第1章 因式分解（暑假单元自测）新八年级数学新教材湘教版

**基本信息** 湘教版初中数学因式分解单元卷，考点全覆盖，通过图形拼接、密码编译等情境化问题与动手操作题，融合抽象能力、运算能力与模型意识，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|提公因式法（第1题）、完全平方公式（第3题）|结合图形拼接揭示因式分解等式（第6题），体现几何直观| |填空|8/24|代数式求值（第13题）、因式分解应用（第18题）|设置密码生成情境（第18题），渗透模型意识| |解答|6/66|分组分解（22题）、拼图验证（23题）|设计拼图实验题（23题），培养创新意识与实践能力|

第1章 因式分解 单元自测卷 【新教材，湘教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空8题，解答6题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形中是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 4．因式分解 的结果是（     ） A． B． C． D． 5．如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 6．如图，将两张边长为的正方形纸片和两张长、宽分别为，的矩形纸片拼成一个大的矩形．该过程所揭示的关于因式分解的等式是（     ） A． B． C． D． 7．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱兰州 B．爱兰州 C．我爱数学 D．兰州数学 8．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 9．已知长方形的长为，宽为，若该长方形的周长为14，面积为12，则的值为（     ） A．70 B．84 C．96 D．168 10．装修师傅要用如图所示的，，三种型号的板材装饰一面正方形墙壁，其中型、型板材均为正方形，型板材为矩形，统计数量时，发现用了块型板材、块型板材和块型板材正好铺满，则这面正方形墙壁的边长是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．分解因式：________． 12．因式分解：________________． 13．如果，，则的值为______． 14．将多项式分解因式为_____． 15．若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 16．对任意自然数________（填“是”或“不是”）30的倍数． 17．若多项式可以分解因式，则m的值可以是_______（只写出一个即可）． 18．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码151719，则______． 三、解答题（共66分） 19．（10分）把下列各式分解因式： (1) (2) 20．（10分）先因式分解，再求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 21．（11分）已知，，求的值． 22．（11分）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 23．（12分）如图，有①②③三种不同型号的卡片若干，其中型号①②分别是边长为a和b的正方形卡片，型号③是长为a、宽为b的长方形卡片． (1)请用这些卡片分别拼出面积为的长方形，并画出图形． (2)你能拼出面积为的长方形吗？如果能，请画出图形；如果不能，请说明理由． (3)请再提出一个问题，并加以解答． 24．（12分）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： ____________； (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 因式分解 单元自测卷 【新教材，湘教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空8题，解答6题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到最大公因式； 【详解】解：∵ 多项式中，系数4和12的最大公约数为4，各项共有的字母是a和b，a的最低次幂为，b的最低次幂为，c仅在第二项出现，不参与公因式构成， ∴ 最大公因式为； 2．下列从左到右的变形中是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断选项即可得到答案． 【详解】根据因式分解的定义，变形后等式右边需为几个整式的乘积形式，逐一判断： A．等式右边为，是和的形式，不是乘积形式，∴ A不是因式分解； B．变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，右边不是乘积形式，∴ B不是因式分解； C．变形是整式乘法，右边是和的形式，不是乘积形式，∴ C不是因式分解； D．左边是多项式，右边是两个整式的乘积形式，符合因式分解的定义，∴ D是因式分解． 故选：D． 3．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式分解因式的条件：多项式为三项，两项为符号相同的平方项，第三项为两平方项底数乘积的2倍，逐一判断即可. 【详解】解：∵选项A的多项式中，两个平方项与符号不同，不符合要求，∴A错误； ∵选项B的多项式只有两项，不符合完全平方公式分解的要求，∴B错误； ∵选项C的多项式中，一次项不是，不满足条件，∴C错误； ∵选项D的多项式，符合完全平方公式，∴D正确. 4．因式分解 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 5．如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 【答案】C 【分析】对于二次项系数为1的二次三项式，因式分解满足，根据对应系数相等即可求出的值． 【详解】解：∵多项式分解因式的结果是， ∴根据因式分解的规律可得， ，， 计算得 ，． 6．如图，将两张边长为的正方形纸片和两张长、宽分别为，的矩形纸片拼成一个大的矩形．该过程所揭示的关于因式分解的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】长方形的面积为，正方形的面积为，面积和为，整个长方形的面积表示为，根据同一个图形的面积相等，建立等式求解即可； 【详解】解：根据题意，得； 7．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱兰州 B．爱兰州 C．我爱数学 D．兰州数学 【答案】A 【分析】先对多项式提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解，根据各因式对应密码得到最终信息，选出正确选项，正确分解因式是解题关键. 【详解】解：∵， 又∵ ∴ 根据题意，对应关系为：我，爱，州，兰， 因此结果呈现的密码信息可能为我爱兰州. 8．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先观察已知条件和所求代数式的关系，将所求代数式配方后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求代数式配方得原式 ， ∵， 将代入上式得原式， 故选：C． 9．已知长方形的长为，宽为，若该长方形的周长为14，面积为12，则的值为（     ） A．70 B．84 C．96 D．168 【答案】B 【分析】先根据长方形周长和面积公式得到和的值，再对所求多项式进行因式分解，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵长方形周长为14，长为，宽为， 则，即； ∵长方形面积为12， ∴， ∵， 将，代入得： 原式． 10．装修师傅要用如图所示的，，三种型号的板材装饰一面正方形墙壁，其中型、型板材均为正方形，型板材为矩形，统计数量时，发现用了块型板材、块型板材和块型板材正好铺满，则这面正方形墙壁的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，正方形的面积为： ∴正方形墙壁的边长是． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．分解因式：________． 【答案】 【分析】利用提取公因式法求解即可． 【详解】解：． 12．因式分解：________________． 【答案】 【详解】解： ． 13．如果，，则的值为______． 【答案】 【分析】将用提公因式法因式分解得到，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：，， ∴． 14．将多项式分解因式为_____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解即可. 【详解】解： ． 15．若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， 对比等式两边对应项的系数可得． 故答案为：． 16．对任意自然数________（填“是”或“不是”）30的倍数． 【答案】是 【分析】把原式变形为，即可作出判断． 【详解】解：∵，自然数， ∴，且为自然数， ∴且为整数， ∴是30的倍数． 17．若多项式可以分解因式，则m的值可以是_______（只写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】利用二次项系数为1的二次三项式的十字相乘法分解因式，将常数项分解为两个整数的乘积，一次项系数m等于这两个整数的和，写出任意一个符合条件的m即可． 【详解】解：设多项式 可分解为 ，其中 为整数 展开得 对比系数可得 ， 取 ， ， 满足 此时 （答案不唯一）． 18．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码151719，则______． 【答案】 【分析】先对多项式提取公因式，再根据密码得到因式分解的结果，展开多项式后对应系数相等求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：， 当时，可以得到密码， 分解后的三个因式为，，，即分解结果为， ， ，， ． 三、解答题（共66分） 19．（10分）把下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（10分）先因式分解，再求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 当， 原式． 21．（11分）已知，，求的值． 【答案】 【分析】先利用提取公因式法和完全平方公式对原式进行因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 22．（11分）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】（1）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把整体提公因式； （2）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把看作整体，运用完全平方公式分解因式； （3）把方程左边分解因式，可得：，因为，，是的三边，不可能是，可得：，所以是等腰三角形． 【详解】（1）解： ；    （2）解： ；   （3）解：， ， ， ，     ，，是的三边， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 23．（12分）如图，有①②③三种不同型号的卡片若干，其中型号①②分别是边长为a和b的正方形卡片，型号③是长为a、宽为b的长方形卡片． (1)请用这些卡片分别拼出面积为的长方形，并画出图形． (2)你能拼出面积为的长方形吗？如果能，请画出图形；如果不能，请说明理由． (3)请再提出一个问题，并加以解答． 【答案】(1)面积为, ∴长方形的长为，宽为a，如图所示； 面积为， ∴长方形的长和宽均是，如图所示： (2)能，， 长方形的长为，宽为，如图所示： (3)解：你能拼成一个面积为的长方形吗？画出图形，并计算出这个长方形的长和宽． ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 24．（12分）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： ____________； (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【答案】(1) (2)证明：将“”看成整体，令，则： 原式． 再将“”还原，得原式． ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）根据阅读材料中的方法类比求解即可； （2）根据阅读材料中的方法类比求解，将因式分解为，最后由平方非负性即可得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令，则： 原式． 再将“”还原，得原式． （2）略． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $