精品解析：湖南省衡阳市常宁市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年下学期期末质量监测试卷 九年级数学 考生注意：本试卷共6页，三道大题，24小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x=2 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴2x﹣4≥0，解得：x≥2，则实数x的取值范围是：x≥2． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 5. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】直接由概率公式求解即可. 【详解】根据题意得=30%，解得：n=30， 经检验：n=30符合题意， 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故选：D． 【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键. 6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosA的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦的定义即可求解. 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1， ∴cosA= 故选A. 【点睛】此题主要考查余弦的定义，解题的关键是熟知三角函数的定义. 7. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴. ∵AB=5，BC=6，EF=4， ∴. ∴DE=. 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 8. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ） A. (3，3) B. (4，3) C. (3，1) D. (4，1) 【答案】A 【解析】 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标． 【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半， ∴端点C的坐标为：（3，3）． 故选A． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D， ∴△ACD∽△ABC， ∴AC：AB=AD：AC， ∵AC=3，AB=6，∴AD=．故选A． 考点：相似三角形的判定与性质． 10. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是 A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论． 【详解】∵△BPC是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴BE=2AE；故①正确； ∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠BPC=60°， ∴△DFP∽△BPH；故②正确； ∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°， ∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°， ∴∠PFD≠∠PDB， ∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误； ∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CPD， ∴， ∴DP2=PH∙PC，故④正确； 故选C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义． 必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 12. 一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡的坡度为，坝高，则坡面的长度是______m． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题关键． 利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵迎水坡的坡度为， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为：12． 13. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 【答案】5.5 【解析】 【详解】在△DEF和△DBC中，， ∴△DEF∽△DBC， ∴， 40cm=0.4m，20cm=0.2m， 即， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m 故答案为：5.5m 【点睛】考点：相似三角形 14. 如图，在中，分别为的中点，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长．此题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴， ∴， ∵在中，为的中点， ∴， 故答案为：3 15. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____． 【答案】x（x﹣12）＝864． 【解析】 【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵长为x步，宽比长少12步， ∴宽为（x﹣12）步． 依题意，得：x（x﹣12）＝864． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16. 如图，已知两点，，且，则=________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和可得，再根据正切定义计算出.此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正切定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切. 【详解】∵，根据等角的余角相等，可得: ∴， ∵，， ∴ =tan==2 故答案为2. 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，计算二次根式的除法和括号，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， 解得：． 19. 如图，在中，点D是上一点，且，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证明，结合夹角相等即可证明； （2）由（1）中的相似得到对应线段成比例代入求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴． 20. 为丰富校园文化生活，某校举办了中学生“棋类大比拼”活动，棋类项目有四项：A．象棋；B．跳棋；C．飞行棋：D．五子棋．比赛形式分为“单人组”和“双人组”． （1）小华参加“单人组”比赛，从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“飞行棋”的概率是 ． （2）小明和小红组合参加“双人组”比赛，其比赛规则是：同一组合的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．求恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】（1） （2）， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果有：共6种， ∴恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率为． 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果数，再利用概率公式可得出答案．本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【小问1详解】 由题意可知，从中恰好抽中“飞行棋”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 略 21. 为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知灯塔的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：，，） 【答案】（1）60海里；（2）安全 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得∠PAB=∠APB，从而有BP=AB，问题即解决； （2）过点作于点，计算出PD的长度，若PD>50海里，是安全的，否则不安全． 【详解】（1）由题意得：，，（海里） （海里） 答：处到灯塔的距离为60海里． （2）海监船继续向正东方向航行是安全的． 理由如下： 如图所示，过点作于点 在中， 海监船继续向东方向航行是安全的． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、锐角三角函数等知识，确定海监船继续向正东方向航行是否安全，关键是计算出灯塔P到海监船所航行的正东方向的距离． 22. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】（1）；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论． 【详解】（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0）， 将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：， 解得：， ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000． （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台， 根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000， 整理，得：x2﹣130x+4000=0， 解得：x1=50，x2=80． ∵此设备的销售单价不得高于70万元， ∴x=50． 答：该设备的销售单价应是50万元/台． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23. 已知关于x的一元二次方程满足． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若一元二次方程的两实根为、，且，请求出的值． 【答案】（1）见解析 （2）1或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）证明即可得出方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系可得，，根据，可得，结合可得，解出的值即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴或． 24. 如图，四边形的对角线与交于点，已知． （1）若，求的值； （2）若，，，． ①设的面积为，的面积为，求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到答案； （2）①证明，进一步得到，则，设，则，由勾股定理可得，即，解得，即. 在中，由勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到答案； ②过点作于点，求出，由相似三角形的性质得到，则， 由解直角三角形得到，，则，根据正切的定义即可得到答案． 此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 如图. ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①如图， 由(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， 即：， 解得，即， 在中，， ∵， ∴； ②如图，过点作于点， 由①知：，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末质量监测试卷 九年级数学 考生注意：本试卷共6页，三道大题，24小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x=2 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosA的值为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ） A. (3，3) B. (4，3) C. (3，1) D. (4，1) 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（　　） A. B. C. D. 3 10. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是 A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 12. 一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡的坡度为，坝高，则坡面的长度是______m． 13. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 14. 如图，在中，分别为的中点，若，则______． 15. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____． 16. 如图，已知两点，，且，则=________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程：． 19. 如图，在中，点D是上一点，且，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 为丰富校园文化生活，某校举办了中学生“棋类大比拼”活动，棋类项目有四项：A．象棋；B．跳棋；C．飞行棋：D．五子棋．比赛形式分为“单人组”和“双人组”． （1）小华参加“单人组”比赛，从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“飞行棋”的概率是 ． （2）小明和小红组合参加“双人组”比赛，其比赛规则是：同一组合的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．求恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明． 21. 为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知灯塔的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：，，） 22. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 23. 已知关于x的一元二次方程满足． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若一元二次方程的两实根为、，且，请求出的值． 24. 如图，四边形的对角线与交于点，已知． （1）若，求的值； （2）若，，，． ①设的面积为，的面积为，求的值； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $