精品解析：湖南省湘西州2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试卷

2025年秋季湘西州义务教育阶段学校期末考试试卷 八年级数学 注意：本卷包括三道大题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来倍 C. 不变 D. 扩大到原来的9倍 3. 一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 雾霾已经成为现在生活中不得不面对的重要问题，是大气中直径小于或等于米的颗粒物，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，则它的周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 10 6. 如果多项式是一个完全平方式，则的值是（    ） A. 5 B. 1 C. 1或 D. 1或9 7. 已知，，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 8. 如图1，已知、画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ） A. 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段长为半径画弧 D. 琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 9. 如图，在中，点D，E，F，分别为，，中点，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 12. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 13. 计算：______． 14. 如图，在，垂直平分，分别交于点D，E，若，则______． 15. 已知的展开结果中不含的一次项，则___________． 16. 若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是______． 三、解答题（8个小题，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再选一个合适的数作为x值代入，求出代数式的值． 19. 如图，某建筑工地需在两墙之间架设测量设备．地面上有一可移动梯子，初始时梯子长为米，斜靠在左侧墙上，梯子底端固定在地面，顶端靠在墙上，此时梯子与地面的夹角为（即）．随后，工人将梯子底端保持不动，将顶端转向右侧墙，此时梯子与地面的夹角为（即）．图中所有点均在同一平面内，求两墙上的测量点和的距离（即的长度）． 20. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在图中作出及关于y轴的对称图形； （2）在x轴上画出点P，使值最小． 21. 如图，某数学小组想要测量倾斜的树的长，设计了如下方案：①在点的正下方地面上取一点，测得的长；②在上取一点，使；③过点作交地面于点；④测得的长就是的长．（假设所有的点都在同一平面内．） （1）请你说明这样设计的理由； （2）设与交于点，求证：． 22. 通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： （1）填空：多项式的最小值为______； （2）若满足，求的值； （3）已知是任何实数，若，，通过计算判断大小关系． 23. 阅读下列素材，完成任务． 如何设计水果的购进方案 素材1 某水果店计划用9600元购进“左优红”和“晨香”两种葡萄进行销售，已知“左优红”的进价比“晨香”高4元/千克，用1800元能购进的“左优红”和用1200元能购进的“晨香”一样多． 素材2 根据该水果店所定的售价，每千克“左优红”葡萄的利润是每千克“晨香”葡萄利润的1.25倍，同样获得120元的利润，需要出售的“晨香”葡萄比需要出售的“左优红”葡萄多3千克． 问题解决 任务1 确定进价：求两种葡萄每千克的进价； 任务2 确定利润：求两种葡萄每千克的利润； 任务3 确定购进方案：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄多少千克？ 24. 【问题情境】如图，某兴趣小组将一个含直角三角板放入一个直角槽中，三角板的三个顶点分别在槽的两壁和底边上滑动，在滑动过程中，可以提炼出图的模型图，该小组将其命名为“一线三等角”模型． 【探究问题】（）如图，，，于点，于点，则线段、之间的数量关系为______； （）如图，将（）中的条件改为：在中，，，其中为任意锐角或钝角，则（）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请你结合其中一个图给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】（）如图，点，分别是两边上，，，，，点以的速度从点出发沿射线运动，同时点以的速度从点出发沿射线运动，设运动的时间为，其中，当以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点时，请直接写出和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季湘西州义务教育阶段学校期末考试试卷 八年级数学 注意：本卷包括三道大题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选C． 2. 如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来倍 C. 不变 D. 扩大到原来的9倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 将x和y同时扩大3倍后代入分式，化简后与原分式比较即可解答． 【详解】解：将原分式中的x和y分别替换为和可得新分式为 ，即新分式是原分式的3倍， 所以分式的值扩大到原来的3倍． 故选A． 3. 一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 4. 雾霾已经成为现在生活中不得不面对的重要问题，是大气中直径小于或等于米的颗粒物，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成的形式，其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选A． 5. 等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，则它的周长为（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当等腰三角形的腰长为，当等腰三角形的腰长为，再分别得到三角形的三边，结合三角形三边的关系，从而可得答案． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为，则三边分别为： 又＜ 三角形不存在， 当等腰三角形的腰长为，则三边分别为： 此时三角形存在， 所以： 故选： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握等腰三角形的定义及分类讨论是解题的关键． 6. 如果多项式是一个完全平方式，则的值是（    ） A. 5 B. 1 C. 1或 D. 1或9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握完全平方式的结构特征． 利用完全平方公式的结构特征，常数项为25，可确定平方根为，再根据一次项系数相等求解． 【详解】∵ = ， 又多项式 是完全平方式， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ． 故选：C． 7. 已知，，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算性质，解题的关键是将转化为进行计算． 利用同底数幂的除法法则，将变形为，再代入已知条件计算． 【详解】解： ∵，， ∴． 故选：D 8. 如图1，已知、画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ） A. 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段长为半径画弧 D. 琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键． 根据两人作图的过程即可对选项作出判断． 【详解】解：嘉嘉同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，则判定的依据是，故选项A、B符合题意； 琪琪同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，截取的长度是线段的长度，则判定的依据是，故选项C不符合题意，选项D符合题意． 故选：C． 9. 如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三角形中线求三角形的面积，解题的关键是熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 先根据点是的中点，，得出，根据点为的中点，得出，根据点D为的中点，得出． 【详解】解：是的中点，， ∴， 点为的中点， ， ∵点D为的中点， ∴． 故选：B． 10. 已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①由，利用等式性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：D． 二、填空题（6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 【答案】90 【解析】 【分析】先证，则可得，再根据三角形外角定理即可得解． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ∵和中， ， ， ， ∵是的一个外角， ， 即， ， ． 故答案为：90 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂除法、合并同类项等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先算乘方，再计算乘除，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图，在，垂直平分，分别交于点D，E，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，本题先证明，，求解，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 15. 已知的展开结果中不含的一次项，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，先利用多项式乘以多项式法则展开，再根据不含的一次项可得关于 的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：， ∵ 展开结果中不含的一次项， ∴ ， 解得 ． 故答案为： 16. 若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解、解分式方程、不等式的解法等知识点，解分式方程需要考虑分母不为零的条件是解题的关键． 先解分式方程得到，再根据解为负数列不等式，解得：，并排除使分母为零的a的值，进而确定a的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘，得： ， 展开并化简： 移项整理：，解得： ∵关于x方程的解为负数， ∴，解得：， 又∵分母， ∴，即， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 三、解答题（8个小题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式、多项式乘多项式等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先用完全平方公式、多项式乘多项式展开，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再选一个合适的数作为x值代入，求出代数式的值． 【答案】，取时，代数式值为（答案不唯一） 【解析】 【分析】先把括号内的整式化成分母是的分式，然后按照同分母的分式相加法则计算括号内的，再把除法化成乘法，进行约分，然后取能让分式有意义的数，代入化简后的式子进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分． 【详解】解：原式 ， 或时分式无意义， 不能是1或， 当时， 原式 19. 如图，某建筑工地需在两墙之间架设测量设备．地面上有一可移动梯子，初始时梯子长为米，斜靠在左侧墙上，梯子底端固定在地面，顶端靠在墙上，此时梯子与地面夹角为（即）．随后，工人将梯子底端保持不动，将顶端转向右侧墙，此时梯子与地面的夹角为（即）．图中所有点均在同一平面内，求两墙上的测量点和的距离（即的长度）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知米， ． ， 为等边三角形， 米． 20. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在图中作出及关于y轴对称图形； （2）在x轴上画出点P，使的值最小． 【答案】（1）见解析 （2）如图：点P即为所求 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称变换——最短路径问题等知识点，根据网格结构和轴对称的性质作出A、B、C的对应点是解题的关键． （1）先找出A、B、C三点关于y轴的对称点，然后首尾顺次连接即可完成作图； （2）如图：作C关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P，根据轴对称的性质可得，根据两点之间线段最短可知的值最小． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求． 【小问2详解】 解：如图：作C关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P，点P即为所求． ∴， ∴，即P点即为所求． 21. 如图，某数学小组想要测量倾斜的树的长，设计了如下方案：①在点的正下方地面上取一点，测得的长；②在上取一点，使；③过点作交地面于点；④测得的长就是的长．（假设所有的点都在同一平面内．） （1）请你说明这样设计的理由； （2）设与交于点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、掌握相关定理内容即可； （1）证即可说明； （2）根据，得，推出，证，即可； 【小问1详解】 解：由图可知：， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； 22. 通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如，，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为，可知当时，的最小值是． 请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题： （1）填空：多项式的最小值为______； （2）若满足，求的值； （3）已知是任何实数，若，，通过计算判断的大小关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了配方法、因式分解以及作差法比较大小： （1）通过配方法将多项式转化为平方项减常数的形式，利用平方的非负性求最小值； （2）把等式左边拆分为两个完全平方式的和，根据非负数的性质求出的值，再代入计算； （3）通过作差法比较与的大小，将差式配方后，利用平方的非负性判断差的正负，从而确定大小关系． 【小问1详解】 解：， ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 即， 解得：， ． 【小问3详解】 解： ， ， ， 即， 则． 23. 阅读下列素材，完成任务． 如何设计水果的购进方案 素材1 某水果店计划用9600元购进“左优红”和“晨香”两种葡萄进行销售，已知“左优红”的进价比“晨香”高4元/千克，用1800元能购进的“左优红”和用1200元能购进的“晨香”一样多． 素材2 根据该水果店所定的售价，每千克“左优红”葡萄的利润是每千克“晨香”葡萄利润的1.25倍，同样获得120元的利润，需要出售的“晨香”葡萄比需要出售的“左优红”葡萄多3千克． 问题解决 任务1 确定进价：求两种葡萄每千克的进价； 任务2 确定利润：求两种葡萄每千克的利润； 任务3 确定购进方案：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄多少千克？ 【答案】任务1：“左优红”葡萄的进价为12元/千克，“晨香”葡萄的进价为8元/千克； 任务2：“左优红”葡萄的利润为10元/千克，“晨香”葡萄的利润为8元/千克； 任务3：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄300千克． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，寻找等量关系或不等关系是解题的关键； （1）设“左优红”葡萄的进价为元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可； （2）设“晨香”葡萄的利润为元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可； （3）设购进“左优红”葡萄千克，根据题意，列不等式，解不等式即可． 【详解】解：任务1：设“左优红”葡萄的进价为元/千克，则“晨香”葡萄的进价为元/千克． 由题意，得， 解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则． 答：“左优红”葡萄的进价为12元/千克，“晨香”葡萄的进价为8元/千克． 任务2：设“晨香”葡萄的利润为元/千克，则“左优红”葡萄的利润为元/千克． 由题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则． 答：“左优红”葡萄的利润为10元/千克，“晨香”葡萄的利润为8元/千克． 任务3：设购进“左优红”葡萄千克，购进“晨香”葡萄千克， 由题意，得， ， 若要使利润不低于9000元，则，即， 解得， 的最大值为300． 答：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄300千克． 24. 【问题情境】如图，某兴趣小组将一个含的直角三角板放入一个直角槽中，三角板的三个顶点分别在槽的两壁和底边上滑动，在滑动过程中，可以提炼出图的模型图，该小组将其命名为“一线三等角”模型． 【探究问题】（）如图，，，于点，于点，则线段、之间的数量关系为______； （）如图，将（）中的条件改为：在中，，，其中为任意锐角或钝角，则（）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请你结合其中一个图给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】（）如图，点，分别是两边上，，，，，点以的速度从点出发沿射线运动，同时点以的速度从点出发沿射线运动，设运动的时间为，其中，当以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点时，请直接写出和的值． 【答案】（）；（）（）中的数量关系仍然成立，证明见解析；（），或， 【解析】 【分析】（）由余角性质可得，进而由判定定理“”可证，即可求证； （）利用三角形外角性质可得，进而由判定定理“”可证，即可求证； （）当，时，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点，再分点在点上方和下方两种情况解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，余角性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）（）中的数量关系仍然成立，证明如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （）当，时，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点， 当点在点上方时，， ∴， 此时，点也位于点上方，， ∴； 当点在点下方时，， ∴， 此时，点也位于点下方，， ∴； 综上，，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $