1.3.1 平方差公式的认识同步练习2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3乘法公式 第1课时平方差公式的认识 一、选择题 1.计算：(1+y)1-y)=( A.1+y2B.-1-y2C.1-y2D.-1+y2 2.下列各式能用平方差公式计算的是( A.(m+n)n+m)B.(2m-n)(2n+m) C.(3m+n)3m-n)D.(m+1)(-m-1) 3.下列运用平方差公式计算正确的是( A.(2x+3)2x-3)=2x3-9 B.(x+4)x-4)=x2-4 C.(5+x)x-6=x3-30 D.(-1+46)(-1-46)=1-16b2 4.若用平方差公式计算(x+2y一1)x-2y+1),则可将原式变形为( A.[x-(2y+1)]2 B.[x+(2y-1)][x-(2y-1)] C.[x+(2y+1)] D.[&-2y+1][x-2y)-1] 5.等式“口a2+b2=-(2a-b)2a十b)”中的口”表示的数是() A.4B.-4C.16D.-16 6.若x2-y2=3,则c十y)2(x-y)2的值是( A.3B.6C.9D.18 7.若1112-1=110k,则k的值为( ) A.109B.110 c.111 D.112 8.化简(a十b十c)2-(a-b+c)2的结果为() A.4ab++4bc B.4ac C.2ac D.4ab-4bc 9.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如 8=32一12,16=52-32，所以8,16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为() A.22 B.24 C.30 D.34 二、填空题 10.计算： (1)x+y)x-y)= (2)y-x)y+x)= (3)(-x-y)(-x+y)= (4)x-y)(-x-y)= (5)(-m2n+2)(-m2n-2)= (6(am+1)(am-1)= (7x+2y)x-2y)x2+4y2)= 11.若m+1)m-1)=1,则m2= 12.如果(-2x-3y)M=4x2-9y2,那么M表示的式子为 13.用“@”表示一种运算，对于任意数m,n都有m@n=(m十n)m-n).例如：5@6=(5+ 6×(5-6=-11,则(-2)©(-3)的值为 14.若4m+n=90,2m-3n=10,则(m+2n)2-(3m-n)2的值为 15.若(2a+2b+1)(2a+2b-1)=15,则a+b= 三、解答题 16.计算： (1)y+5)5-xy): (20.1-0.3x)(0.1+0.3x) (3)lalvs4al\col(-(13)x+y)\alvs4\alcol(f(13)x +y) 17.先化简，再求值：(a-2b)(a+2b)-(a-2b)b十862，其中a=-2,b=专 18.【观察】(2+3)2-22=7×3；(4+3)2-42=11×3 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除 【验证】(1)6+3)2一62的结果是3的倍： (2)设偶数为2n,试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除： 【延伸】(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差除以6的余数是几？请说明理由. 19.小明在计算(2+1)22+1)24+1)28+1)216+1)时是这样分析的：这个算式里面每个括 号内都是两数和的形式，跟平方差公式类似，但是需要添加两数的差，于是将算式乘(2一1) ,并做了如下的计算： (2+1)22+1)(24+1)28+1)216+1) =(2-1)2+1)(22+1)24+1)28+1)216+1) =(22-1)22+1)(24+1)28+1)(216+1) =232-1. (1)请按照小明的方法计算：(3+1)32+1)34+1)38+1)316+1) (2)借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：(1-122)1-132)1一142)(1一1102) 参考答案 一、选择题 1.计算：(1+y)1-y)=( A.1+y2B.-1-y2 C.1-y2 D.-1+y2 【答案】C 2.下列各式能用平方差公式计算的是( A.(m+n)(n++m)B.(2m-n)(2n+m) C.(3m+n)3m-n)D.(m+1)(-m-1) 【答案】C 3.下列运用平方差公式计算正确的是( A.(2x+3)2x-3)=2x3-9 B.(x+4)x-4)=x2-4 C.(5+x)x-6=x3-30 D.(-1+4b(-1-46b)=1-1662 【答案】D 4.若用平方差公式计算x+2y一1)x一2y+1),则可将原式变形为( A.[x-(2y+1]2 B.[x+(2y-1)x-(2y-1] C.[x+(2y+1)]2 D.[x-2y)+1][&-2y)-1] 【答案】B 5.等式“口a2+b2=-(2a-b)2a+b)”中的“口”表示的数是() A.4B.-4C.16D.-16 【答案】B 6.若x2-y2=3,则x+y)2(x-y)2的值是( A.3B.6C.9D.18 【答案】C 7.若1112-1=110k,则k的值为() A.109 B.110 C.111 D.112 【答案】D 8.化简(a+b+c)2-(a-b+c)2的结果为() A.4ab+4bc B.4ac C.2ac D.4ab-4bc 【答案】A 【解析】(a+b+c2-(a-b+c)2=[(a+b+c)+(a-b+cJ[(a+b+c)-(a-b+c=2b(2a+2c)=4ab+ 4bc.故选A 9.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如8=32一12 ,16=52-32,所以8,16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为() A.22 B.24C.30D.34 【答案】B 【解析】设这两个连续奇数分别为2n-1,2n+1,其中n是正整数，则“凤凰数”=(2n十1)2-(2n-1) 2=[(2n十1)十(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=4n×2=8n.A.22÷8=2...6,故该选项错误；B.24÷8=3 ,故该选项正确；C.30÷8=3..6,故该选项错误；D.34÷8=4...2,故该选项错误.故选B. 二、填空题 10.计算： (1)x+y)x-y)= (2)y-x)y+x)= (3)(-x-y)(-x+y)= (4)&-y)(-x-y)= (5)(-m2n+2)(-m2n-2)= (6(am+1)(am-1)= (7)x+2y)x-2y)x2+4y2)= 【答案】x2-y2y2-x2x2-y2y2-x2m4n2-4a2m-1x4-16y4 11.若(m+1)(m-1)=1,则m2=一 【答案】2 12.如果(-2x-3y)M=4x2-9y2,那么M表示的式子为 【答案】-2x+3y 13.用“回”表示一种运算，对于任意数m,n都有m©n=(m十n)(m-m).例如：5©6=(5+6×(5- 6)=-11,则(-2)©(-3)的值为 【答案】-5 14.若4m十n=90,2m-3n=10,则(m+2n)2-(3m-n)2的值为 【答案】-900 15.若(2a+2b+1)2a+2b-1)=15,则a+b= 【答案】2或-2 【解析】因为(2a+2b+1)(2a+2b-1)=15,所以(2a+2b)2-1=15,所以4(a+b)2=16.所以(a+b)2 =4.所以a+b=2或a十b=-2. 三、解答题 16.计算： (1)y+5)5-xy): 解：原式=25-x2y2 (2)(0.1-0.3x)(0.1+0.3x); 解：原式=0.01-0.09x2 (3)lalvs4\allcol(-Y(13)x +y)laws4\allcol(f(13)x +y). 解：原式=y2-1x2 17.先化简，再求值：(a-2b)a+2b)-(a-2bb+82,其中a=-2,b=专 解：原式=a2-ab+6b2 把a=-2,b=代入，原式=号 18.【观察】(2+3)2-22=7×3；(4+3)2-42=11×3 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除 【验证】(1)6+3)2-62的结果是3的倍： (2)设偶数为2n,试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除； 【延伸】(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差除以6的余数是几？请说明理由 解：)15 (2)由题意得偶数为2n,比偶数大3的数为2n+3), 所以(2n+3)2-(2n)2=(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3), 因为4n+十3为整数， 所以3(4n十3)能被3整除 (3)余数为3.理由如下： 设这个数为n,比n大3的数为n十3， (n+3)2-n2=(n+3+n)n+3-n)=6m+9=6n+1)+3, 所以6(n十1)+3除以6的余数为3 19.小明在计算(2+1)22+1)24+1)28+1)216+1)时是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两 数和的形式，跟平方差公式类似，但是需要添加两数的差，于是将算式乘(2一1)，并做了如下的计算： (2+1)22+1)24+1)28+1)(216+1) =(2-1)2+1)(22+1)24+1)28+1)216+1) =(22-1)22+1)24+1)28+1)216+1) =232-1. (1)请按照小明的方法计算：(3+1)32+1)34+1)38+1)316+1) 解：原式=12(3-1)3+1)32+1)34+1)38+1)316+1)=1232-1)32+1)34+1)38+1)316+1)=12 (34-1)(34+1)(38+1)316+1)=12(332-1) (2)借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：(1-122(1一132)1一142)(1一1102)， 解：原式=laws4 alcol(1-f12)aws4 alcol(1+f12)avs4 al\col(1-f13)avs4 allcol1+1 f13…aws4 alcol(1l-f110)·avs4 alcol1+f110)=12×32×23×43×…×910×1110=12× 1110=1120.