【冲刺2026年】中考一轮复习江苏2025年中考真题及模拟试题分类提优测试卷 卷16 三角形全等及特殊三角形能力测试卷

卷16 三角形全等及特殊三角形能力测试卷 （满分：100分 时间：90分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025•连云港）如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025•扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　　） A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC 3．（2025•海安市校级模拟）如图，A，B两点分别在直线l1，l2上，且l1∥l2，BA＝BC，BC⊥l2，若∠1＝124°，则∠CAB的度数等于（　　） A．30° B．32° C．34° D．36° 4．（2025•宿迁）如图，在△ABC中，AB≠AC，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，则下列结论错误的是（　　） A．DE∥BC B．∠B＝∠EFC C．∠BAF＝∠CAF D．OD＝OE 5．（2025•无锡）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝4，则BC的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2025•南通）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．若AB＝4，AD＝x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 7．（2025•钟楼区校级模拟）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2025•无锡校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接AD，若AB＝3，BC＝4，则△ADB的面积为（　　） A．1.4 B．2 C．0.6 D．1 9．（2025•如皋市校级模拟）如图，两个阴影正方形与4个全等的直角三角形拼成正方形ABCD，延长BE交MN于点F，若BE×EF＝m，MF×NF＝n，则阴影部分的面积之和用含m，n的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 10．（2025•新吴区一模）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 二．填空题（共14小题，每小题3分，共42分） 11．（2025•南京）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是　 　 （写出一个即可）． 12．（2025•淮安）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 　 　 ． 13．（2025•扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　 　 ． 14．（2025•宿迁）若等腰三角形的两边长为2cm和4cm，则该等腰三角形的周长为 　 　 cm． 15．（2025•盐城）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，点D在AB上，AD＝0.6m，D，E，F三点共线，DF＝3DE＝3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH＝　 m． 16．（2025•南通）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC．若AC＝4.8m，∠C＝30°，则EF的长为　 　 m． 17．（2025•扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是　 　 ． 18．（2025•连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 　 　 m． 19．（2025•苏州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为　 ． 20．（2025•镇江）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，D是AB的中点，M是边AC上的动点，作DN⊥DM，交BC于点N，延长MD到点P，使得．当△PNB面积最大时，AM的长等于 　 　 ． 21．（2025•通州区一模）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D为BC的中点，E，F分别在边AC，AB上．若△DEF是等边三角形，，则BC的长是　 　 ． 22．（2025•如皋市校级模拟）如图，赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形EFGH的面积为1，连结BE．若BF平分∠CBE，则大正方形ABCD的面积为 　 ． 23．（2025•南通模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝75°，BC＝2，D是BC上一点，以AD为边作等边△ADE，点D与点E在AC的两侧，DE交AC于点F，则线段CF的最大值为 　 ． 24．（2025•海门区校级模拟）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 　 　 ． 三．解答题（共28分） 25．（8分）（2025•如东县校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，点D是CB边上的一点，连接AD，以AD为边向下作等边△ADE，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接BE． （1）求证：△AFE≌△ACD； （2）若AC＝4，CD＝3，求BE的长． 26．（8分）（2025•如东县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF． （1）求证：△ADE≌△ADF； （2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数． 27．（12分）（2025•常州）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，AD＝1． （1）若△ABD是等腰三角形，则BD＝ 　 ； （2）已知OB＝OD，AC＝BD． ①若OA＝OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，求AC的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷16 三角形全等及特殊三角形能力测试卷 （满分：100分 时间：90分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025•连云港）如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G， ∴EA＝EB，GA＝GC， ∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝7， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 2．（2025•扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　　） A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC 【分析】由∠ADB+∠ADC＝180°，且∠ADB＝∠ADC，求得∠ADC＝90°，则AD⊥BC，可判断A不符合题意；由AB＝AC，得∠B＝∠C，可知由∠B＝∠C不能说明AD⊥BC，可判断B符合题意；由AB＝AC，BD＝CD，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC，可判断C不符合题意；由AB＝AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点D在BC上， ∴∠ADB+∠ADC＝180°， ∵∠ADB＝∠ADC， ∴2∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， 故A不符合题意； ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠B＝∠C与点D所在的位置没有关系， ∴由∠B＝∠C不能说明AD⊥BC， 故B符合题意； ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， 故C不符合题意； ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， 故D不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题重点考查垂直的定义、“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确理解和运用等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2025•海安市校级模拟）如图，A，B两点分别在直线l1，l2上，且l1∥l2，BA＝BC，BC⊥l2，若∠1＝124°，则∠CAB的度数等于（　　） A．30° B．32° C．34° D．36° 【分析】过点A作AD⊥l1，即可求得∠DAC＝124°﹣90°＝34°，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质即可求得∠CAB＝34°． 【解答】解：过点A作AD⊥l1， ∵∠1＝124°， ∴∠DAC＝124°﹣90°＝34°， ∵l1∥l2，BC⊥l2， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠C＝34°， ∵BA＝BC， ∴∠CAB＝∠C＝34°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4．（2025•宿迁）如图，在△ABC中，AB≠AC，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，则下列结论错误的是（　　） A．DE∥BC B．∠B＝∠EFC C．∠BAF＝∠CAF D．OD＝OE 【分析】由题意可得DF，EF，DE为△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可得DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，则∠B＝∠EFC，四边形ADFE是平行四边形，即可判断A、B、D；再由AB≠AC，F是边BC的中点，即可判断C． 【解答】解：点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点， ∴DF，EF，DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB， ∴∠B＝∠EFC，四边形ADFE是平行四边形， ∴OD＝OE， 故A、B、D正确，不符合题意； ∵AB≠AC，F是边BC的中点， ∴∠BAF≠CAF， 故C错误，符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 5．（2025•无锡）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝4，则BC的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】三角形的中位线等于第三边的一半，由此即可得到答案． 【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝2×4＝8． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半． 6．（2025•南通）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．若AB＝4，AD＝x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点C作CH⊥AB于点H，过点D作DK⊥AC于点K，根据等边三角形性质得AB＝BC＝CA＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据AD＝BE＝CF＝x得AF＝BD＝CE＝4﹣x，由此依据“SAS”判定△ADF≌△BED≌△CFE得S△ADF＝S△BED＝S△CFE，则y＝S△ABC﹣3•S△ADF，再求出CH得S△ABCAB•CH，解Rt△ADK得DK，则S△ADFAF•DK，进而得y，由此得y关于x的函数图象开口向上，当x＝2，y的最小值为，据此可得出答案． 【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点D作DK⊥AC于点K，如图所示： ∵△ABC是等边三角形，AB＝4， ∴AB＝BC＝CA＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵AD＝BE＝CF＝x， ∴AF＝BD＝CE＝4﹣x， 在△ADF，△BED和△CFE中， ， ∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）， ∴S△ADF＝S△BED＝S△CFE， ∴S△DEF＝S△ABC﹣3•S△ADF， 即y＝S△ABC﹣3•S△ADF， ∵CH⊥AB， ∴AH＝BHAB＝2， 在Rt△ACH中，由勾股定理得：CH， ∴S△ABCAB•CH， ∵DK⊥AC于点K， 在Rt△ADK中，∠A＝60°，AD＝x，sinA， ∴DK＝AD•sinA＝x•sin60°， ∴S△ADFAF•DK， ∴y，其中0≤x≤4， ∴y关于x的函数图象开口向上，当x＝0时，y，当x＝4时，y，当x＝2，y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的图象和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，二次函数的图象和性质是解决问题的关键． 7．（2025•钟楼区校级模拟）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】分AC＝AB、AC＝BC两种情况，根据三角形的三边关系解答即可． 【解答】解：当AC＝AB＝3时，△ABC为等腰三角形， 当AC＝BC＝4时，在△ADC中，AC＜AD+CD，即AC＜4，此种情况不成立， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系是解题的关键． 8．（2025•无锡校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接AD，若AB＝3，BC＝4，则△ADB的面积为（　　） A．1.4 B．2 C．0.6 D．1 【分析】延长BD交AC于点E，证明△CBD≌△CED，得到BD＝DE，CB＝CE，勾股定理求出AC的长，进而求出AE的长，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出S△ABE，再根据三角形的中线平分面积，求出△ADB的面积即可． 【解答】解：延长BD交AC于点E， ∵CD平分∠ACB，BD⊥CD， ∴∠BCD＝∠ECD，∠CDB＝∠CDE＝90°， 在△CBD与△CED中， ， ∴△CBD≌△CED（ASA）， ∴BD＝DE，CB＝CE， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴，，BC＝CE＝4， ∴AE＝AC﹣CE＝1， ∴， ∴， ∵BD＝DE， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是根据ASA证明△CBD≌△CED解答． 9．（2025•如皋市校级模拟）如图，两个阴影正方形与4个全等的直角三角形拼成正方形ABCD，延长BE交MN于点F，若BE×EF＝m，MF×NF＝n，则阴影部分的面积之和用含m，n的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【分析】易得阴影部分的面积之和为BE2.根据BE×EF＝m，可得用EF2表示的BE2的代数式，易得△EFM∽△NFE，即可得到EF2的值，整理即可得到阴影部分的面积之和． 【解答】解：阴影部分的面积之和＝ME2+EN2＝MN2＝BE2． ∵BE×EF＝m， ∴BE． ∴BE2． ∵图中是4个全等的直角三角形， ∴∠MNE＝∠BEG，∠MNE+∠EMN＝90°． ∵∠BEG＝∠MEF， ∴∠MEF＝∠MNE． ∵∠MEF+∠FEN＝90°， ∴∠EMN＝∠FEN． ∴△EFM∽△NFE． ∴． ∴EF2＝FM•NF． ∵MF×NF＝n， ∴EF2＝n． ∴BE2． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形及勾股定理的综合应用．根据三角形的相似得到EF和MF、FN的关系是解决本题的关键． 10．（2025•新吴区一模）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【解答】解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键． 二．填空题（共14小题，每小题3分，共42分） 11．（2025•南京）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是　5（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【分析】可令等腰三角形的腰长为x，底长为y，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【解答】解：设腰长为x，底长为y， 则2x+y＝12， 所以y＝12﹣2x． 根据三角形三边的关系可知， x+x＞12﹣2x，x﹣x＜12﹣2x， 所以3＜x＜6， 故答案为：5（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键． 12．（2025•淮安）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 　80°　 ． 【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【解答】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°﹣50°×2＝80°， ∴顶角为80°． 故填80°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 13．（2025•扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　11，60，61．　 ． 【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此可写出第⑤组勾股数． 【解答】解：通过观察得： 第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5； 第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13； 第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25； 第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41； 所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61． 故答案为：11，60，61． 【点睛】此题考查的知识点是勾股数，此题属规律性题目，关键是通过观察找出规律求解． 14．（2025•宿迁）若等腰三角形的两边长为2cm和4cm，则该等腰三角形的周长为 　10　 cm． 【分析】已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，等腰三角形两边的长为2cm和4cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【解答】解：①当腰是2cm，底边是4cm时，2+2＝4，不能构成三角形， ②当底边是2cm，腰长是4cm时，能构成三角形， 则其周长＝4+4+2＝10（cm）， 所以，这个三角形的周长是10cm． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键． 15．（2025•盐城）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，点D在AB上，AD＝0.6m，D，E，F三点共线，DF＝3DE＝3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH＝　　 m． 【分析】依据题意，作EM⊥AD于M，GN⊥FH于N，则∠MED+∠MDE＝90°，然后求出∠MED＝BDG＝90°﹣∠DGB＝30°，又AE＝DE，故DMAD＝0.3m，从而DE＝2DM＝0.6m，可得DF＝3DE＝1.8m，又∠FDG＝∠F＝∠GNF＝90°，则四边形DGNF是矩形，故GN＝DF＝1.8m，最后在Rt△GNH中，进而可得GH，故计算可以得解． 【解答】解：由题意，作EM⊥AD于M，GN⊥FH于N， ∴∠MED+∠MDE＝90°． ∵∠EDG＝90°， ∴∠MDE+∠BDG＝90°． ∴∠MED＝∠BDG． ∵DG∥FH， ∴∠DGB＝∠FHG＝60°． ∴∠MED＝BDG＝90°﹣∠DGB＝30°． ∵AE＝DE， ∴DMAD＝0.3m． ∴DE＝2DM＝0.6m． ∴DF＝3DE＝1.8m． ∵∠FDG＝∠F＝∠GNF＝90°， ∴四边形DGNF是矩形． ∴GN＝DF＝1.8m． 在Rt△GNH中， ∵∠GHN＝60°， ∴GH（m）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 16．（2025•南通）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC．若AC＝4.8m，∠C＝30°，则EF的长为　1.2　 m． 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵E是斜梁AC的中点，AC＝4.8m， ∴CEAC＝2.4m， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC＝90°， ∵∠C＝30°， ∴EFCE＝1.2（m）， 故答案为：1.2． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 17．（2025•扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是　6　 ． 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FE，进而求出DF． 【解答】解：∵点D，E分别是边AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAC4＝2， 在Rt△BFC中，E是斜边BC的中点，BC＝8， 则FEBC8＝4， ∴DF＝DE+FE＝2+4＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 18．（2025•连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 　2.4　 m． 【分析】根据长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：∵长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m， ∴， 故答案为：2.4． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键，注意正确计算． 19．（2025•苏州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为　　 ． 【分析】过点A作AH⊥BC于H，解Rt△AHC 得到，证明△DAC∽△FAD，可得，根据CF＝AC﹣AF可知，当AF有最小值时，CF有最大值，当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合，可求出AF的最小值为，则CF的最大值为． 【解答】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H， 在Rt△AHC中，∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3， ∴AH＝AC•sinC， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°＝∠C， 又∵∠DAC＝∠FAD， ∴△DAC∽△FAD， ∴， ∴， ∵CF＝AC﹣AF， ∴当AF有最小值时，CF有最大值， ∴当AD有最小值时，AF有最小值， ∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即AF有最小值，此时点D与点H重合， ∴AD的最小值为， ∴AF的最小值为， ∴CF的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，掌握以上性质是解题的关键． 20．（2025•镇江）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，D是AB的中点，M是边AC上的动点，作DN⊥DM，交BC于点N，延长MD到点P，使得．当△PNB面积最大时，AM的长等于 　2　 ． 【分析】连接CD，过点N作NH⊥CD于点H，延长DP至点Q，使PQ＝PD，连接BQ，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到AM＝CN，DM＝DN，通过证明△BDQ≌△CDN，得到S△BDQ＝S△CDN，设AM＝CN＝x，则CH＝HNx，DH＝4x，利用△PNB面积＝S四边形DQBN﹣S△PDN﹣S△BPQ求得△PNB面积与x的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论． 【解答】解：连接CD，过点N作NH⊥CD于点H，延长DP至点Q，使PQ＝PD，连接BQ，如图， ∵等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，D是AB的中点， ∴CD⊥AB，ABAC＝8，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°， ∴CD＝AD＝BDAB＝4，∠A＝∠DCB＝45°． ∵DN⊥DM， ∴∠ADC＝∠MDN＝90°， ∴∠ADM＝∠CDN． 在△ADM和△CDN中， ， ∴△ADM≌△CDN（AAS）， ∴AM＝CN，DM＝DN， ∵，DPDQ， ∴MD＝DQ， ∴DN＝DQ． ∵∠BDC＝∠MDQ＝90°， ∴∠BDQ＝∠CDN． 在△BDQ和△CDN中， ， ∴△BDQ≌△CDN（SAS）， ∴S△BDQ＝S△CDN， ∴16． 设AM＝CN＝x，则CH＝HNx，DH＝4x， ∴DN， ∵， ∴DPDN， ∵DP＝PQ， ∴． ∴△PNB面积＝S四边形DQBN﹣S△PDN﹣S△BPQ ＝16DN•PDCD•NH ＝16 x+8 9， ∵0， ∴当x＝2时，即AM＝2时，△PNB面积最大为9． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质，配方法，依据题意得到△PNB面积与x的函数关系式是解题的关键． 21．（2025•通州区一模）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D为BC的中点，E，F分别在边AC，AB上．若△DEF是等边三角形，，则BC的长是　4　 ． 【分析】在AC左侧作∠CEG＝30°交BC延长线于G，证明△DEG≌△FDB，可得出EG＝DB，根据含30°的直角三角形的性质得出GE＝2GC，根据勾股定理求出，结合线段中点的定义得出CD＝BD＝GE＝2GC，然后在Rt△CDE中根据勾股定理构建方程求解即可． 【解答】解：如图，在AC左侧作∠CEG＝30°交BC延长线于G， ∵∠ACB＝90°， ∴∠G＝60°， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵△DEF是等边三角形，， ∴∠EDF＝60°，DF＝DE， ∵∠EDB＝∠EDF+∠FDB＝∠G+GED，∠EDF＝∠G＝60°， ∴∠GED＝∠FDB， 在△DEG和△FDB中， ， ∴△DEG≌△FDB（AAS）， ∴EG＝DB， ∵∠CEG＝30°，∠GCE＝90°， ∴GE＝2GC， ∴， ∵D是BC的中点， ∴CD＝BD＝GE＝2GC， 在Rt△CDE中，， ∴CE2+CD2＝DE2，即， 解得GC＝1（负值舍去）， ∴CD＝BD＝2GC＝2， ∴BC＝CD+BD＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了含30°的直角三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，明确题意，添加合适辅助线，构造△DEG≌△FDB是解题的关键． 22．（2025•如皋市校级模拟）如图，赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形EFGH的面积为1，连结BE．若BF平分∠CBE，则大正方形ABCD的面积为 　5+2　 ． 【分析】设BF＝CG＝x，根据tan∠CBG＝tan∠EBF，可得，进而解决问题． 【解答】解：∵小正方形EFGH的面积为1， ∴GF＝1， 设BF＝CG＝x， ∵BF平分∠CBE， ∴∠CBG＝∠EBF， ∴tan∠CBG＝tan∠EBF， ∴， 解得x， ∴BF＝CG， ∴BG， ∴大正方形ABCD的面积5+2， 故答案为：5+2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角函数等知识，求出直角三角形的直角边长是解题的关键． 23．（2025•南通模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝75°，BC＝2，D是BC上一点，以AD为边作等边△ADE，点D与点E在AC的两侧，DE交AC于点F，则线段CF的最大值为 　　 ． 【分析】过点B作BH⊥AC于点H，依次求出CH，AH＝BHCH＝3，AC＝AH+CH＝2，再根据DE⊥AC时，CF最大即可． 【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠C＝60°， ∴∠CBH＝90°﹣∠C＝30°， ∴CHBC（22）1， ∴BHCH（）＝3， ∵∠C＝60°，∠ABC＝75°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝45°， ∵BH⊥AC， ∴AH＝BH＝3， ∴AC＝AH+CH＝31＝2， ∵点D、E在AC的两侧， ∴当DE⊥AC时，AF最小，CF最大， ∴∠CDE＝90°﹣∠C＝30°， ∴CFDC， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°+30°＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°， ∴DCAC2＝1， ∴CFDC， 综上所述CF的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，求CF最大，转化成求线段AF最小是本题的关键． 24．（2025•海门区校级模拟）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 　3　 ． 【分析】仔细审题，连接DN，首先根据三角形的中位线定理得出EFDN；从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB的值，从而求得EF的最大值． 【解答】解：连接DN． ∵ED＝EM，MF＝FN， ∴EFDN， ∴DN最大时，EF最大． ∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB6， ∴EF的最大值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型． 三．解答题（共28分） 25．（8分）（2025•如东县校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，点D是CB边上的一点，连接AD，以AD为边向下作等边△ADE，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接BE． （1）求证：△AFE≌△ACD； （2）若AC＝4，CD＝3，求BE的长． 【分析】（1）由“AAS”可证△AFE≌△ACD； （2）由直角三角形的性质可求AB＝2AC＝8，由全等三角形的性质可得AF＝AC＝4，EF＝CD＝3，由勾股定理可求解． 【解答】（1）证明：∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠CAB， ∴∠CAD＝∠EAF， 在△AFE和△ACD中， ， ∴△AFE≌△ACD（AAS）； （2）解：∵∠C＝90°，∠CAB＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝8， ∵△AFE≌△ACD， ∴AF＝AC＝4，EF＝CD＝3， ∴BF＝4， ∴BE5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 26．（8分）（2025•如东县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF． （1）求证：△ADE≌△ADF； （2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数． 【分析】（1）根据三线合一得出∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．由SAS可证明△ADE≌△ADF； （2）由作图知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性质求出∠ADE＝70°，则可得出答案． 【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC， ∵AD是△ABC的中线， ∴∠BAD＝∠CAD． 由作图得：AE＝AF． 在△ADE和△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（SAS）； （2）解：∵∠BAC＝80°，∠BAD＝∠CAD， ∴， 由作图得：AE＝AD． ∴∠AED＝∠ADE， ∴， ∵AB＝AC，AD为△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 27．（12分）（2025•常州）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，AD＝1． （1）若△ABD是等腰三角形，则BD＝ 　2　 ； （2）已知OB＝OD，AC＝BD． ①若OA＝OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，求AC的长． 【分析】（1）由△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1，分别讨论：当BD＝AB＝2时和当BD＝AD＝1时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可； （2）①利用OA＝OC，OB＝OD，得出四边形ABCD是平行四边形，再利用AC＝BD，即可判定四边形ABCD是矩形；②过点B作BE⊥AC于点E，利用CD2＝AD2+AC2，得出△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，证明△AOD≌△EOB，得出BE＝DA＝1，AO＝EO，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1， ∴当BD＝AB＝2时，此时满足三角形三边关系； 当BD＝AD＝1时，1+1＝2，此时不满足三角形三边关系； 综上所述，BD＝2， 故答案为：2； （2）①四边形ABCD是矩形；理由如下： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； ②过点B作BE⊥AC于点E，如图， ∵在△ACD中，CD2＝AD2+AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°， ∴∠DAO＝∠BEO＝90°， 在△AOD和△EOB中， ， ∴△AOD≌△EOB（AAS）， ∴BE＝DA＝1，AO＝EO， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：， ∴， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $