专题5.4 利用导数研究函数的极值与最值（7类必考点）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题5.4 利用导数研究函数的极值与最值 【知识梳理】 1 【考点1：求已知函数的极值或极值点】 2 【考点2：根据极值或极值点求参】 5 【考点3：函数（导函数）图象与极值或极值点的关系】 9 【考点4：由导数求函数的最值（不含参）】 12 【考点5：由导数求函数的最值（含参）】 15 【考点6：已知函数最值求参数】 21 【考点7：函数单调性、极值与最值的综合应用】 24 【知识梳理】 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： [方法技巧] 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．　 3．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 4．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. [方法技巧] 利用导数求函数在某区间上最值的规律 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．　　 【考点1：求已知函数的极值或极值点】 1．（25-26高二上·江苏连云港·月考）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点与极值的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减； 当时， ，函数单调递增， 所以是极小值点，则函数的极小值为. 故选：B. 2．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 【答案】A 【分析】利用导数，结合单调性，即可判断选项. 【详解】由题意得，，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以有极小值，且极小值点为1． 故选：A． 3．（25-26高三上·湖南湘西·月考）已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据抽象函数换元法求解析式，令，可得，再根据的符号确定函数单调性，得到极值点即可． 【详解】设，则，，即， 令，解得或， 所以当或时，，当时，， 则在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以的极大值点为． 故选：B． 4．（25-26高三上·辽宁抚顺·月考）函数的极大值为 ． 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性，可求函数的极大值. 【详解】的定义域为，． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为． 故答案为： 5．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）根据题意，求得，结合和的解集，即可得到函数的单调区间； （2）由（1）中，函数的单调性，列表，求得函数的极值. 【详解】（1）由函数，可得， 令，可得或；令，可得， 则函数的增区间为和，减区间为. （2）解：由（1）可得 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以函数的极大值为，极小值为. 【考点2：根据极值或极值点求参】 1．（24-25高二下·福建泉州·月考）若函数的极大值是6，则 . 【答案】6 【分析】利用极大值的性质并结合导数得到在处取得极大值6，进而求解参数值即可. 【详解】设，则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 可得函数在处取得极大值6，即，解得. 故答案为：6 2．（25-26高二上·上海·期末）已知函数在处取得极值0，则 . 【答案】24 【分析】根据极值点和极值可得关于参数的方程组，求出其解后再检验可得参数的值，从而可求. 【详解】函数，则， 又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，，则. 故答案为：. 3．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）已知函数 有两个极值点 ，且 ，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导后根据分析，转化为有两个解，再转化为交点问题求解 【详解】因为，则， 有两个极值点 ， 有两个解， 与的图象有两个交点， 作出图象如图所示，    设过原点的切线斜率为，切点为，， 则， 对求导，， 则切线方程为， 又因为直线过原点，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·期中）若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】函数为分段函数，时函数为，时函数为. 需通过导数分析两段函数的单调性，结合极小值的定义确定的范围。 【详解】（1）当时，函数，其导数，故在上单调递增，在处取得最小值1. （2）当时，函数，求导得. ①若，则，函数在上单调递增，此时整个函数在R上单调递增，无极小值; ②若，令，解得。由于，仅考虑. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减, 故函数在时先增后减，而时函数单调递增，故整个函数在处取得极小值. 此时，实数的取值范围为 故答案为： 5．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）若函数 既存在极大值点，又存在极小值点，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得有2个正根，所以有2个正根，通过换元可得有两个正根，即有两个正根，令，求导可得的单调性，结合图象即可求得实数 的取值范围. 【详解】由题意得，因为存在极大值点，又存在极小值点， 所以有2个正根，即有2个正根. 当时，在上单调递增， 此时至多1个零点，不符合题意，故； 令，由，得，即， 即有两个正根， 令，则与有两个不同的交点， 求导得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 画出函数的图像如图所示： 由在上有两个正根，则， 所以，所以实数 的取值范围是. 故选：A 【考点3：函数（导函数）图象与极值或极值点的关系】 1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导函数图象和极值点关系即可得到答案. 【详解】由图知当时，，此时单调递增， 当时，， 当时，，此时单调递减， 则的极大值点为. 故选：C. 2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 【答案】D 【分析】由图易得在上单调递减，在区间上单调递增，在上单调递减，进而判断各选项即可. 【详解】由图可知，当时，，所以在上单调递减，故AC错误； 而在区间上单调递增，在上单调递减，故B错误， 所以在处取得极大值，故D正确. 故选：D 3．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【分析】根据图象得到的正负，进而求出的正负，得到极值点情况. 【详解】由图象可得，当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为1，极小值点为0 故选：D 4．（多选）（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A．函数有四个极值点 B．为的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABC 【分析】由极值点定义及导数符号与函数单调性关系逐项判断. 【详解】对于A：图象在处左正右负、在处左负右正、在处左正右负， 所以函数共有三个极值点，A错误； 对于B：由极值点定义可知是的极大值点，B错误； 对于C：由图象，在为负，在为正， 所以在单调递减，在单调递增，C错误； 对于D：由图象，在为负，所以在单调递减，D正确； 故选：ABC. 5．（多选）（25-26高三上·河北邢台·月考）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．可能有三个极值点 B．若，则在上单调递减 C．若，则的极大值点为 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据导数的图象研究函数的单调性，结合极值点的概念和单调区间，逐项判定，即可求解. 【详解】由图可得，0，2是的零点，当时，有3个变号零点， 所以可能有三个极值点，A正确． 若，，由图可得当时，，单调递减，B正确． 若，，由图可得当时，， 当时，，所以的极大值点为，C正确． 若，则，由图可得， 得或，所以或，D错误． 故选：ABC 【考点4：由导数求函数的最值（不含参）】 1．（24-25高二下·广东佛山·月考）函数，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数求导，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值 【详解】由，可得， 当时，，当时，， 所以函数在为严格单调递减函数，在上为严格单调递增函数， 因为，，又， 所以在的最大值为. 故选：B. 2．（24-25高三下·河南·月考）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分段去绝对值符号，借助导数探讨单调性求出最小值即可. 【详解】当时，，单调递增，则， 当时，，求导得，单调递减， 因此， 所以的最小值为. 故选：B 3．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）利用极值定义得，可解出解析式； （2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，列表分析可得结论. 【详解】（1）依题意可得，又当时，取得极值， 所以，即，解得，经验证符合题意， 所以. （2）可知，. 令，则得或 0 2 + 0 - 0 + 极大值1 极小值 ，，所以在区间上的最大值为1，最小值为. 4．（25-26高二上·上海·期末）设. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程即可； （2）利用导数确定函数的单调性，根据单调性得到最值即可． 【详解】（1）函数定义域为，， ， 曲线在处的切线方程为：， 即； （2）， 令，解得或， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ， ， ， 所以，函数在区间上的最大值为． 5．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知奇函数和偶函数满足． (1)求证：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2)1 【分析】（1）在中，用代替，结合函数的奇偶性解方程求得的解析式，对求导结合基本不等式证明； （2）由（1）可得的解析式，求导判断单调性，进而求出最小值. 【详解】（1）在中，用代替，可得， 又是奇函数，是偶函数，则，， 所以，又， 两式相减得，两式相加得， 所以， ，，当且仅当，即时，取等号； 所以， 所以成立. （2）由（1），，则， 令，则， 由（1）知，则对，有， 所以即在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为. 【考点5：由导数求函数的最值（含参）】 1．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 【答案】(1)在上为增函数；在上为减函数； (2) 【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间． （2）求导根据函数的单调性即可求解最值． 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 当，解得：， 当，解得：． 在上为增函数；在上为减函数； （2）的定义域为， ， 当时，令，得，令时，得， 的递增区间为，递减区间为． . 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值. 【详解】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 3．（24-25高二下·河北·开学考试）已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调性，由极值定义可求得结果； （2）分别在、和的情况下，根据的正负可得单调性，由此可得最值点，代入可求得最值. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，； 当时，，恒成立，在上单调递增， 无极值； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2）当时，在上恒成立，在上单调递增， ； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，在上单调递减，； 综上所述：在上的最小值. 4．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）通过导数，可判断在上的单调性，即可得最值； （2）注意到，然后结合，讨论，，三种情况下单调性可得最小值. 【详解】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时，在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时，)在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 5．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数 (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值； (2)答案见解析. 【分析】（1）研究导函数正负情况即可求解； （2）利用导数工具分当、、、四种情况研究函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令，即，解得，可得，，的变化如下表所示， 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，无极大值 （2）为增函数， ①当时，在上，函数单调递增， 此时； ②当时，令解得 若，即，在上，函数单调递增， 此时； 若，即，在上，，的变化如下表所示， － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 此时； 若，即，在上，函数单调递减， 此时； 综上所述，当时取得最小值， 当时，取得最小值， 当时取得最小值. 【考点6：已知函数最值求参数】 1．（24-25高二下·广东河源·月考）若曲线在处有最值，则实数的值为     【答案】1 【分析】先求出导函数，再根据函数单调性得出最值即可求参. 【详解】曲线，定义域为，所以， 当时，所以单调递减，无最大值不合题意； 当时，单调递减，单调递增，所以时函数取最大值， 因为函数在处有最值，所以 故答案为： 2．（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【详解】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D 4．（2025·广东茂名·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，说明函数的单调性，从而求出函数的最大值，从而求出参数的值. 【详解】（1）当时，则，， 所以，所以切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，则无最大值，故舍去； 当时，令，解得，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，即， 所以， 即，即，所以. 5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）由题意得，分别讨论，，的情况，即可求解； （2）由（1）可得当时函数有最小值，从而可求解. 【详解】（1）由题意得的定义为，且， 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则或， 当时，则，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， 所以，解得或， 故函数的最小值为，实数的值为或. 【考点7：函数单调性、极值与最值的综合应用】 1．（24-25高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)， (2)最小值是，最大值是. 【分析】（1）根据极值的定义得到关于，的方程组，即可求出，. （2）判断函数在上的单调性，结合函数的极值和端点函数值求解. 【详解】（1）， ∵函数在处取得极值4， ∴，，解得，， ∴，经验证在处取得极大值4， 故，. （2）由（1）可知，，， 令，解得，令，解得或， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在在时取得极小值，极小值为； 在时取得极大值，极大值为，且，， 经比较，函数在区间上的最小值是，最大值是. 2．（24-25高二下·福建泉州·月考）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）通过对原函数求导，利用题设条件，列出方程组，求得的值，回代解析式验证即得； （2）根据（1）求得的函数解析式，求导讨论函数单调性，推得时，函数有极小值，也是最小值，无极大值，结合区间端点值比较求得函数最大值. 【详解】（1）由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，，由求得或， 当时，，函数递增，当时，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. （2）由（1）得， 令解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当 时， 取得极小值， 无极大值， 所以 ， 所以在区间上，的最大值为或，而． 所以在区间上的最大值为4，最小值为． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知奇函数在处取得极大值2. (1)求的解析式； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为52，最小值为 【分析】（1）利用函数奇偶性可得，再由在上取得极大值2可求得，可得解析式； （2）由（1）中解析式求导可得其在上的单调性，得出极值并比较端点处的函数值即可求出其最值. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 因为是奇函数，所以，则. 由，得. 因为在上取得极大值2， 所以解得 经经检验当时，在处取得极大值2， 故. （2）由（1）可知，， 当时，单调递增； 当和时，单调递减； 即函数在处取得极小值，在处取得极大值； 又因为， 所以在上的最大值为52，最小值为. 4．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，求函数的极值. 【答案】(1)答案见解析 (2)，. 【分析】（1）求导，分类讨论和，即可根据导函数的单调性即可求解， （2）求导，即可根据函数的单调性求解极值点. 【详解】（1）， 若，由，得；由，得， 的递减区间为，递增区间为. 若，由，得；由，得， 的递减区间为，递增区间为. （2）当时，， . 由，得或. 当变化时，与的变化情况如下表： 2 - 0 + 0 - 递减 极小值 递增 极大值 递减 ， . 5．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知函数，曲线在点处的切线与x轴平行． (1)求的值； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1)2； (2)1. 【分析】（1）求得，再利用导数的几何意义求解即可；（2）利用导数讨论函数的单调性，再求出其最小值解决即可. 【详解】（1）由题知，， 所以， 因为曲线在点处的切线与x轴平行， 所以，解得， 此时， 所以切线为与x轴平行， 所以的值为2. （2）由（1）得， 所以，， 令， 所以， 当时，， 当时，， 所以函数，即在上单调递增，在上单调递减， 所以由，即当时，， 而， 所以使， 当时，， 当时，， 所以当时，，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 令， 当时，求导得， 所以在上单调递增， 所以，即，故， 所以得， 因为， 所以. 所以在区间上的最小值为1. 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 利用导数研究函数的极值与最值 【知识梳理】 1 【考点1：求已知函数的极值或极值点】 2 【考点2：根据极值或极值点求参】 3 【考点3：函数（导函数）图象与极值或极值点的关系】 4 【考点4：由导数求函数的最值（不含参）】 5 【考点5：由导数求函数的最值（含参）】 7 【考点6：已知函数最值求参数】 10 【考点7：函数单调性、极值与最值的综合应用】 11 【知识梳理】 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： [方法技巧] 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．　 3．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 4．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. [方法技巧] 利用导数求函数在某区间上最值的规律 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．　　 【考点1：求已知函数的极值或极值点】 1．（25-26高二上·江苏连云港·月考）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 2．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 3．（25-26高三上·湖南湘西·月考）已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（25-26高三上·辽宁抚顺·月考）函数的极大值为 ． 5．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 【考点2：根据极值或极值点求参】 1．（24-25高二下·福建泉州·月考）若函数的极大值是6，则 . 2．（25-26高二上·上海·期末）已知函数在处取得极值0，则 . 3．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）已知函数 有两个极值点 ，且 ，则 的取值范围是 . 4．（25-26高二上·上海·期中）若函数在上存在极小值，则实数的取值范围为 ． 5．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）若函数 既存在极大值点，又存在极小值点，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点3：函数（导函数）图象与极值或极值点的关系】 1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 3．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 4．（多选）（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A．函数有四个极值点 B．为的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 5．（多选）（25-26高三上·河北邢台·月考）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．可能有三个极值点 B．若，则在上单调递减 C．若，则的极大值点为 D．若，则 【考点4：由导数求函数的最值（不含参）】 1．（24-25高二下·广东佛山·月考）函数，的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·河南·月考）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）已知函数，当时，取得极值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 4．（25-26高二上·上海·期末）设. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值. 5．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知奇函数和偶函数满足． (1)求证：； (2)求的最小值． 【考点5：由导数求函数的最值（含参）】 1．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 3．（24-25高二下·河北·开学考试）已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 4．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 5．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数 (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，求的最小值. 【考点6：已知函数最值求参数】 1．（24-25高二下·广东河源·月考）若曲线在处有最值，则实数的值为     2．（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 3．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东茂名·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【考点7：函数单调性、极值与最值的综合应用】 1．（24-25高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 2．（24-25高二下·福建泉州·月考）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，求的最大值和最小值． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知奇函数在处取得极大值2. (1)求的解析式； (2)求在上的最值. 4．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)当时，求函数的极值. 5．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知函数，曲线在点处的切线与x轴平行． (1)求的值； (2)求在区间上的最小值． 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $