精品解析：黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025~2026学年度高二年级第一学期期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章、第十章，选择性必修第一册第二章、第三章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据3，5，7，10，13，15，18，20的第25百分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即得. 【详解】因为，所以3，5，7，10，13，15，18，20这组数据中的第25百分位数即 第2个数据与第3个数据的平均数，即. 故选：B. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将一般式方程转化为点斜式方程求出斜率，即可求倾斜角. 【详解】直线化为点斜式得，， 所以直线的斜率为，所以倾斜角为， 故选：B. 3. 已知圆，圆，则这两圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系即可求解. 【详解】由题意知，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距， 所以两圆相外切， 所以这两圆的公切线的条数为3条. 故选：C. 4. 已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ） 5 6 9 12 8 7 2.4 A. B. 当时， C. 变量和呈负相关 D. 该经验回归直线必过点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归方程的性质判断即可. 【详解】选项A：因为变量和满足经验回归方程，又，， 所以，解得，故A正确； 选项B：因为变量和满足经验回归方程， 当时，，故B正确； 选项C：因为变量和满足经验回归方程，， 所以变量和呈负相关，故C正确； 选项D：由选项A知，，，该经验回归直线必过点，不一定过样本点，故D错误. 故选：D. 5. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 7 B. 15 C. 30 D. 65 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出的展开式中含和含的系数，再求原式的的系数即可. 【详解】在的展开式中，的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为. 故选：A. 6. 从由0，1，2，3，4所组成的无重复数字的三位数中随机抽取一个数，则该数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】0，1，2，3，4所组成的无重复数字的三位数首位不能是0，根据分步计数原理计算，偶数的个数用分类计数原理，末位是0或不是0分别计算，然后古典概型求解. 【详解】由0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位数的个数为个， 若个位为0，有个 ；若个位为2或4，有为个. 故偶数共有 个， 故所求概率为. 故选：D. 7. 美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的16座城市举行，将是首次有48支球队参赛的世界杯.现在要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事宣传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若A，B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 60种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】根据两人被选中的情况进行分类讨论，再结合排列组合的知识求解即可. 【详解】根据题意可分为两种情况：两人都被选中和两人中只有一人被选中. ①当两人都被选中时，不同的选派方案有种； ②当两人中只有一人被选中时，不同的选派方案有种. 所以不同的选派方案有种. 故选：. 8. 已知抛物线，为它的焦点，过的直线交抛物线于两点，过两点分别作垂直于准线的直线，垂足分别为，其中，，则值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线方程的定义及性质，结合向量夹角的余弦公式构造方程，利用韦达定理结合三角函数公式求解． 【详解】抛物线方程为， 其焦点，准线为， 为抛物线上的点，过两点分别作垂直于准线的直线，垂足分别为， 设，则，， ， ， ， ， ，， ，化简整理得， 设过焦点的直线为，联立抛物线得：， 由韦达定理得， ，即， 设直线的倾斜角为，则， ， ，解得， ，解得，则，故B正确． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次随机试验中有两个随机事件和，若，，则（ ） A. B. 若与互斥，则 C. D. 若与相互独立，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式，结合互斥事件的概率公式、独立事件的概率公式逐一判断即可. 【详解】由，得，故A正确； 由与互斥，即与不能同时发生，即，故B错误； 因为， 当时，， 此时取得最小值为； 当与互斥时，， 此时取得最大值为 ，故C正确； 若与相互独立，则， 即，故D错误. 故选：AC 10. 已知为一个随机变量，则（ ） A. 若，则， B. 若，且，则 C. 若服从两点分布，且，，则 D. 若随机变量的分布列为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项分布列期望和方差性质、期望和方差的性质求解判断A；根据正态分布的性质求解判断B；根据两点分布的期望列式求解判断C；根据分布列的性质列式求解判断D. 【详解】对于A，若，则，， 所以，，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若服从两点分布，且，，则， 所以，所以，故C正确； 对于D，由分布列的性质得，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，若存在点，使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 外接圆的面积的最小值为 C. 轴与的内切圆的公共点为定点 D. 设点是的内心，则直线，的斜率之比为常数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质及双曲线的定义列式求得离心率判断A；设的外接圆的半径为，利用正弦定理及正弦函数的性质可得的最小值，即可求解外接圆的面积的最小值判断B；设点是的内心，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，，由双曲线的定义及切线长性质求得，即可判断C；由点是双曲线的右顶点，点在直线上，可求直线，的斜率之比为为常数，即可判断D. 【详解】因为点为双曲线右支上一点，所以，且. 若为等腰直角三角形，则只能是，. 由，得，即. 对于A，因为离心率，所以，所以A正确； 对于B，设的外接圆的半径为，则，即. 当，即时，半径取得最小值， 的外接圆的面积取到最小值，所以B错误； 对于C，如图，设点是的内心，过点分别作，，的垂线， 垂足分别为，，，由双曲线的定义及切线长性质知， ，故，所以， 则的坐标为，为定点，故C正确； 对于D，由上知点是双曲线的右顶点，点在直线上.设，， 则直线，的斜率之比为，为常数.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据组合数的性质得解. 【详解】由组合数的性质得或， 所以或 【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题. 13. 进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式、全概率公式及贝叶斯公式求解即可. 【详解】记事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人患流感”. 已知，两区的人口数的比为，所以，. 两区患流感的概率：，. 所以. 故. 故答案为：. 14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值. 【详解】曲线， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 作出曲线如图： 到直线的距离， 则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性， 只需考虑，时的情况； 当，时，曲线C的方程为， 曲线为圆心为，半径为的圆的一部分， 而到直线的距离为， 由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的100名学生进行食堂满意度调查，调查结果如表所示： 满意 不满意 合计 大一或大二 20 20 40 大三或大四 40 20 60 合计 60 40 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有关联； （2）从样本中对食堂满意的学生中随机抽取2人，求这2人均是大三或大四学生的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据零假设，结合所给卡方公式进行运算判断即可； （2）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可. 【小问1详解】 零假设：该校学生对食堂的满意度与年级无关. 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即该校学生对食堂的满意度与年级有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1. 【小问2详解】 对食堂满意的学生共60人，其中大一或大二学生：20人，大三或大四学生：40人， 抽取2人均为大三或大四学生的概率：. 16. 已知圆的圆心在直线上，并且过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，列出方程求得，求得圆； （2）根据题意求得，当时，得到，取得最小值，进而得出面积的最小值. 【小问1详解】 由题意，圆心在直线上，可设， 因为圆过点，且过点， 可得，整理得， 所以，即，且半径 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆，圆心，半径， 则四边形的面积， 设，因为， 所以当时，， 此时四边形的面积最小，最小值为； 17. 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1200元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： 作物产量与概率 作物市场价格与概率 作物产量（kg） 300 600 作物市场价格（元） 4 8 概率 概率 （1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列和期望； （2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于1600元的概率． 【答案】（1）分布列见解析；（元） （2） 【解析】 【分析】（1）确定的可能取值，再分别求出对应的概率，即可求的分布列，从而可得数学期望； （2）分别求出3季中有2季的利润不少于1600元的概率和3季中利润不少于1600元的概率，利用概率相加即可得到结论． 【小问1详解】 设表示事件“作物产量为”， 表示事件“作物市场价格为4元”， 由题设知，，， 利润产量市场价格成本， 的所有可能取值为：，， ，， ， ， ， 的分布列为： 0 1200 3600 （元）； 【小问2详解】 设表示事件“第季利润不少于1600元” ，2，， 则，，相互独立， 由（1）知， 3季的利润均不少于1600元的概率为， 3季的利润有2季不少于1600元的概率为， 综上：这3季中至少有2季的利润不少于1600元的概率为：． 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）． （1）求的方程； （2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程； （2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，分析可知，结合韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 设的半焦距为， 由题意可知：，且，即， 因为，即，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，由题意可知， 则， 因为，则，可得， 又因为在椭圆上，即， 可得，化简得， 所以点的轨迹方程为． 【小问3详解】 由题意可知过点的直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线的方程为，， 联立方程，消去x得， 则， 因为与椭圆的另一交点为，可知关于原点对称，即为中点， 则，即， 可得， 化简得，整理可得， 因为，则，解得， 所以直线的方程为，即或． 19. 2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. （1）已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； （2）已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 【答案】（1） （2）（i） 0 100 200 400 ，190；（ii）顾客选择抽奖方案1更合理 【解析】 【分析】（1）求条件概率即可求出答案； （2）（i）设顾客所获得的优惠金额为元，的取值有，，，，分别求得概率，即可求出分布列，利用期望公式即可求出期望； （ii）求出，比较与的大小，即可求解. 【小问1详解】 设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩3个红球和3个蓝球，共6个球， 若享受优惠，则后两次摸出2个红球或摸出1个红球1个蓝球， 从6个球中不放回地摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种，摸出1红1蓝的情况有种， 所以，即能够享受优惠的概率为. 【小问2详解】 （i）设顾客选择抽奖方案1时，顾客所获得的优惠金额为元， 的取值有，，，， 从装有4个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，. 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 100 200 400 所以选择方案1时，顾客所获得的优惠金额的期望为 . （ii）设顾客选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为元， 的取值有，，， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 250 500 所以， 所以， 所以从获得优惠金额的期望值分析，顾客选择抽奖方案1更合理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度高二年级第一学期期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章、第十章，选择性必修第一册第二章、第三章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据3，5，7，10，13，15，18，20的第25百分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 17 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，圆，则这两圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ） 5 6 9 12 8 7 2.4 A. B. 当时， C. 变量和呈负相关 D. 该经验回归直线必过点 5. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 7 B. 15 C. 30 D. 65 6. 从由0，1，2，3，4所组成的无重复数字的三位数中随机抽取一个数，则该数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的16座城市举行，将是首次有48支球队参赛的世界杯.现在要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事宣传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若A，B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 60种 D. 120种 8. 已知抛物线，为它的焦点，过的直线交抛物线于两点，过两点分别作垂直于准线的直线，垂足分别为，其中，，则值为（ ） A. B. C. D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次随机试验中有两个随机事件和，若，，则（ ） A. B. 若与互斥，则 C. D. 若与相互独立，则 10. 已知为一个随机变量，则（ ） A. 若，则， B. 若，且，则 C. 若服从两点分布，且，，则 D. 若随机变量的分布列为，则 11. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，若存在点，使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 外接圆的面积的最小值为 C. 轴与的内切圆的公共点为定点 D. 设点是的内心，则直线，的斜率之比为常数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数________. 13. 进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为______. 14. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的100名学生进行食堂满意度调查，调查结果如表所示： 满意 不满意 合计 大一或大二 20 20 40 大三或大四 40 20 60 合计 60 40 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有关联； （2）从样本中对食堂满意的学生中随机抽取2人，求这2人均是大三或大四学生的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知圆的圆心在直线上，并且过和两点. （1）求圆的标准方程； （2）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积最小值. 17. 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1200元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： 作物产量与概率 作物市场价格与概率 作物产量（kg） 300 600 作物市场价格（元） 4 8 概率 概率 （1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列和期望； （2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于1600元的概率． 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）． （1）求的方程； （2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程． 19. 2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. （1）已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； （2）已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $