精品解析：湖南省衡阳市常宁市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年下学期期末质量监测试卷 八年级数学 考生注意：本试卷共6页，三道大题，24小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 2. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 3. 下面计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查，样本具有代表性的是（　　） A. 了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查 B. 了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查 C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查 D. 了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查 5. 如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是边的垂直平分线．若，，则的周长为（ ） A. 18 B. 20 C. 26 D. 21 7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ） A. B. C. D. 9. 反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（ ） A. 三角形中没有内角大于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中三个内角都大于 D. 三角形中有两个内大于 10. 如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 命题“如果，那么”_____________命题(填“真”或“假”). 12. 某校对八年级600名学生进行视力测试，经统计，视力在4.8~4.6这一小组频率为0.25，则该小组人数有________人． 13. 因式分解：______． 14. 已知，则______． 15. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为______． 16. 若是直角三角形三边长，且，则三条角平分线的交点到一条边的距离为___________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知，垂足分别为．求证：． 20. 2022年3月，三位中国宇航员在空间站进行第二次太空授课，其中演示以下四个实验：A．太空“冰雪”实验：B．“液桥”演示实验：C．水油分离实验：D．太空抛物实验．为了解学生最感兴趣的是哪一个实验，某校八年级数学兴趣小组随机抽取本年级部分学生进行调查，并绘制如下两幅统计图： （1）本次参与调查的同学共有___________人； （2）请补全条形统计图； （3）若该校八年级共有800名学生，请估计全年级对太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有多少人？ 21. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 22. 如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，为伞柄，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨分别是伞骨上两个定点，且满足． （1）求证：； （2）当伞完全撑开后，点，，在同一条直线上，已知，，两个身体宽度的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？ 23. 若x满足，求的值． 解：设，则 ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求代数式的值； （3）已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积． 24. 在中，，． （1）如图1，点E在上（不与点A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，． ①求证：； ②若，，求的长． （2）如图2，若点E在外，且，将绕点C逆时针旋转，得到，连接交于点G，射线与射线相交于点H．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末质量监测试卷 八年级数学 考生注意：本试卷共6页，三道大题，24小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个非负实数、，若满足，那么就叫做的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解；的算术平方根是， 故选；B． 2. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】A.是有理数，故A错误； B、是有理数，故B错误； C、是有理数，故C错误； D、是无理数，故D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． 3. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是整式的运算，包括同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握各类运算法则是解题的关键．根据不同的运算法则对每个选项逐一分析，即可判断出正确答案． 【详解】解：选项:，错误； 选项:，错误； 选项:，正确； 选项:，错误． 故选：． 4. 下列调查，样本具有代表性的是（　　） A. 了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查 B. 了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查 C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查 D. 了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 【详解】解：A、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故A错误； B、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误； C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误； D、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故D正确． 故选D． 考点：抽样调查的可靠性． 5. 如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得到，由等边对等角和三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 如图，在中，是边的垂直平分线．若，，则的周长为（ ） A. 18 B. 20 C. 26 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，进而推出的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴周长为． 故选D． 7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】多项式利用平方差公式分解因式，变形后即可作出判断． 详解】解： ∴无论m为任何自然数，始终能被8整除， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 9. 反证法是初中数学中一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（ ） A. 三角形中没有内角大于 B. 三角形中有一个内角大于 C. 三角形中三个内角都大于 D. 三角形中有两个内大于 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法，根据反证法的步骤，然后进行判断即可，解题的关键是掌握反证法的步骤是：（）假设结论不成立；（）从假设出发推出矛盾；（）假设不成立，则结论成立． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于， 故选：C． 10. 如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 由折叠可知， ， ． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 命题“如果，那么”是_____________命题(填“真”或“假”). 【答案】真 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行判断即可． 【详解】命题“如果a＞b＞0，那么是真命题， 故答案为真． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解二次根式的性质，难度不大． 12. 某校对八年级600名学生进行视力测试，经统计，视力在4.8~4.6这一小组的频率为0.25，则该小组人数有________人． 【答案】150 【解析】 【分析】用总人数乘以样本中数据在4.8～4.6这一小组的频率即可． 【详解】解：该小组人数有：600×0.25=150（人）． 故答案为：150． 【点睛】此题是对频率、频数灵活运用的综合考查．注意：每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 14. 已知，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 利用指数运算法则，将 转化为 ，再代入已知数值计算． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为12． 15. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，再求出即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，，，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 16. 若是直角三角形的三边长，且，则三条角平分线的交点到一条边的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质与配方法的综合应用，解题的关键是通过配方法将原式转化为平方和为的形式，从而求出三边长，再利用直角三角形内切圆半径公式求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得：，，， 直角三角形的直角边为和，斜边为， 角平分线的交点到一条边的距离即为的内切圆半径：． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）按多项式除以单项式的法则求解即可． （2）先对各数开平方，开立方，再按照有理数的加减运算计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，已知，垂足分别为．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解题的关键． 先由垂直得直角，再通过线段和差得，证，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 在和， ， ， ． 20. 2022年3月，三位中国宇航员在空间站进行第二次太空授课，其中演示以下四个实验：A．太空“冰雪”实验：B．“液桥”演示实验：C．水油分离实验：D．太空抛物实验．为了解学生最感兴趣的是哪一个实验，某校八年级数学兴趣小组随机抽取本年级部分学生进行调查，并绘制如下两幅统计图： （1）本次参与调查同学共有___________人； （2）请补全条形统计图； （3）若该校八年级共有800名学生，请估计全年级对太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有多少人？ 【答案】（1）50 （2）见详解 （3）320人 【解析】 【分析】（1）用喜欢“B”实验的人数除以其所占百分比即可作答； （2）用总人数乘以喜欢“C”实验的人数所占百分比，求出喜欢喜欢“C”实验的人数，进而可求出喜欢“D”实验的人数，据此补全图形即可； （3）用全校总人数乘以喜欢“A”实验的人数所占的百分比即可作答． 【小问1详解】 （人）， 答：本次抽调的同学人数为50人； 【小问2详解】 （人）， （人）， 补全图形如下： 【小问3详解】 （人）， 答：全年级对太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有320人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用样本百分比估计总体的知识，将条形统计图、扇形统计图的数据加以联系，是解答本题的关键． 21. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 【答案】（1）5 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理， （1）在中，根据勾股定理即可求得的长； （2）利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 【小问2详解】 证明：∵在中，， ∴是直角三角形． 22. 如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，为伞柄，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨分别是伞骨上两个定点，且满足． （1）求证：； （2）当伞完全撑开后，点，，在同一条直线上，已知，，两个身体宽度的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？ 【答案】（1）证明见解析 （2）他们会被垂直滴下的雨水淋到 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． （1）根据，，可得，再根据三边对应相等，两三角形全等，即可求证； （2）由，可得，根据等腰三角形的三线合一可得，由勾股定理求出的长度，将的长度和两人的总宽度做大小比较，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ， 又， ， ，， ， ， ， 他们会被垂直滴下的雨水淋到． 答：他们会被垂直滴下的雨水淋到． 23. 若x满足，求的值． 解：设，则 ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求代数式的值； （3）已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1）5 （2）13 （3）28 【解析】 【分析】（1）设（5－x）＝a，（x－2）＝b，再利用进行运算即可； （2）设（6－x）＝a，（3－x）＝b，再利用进行运算即可； （3）正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，可得MF＝DE＝x－3，DF＝x－5，则（x－3）•（x－5）＝48，（x－3）－（x－5）＝2，由阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2．从而可得答案． 【小问1详解】 解：设（5－x）＝a，（x－2）＝b， 则（5－x）（x－2）＝ab＝2， a＋b＝（5－x）＋（x－2）＝3， ∴（5－x）2＋（x－2）2 ＝（a＋b）2－2ab ＝32－2×2 ＝5； 【小问2详解】 设（6－x）＝a，（3－x）＝b， （6－x）（3－x）＝ab＝1， a－b＝（6－x）－（3－x）＝3， ∵（a＋b）2 ＝（a－b）2＋4ab ＝13， ∴（a＋b）2＝13， ∵（6－x）＋（3－x）＝a＋b， ∴9－2x＝a＋b， ∴（9－2x）2＝（a＋b）2＝13． 【小问3详解】 ∵正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5， ∴MF＝DE＝x－3，DF＝x－5， ∴（x－3）•（x－5）＝48， ∴（x－3）－（x－5）＝2， ∴阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2． 设（x－3）＝a，（x－5）＝b，则（x－3）（x－5）＝ab＝48， a－b＝（x－3）－（x－5）＝2， ∴ ∴a＋b＝14，（负根舍去） ∴（x－3）2－（x－5）2＝a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 【点睛】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，完全平方公式与几何图形的面积之间的关系，利用平方根的含义解方程，掌握数形结合的方法解题是解本题的关键． 24. 在中，，． （1）如图1，点E在上（不与点A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，． ①求证：； ②若，，求的长． （2）如图2，若点E在外，且，将绕点C逆时针旋转，得到，连接交于点G，射线与射线相交于点H．求证：． 【答案】（1）①见解析；② （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）①由可得，易证； ②由①可知，，可求得，，在中，运用勾股定理可求解； （2）如图，连接，同①可证，结合已知，，，，可求得，根据等角对等边可得证． 【小问1详解】 ①证明：， ， 即， 在与中， ； ②， ，， ，， ， ， ，， ， 在中， ； 【小问2详解】 （2）如图，连接， ， ， 即， 又， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的证明和性质的应用，勾股定理求边长，还考查了等腰三角形性质的应用和证明；熟练掌握相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $