精品解析：湖南省常德芷兰实验学校2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

2025年下学期期末考试八年级数学试卷 总分：120分；考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解，故本选项符合题意； B.左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项不符合题意； C.右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解，故本选项不符合题意； D.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 代数式 ，，，，，中，属于分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的识别，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，逐一判断每个代数式即可． 【详解】解： ，分母为5，不含字母，不是分式； ，分母为n，含字母n，是分式； ，分母为 ，含字母x，是分式； ，分母为 ，π为常数，不含字母，不是分式； ，分母为x，含字母x，是分式； ，分母为 ，含字母x，是分式， 是分式的有 ，，，，共4个， 故选C． 3. 在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于0.00000002s，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法表示较小的数时，形式为，其中，为原数中第一个非零数字前所有零的个数即可． 【详解】解：原数的第一个非零数字是，其前面有个零， ∴ ，且满足， ∴ ． 故选：B． 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 直角都相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是理解逆命题的定义，属于中考常考题型． 逆命题是以原命题的条件为结论，原命题的结论为条件的命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解： A的逆命题为：若，则且，但时，a和b不一定都大于0， ∴ A的逆命题是假命题； B的逆命题为：相等的角都是直角，但相等的角不一定是直角， ∴ B的逆命题是假命题； C的逆命题为：两直线平行，同位角相等， ∴ C的逆命题是真命题； D的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们相等，但平方相等的两个实数不一定相等， ∴ D的逆命题是假命题． 故选：C． 5. 我国北宋时期李诫编修的《营造法式》中记载，为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构，这样操作主要利用的三角形性质是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 三角形两边之差小于第三边 C. 三角形的内角和为 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用．利用三角形的稳定性求解即可． 【详解】解：∵三角形一旦三边固定，其形状就无法改变，这种性质称为稳定性， ∴在建筑中，利用三角形结构可以防止变形，使框架更加稳固， ∴这样操作主要利用的性质是三角形具有稳定性． 故选：D． 6. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定； B、图中是角平分线的作图，不能确定； C、图中是垂线或高线的作图，不能确定； D、图中是垂直平分线的作图，能确定． 故选：D． 7. 如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，最短线段问题，将的最小值转化为线段的长是解题关键．由等边三角形的性质可得垂直平分，则，当点P为与的交点时，取得最小值，最小值为，再结合三角形面积求解即可． 详解】解：如图，连接、， ∵是等边三角形，， ∴， ∴垂直平分，， ∵点P是AD上一个动点， ∴， ∴， 即当点P为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是8． 故选：B． 8. 如图，为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点，连接以下三个结论：①；②；③恒成立的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键。 由等边三角形的性质可得，从而可根据得到，结合全等三角形的性质可判断①的正误； 由可得，结合可得到可得，易得，由三角形外角的知识可得，即，据此可判断②的正误；由可得，再结合对顶角相等、三角形内角和定理以及等量代换即可判断③。 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴. 在和中， ， ∴， ∴,，故①正确. 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即. ∵，， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵ ∴， ∵, ∴，故③正确. 综上，正确的结论有①③，共2个. 故选C. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数非负，同时分母不能为零，因此需满足和，联立求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数，解得； 分母． ∴的取值范围是且． 故答案为且． 10. 分式和的最简公分母为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母． 【详解】解：∵，， ∴分式和的最简公分母是：． 故答案为：． 11. 如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么________． 【答案】120 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则，再利用三角形外角性质得到，然后根据平行线的性质求的度数． 【详解】解：如图所示， 是斜边的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 12. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和负整数指数幂，利用同底数幂的乘法法则变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想解答． 根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图所示， 由题意可得，（米），米， ， （米）， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，， ． ，， ， ， ， 是直角三角形，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并运用是解题的关键． 15. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，解题关键是由垂直平分线的性质求得的值． 由垂直平分线的性质得，，由即可得解． 【详解】解：，分别是边，的垂直平分线， ，， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，，点……在射线上，点……在射线上，，……均为等边三角形，依此类推，若，则边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类的规律探索，等边三角形的性质，等角对等边，三角形外角的性质，利用等边三角形的性质得到，，则可计算出，所以，利用同样的方法得到，，，利用此规律得到，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， … ∴． ∵， ∴当时，， 故答案为：． 三、解答题 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：∵， 去分母得：， 整理得 系数化为1得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负整数幂、零次幂、有理数的乘方，根据以上进行计算即可求解． 【详解】解： ． 19. 先化简，然后从0，1，2中选取一个你认为合适的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后取一个分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】解： ； 由于原式中不能为0和1，故取； 当时，原式． 20. 为了测量平地上一个水池两边相对的两点间的距离，某数学兴趣活动小组开展了综合与实践活动． 【活动准备】 1．考察水池周围地理环境； 2．准备好皮尺、测角仪等测量工具． 【设计方案】 1．如图，在水池两边分别放置标识物，标识点A和点B； 2．在水池边的空地上作的垂线，在上取两点C，D，通过测量使； 3．过点D画出的垂线，并且使点E与点A，C在一条直线上． 【数据采集】经测量得出DE的长度为52米． 请根据以上信息，求A，B两点的距离． 【答案】A，B两点的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，即可得出答案，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 在和中， ， ∴， ∴，即A，B两点的距离为． 21. 为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动·植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化，经测量，，，，，且．求四边形空地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由勾股定理得米，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴ 在中，m，m， m， ， ， 是直角三角形，且， 答：空地的面积是. 22. 素材1：如图，乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2：秋千的转轴O到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时， 过点C作于点E． 此时点C到的距离． 【问题解决】当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D， （1）求证： ； （2）若， 求 的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查垂直的定义，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是关键． （1）根据垂直的定义，角的和差关系即可求解； （2）根据题意得到，，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴在中，， ∴． 23. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，长沙主场的球赛更是一票难求，贺龙体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售“湘超”文创产品，已知吉祥物“超超”购进单价是吉祥物“湘湘”购进单价的倍，用2400元购进吉祥物“湘湘”比用1440元购进吉祥物“超超”的数量多40个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为每件35元，若将购进的这批吉祥物全部售出，要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 【答案】（1）该商店“湘湘”的购进单价为30元 （2）“超超”的售价最低应该定为每件42元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则该商店“超超”的购进单价为元，根据用2400元购进吉祥物“湘湘”比用1440元购进吉祥物“超超”的数量多40个建立方程求解即可； （2）设“超超”的售价应该定为每件m元，根据总利润不低于640元建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则该商店“超超”的购进单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：该商店“湘湘”的购进单价为30元； 【小问2详解】 解：设“超超”的售价应该定为每件m元， 由（1）可知该商店“超超”的购进单价为元， 则， 解得， ∴m的最小值为42， 答：“超超”的售价最低应该定为每件42元． 24. 在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． （1）化简：__________． （2）观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． （3）利用分母有理化计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【小问1详解】 解：分子分母同乘： 原式 ． 【小问2详解】 解：分子分母同乘​： 原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 25. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末考试八年级数学试卷 总分：120分；考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 代数式 ，，，，，中，属于分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 在全球范围内，我国北斗卫星导航系统授时精度优于0.00000002s，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 直角都相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 5. 我国北宋时期李诫编修的《营造法式》中记载，为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构，这样操作主要利用的三角形性质是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 三角形两边之差小于第三边 C. 三角形的内角和为 D. 三角形具有稳定性 6. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边中点，在点P运动的过程中，的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点，连接以下三个结论：①；②；③恒成立的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若二次根式有意义，则取值范围是______． 10. 分式和的最简公分母为____． 11. 如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么________． 12. 已知，则_____． 13. 如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行_______米． 14. 如图，在中，，，，，则的度数为____________． 15. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为，则的周长为_________． 16. 如图，，点……在射线上，点……在射线上，，……均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为______． 三、解答题 17. 解方程：． 18. 计算：． 19. 先化简，然后从0，1，2中选取一个你认为合适的数作为的值代入求值． 20. 为了测量平地上一个水池两边相对的两点间的距离，某数学兴趣活动小组开展了综合与实践活动． 【活动准备】 1．考察水池周围地理环境； 2．准备好皮尺、测角仪等测量工具． 【设计方案】 1．如图，在水池两边分别放置标识物，标识点A和点B； 2．在水池边的空地上作的垂线，在上取两点C，D，通过测量使； 3．过点D画出的垂线，并且使点E与点A，C在一条直线上． 【数据采集】经测量得出DE的长度为52米． 请根据以上信息，求A，B两点的距离． 21. 为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动·植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化，经测量，，，，，且．求四边形空地的面积． 22. 素材1：如图，乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2：秋千的转轴O到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时， 过点C作于点E． 此时点C到的距离． 问题解决】当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D， （1）求证： ； （2）若， 求 的长． 23. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，长沙主场的球赛更是一票难求，贺龙体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售“湘超”文创产品，已知吉祥物“超超”购进单价是吉祥物“湘湘”购进单价的倍，用2400元购进吉祥物“湘湘”比用1440元购进吉祥物“超超”的数量多40个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为每件35元，若将购进的这批吉祥物全部售出，要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 24. 在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． （1）化简：__________． （2）观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． （3）利用分母有理化计算：． 25. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $