与平面的夹角的余弦值的最大值为． 例3．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在矩形中，分别是的中点.将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的平面角为､连接，点分别在线段（不含端点）上移动，且    (1)若点为线段的中点时，证明：平面； (2)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【详解】（1）因为为矩形，分别是的中点，所以， 所以，所以为二面角的平面角， 所以，又，所以为正三角形，故为正三角形， 因为，平面，， 所以平面，所以为正三棱柱， 记的中点分别为，连接，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设， 则， 若点为线段的中点，即时，， 易知是平面的一个法向量， 因为，且直线在平面外，所以平面.    （2）, 所以，当时，的长度取得最小值，此时， 则， 设平面与平面的法向量分别为， 则，， 令，则， 即， 记平面与平面的夹角为，则. （3）设为平面的法向量， 则， 令，得，即， 记直线与平面所成角为， 则 ， 当，即时，取得最大值. 例4．（25-26高三上·江西·期中）如图，在等腰梯形中，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接. 因为中，为所在边的中点，所以 在梯形中，，所以， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面， 所以平面. （2）由题意，在等腰梯形中，为边上靠近点的三等分点， 所以，即，又， 因此，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 在中，，由勾股定理易得， 则. 又为棱的中点，所以， 则， 因为，即平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量 设平面的一个法向量， ， 令，则， 所以平面的一个法向量. 记二面角的平面角为， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为. 变式1．（25-26高三上·云南昆明·期中）在直角梯形中，，，，，将四边形沿翻折至，使得为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在平面图形中，在直角梯形,易得，， 所以，又，所以平面 又，即， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （2） 由（1）可知，以为坐标原点，分别以为轴，垂直于平面为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则,,,,, 则,,,, 设平面的法向量为， 则，即,令，， 故， 设平面的法向量为， 则，即,令，， 故， 所以， 所以平面与平面的所成角的余弦值为平面. 变式2．（25-26高三上·福建·期中）如图，在梯形中，，，，，是的中点，将沿翻折至，使得. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 连接交于点，连接，，， ，为等腰直角三角形，， ，则为中点， ，， 在Rt中，，， 在中，， 在中，，，， ，， 又，，平面， 平面， 又平面，平面平面. （2）由（1）可知平面，又，平面， ，，，，两两垂直， 易知，，， 方法1： 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则 取，得，，则， 易知平面的法向量为 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为 方法2：如图，分别延长，交于点，则，， 过作垂直于，连接， ，，，平面， 平面， 平面，， 又，，平面， 平面， 平面， ，平面与平面的夹角即为， 易知，， 故，. 变式3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图1，在平面多边形中，为直角三角形，，，如图2，现将沿AB向上翻折到图中的处，此时，. (1)证明：平面MAC； (2)求平面MAC与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图所示，连接交于点，连接， 因为且，所以，所以为的三等分点， 又因为，所以为的三等分点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）解：如图所示，取的中点，连接， 因为且，所以四边形为菱形，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且平面，与为相交直线， 所以平面， 以菱形的对角线的交点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，以过垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 不妨设，因为， 则， 由，可得， 可得, 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面所成的角为， 则， 所以平面与平面所成的角的余弦值为. 变式4．（2026·贵州毕节·一模）如图，在中，，点在上，点在上，，将沿翻折至，使得二面角的大小为.    (1)若为的中点，点在上，，证明：平面； (2)求平面与平面所成的二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）如图，取的中点，连接   ，，且. 分别为的中点，，且， 又由题可知，，且， 因此，且， 因此四边形为平行四边形，因此有， 又因为平面，平面， 因此平面； （2）由可知，由（1）可知， 故，因此， 由折叠关系可知，又因为平面平面， 平面，平面，则即为二面角的平面角， 因此， 不妨设，则， ，解得， 又因为，故. 因为，，平面， 故平面，又因为平面，故， 又因为，平面， 因此平面.    过点作垂直于平面的直线，易证两两互相垂直， 因此可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 因为平面，因此为平面的法向量； 设平面的法向量为， 则有，即，取，则， 即. 设平面与平面所成的二面角的大小为， 则， 又因为，故，则， 即平面与平面所成的二面角的正弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $