精品解析：湖南省长沙市望城区 2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题(题库B)

2025年下期普通中小学期末质量监测（题库B） 八年级数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项；本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 以下列各组长度的线段为边（单位：），能构成三角形的是（ ） A. 6，6，10 B. 8，4，3 C. 6，3，11 D. 3，3，6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边之和是否大于最长边即可判断各组线段是否能构成三角形． 【详解】解：A、∵， ∴长为的三条线段能构成三角形，符合题意； B、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 2. 2025年11月21日第十五届全运会在广州落下帷幕，请同学们在以下给出的运动图片中选出是轴对称图形的运动（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形， 根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：因为图A不是轴对称图形，所以不符合题意； 因为图B不是轴对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，所以符合题意； 因为图D不是轴对称图形，所以不符合题意． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等，需逐一验证各选项的正确性. 【详解】∵ 选项A: = ≠ , ∴ A错误. ∵ 选项B: = ≠ , ∴ B错误. ∵ 选项C: = ≠ , ∴ C错误. ∵ 选项D: = = , ∴ D正确. 故选D． 4. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不为零，即，从而得到． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， ∴． 故选：A． 5. 在中，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出对应角是解题的关键． 根据全等三角形对应角相等求出，再利用三角形的内角和等于列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴． 在中，， ∴． 故选A． 6. 已知，，则（ ）． A B. 24 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而推出，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，，平分交于点D，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．由，求得，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，平分交于点D， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 把多项式分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用平方差公式进行分解因式，根据公式为进行分解因式，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 9. 甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则符合题意的正确方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据题意，甲做360个零件的时间等于乙做480个零件的时间，且甲、乙每天共做140个零件．设甲每天做x个零件，则乙每天做个零件．利用时间相等关系列方程． 【详解】解：∵ 甲做360个零件的时间为 ， 乙做480个零件的时间为 ， ∵时间相等， ∴ ， 即选项B正确． 故选：B 10. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 点A（﹣2，4）关于y轴对称点的坐标是__． 【答案】（2，4） 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数. 【详解】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点， ∴点A（-2，4）关于y轴对称点的坐标为（2，4）. 故答案为（2，4）. 【点睛】本题考查的知识点是关于y轴对称的点的坐标，解题关键是掌握好对称点的坐标规律：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 12. 如果，那么的值为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算．由条件可得 ，再将转化为，利用同底数幂乘法法则计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 则， 故答案为：9． 13. 某种花粉的直径约为，花粉直径用科学记数法表示为_______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 14 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提出公因数3，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 15. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若，，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知是的平分线，作出中边上的高线，根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）可得，然后再根据三角形的面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 根据题意可知是的平分线， ∵，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图和角平分线的性质定理，还考了三角形的面积计算，解题的关键是能够作出辅助线并知道运用角平分线的性质． 16. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．请根据以下规律，求出所有项系数之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的应用，根据图中规律，先通过观察杨辉三角中展开式的系数和，发现其规律为系数和等于；再据此规律计算的系数和为． 【详解】解：观察系数和规律： ，系数和：； ，系数和：； ，系数和： ，系数和：； 由此可得规律：的各项系数和为 ∴所有项系数之和为． 故答案为：. 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，正确掌握解分式方程方法是解题的关键． （1）通过去分母把分式方程化为一元一次方程，求解和检验即可； （2）通过去分母把分式方程化为一元一次方程，求解和检验即可． 【小问1详解】 解： 左右两边同乘得，， 解得， 检验：当时，， 则原分式方程的解为； 【小问2详解】 解： 左右两边同乘得，， 解得， 检验：当时，， 则原分式方程无解． 18. 先化简，再求值：，其中，，． 【答案】，8 【解析】 【分析】本题考查了整式化简求值，零指数幂，负整数指数幂． 先计算乘法公式，再合并同类项，计算零指数幂，负整数指数幂，最后将x和y的值代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 由题意可知：，， 当，时，原式． 19. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b满足，求a，b的值； （2）若c为偶数，求周长． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，三角形三边关系． （1）根据完全平方公式将原式化为，进而根据非负数的性质即可求出a，b的值； （2）利用三角形三边关系确定c的范围，结合c为偶数求周长即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵的三边长分别为a，b，c， ∴， 即， ∵c为偶数， ∴， ∴周长． 20. 如图的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请作出关于x轴对称的，并写出3个顶点坐标：______，______，______； （2）若点P为y轴上一点，且的面积为6，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）作图见解析，，， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到A、B、C三点的关于x轴的对称点，，的坐标，依次连接这三个点即可得到所求作的三角形； （2）设点P的坐标为，则，根据点到y轴的距离为4，可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 则，，， 故答案为，，； 【小问2详解】 解：点P为y轴上一点， 设点P的坐标为， 的面积为6，，， ，点到y轴的距离为4， ， ， 或， 即或， 则所有满足条件的点P的坐标为或． 21. 如图，在中，于点D，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，试求的面积． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法； （1）通过证明，即可证明； （2）先求出，进而求出，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明： ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， ． 22. 据悉，望城区第四届“雷小锋”超炫科创展将于2026年3月正式启动，某学校在积极筹备科创展时，从市场购进了甲、乙两种品牌的航模材料．已知乙品牌材料比甲品牌材料每个贵50元，用3200元购买甲品牌材料的数量是用2600元购买乙品牌材料数量的2倍． （1）购买一个甲品牌、一个乙品牌的材料各需多少元？ （2）若该学校决定再用不超过6000元购进甲、乙两种品牌材料共60个，恰逢批发市场对乙品牌材料的售价进行调整；乙品牌按上一次购买时售价的八折出售，那么该学校此次最少购买多少个甲品牌材料？ 【答案】（1） 甲品牌材料每个80元，乙品牌材料每个130元 （2） 最少购买10个甲品牌材料 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设一个甲品牌材料需要元，则一个乙品牌材料需要元，根据“用3200元购买甲品牌材料的数量是用2600元购买乙品牌材料数量的2倍”列出分式方程，求解即可得出答案； （2）设该学校此次购买y个甲品牌材料，则购买个乙品牌材料，根据“该学校决定再用不超过6000元购进甲、乙两种品牌材料共60个”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设一个甲品牌材料需要x元，则一个乙品牌材料需要元． 根据题意，得， 解得：， 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． ∴． 答：购买一个甲品牌材料需要80元，购买一个乙品牌材料需要130元． 【小问2详解】 解：设该学校此次购买y个甲品牌材料，则购买个乙品牌材料． 根据题意，得， 解得： ∴y的最小值为10． 答：该学校此次最少购买10个甲品牌材料． 23. 如图，是等边三角形，点D是边上一点，延长至E，使．若点D是的中点． （1）求证：； （2）延长交于点F，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质即可证明； （2）首先易得，再由含度角直角三角形的性质得，，进而得，，由建立方程可求得． 【小问1详解】 证明：是等边三角形，点D是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 24. 定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“整差式”，这个常数称为A关于B的“整差值”． 如分式，，，则A是B的“整差式”，A关于B的“整差值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“整差式”，若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“整差值”； （2）已知分式，，P是Q的“整差式”，且P关于Q的“整差值”是2，x为正整数，且“整差式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； （3）已知分式，（a，b，c为整数），M是N的“整差式”，且M关于N的“整差值”是1，求的值． 【答案】（1）C是D的“整差式”，C关于D的“整差值”为1 （2），或 （3）11或1 【解析】 【分析】（1）先计算C与D的差，再根据“整差式”和“整差值”的定义判断即可； （2）由条件得，整理可得E的表达式，再代入化简P，根据x为正整数和P为整数，即可得到x的值； （3）由条件得，整理可得恒成立，从而可得，再消去a，结合因式分解可得，结合a，b，c为整数即可得到a，b，c的值，从而计算的值． 本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，因式分解的应用，方程的整数解问题，正确理解新定义，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ， 则C是D的“整差式”，C关于D的“整差值”为1； 【小问2详解】 由条件得， 即， 解得， ∴， ∵x为正整数，且“整差式”P的值也为整数， ∴当时，或当时，， 则，或； 【小问3详解】 由条件得， 即， 整理得恒成立， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， ∵a，b，c为整数， ∴或， 则或， ∴， 或． 25. 如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． （1）初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ （3）灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 【答案】（1），见解析 （2） （3）16或 【解析】 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【小问1详解】 解： 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； 【小问3详解】 当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵，， ∴， 由（2）得， ∴， 的周长为：， 故答案为：或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期普通中小学期末质量监测（题库B） 八年级数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项；本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 以下列各组长度的线段为边（单位：），能构成三角形的是（ ） A. 6，6，10 B. 8，4，3 C. 6，3，11 D. 3，3，6 2. 2025年11月21日第十五届全运会在广州落下帷幕，请同学们在以下给出的运动图片中选出是轴对称图形的运动（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 中，若，，则（ ） A. B. C. D. 6 已知，，则（ ）． A. B. 24 C. D. 12 7. 如图，在中，，，平分交于点D，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 把多项式分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则符合题意的正确方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 点A（﹣2，4）关于y轴对称点的坐标是__． 12. 如果，那么的值为_______． 13. 某种花粉的直径约为，花粉直径用科学记数法表示为_______m． 14. 分解因式：________． 15. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若，，则的面积为_______． 16. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．请根据以下规律，求出所有项系数之和为______． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，，． 19. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b满足，求a，b的值； （2）若c为偶数，求周长． 20. 如图的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请作出关于x轴对称的，并写出3个顶点坐标：______，______，______； （2）若点P为y轴上一点，且的面积为6，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 21. 如图，在中，于点D，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，试求的面积． 22. 据悉，望城区第四届“雷小锋”超炫科创展将于2026年3月正式启动，某学校在积极筹备科创展时，从市场购进了甲、乙两种品牌的航模材料．已知乙品牌材料比甲品牌材料每个贵50元，用3200元购买甲品牌材料的数量是用2600元购买乙品牌材料数量的2倍． （1）购买一个甲品牌、一个乙品牌的材料各需多少元？ （2）若该学校决定再用不超过6000元购进甲、乙两种品牌材料共60个，恰逢批发市场对乙品牌材料的售价进行调整；乙品牌按上一次购买时售价的八折出售，那么该学校此次最少购买多少个甲品牌材料？ 23. 如图，是等边三角形，点D是边上一点，延长至E，使．若点D是的中点． （1）求证：； （2）延长交于点F，若，求的长． 24. 定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“整差式”，这个常数称为A关于B的“整差值”． 如分式，，，则A是B的“整差式”，A关于B的“整差值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D“整差式”，若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“整差值”； （2）已知分式，，P是Q的“整差式”，且P关于Q的“整差值”是2，x为正整数，且“整差式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； （3）已知分式，（a，b，c为整数），M是N的“整差式”，且M关于N的“整差值”是1，求的值． 25. 如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． （1）初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ （3）灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $