2026年中考数学第一轮复习讲练专题五 反比例函数的性质的应用

2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第三章 函数 专题五 反比例函数的性质的应用（解析版） 命题点1 反比例函数与一次函数的综合 1．（2025·山西·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数，求出A点坐标是解题关键．先求出C，B坐标，从而求出OC，OB长度，由得，据此可求A点横坐标，代入即可求出A点纵坐标，将A点坐标代入即可得到k的值． 【详解】对于直线， ， ， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 带入得， 故答案为：． 2．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； (2)连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)， (2)10 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【详解】（1）解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键． 3．（2024·山西·中考真题）如图，一次函数y1=k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y2= 的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当x为何值时，y1＞0； （3）当x为何值时，y1＜y2，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1）y1=x+2； ；（2）当x＞﹣2时，y1＞0；（3）x＜﹣4或0＜x＜2． 【分析】（1）将C、D两点代入一次函数的解析式中即可求出一次函数的解析式，然后将点D代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式； （2）根据一元一次不等式的解法即可求出答案． （3）根据图象即可求出答案该不等式的解集． 【详解】（1）∵一次函数y1=k1x+b的图象经过点C（-4，-2），D（2，4）， ∴， 解得． ∴一次函数的表达式为y1=x+2． ∵反比例函数y2＝的图象经过点D（2，4）， ∴4＝． ∴k2=8． ∴反比例函数的表达式为y2＝ （2）由y1＞0，得x+2＞0． ∴x＞-2． ∴当x＞-2时，y1＞0． （3）由图象可知，当x＜-4或0＜x＜2时， y1＜y2， 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法以及数形结合的思想，本题属于中等题型． 4．（2024·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，在坐标系中求三角形面积． （1）待定系数依次求出一次函数和反比例函数的表达式即可； （2）根据一次函数解析式求出点A的坐标，利用计算即可． 【详解】（1）解：点，在一次函数上， ， 解得， 一次函数解析式为：． 在反比例函数图象上， ． 反比例函数解析式为：． （2）解：令，则，， 点的坐标为，， ． 5．（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表 ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 1 ．．． 2．描点 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当时，随着的增大而减小，所以当时，有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求的最大值→求的最大值． 通过推理可得：当时，的最大值为6，所以当时，有最小值． 任务： (1)填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）； (2)请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值； (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可） (2)当时，的最大值为0，所以当时，有最大值为3 (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，描点法画函数图象等知识点，正确用已学知识解决新的问题的是解题的关键． （1）结合解题过程即可得到涉及的解题思想； （2）仿照题干的分析方法求解即可； （3）先将原函数化为，再由小明的推理方式求解． 【详解】（1）解：小红的解题过程中体现的数学思想有：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可）； 故答案为：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可） （2）解：小红的方法， 列表： …… 0 2 3 4 …… …… 3 1 …… 描点、连线得： 观察图象可得：时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值为3； 小明的方法： 通过推理可得：当，的最大值为， ∴当时，取得最大值为3； （3）解：， 令， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴由反比例函数的性质可得取得最小值为， ∴取得最小值为． 6．（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，. (1)求的值和一次函数的表达式. (2)根据图象，当时，直接写出不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题、 待定系数法求函数表达式，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据两图象的交点，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标的范围即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，解得， 反比例函数的表达式为， ，解得， ， ∵，在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象知，当，一次函数图象位于反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为． 7．（2025·江西九江·一模）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点代入可求得a值，把点代入解析式可求得k值，即可求得反比例函数的解析式． （2）先求出点，然后根据解答即可． 【详解】（1）将点代入， 得， 点． 将点代入， 得， 该反比例函数的解析式为． （2）当时，， 点， ， ． 8．（2025·山西临汾·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、两点是一次函数和反比例函数图象上的两个交点，直线与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法即可求解； （2）由点、，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 得，则反比例函数解析式为，   把代入， 得，解得，则B点坐标为，    把、代入得， ， 解得：， 则一次函数解析式为． （2）解：解：∵点、， ∴由图可得，不等式解集范围是：或 ． 命题点2 反比例函数与几何图形综合 1．（2023·山西·中考真题）如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线经过点C交x轴于点E，双曲线经过点D，则k的值为 . 【答案】1 【详解】∵BC=1，∴点C的纵坐标是y=1． ∵直线经过点C，∴，解得，x=4．∴点C的坐标是（4，1）． ∵矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，∴D（1，1）． ∵双曲线经过点D，∴k=xy=1×1=1，即k的值为1． 故答案是：1 2．（2025·山西太原·二模）如图，在平面直角坐标系中，的斜边经过原点，平行于轴，点是的中点，反比例函数的图象经过点和点．若点的坐标为，则的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． 根据反比例函数与正比例函数交点关于原点对称得到，由勾股定理和中点的定义得到，再证明，得到，即，解得，，根据三角形面积的计算即可求解． 【详解】解：∵反比例函数与直线均关于原点对称，， ∴， ∴， ∵在中，，点是的中点， ∴， 如图所示，设与轴交于点，由轴垂直轴，轴得到， ∴， ∴，则， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为： ． 3．（2025·山西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过点分别作轴于点B，轴于点C，，分别与反比例函数交于E，F两点．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义求得，利用三角形面积公式列方程并求解即可． 【详解】解：∵E，F两点在反比例函数的图象上， ∴， ∵点，轴,轴, ∴，， ∵四边形的面积为16， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（2024·山西·模拟预测）下面是小明同学的数学学习笔记，请按要求完成相应的任务． 我们今天学习了反比例函数的图象和性质，我仿照反比例函数的研究方法，对函数的图象和性质进行了深入研究，我的思考如下： 反比例函数的研究思路：在知道反比例函数的定义及一般形式的基础上，先通过描点法画出某些具体函数的图象，然后观察函数图象并结合函数表达式总结规律，从而得到反比例函数的性质． 模仿这样的研究思路，我决定对函数的性质进行研究． 首先用描点法去分别画出函数和的图象． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … — 6 3 2 1 … … — a 3 2 b … 通过描点、连线得到如下图像 然后，观察图像得到函数的性质有： 性质一：函数的图象由两条曲线组成，故可以称作双曲线； 性质二：函数的图象是由函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度得到的； …… 任务： (1)填空：__________，__________． (2)在上述研究过程中，涉及到的数学思想有__________．（多选） A．分类讨论思想    B．统计思想    C．数形结合思想    D．类比思想 (3)①根据所画图象再写一条函数的性质； ②如图3所示为函数的图象，请仿照函数的性质二写出一条函数的性质． (4)已知函数与函数的图象交于A，B两点，点A在点B的左侧，请在图2中画出函数的图象，连接OA，OB，并直接写出的面积以及不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3)函数的图象与轴交点为；函数的图象与轴无限靠近，但不相交（答案不唯一）；函数是由图象沿向右平移个单位； (4)；不等式的解集为或． 【分析】本题考查了新定义函数，反比例函数，掌握函数图象与性质是解题的关键． （）把和，分别代入即可求解； （）即可数学思想方法即可求解； （）根据函数图象即可求解； 根据函数图象平移即可求解； （）设直线与轴交于点，由题意联立方程，解得，，则，，根据函数图象即可求出不等式的解集，由得当，则，然后通过的面积为，再代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，；当时，； 故答案为：，； （2）解：在上述研究过程中，涉及到的数学思想有：数形结合思想和类比思想， 故选：； （3）解：函数的图象与轴交点为；函数的图象与轴无限靠近，但不相交； 函数是由图象沿向右平移个单位； （4）解：如图，设直线与轴交于点， 由题意联立方程：，解得：，， ∴，， ∴根据图象可得不等式的解集为或， 由得当， ∴， ∴， ∴的面积为 ． 5．（2025·山西·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)27 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，函数与结合图形面积的计算方法是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）运用待定系数法得到直线的解析式为，则点的坐标为，根据代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例的函数表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）解：设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为27． 6．（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解 阅读下列材料，并完成相应任务． 函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入，求得，则，由平移的性质得．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得．直线的函数表达式为． 猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上． 结论1：猜想正确． 二次函数图象的平移： 猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为： 证明2：．．． 反比例函数图象的平移： ．．． 任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________： 任务二：请完成猜想2的证明； 任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长． 【答案】[任务一]函数思想；[任务二] 证明见解析；[任务三] 【分析】本题考查相似三角形，反比例函数和二次函数的综合，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． [任务一]根据相似三角形的判定，待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想，即可； [任务二]设点是函数上的一点，点是函数平移后对应的点，根据[任务一]中的方法进行验证，即可； [任务三]由[任务一] 、[任务二]得平移后的函数表达式为：，根据题意，求出点，点的坐标，即可求出的值． 【详解】[任务一]从解答过程得，用待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想为：函数思想； 故答案为：函数思想； [任务二]设点是函数上的一点，沿轴向下平移个单位后对应点， 当时，， ∵点为上的点， ∴， ∴， ∴点在函数上， ∴平移后的表达式为：； [任务三]由[任务一] 、[任务二]得，平移后的函数的表达式为：， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∵平移后的函数与直线交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∴． 7．（2025·山西朔州·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点和点，连接，过点B作轴，垂足为D，的延长线与直线交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何问题，一次函数的交点，熟练利用待定系数法求解析式是解题的关键． （1）把代入反比例函数，可得反比例函数的解析式，再求出点，利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）求得直线的解析式，可求出点的坐标，即可求得的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：把代入反比例函数，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入反比例函数解析式可得， 则， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 一次函数的解析式为， （2）解：设直线的解析式为， 把代入一次函数解析式，可得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 的面积为． 8．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 命题点3 反比例函数的实际问题 1．（2025·山西长治·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（提示：）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的解析式．将点代入即可得到答案． 【详解】解：将代入得， ． 故选：D． 2．（2025·山西运城·模拟预测）用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率（单位：）可近似地看成吸管长度（单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B．对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C．长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D．对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与实际问题，反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键． 根据反比例函数图象性质逐项判断即可． 【详解】解：A、频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短，正确，故此选项符合题意； B、对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越短，原说法以错误，故此选项不符合题意； C、长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率小，原说法以错误，故此选项不符合题意； D、对于甲材质吸管乐器，长度越短，频率越大，原说法以错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 4．（2025·山西·中考真题）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为 Pa． 【答案】400 【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由图象得反比例函数经过点（0.1,1000）， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当S=0.25时，． 故答案为：400 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键． 5．（2025·山西吕梁·二模）甲醛检测仪中的核心部件之一为检测电阻，经过测量发现，检测电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的变化关系如下表所示： … 200 100 50 … 则当甲醛浓度时，检测电阻的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求得反比例函数解析式成为解题的关键． 先求出反比例函数的解析式，再把代入求得电阻的值即可． 【详解】解：依题意可得：， 检测电阻R的阻值与空气中甲醛浓度C之间的变化关系为， 把代入，得． 故答案为：25． 6．（2025·山西太原·二模）密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度 ． 【答案】/1.5/ 【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵由表格数据可知，浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， ∴当时，． 故答案为：． 7．（2025·山西·模拟预测）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力（单位：）一定时，人和木板对湿地的压强（单位：）是关于木板面积（单位：）的反比例函数．当时，．若人和木板对地面的压强不超过，则木板面积至少为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题．由题意得，待定系数法求得解析式，进而将代入，即可求解． 【详解】解：由题意得，将代入得． 当时，． ，当时，随的增大而减小，且， ． 故答案为：． 8．（2025·山西大同·三模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，王老师计划配一副近视眼镜，测得镜片的焦距为0.16米，则王老师镜片的度数为 度． 【答案】625 【分析】本题考查了求反比例函数值，反比例函数的应用， 首先求出反比例函数解析式，然后把代入计算即可． 【详解】设反比例函数解析式为 将代入得， 解得 ∴反比例函数解析式为 把代入，得度． 故答案为：625． 1．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 2．如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 3．如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3)16 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． （2）解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． （3）解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 4．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，若，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可； （2）将分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：． （2）解：∵轴于点D，， ∴， ∴将代入得， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数为； (2) (3)或； 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理、待定系数法求函数的解析式，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点B作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为，得到，然后利用三角形面积公式求得即可． （3）设，则，当时，，列方程并解得或，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， 过点B作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为，把，代入得到 解得 ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴ ∴ ∴的面积． （3）解：设， ∵，， 则， 当时， 即，得到 解得：或， 故点P的坐标为或； 6．如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】(1)，，或； (2)或 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； （2）解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 7．小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为： (2) 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键. 8．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 9．电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m， 温馨提示： ①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求k，b的值； （2）求R1关于U0的函数解析式； （3）用含U0的代数式表示m； （4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克． 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解； （3）由R1＝m＋240，，即可得到答案； （4）把时，代入，进而即可得到答案． 【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：； （2）∵， ∴； （3）由（1）可知：， ∴R1＝m＋240， 又∵， ∴=m＋240，即：； （4）∵电压表量程为0~6伏， ∴当时， 答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． 10．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，． （1）写出I关于R的函数解析式； （2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … … … … （3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过．那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？ 【答案】（1）；（2）见解析；（3）控制在3.6以上的范围内 【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，根据当时，可求出这个反比例函数的解析式； （2）将R的值分别代入函数解析式，即可求出对应的I值，从而完成表格和函数图像； （3）将I≤10代入函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【详解】解：（1）解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设， ∵当时，，代入，得：k=4×9=36， ∴； （2）填表如下： R/Ω … 3 4 5 6 7 8 9 10 … I/A … 12 9 7.2 6 4.5 4 3.6 … 函数图像如下：    （3）∵I≤10，， ∴， ∴R≥3.6， 即用电器可变电阻应控制在3.6以上的范围内． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． 1．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得；    （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；    把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 2．长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置开始行进的时间为，排头与的距离为 （1）当时，解答： ①求与的函数关系式（不写的取值范围）； ②当甲赶到排头位置时，求的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置的距离为，求与的函数关系式（不写的取值范围） （2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程． 【答案】（1）①；②；（2）与的函数关系式为：，此时队伍在此过程中行进的路程为． 【分析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式； ②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间=总时间t－甲从排尾赶到排头的时间，于是可以求S甲与t的函数关系式； （2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度×返回时间． 【详解】（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头=2t+300； ②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）=300÷v=300÷2=150 s，此时S头=2t+300=600 m，甲返回时间为：（t﹣150）s，∴S甲=S头﹣S甲回=2×150+300﹣4（t﹣150）=﹣4t+1200； 因此，S头与t的函数关系式为S头=2t+300，当甲赶到排头位置时，S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲=﹣4t+1200． （2）T=t追及+t返回，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v400； 因此T与v的函数关系式为：T，此时队伍在此过程中行进的路程为400m． 【点睛】本题考查了行程问题中相遇、追及问题，同时还考查了函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误． 3．定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案； （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键． 【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，， 由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故选：D． 2．如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意代入数据求得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，函数为反比例函数， 当时，， 即函数图象经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键． 3．在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（　　） A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得，即可得到答案． 【详解】由油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，设为常数， 由电流与是反比例关系，设为常数， ， （为常数， 与的函数关系是正比例函数， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念． 二、填空题 4．如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图像的性质，中点坐标的计算，几何图形面积的计算是关键． 根据反比例函数图像的性质设，由中点坐标的计算得到点的横坐标为，，，设，则，再结合中点坐标的计算得到，，，用含的式子表示出与的面积，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过的中点， ∴设， ∵的顶点在轴正半轴上， ∴，点的横坐标为0， ∵，即， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标均为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， 设，则， ∴，且的中点， ∴， 解得，， ∴，， ∴， ∴，， ∴则与的面积比是， 故答案为：． 三、解答题 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为， (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C．已知点A坐标为，点C坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点D在线段上，过点D且平行于x轴的直线交于点E，交反比例函数图像于点F．当时，求点F的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）设，则，证明，列出比例式求出的值，进而求出点的纵坐标，代入反比例函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为 将点和点分别代入， 得 解得 故一次函数的表达式为； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，故点． ∴的纵坐标为， 将代入，得， ∴点． 8．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数． （1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． B 、能力提升练 C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第三章 函数 专题五 反比例函数的性质的应用 命题点1 反比例函数与一次函数的综合 1．（2025·山西·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C，若，则k的值为 ． 2．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； (2)连接，请直接写出四边形的面积． 3．（2024·山西·中考真题）如图，一次函数y1=k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y2= 的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当x为何值时，y1＞0； （3）当x为何值时，y1＜y2，请直接写出x的取值范围． 4．（2024·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 5．（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表 ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 1 ．．． 2．描点 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当时，随着的增大而减小，所以当时，有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求的最大值→求的最大值． 通过推理可得：当时，的最大值为6，所以当时，有最小值． 任务： (1)填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）； (2)请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值； (3)直接写出的最小值． 6．（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，. (1)求的值和一次函数的表达式. (2)根据图象，当时，直接写出不等式的解集. 7．（2025·江西九江·一模）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，求的面积． 8．（2025·山西临汾·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、两点是一次函数和反比例函数图象上的两个交点，直线与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； 命题点2 反比例函数与几何图形综合 1．（2023·山西·中考真题）如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线经过点C交x轴于点E，双曲线经过点D，则k的值为 . 2．（2025·山西太原·二模）如图，在平面直角坐标系中，的斜边经过原点，平行于轴，点是的中点，反比例函数的图象经过点和点．若点的坐标为，则的面积为 ． 3．（2025·山西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过点分别作轴于点B，轴于点C，，分别与反比例函数交于E，F两点．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 4．（2024·山西·模拟预测）下面是小明同学的数学学习笔记，请按要求完成相应的任务． 我们今天学习了反比例函数的图象和性质，我仿照反比例函数的研究方法，对函数的图象和性质进行了深入研究，我的思考如下： 反比例函数的研究思路：在知道反比例函数的定义及一般形式的基础上，先通过描点法画出某些具体函数的图象，然后观察函数图象并结合函数表达式总结规律，从而得到反比例函数的性质． 模仿这样的研究思路，我决定对函数的性质进行研究． 首先用描点法去分别画出函数和的图象． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … — 6 3 2 1 … … — a 3 2 b … 通过描点、连线得到如下图像 然后，观察图像得到函数的性质有： 性质一：函数的图象由两条曲线组成，故可以称作双曲线； 性质二：函数的图象是由函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度得到的； …… 任务： (1)填空：__________，__________． (2)在上述研究过程中，涉及到的数学思想有__________．（多选） A．分类讨论思想    B．统计思想    C．数形结合思想    D．类比思想 (3)①根据所画图象再写一条函数的性质； ②如图3所示为函数的图象，请仿照函数的性质二写出一条函数的性质． (4)已知函数与函数的图象交于A，B两点，点A在点B的左侧，请在图2中画出函数的图象，连接OA，OB，并直接写出的面积以及不等式的解集． 5．（2025·山西·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积． 6．（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解 阅读下列材料，并完成相应任务． 函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入，求得，则，由平移的性质得．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得．直线的函数表达式为． 猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上． 结论1：猜想正确． 二次函数图象的平移： 猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为： 证明2：．．． 反比例函数图象的平移： ．．． 任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________： 任务二：请完成猜想2的证明； 任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长． 7．（2025·山西朔州·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点和点，连接，过点B作轴，垂足为D，的延长线与直线交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 8．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 命题点3 反比例函数的实际问题 1．（2025·山西长治·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（提示：）（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西运城·模拟预测）用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率（单位：）可近似地看成吸管长度（单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B．对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C．长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D．对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 3．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 4．（2025·山西·中考真题）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为 Pa． 5．（2025·山西吕梁·二模）甲醛检测仪中的核心部件之一为检测电阻，经过测量发现，检测电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的变化关系如下表所示： … 200 100 50 … 则当甲醛浓度时，检测电阻的值为 ． 6．（2025·山西太原·二模）密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度 ． 7．（2025·山西·模拟预测）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力（单位：）一定时，人和木板对湿地的压强（单位：）是关于木板面积（单位：）的反比例函数．当时，．若人和木板对地面的压强不超过，则木板面积至少为 ． 8．（2025·山西大同·三模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，王老师计划配一副近视眼镜，测得镜片的焦距为0.16米，则王老师镜片的度数为 度． 1．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 2．如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 3．如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 4．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，若，求的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 6．如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 7．小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 8．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 9．电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m， 温馨提示： ①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． （1）求k，b的值； （2）求R1关于U0的函数解析式； （3）用含U0的代数式表示m； （4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量． 10．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，． （1）写出I关于R的函数解析式； （2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … … … … （3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过．那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？ 1．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 2．长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置开始行进的时间为，排头与的距离为 （1）当时，解答： ①求与的函数关系式（不写的取值范围）； ②当甲赶到排头位置时，求的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置的距离为，求与的函数关系式（不写的取值范围） （2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程． 3．定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 4．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 2．如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）    A．   B．   3．在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（　　） A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对 二、填空题 4．如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是 ． 三、解答题 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C．已知点A坐标为，点C坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点D在线段上，过点D且平行于x轴的直线交于点E，交反比例函数图像于点F．当时，求点F的坐标． 8．小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． B 、能力提升练 A 、基础分点练 C 、综合与实践 模拟预测 学科网（北京）股份有限公司 $