专题5.2 导数的运算（7类必考点）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题5.2 导数的运算 【知识梳理】 1 【考点1：基本初等函数的导数】 2 【考点2：导数的四则运算】 3 【考点3：复合函数的求导】 4 【考点4：求曲线的切线方程（斜率）】 5 【考点5：已知切线（斜率）求参数】 6 【考点6：函数图象的判断及应用】 6 【考点7：导数运算的新定义问题】 8 【知识梳理】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 5. 在曲线上一点的切线方程—解题秘籍： ①求出切点的坐标 ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程. 6. 过一点的切线方程—解题秘籍： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 【考点1：基本初等函数的导数】 1．（24-25高二下·福建厦门·月考）已知函数，则 . 2．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，则 . 3．（24-25高二下·福建宁德·期末）已知函数，若趋近于0时，则趋近于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二下·福建漳州·期末）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【考点2：导数的四则运算】 1．（25-26高三上·贵州·月考）若函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·江苏连云港·月考）下列式子求导正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二上·江苏盐城·期中）下列选项中的式子求导正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二·全国·假期作业）利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3) 5．（24-25高二下·福建泉州·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【考点3：复合函数的求导】 1．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，则 . 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26高二上·重庆·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； 【考点4：求曲线的切线方程（斜率）】 1．（25-26高三上·天津滨海新·期中）曲线在处的切线方程为 ． 2．（24-25高二下·上海·期中）函数，则函数在点处的切线方程为 . 3．（2026·四川·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为 ． 4．（2025·广东佛山·一模）曲线在点处的切线方程为 . 5．（2026高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【考点5：已知切线（斜率）求参数】 1．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高三上·重庆·月考）已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 4．（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 5．（25-26高三上·福建厦门·月考）若直线是函数的一条切线，则的最小值为 . 【考点6：函数图象的判断及应用】 1．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·河南信阳·月考）函数的导函数在上的图象大致是 A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽芜湖·一模）函数在的图像大致是(    ) A． B． C． D． 5．（2025·福建泉州·一模）函数的部分图象大致为 A． B． C． D． 【考点7：导数运算的新定义问题】 1．（25-26高二上·全国·单元测试）探索新定义  定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域内每一个点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，则 ． 2．（25-26高二下·内蒙古包头·月考）在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数，则曲线在点处的切线方程为 ，用此结论“近似计算”的值为 （结果用分数表示）． 3．（25-26高三上·湖北·月考）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为（    ） A．0 B． C． D． 4．（2026高二·全国·专题练习）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 5．（2025高三·全国·专题练习）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（   ） A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为 B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为 C． D． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 导数的运算 【知识梳理】 1 【考点1：基本初等函数的导数】 2 【考点2：导数的四则运算】 4 【考点3：复合函数的求导】 7 【考点4：求曲线的切线方程（斜率）】 9 【考点5：已知切线（斜率）求参数】 11 【考点6：函数图象的判断及应用】 13 【考点7：导数运算的新定义问题】 16 【知识梳理】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 5. 在曲线上一点的切线方程—解题秘籍： ①求出切点的坐标 ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程. 6. 过一点的切线方程—解题秘籍： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 【考点1：基本初等函数的导数】 1．（24-25高二下·福建厦门·月考）已知函数，则 . 【答案】 【分析】先求得，即可求得. 【详解】由得，， . 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，则 . 【答案】 【分析】借助导数公式与导数定义计算即可得. 【详解】，则. 故答案为：. 3．（24-25高二下·福建宁德·期末）已知函数，若趋近于0时，则趋近于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数定义可得答案. 【详解】由题意，则，所以 可得. 故选：A. 4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数的计算公式逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：C. 5．（多选）（24-25高二下·福建漳州·期末）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】AB 【分析】利用基本初等函数求导公示表可直接判断ABC，易知，求得其导函数直接代入计算即可知D错误. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确. 对于C，由，得，C错误； 对于D，由可知，则，D错误 故选：AB 【考点2：导数的四则运算】 1．（25-26高三上·贵州·月考）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的运算法则求导函数，从而得所求. 【详解】因为， 所以，故. 故选：B. 2．（多选）（25-26高二上·江苏连云港·月考）下列式子求导正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：BC. 3．（多选）（25-26高二上·江苏盐城·期中）下列选项中的式子求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别利用求导公式和运算法则逐一计算四个选项，即可得正确选项． 【详解】选项A∶，故选项A错误； 选项B∶，故选项B正确； 选项C∶，故选项C正确； 选项D∶，故选项D正确． 故选：BCD 4．（25-26高二·全国·假期作业）利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由导数定义直接运算即可. 【详解】（1）由题意. （2）由题意. （3）由题意. 5．（24-25高二下·福建泉州·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求解即可； （2）利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求解即可； （3）利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求解即可. 【详解】（1） （2） （3） 【考点3：复合函数的求导】 1．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，则 . 【答案】 【分析】先利用导数的运算法则求得，再代入计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则求导即可. 【详解】因为， ， ， . 故ABC错误，D正确. 故选：D 3．（25-26高二上·江苏·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，正确； 故选：C. 4．（多选）（25-26高二上·安徽·月考）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据求导运算规则逐项计算即可判断各选项. 【详解】，则，故A正确； ，则，故错误； ，则，故C正确； ，则，故D错误． 故选：AC 5．（25-26高二上·重庆·月考）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据题意，结合导数的运算法则及复合函数求导发法则，计算即可求解. 【详解】（1）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （2）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （3）解：由，根据导数的四则运算法则， 可得. （4）解：由函数，根据导数的四则运算法则， 可得 【考点4：求曲线的切线方程（斜率）】 1．（25-26高三上·天津滨海新·期中）曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由导数运算法则可求导数，再利用导数求出斜率，由点斜式可得切线方程． 【详解】设， 则； 所以，且， 即直线斜率，过点， 故曲线在处的切线方程为， 即， 故答案为：． 2．（24-25高二下·上海·期中）函数，则函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求出函数的导数以及的值，由函数导数的几何意义可得切线方程. 【详解】根据题意，， 则， 又因为， 所以由点斜式方程得， 化解得. 故答案为：. 3．（2026·四川·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】，，， 故函数的图象在点处的切线方程为，即. 故答案为： 4．（2025·广东佛山·一模）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】 ，切线方程为 即 点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. 5．（2026高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先利用导数求解曲线的切线方程，并求解出切线与坐标轴的交点坐标，最后再根据面积公式进行求解即可. 【详解】已知，得：，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 直线与轴交于点，与轴交于点， 因此所求三角形的面积为. 故选：A 【考点5：已知切线（斜率）求参数】 1．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再设出切点为，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 2．（25-26高三上·重庆·月考）已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 【答案】A 【分析】利用导数来求出斜率，通过切线斜率来求切点坐标，再代入切线方程，即可求参数值. 【详解】由切线斜率，则，解得：或(舍去)， 因为，所以切点坐标为，代入切线方程得：， 故选：A. 3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义即可求解． 【详解】， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以切线斜率，解得． 故选：D． 4．（2025·福建厦门·三模）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 【答案】 【分析】先求出的导函数，将切点的横坐标代入求出的是切线的斜率，利用点斜式得到的切线方程，这个切线方程就是曲线的切线方程，求的导函数，则这个等于切线的斜率，从中求出曲线的切线的切点的横坐标，将其代入切线方程，从而得到曲线的切线的切点，将这个切点代入得到值. 【详解】由，求导可得，将切点的横坐标代入， 得到切线的斜率，则切线方程为，即， 由，求导可得， 由曲线在点处的切线与曲线相切， 则曲线的切线为， 令，解得， 将代入，可得，得到曲线上切线的切点为， 将代入，可得，解得． 故答案为:． 5．（25-26高三上·福建厦门·月考）若直线是函数的一条切线，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】设切点为，求得切线方程，进而可得，进而可求的最小值. 【详解】设切点为，，， 函数的切线方程为， 即， 又直线是函数的一条切线，， 由，得，故，， 联立，， ，当且仅当时取等号. 故答案为： 【考点6：函数图象的判断及应用】 1．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义可知. 【详解】由题可知：函数为单调递增，且在区间内为下凸函数， 所以，即. 故选：B 2．（25-26高三·河南信阳·月考）函数的导函数在上的图象大致是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对进行求导，然后判断导函数的奇偶性；再考虑导函数在特殊值的取值情况；最后再利用零点的存在性定理判断导函数零点所在区间，完成函数图象的判断. 【详解】，易知是偶函数，排除A，，排除B，排除C，故选D． 【点睛】函数图象的判断技巧： （1）奇偶性判断法； （2）特殊值判断法； （3）零点所在区间判断法. 3．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的奇偶性和时，，排除选项求解. 【详解】因为，且，则是奇函数，排除选项A； 当时，，故排除选项C； 又，，故排除选项D， 故选：B 4．（2025·安徽芜湖·一模）函数在的图像大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断奇偶性，然后通过计算导函数在特殊点的导函数值正负来判断相应结果. 【详解】因为定义域关于原点对称且，所以是偶函数，排除A、C；又因为，所以，所以时对应的切线斜率大于零，所以排除D， 故选B. 【点睛】本题考查函数图象的辨别，难度一般.辨别函数图象一般可通过奇偶性、单调性、特殊点位置、导数值正负对应的切线斜率变化等来判断. 5．（2025·福建泉州·一模）函数的部分图象大致为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数为奇函数排除A；再由当x→+∞时，y→+∞，排除B；利用导数判断单调性且求极值得答案． 【详解】函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（-x）=-f（x），函数为奇函数，排除A；又当x→+∞时，y→+∞，排除B；而x＞0时，,可得x=1为函数的极小值点，结合图象可知，函数的部分图象大致为C． 故选C． 【点睛】本题考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性图象等基础知识，考查逻辑推理能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，是中档题． 【考点7：导数运算的新定义问题】 1．（25-26高二上·全国·单元测试）探索新定义  定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域内每一个点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据定义对其求解极限值即可. 【详解】依题意， ，同理可求得， 所以． 故答案为： 2．（25-26高二下·内蒙古包头·月考）在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数，则曲线在点处的切线方程为 ，用此结论“近似计算”的值为 （结果用分数表示）． 【答案】 【分析】根据新定义，利用导数的几何意义即可得切线方程，继而近似计算，可得答案． 【详解】函数的导数为，所以， 函数在点处的切线为， 所以在附近可以用代替， 即，又非常接近0， ． 故答案为：；． 3．（25-26高三上·湖北·月考）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出原函数的导函数与导函数的导函数，然后代入题中公式即可求出答案. 【详解】， ，， 则曲线在点处的曲率为 故选：A. 4．（2026高二·全国·专题练习）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】A 【分析】由题意函数在区间上存在一点，使得函数在此处的切线的斜率等于两点所在直线的斜率，然后每个序号求导，分别代入求中值点即可判断． 【详解】由题意知，即存在一点， 使得此点处的切线斜率等于点与点连线的斜率，即方程解的个数就是中值点个数. ①由得，而，显然成立，故有无数个“中值点”，符合题意． ②由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ③由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ④由得，而， 故有两个“中值点”，符合题意． 故选：A. 5．（2025高三·全国·专题练习）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（   ） A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为 B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为 C． D． 【答案】D 【分析】根据题中牛顿迭代法求方程近似解的方法，将初始值代入公式计算，逐项判断即可求解. 【详解】构造函数，则.取初始近似值，则， ，故选项A正确； 取初始近似值，则， ，故选项B正确； 根据题意，可知，，，， 上述四式相加，得，故选项C正确，选项D不正确. 故选：D. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $