精品解析：陕西省西安高新逸翠园初级中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试题

西安市高新逸翠园中学 2025-2026学年度第一学期八年级期末数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中．是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A. 2，3，5 B. 0.3 C. 5，6，8 D. 8，15，17 3. 如图，已知，，则的度数（ ） A. B. C. D. 4. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的第三四分位数是15 D. 被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 5. 若点M的坐标为，，轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个内角 B. 带根号的数一定是无理数 C. 如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行 D. 平方根和立方根都等于它本身的数为0 8. 如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点 的坐标为，点C的坐标为，与 关于 所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在（孙子算经）中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有辆车，人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD=5，AD=2，AE=3,动点P从点E出发，沿路径E-B-C-D运动，则△DPE 的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则 的值为______． 12. 若直线向上平移2个单位长度后经过点，则 的值为______． 13. 如图，，则数轴上点B所表示的数是____________ 14. 已知关于x，y的二元一次方程组，且x，y满足，则k的值为_______． 15. 如图，在 中，，点 在边 上，且，过点 作，交 的延长线于点 ，若，则 的长为___________． 三、解答题（共10小题，满分75分） 16. 计算： 17. 解二元一次方程组： （1） （2） 18. 如图，已知，用尺规在 上确定一点 ，使． 19. 如图，在平面直角坐标系中． 的三个顶点分别为点，，． （1）在图中作出 关于轴对称的图形，点、、分别与点 、 、 对应； （2）求的面积． 20. 如图，在 中，平分 交于点，过点 作，且交的延长线于点 ，点 在 的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 2023年12月4日是我国第10个“国家宪法日”，为推动广大学生树立宪法意识、增强法制观念，11月底，全国青少年普法网举办了全国学生“学宪法讲宪法”活动，某中学为了了解九年级学生的答题情况，随机抽取了部分学生的成绩，并将调查结果绘制成了如图所示的统计图． 所抽取该校九年级学生“学宪法讲宪法”活动测试成绩的统计图 （1）补全两幅统计图； （2）本次抽查学生成绩的众数是______，中位数是______； （3）该校九年级学生有1200人，全部参加考试，请估计该校九年级学生在测试中不低于80分的学生有多少人？ 22. 某校八年级学生去西北农林科技大学研学参观，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时老师和学生乘坐大巴车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大巴车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． （1）求小轿车返回学校过程（ 段）的函数表达式； （2）当两车行驶后在途中相遇，求点 的坐标； （3）当时，问大巴车从学校出发后经过多长时与小轿车相距？ 23. 开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元． （1）求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？ （2）该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？ 24. 如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点 ， 轴于点 ． （1）求点 和点 的坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）在轴上是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如果四边形的某条对角线垂直平分另一条对角线，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 【问题发现】（1）如图1，四边形 是“对称四边形”，对角线 ， 交于点O， 是“对称线”，若，，则四边形 的面积是______． 【问题探究】（2）如图2，四边形 是“对称四边形”． 是“对称线”， ，P，Q分别为线段 ， 上的动点．求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，过A作射线轴，交y轴于点P，E为射线上的动点（不与点A重合），G、F分别为线段和x轴正半轴上的动点，连接， ，点M是线段 与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时 所在直线的表达式；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市高新逸翠园中学 2025-2026学年度第一学期八年级期末数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中．是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义逐一判断即可，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、∵是无理数，∴也是无理数，故选项符合题意； B、是分数，属于有理数，故选项不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，故选项不符合题意； D、，是有理数，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A. 2，3，5 B. 0.3 C. 5，6，8 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股数．勾股数必须是三个正整数，且满足 ．直接验证各选项是否同时满足这两个条件即可． 【详解】解：勾股数需为正整数且满足． A．，所以不是勾股数． B．0.3, 0.4, 0.5 不是正整数，所以不是勾股数． C．，所以不是勾股数． D．，且均为正整数，所以是勾股数． 故选：D． 3. 如图，已知 ，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．先由 得到，从而得到，进而得到的度数． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的第三四分位数是15 D. 被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据的第一四分位数，第三四分位数的定义，分析解答即可； 【详解】解：A、箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的第一四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B、箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意； C、箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的第三四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； D、箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是19， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意． 5. 若点M的坐标为，，轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的关系，正确理解坐标系上点的性质是解题的关键． 由于平行于y轴，点M和点N的x坐标相同；根据和点M的坐标，可求出点N的y坐标；再结合点N在第四象限，据此求解即可． 【详解】解：轴 点N的横坐标与点M的横坐标相同，即 ，即 或 或 又 点N在第四象限 且 点 的坐标为． 故选：B． 6. 一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据选项中正比例函数图象确定k值，再去判定一次函数经过的象限即可判定． 【详解】解：A、选项中没有过原点的直线，此选项不符合题意； B、由正比例函数图象可知，则，故一次函数图象经过第一、三、四象限，此选项符合题意； C、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； D、由正比例函数图象可知，则，由一次函数图象经过第一、二、四象限，此选项不符合题意； 故选：B． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个内角 B. 带根号的数一定是无理数 C. 如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行 D. 平方根和立方根都等于它本身的数为0 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题，包括三角形外角，无理数，平行线的判定，平方根和立方根等内容，解题的关键是掌握相关性质和定义． 利用三角形外角性质，无理数，平行线的判定，平方根和立方根等性质和定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，该选项是假命题，不符合题意； B、带根号的数不一定是无理数，比如，该选项是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，该选项是假命题，不符合题意； D. 平方根和立方根都等于它本身的数为0，该选项是真命题，符合题意． 故选：D． 8. 如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点 的坐标为，点C的坐标为，与 关于 所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，根据对称的性质和勾股定理可以求得的长度，然后根据点在y轴的负半轴，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵与 关于 所在直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的负半轴， ∴点的坐标为， 故选：B． 9. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在（孙子算经）中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有辆车，人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：A． 10. 如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD=5，AD=2，AE=3,动点P从点E出发，沿路径E-B-C-D运动，则△DPE 的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出BE的长，然后分①点P在BE上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式，然后选择答案即可；②点P在BC上时，根据S△DPE=S梯形DEBC-S△DCP-S△BEP列式整理得到y与x的关系式；③点P在DC上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系． 【详解】解：∵在矩形DABC中，AD=2，DC=3， ∴BC=AD=2，AB=DC=5， ∵AE=3， ∴BE=AB-AE=5-3=2， ①点P在BE上时，， ∴y=x（0＜x≤2）， ②点P在BC上时， S△DPE=S梯形DEBC-S△DCP-S△BEP ， ； ③点P在DC上时，△DPE的面积， 故选C． 【点睛】本题考查了动点问题函数图象，读懂题目信息，根据点P的位置的不同分三段列式求出y与x的关系式是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，据此列出方程求解． 【详解】解： 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得 故答案为：． 12. 若直线向上平移2个单位长度后经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解： 直线向上平移2个单位长度， 平移后的直线解析式为：． 平移后经过， ． 故答案为： ． 13. 如图，，则数轴上点B所表示的数是____________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的实数，勾股定理，正确理解相关知识点是解题关键． 根据勾股定理求出 的长，利用，即可得到 的长，进而得出最后结果． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， 则数轴上点 所表示的数是， 故答案为：． 14. 已知关于x，y的二元一次方程组，且x，y满足，则k的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，根据，得：，据此即可求解． 【详解】解： 得： ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 15. 如图，在 中，，点 在边 上，且，过点 作，交 的延长线于点 ，若，则 的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键，作，证明，求出，勾股定理求出，再利用勾股定理求出 的长，进而求出 的长，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作，垂足为 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴，解得； 故答案为：． 三、解答题（共10小题，满分75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值的意义，负整数指数幂，先算绝对值和负整数指数幂，再根据二次根式的混合运算法则求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 17. 解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元求解即可； （2）利用加减消元求解即可． 【小问1详解】 解：， 由②得：， 由得：， 解得： ， 将 代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：将原方程组整理得：， 由得：， 解得： ， 将 代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 18. 如图，已知，用尺规在 上确定一点 ，使． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握这两点是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可知，作 的垂直平分线，与 的交点即为点 ． 【详解】解：如图，作线段 的垂直平分线交 于点 ，则点 即为所求． 连接， ∵由作图得，点 在 的垂直平分线上， ∴． ∵， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中． 的三个顶点分别为点，，． （1）在图中作出 关于轴对称的图形，点、、分别与点 、 、 对应； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了网格对称作图及坐标对称规律，掌握轴对称作图的方法及坐标对称规律是解题的关键． （1）分别作出点 、 、 的对称点、、，顺次连接即可得； （2）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：如图，作出 关于x轴对称的图形， ∴是所求作图形； 【小问2详解】 解：的面积． 20. 如图，在 中， 平分 交 于点 ，过点 作，且交的延长线于点 ，点 在 的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查平行线的判定与性质，关键是根据平行线的性质得出解答． （1）根据平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义得出，进而利用平行线的判定解答即可； （2）根据平行线的性质得出，进而利用三角形内角和定理解答即可． 【小问1详解】 证明：， ， 平分 ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ． 21. 2023年12月4日是我国第10个“国家宪法日”，为推动广大学生树立宪法意识、增强法制观念，11月底，全国青少年普法网举办了全国学生“学宪法讲宪法”活动，某中学为了了解九年级学生的答题情况，随机抽取了部分学生的成绩，并将调查结果绘制成了如图所示的统计图． 所抽取该校九年级学生“学宪法讲宪法”活动测试成绩的统计图 （1）补全两幅统计图； （2）本次抽查学生成绩的众数是______，中位数是______； （3）该校九年级学生有1200人，全部参加考试，请估计该校九年级学生在测试中不低于80分的学生有多少人？ 【答案】（1）见解析 （2）90，85 （3）792 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂条形统计图和扇形统计图，并掌握中位数、众数的求法是解题的关键． （1）根据条形统计图和扇形统计图，先算出90分学生的人数，再补全条形统计图； （2）利用中位数、众数的求法，直接求值即可； （3）先计算抽样学生中成绩不低于80分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况． 【小问1详解】 解：∵抽样学生中成绩为80分的有8人，占抽样学生数的， ∴本次抽样人数为：（人）， ∴抽样学生中成绩为90分的有：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：该组数据中，90分出现的次数最多， ∴众数是90， 把该组数据按从小到大的顺序排列后，第25、26个数都是80，90， ∴该组数据的中位数是， ∴所调查学生测试成绩，众数为90，中位数为85， 故答案为：90，85； 【小问3详解】 解：由扇形图知，抽样学生中成绩不少于80分的占：， ∴该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有：（人）， ∴该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有792人． 22. 某校八年级学生去西北农林科技大学研学参观，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时老师和学生乘坐大巴车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大巴车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． （1）求小轿车返回学校过程（ 段）的函数表达式； （2）当两车行驶后在途中相遇，求点 的坐标； （3）当时，问大巴车从学校出发后经过多长时与小轿车相距？ 【答案】（1） （2） （3）当时，大巴车从学校出发后经过或时与小轿车相距20km 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键； （1）设直线 的解析式是，把，代入解析式，得出解析式， （2）再把代入解答即可； （3）得出直线 的解析式，结合，再根据题意分情况列方程求解即可； 【小问1详解】 解：设直线 的解析式是， 把，代入解析式得：， 解得：， 则直线 的解析式是：， 【小问2详解】 直线 的解析式是：， 当时，； 则点 坐标为：； 【小问3详解】 解：设直线 的函数解析式为：， 将代入函数解析式，可得：， 解得：， 即直线 的函数解析式为：， 当，解得：； 当，解得：； 当时，大巴车从学校出发后经过或时与小轿车相距． 23. 开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元． （1）求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？ （2）该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？ 【答案】（1）修正带进价为8元/个，笔袋进价为10元/个 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，根据已知信息列式并正确解答是解题的关键． （1）设修正带进价为元／个，笔袋进价为元／个，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解． （2）设文具店修正带进货量为个，总利润为元，根据题意，列出w与t之间的函数关系，结合一次函数的性质以及t的取值范围，可知当时，w有最大值． 【小问1详解】 解：设修正带进价为元／个，笔袋进价为元／个， 根据题意，可得，解得． 答：修正带进价为8元／个，笔袋进价为10元／个． 【小问2详解】 解：设文具店修正带进货量为个，总利润为元， 则 ， ， 随着的增大而减少， 又 修正带的进货量不低于350个，且不高于450个，即， 当修正带的进货量为350个时，总利润的最大值为3650元． 答：该文具店总利润的最大值是3650元． 24. 如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点 ， 轴于点 ． （1）求点 和点 的坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）在轴上是否存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）把 代入可得点 的坐标，把代入可得点 的坐标； （2）根据待定系数法可求得直线的函数表达式； （3）分三种情况：①当点 为等腰的顶点，即时；②当点 为等腰的顶点，即时；③当点 为等腰的顶点，即时，分别进行讨论即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点 ， ∴当 时，， 解得： ， ∴， ∵点在直线上， ∴当时，， ∴， ∴． ∴点 的坐标为，点 的坐标为． 【小问2详解】 设直线的函数表达式为， ∵点和点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 【小问3详解】 ∵，轴于点 ， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ①当点 为等腰的顶点，即时， 则点 与点 重合， ∴此时点 的坐标为； ②如图，当点 为等腰的顶点，即时， ∵，， ∴此时点 的坐标为或； ③当点 为等腰的顶点，即时， ∵，， ∴ 为 的中点，即． ∵， ， ∴此时点 的坐标为． 综上可知，在轴上存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，点 的坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质．分类讨论是解题的关键． 25. 如果四边形的某条对角线垂直平分另一条对角线，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 【问题发现】（1）如图1，四边形是“对称四边形”，对角线 ， 交于点O， 是“对称线”，若，，则四边形的面积是______． 【问题探究】（2）如图2，四边形是“对称四边形”． 是“对称线”， ，P，Q分别为线段 ， 上的动点．求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，过A作射线轴，交y轴于点P，E为射线上的动点（不与点A重合），G、F分别为线段和x轴正半轴上的动点，连接， ，点M是线段 与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时 所在直线的表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）60；（2）；（3）存在；；； 【解析】 【分析】（1）由“对称线”的定义可知，再根据求解即可． （2）连接 ，， 交 于点 ，作，根据中垂线的性质，得到，，，进而得到，推出当三点共线时，，值最小，根据垂线段最短，得到当，即点与点 重合时，的值最小，此时最小，进行求解即可； （3）过点E作轴于点H， 由线段垂直平分线的性质可得出，，，由可知当时，点H和点F重合，的值最小，最小值为，进而可求出的面积的最小值，再求出点E的坐标，最后利用待定系数法求出 所在直线的表达式即可． 【详解】解：（1）∵ 是“对称线”， ∴ 垂直平分线段 ， ∴， ∴ ； （2）连接 ，， 交 于点 ，作， ∵ 是“对称线”， ∴ 垂直平分线段 ， ∴，，， ∴， ∴当三点共线时，，值最小， 又∵点为 上的动点， ∴当，即点与点 重合时，的值最小，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴的最小值为； (3)存在，理由∶过点E作轴于点H， ∵，， ∴， ∵四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”， ∴，，， ∴， ∴当时，点H和点F重合，的值最小，最小值为， ∴的面积的最小值为， 此时， 设 所在直线的表达式为：， 把代入：， 解得：， 故 所在直线的表达式为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形综合，勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $