精品解析：河南省驻马店市 汝南县一中，县二中，县三中联考2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年上学期阶段性期末评价 八年级数学（RJ） （满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题．（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若分式有意义，则x的取值是（ ） A. B. C. D. 2. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 6 4. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 5. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 6. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出．木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有三边分别相等的两个三角形全等 B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 8. 若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 9. 如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原中的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ） A. B. 2023 C. 2024 D. 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 写出一个分母为a的最简分式，可以是______． 12. 在中，，若，则m的值是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，点C在x轴的正半轴上，点D位于第四象限，若，则点D的坐标是______． 14. 如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知，当杆AB与水平面夹角为30°时，测得，此时点B到AD的距离为______． 15. 如示意图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于点E，过点B作∠ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在△ABC外部，连接AD．∠C＝2∠ADB，当△ADG为等腰三角形，则∠C的度数为____________ 三、解答题．（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，F是的边延长线上的一点，，，，求的度数． 18. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． （1）她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 19. 如图，已知中，，在上有一点，连接并延长至点，使． （1）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 20. 在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有、两种型号的健身器材可供选择．已知每套型健身器材的价格比每套型健身器材的价格多万元，用万元购买型健身器材的数量与用万元购买型健身器材的数量相等， （1）求每套型健身器材的价格； （2）市政府计划采购这两种健身器材共套，总费用不超过万元，则至少购买型健身器材多少套？ 21. 设是一个两位数，其中是十位上的数字（）．例如，当时，表示的两位数是． （1）尝试：①当时，； ②当时，； ③当时，______；…… （2）归纳：与有怎样的大小关系？请说明理由． 22. 下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=2 （1）解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ． A、甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元 C．甲种商品购进x件 （2）根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价． （3）若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？ 23. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中， ，连接，延长交于点．则与的数量关系：_________，_________． （2）类比探究：如图2，在和中，，连接，，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数并说明理由； （3）拓展延伸：等腰三角形的腰和底相等时，三角形为等边三角形，等边三角形有一些特殊的性质，在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为1，，则的长_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期阶段性期末评价 八年级数学（RJ） （满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题．（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若分式有意义，则x的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零求解即可． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ 分母， ∴的取值是， 故选：B． 2. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；根据轴对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式右边利用多项式乘以多项式法则计算后与左边比较即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 4. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故， 故选：B． 5. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，合并同类项，平方差公式，掌握相关运算法则是解题关键．根据单项式乘单项式，积的乘方，合并同类项，平方差公式逐项计算即可． 【详解】解：A、，原计算正确，不符合题意； B、，原计算正确，不符合题意； C、，原计算错误，符合题意； D、，原计算正确，不符合题意； 故选：C． 6. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里， 由题意得，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 7. 如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出．木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有三边分别相等的两个三角形全等 B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，记住有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 根据全等三角形的判定方法即可判断； 【详解】解：由题意可知：，满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是与不全等， 故选D． 8. 若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，时刻注意分母不为这个条件．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据方程的解为非负数求出的范围即可． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 解得：， 由方程的解是非负数，得到，且， 解得：且． 故选：． 9. 如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现和的倍数关系是解答此题的关键．根据在中，得出，根据折叠和三角形内角和定理得出，得，求出结果即可． 【详解】解：在中， 则， 根据折叠的性质知：，， 在中，则有：， 即； ，得， 解得． 故选：D． 10. 对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ） A. B. 2023 C. 2024 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，根据题意找到规律是解题的关键． 利用函数性质 ，将求和中的项配对，每对和为1，最后单独计算 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴有 ， 即， ， ， ， ， 这样的组合共有 对， 又 ， ∴ 原式 = ． 故选：A． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 写出一个分母为a的最简分式，可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式定义，解题的关键是熟练掌握最简分式定义．根据题意写出一个分母为a的最简分式即可． 【详解】解：分母为a的最简分式，可以是． 故答案为：． 12. 在中，，若，则m的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余．根据，，得出，求出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∴， 由可得，， ∴； 故答案为：2． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，点C在x轴的正半轴上，点D位于第四象限，若，则点D的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质以及平面直角坐标系的相关知识．通过全等三角形对应边，对应角相等的性质，结合平面直角坐标系中坐标的确定方法来求解点的坐标． 【详解】点A，B的坐标分别是，， 在中，（点横坐标的绝对值）， （点纵坐标的绝对值）． 因为， 所以． 又因为点在轴正半轴，所以． 点位于第四象限，在第四象限中，横坐标为正，纵坐标为负， 所以的坐标为． 14. 如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知，当杆AB与水平面夹角为30°时，测得，此时点B到AD的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，构造直角三角形，再利用等边三角形的性质，得出，求解即可， 【详解】解：如图：作交于点， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ， 中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形，做辅助线构造直角三角形是解题的关键． 15. 如示意图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于点E，过点B作∠ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在△ABC外部，连接AD．∠C＝2∠ADB，当△ADG为等腰三角形，则∠C的度数为____________ 【答案】90°或108° 【解析】 【分析】设∠ADB＝x，则∠C＝2x，从而可求得∠EAB＝x，∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，所以∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，再分三种情况：①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA；②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD；③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x，分别求解即可． 【详解】解：设∠ADB＝x，则∠C＝2x， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝＝90°﹣x， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＝x， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x， ∴∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x， △ADG为等腰三角形时，存在三种情况： ①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA， 即x+45°+x+45°+x＝180°， x＝45°， ∴∠C＝90°， ②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD， x＝45+x， x＝90°， ∴∠C＝180°（不符合题意，舍去）， ③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x， 2x+45+x＝180， x＝54°， ∴∠C＝108°， 综上，∠C的度数为90°或108°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线与三角形内角和定理，三角形外角的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键． 三、解答题．（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，F是的边延长线上的一点，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， ，， ． 在中，，， ． 18. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． （1）她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）去分母，将方程化为整式方程，根据方程无解，得到方程有增根，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 ， 去分母，得， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得． 19. 如图，已知中，，在上有一点，连接并延长至点，使． （1）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1） 解：作图如图所示： （2） 证明：如图，连接， ，， ，． 由（1）知平分， ． 在和中， ， ． ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）利用角平分线的基本作图方法作图即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质得出．证明，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有、两种型号的健身器材可供选择．已知每套型健身器材的价格比每套型健身器材的价格多万元，用万元购买型健身器材的数量与用万元购买型健身器材的数量相等， （1）求每套型健身器材的价格； （2）市政府计划采购这两种健身器材共套，总费用不超过万元，则至少购买型健身器材多少套？ 【答案】（1）每套型健身器材的价格是万元 （2）至少购买型健身器材套 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）每套型健身器材的价格是万元，则每套型健身器材的价格是万元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买型健身器材套，则购买型健身器材套，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每套型健身器材的价格为万元，则每套型健身器材的价格为万元， 依题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 每套型健身器材的价格为， （万元）， 答：每套型健身器材的价格是万元． 【小问2详解】 解：设购买型健身器材套，则购买型健身器材套， 依题意得：， 解得：， 答：至少购买型健身器材套． 21. 设是一个两位数，其中是十位上的数字（）．例如，当时，表示的两位数是． （1）尝试：①当时，； ②当时，； ③当时，______；…… （2）归纳：与有怎样的大小关系？请说明理由． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可； （2）由，再计算，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由①当时，； ②当时，； 总结规律可得：③当时，； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键． 22. 下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=2 （1）解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ． A、甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元 C．甲种商品购进x件 （2）根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价． （3）若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？ 【答案】（1）A，C （2）甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件 （3）至多购进甲种商品12件 【解析】 【分析】题主要考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）分别按照解分式方程的步骤求解； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品，求解的范围，可得答案． 【小问1详解】 解：设甲种商品每件进价x元，由甲商品数量等于乙商品数量，可得：， 设甲种商品购进x件，由甲商品进价减去乙商品进价等于2可得：； 故答案为：A，C； 【小问2详解】 解：①， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件． ② 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 所以甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件 答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件． 【小问3详解】 解：设甲商品购进件，则乙商品购进件， ∵商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品， ∴， ∴， 答：至多购进甲种商品12件． 23. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中， ，连接，延长交于点．则与的数量关系：_________，_________． （2）类比探究：如图2，在和中，，连接，，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数并说明理由； （3）拓展延伸：等腰三角形的腰和底相等时，三角形为等边三角形，等边三角形有一些特殊的性质，在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为1，，则的长_________． 【答案】（1）， （2），． （3）1或3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论． （3）根据题意画出图形，分情况讨论点的位置，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1所示，设与交于点， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即，． 【小问2详解】 解， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 即，． 【小问3详解】 解：①当点E在BA延长线，点D在BC延长线时，如图所示， 过点E作交CD于点O， ∵， ∴． 在中，， ∴ ∴ ∴ ∴． ②当点E在AB延长线，点D在CB延长线时，如图所示， 过点E作交CD于点O， ∵， ∴． 在中，， ∴ ∴ ∴ ∴． 综上所述，或者 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $