精品解析：广东省汕头市潮阳区贵屿镇2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字左侧图案是轴对称图形的是（ ） A. 文心一言 B. ChatGPT C. DeepSeek D. 纳米AI 2. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 近年来，中国在芯片制造领域取得了显著的突破，其中华为麒麟芯片的0.000000005米工艺制程更是成为国产芯片制造的骄傲.数字0.000000005用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 4. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 若将分式中，的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不能确定 7. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 8. 某些代数恒等式可用几何图形的面积来验证，如图所示的几何图形的面积可验证的代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，下列条件：①；②；③；④．其中能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果，那么阴影部分的面积是（ ） A. 30 B. 34 C. 40 D. 44 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 如图，有一座小山，现要在小山，的两端开一条隧道，施工队要知道，两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接．经测量，，的长度分别为，，，则，之间的距离为______； 12. 若，，则___________． 13. 已知，，则_________． 14. 若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，，的平分线交轴于点，点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 某学生在化简时出现了错误，其解答过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该生的解答过程是从第＿＿＿步开始出现错误的； （2）请你写出此题的正确解答过程． 17. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 18. 如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． （1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：． 四、解答题（二）；本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 汕头，作为著名的美食之都，其手打牛肉丸、沙茶酱等特产闻名全国．为庆祝汕汕高铁开通，某知名老字号食品厂计划生产一批“高铁开通纪念版”特产礼盒． （1）该食品厂原计划用一批新设备生产盒纪念礼盒．由于设备调试顺利，实际每天的生产效率比原计划提高了，结果提前2天完成了全部生产任务．求原计划每天生产多少盒礼盒？ （2）礼盒上市后，为吸引乘坐高铁来的游客，店铺推出一种优惠方案：一次性购买礼盒超过盒时，超出的部分每盒享受8折优惠．已知每盒礼盒的原价为元．若某旅行团购买了一批礼盒，支付的总金额为元．请计算该旅行团一共购买了多少盒礼盒？ 20. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解． 例如： 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式； （2）三边a，b，c满足判断的形状，并说明理由． 21. 综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】图①中的值是多少？ 【解决问题】（1）若的面积为m，则的面积为_____． （2）在（1）的条件下，求的值． 【拓展应用】（3）如图②，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，则 ； （2）若满足，则 ； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中在一直线上，连接．若，求一块直角三角板的面积． 23. 在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），B（0，-8），连接AB （1）如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC； （2）如图②，在（1）的条件下，连接OH，求证：2∠OHP=∠AHB： （3）如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交x轴于F，猜想GB、OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字左侧图案是轴对称图形的是（ ） A. 文心一言 B. ChatGPT C. DeepSeek D. 纳米AI 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义可知，A是轴对称图形，符合题意； B，C，D不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形对应角相等，即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 3. 近年来，中国在芯片制造领域取得了显著的突破，其中华为麒麟芯片的0.000000005米工艺制程更是成为国产芯片制造的骄傲.数字0.000000005用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n由原数左边第一个不为零的数字前面的0的个数决定，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键；根据绝对值小于1的科学记数法的表示方法判断即可． 【详解】解： 故选：A． 4. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需分别根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法的法则计算各选项，选出结果为的选项． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，运算结果不是，A错误； 选项B：根据幂的乘方法则，，结果不是，B错误； 选项C：根据同底数幂乘法法则，，结果为，C正确； 选项D：根据同底数幂除法法则，，结果不是，D错误； 故选：C． 5. 在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． 6. 若将分式中，的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，将、替换为扩大后的、，代入分式后化简，再与原分式比较． 【详解】解：将、同时扩大为原来的2倍，代入原分式得： ， 化简后的分式与原分式相等，故分式的值不变； 故选：A． 7. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 8. 某些代数恒等式可用几何图形的面积来验证，如图所示的几何图形的面积可验证的代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个部分的面积与总面积之间的关系可得答案． 【详解】解：整体是长为2a，宽为a+b的长方形，因此面积为2a（a+b）， 四个部分的面积和为， 因此有2a（a+b）=2a2+2ab． 故选:A． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式的几何背景，掌握单项式乘以多项式是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是得出正确答案的关键． 9. 已知，下列条件：①；②；③；④．其中能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定，利用三角形内角和为，结合每个条件推导角的度数，判断是否存在直角即可． 【详解】解：对于①，∵， ∴， 又，代入得， 解得，故是直角三角形； 对于②，∵，且， ∴，故是等边三角形，不是直角三角形； 对于③，∵， ∴， 又，得，故是直角三角形； 对于④，设，则，， 由，解得， 将的值代入计算可得，，均不是直角，故不是直角三角形； 综上，能确定为直角三角形的条件有①③，共2个； 故选：B． 10. 两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果，那么阴影部分的面积是（ ） A. 30 B. 34 C. 40 D. 44 【答案】A 【解析】 【分析】由图可得阴影部分面积为4个直角三角形面积的和，列出代数式，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， 阴影部分的面积 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 如图，有一座小山，现要在小山，的两端开一条隧道，施工队要知道，两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接．经测量，，的长度分别为，，，则，之间的距离为______； 【答案】800 【解析】 【分析】利用“SAS”证明△ABC≌△EDC，然后根据全等三角形的性质得AB=DE=800m． 【详解】解：在△ABC和△EDC中， ∴△ABC≌△EDC（SAS）， ∴AB=DE=800． 故答案为：800． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 12. 若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，主要是利用公式，将已知条件代入计算． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，； ∵，， ∴； 故答案为：． 13. 已知，，则_________． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查了因式分解及代数式求值，利用提公因式法可得，把，代入计算即可求解，正确利用因式分解对原式进行转化是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________． 【答案】(或或，写出一个即可) 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，关键是先解出分式方程的解，再根据解为正整数且不为增根的条件，推导整数的取值． 【详解】解：分式方程两边同乘，得， 展开整理得，即， 解得； ∵方程的解为正整数，且， ∴是8的正约数，2，4，， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时(增根，舍去)； 故整数的一个值可以是(或或)； 故答案为：(或或，写出一个即可)． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，，的平分线交轴于点，点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线构造全等，将转化为，则最小值为的长度，利用等面积求出即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接，过点作与， ∵，， ∴， ， ∴， ∵点到直线上垂线段最短， ∴最小值为的长度， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题，全等三角形的判定与性质、等面积法，解决此题的关键是构造，将转化为． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 某学生在化简时出现了错误，其解答过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该生的解答过程是从第＿＿＿步开始出现错误的； （2）请你写出此题的正确解答过程． 【答案】（1）二 （2） 【解析】 【分析】（1）利用分式加减运算法则判断得出答案； （2）直接利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解：①该学生解答过程从第二步开始出错，其错误原因是分子相加减时是整体相加减，需要加括号． 故答案为：二； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 17. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【答案】（1） ，理由如下； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． （2）爸爸接住小丽的地方距地面的高度为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴爸爸接住小丽的地方距地面的高度为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 18. 如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． （1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． （2）求证：． 【答案】（1） 作图如下： （2） 证明：是等边三角形，是的中点 平分（三线合一） 又 又 又 ． 【解析】 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线及考查了等边三角形和等腰三角形的性质；作图题要注意保留做题痕迹．证得是正确解答本题的关键． （1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图； （2）要证可证，根据三线合一得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）；本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 汕头，作为著名的美食之都，其手打牛肉丸、沙茶酱等特产闻名全国．为庆祝汕汕高铁开通，某知名老字号食品厂计划生产一批“高铁开通纪念版”特产礼盒． （1）该食品厂原计划用一批新设备生产盒纪念礼盒．由于设备调试顺利，实际每天的生产效率比原计划提高了，结果提前2天完成了全部生产任务．求原计划每天生产多少盒礼盒？ （2）礼盒上市后，为吸引乘坐高铁来的游客，店铺推出一种优惠方案：一次性购买礼盒超过盒时，超出的部分每盒享受8折优惠．已知每盒礼盒的原价为元．若某旅行团购买了一批礼盒，支付的总金额为元．请计算该旅行团一共购买了多少盒礼盒？ 【答案】（1）原计划每天生产盒礼盒； （2）该旅行团一共购买了盒礼盒 【解析】 【分析】本题考查分式方程与一元一次方程的实际应用． （1）通过设原计划每天生产的数量为未知数，利用“原计划天数-实际天数=提前天数”的关系列分式方程求解，注意解分式方程需检验． （2）属于分段计费问题，先判断购买数量是否超过盒，再根据“前盒原价金额+超出部分8折金额=总支付金额”列一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：设原计划每天生产盒礼盒，则实际每天生产盒礼盒． 根据题意，原计划生产天数与实际生产天数的差为2天， 根据题意，得：，解得； 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：原计划每天生产盒礼盒. 【小问2详解】 解：先判断购买数量是否超过盒： 若购买盒，总价为元，，故购买数量超过盒． 设该旅行团一共购买了盒礼盒，则前盒按原价，超出的盒按8折(每盒元)． 根据题意，得：， 解得. 答：该旅行团一共购买了盒礼盒． 20. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解． 例如： 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式； （2）三边a，b，c满足判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b，c是△ABC的三边 ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据题意，先将原多项式分组，分别因式分解后再利用提公因式法因式分解即可； （2）先将等式左侧因式分解，再根据两式相乘等于0，则至少有一个式子的值为0和三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：（1） = = = （2）略 【点睛】此题考查的是用分组法因式分解和因式分解的应用，掌握因式分解的各个方法是解决此题的关键． 21. 综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】图①中的值是多少？ 【解决问题】（1）若的面积为m，则的面积为_____． （2）在（1）的条件下，求的值． 【拓展应用】（3）如图②，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）结合（1）可知，再根据与同高即可求解； （3）点是的重心，类比（1），（2）可知，，，求得，，，，再根据，，即可求解． 【详解】解：（1）∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）由题意可知，， ， ， ∵与同高， ，即：； （3）点为的重心，类比（1），（2）可知，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，则 ； （2）若满足，则 ； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中在一直线上，连接．若，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用以及三角形面积公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形和几何图形与代数恒等式的结合是解题的关键． （1）已知和的值，根据完全平方公式，变形后可求出． （2）设，，先求出的值，再根据完全平方公式，变形后求出，即． （3）设，，由得，再根据三角形面积公式和已知条件得出的值，最后根据直角三角形面积公式求出一块直角三角板的面积． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． （2）设，，则． ∵，且， ∴， ， ， ， 即， 故答案为：． （3）设，． ∵， ∴，． 又，，共线， ∴． ，． 由，得，即． ∵， ∴， ， ， ． 一块直角三角板的面积为． 23. 在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），B（0，-8），连接AB （1）如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC； （2）如图②，在（1）的条件下，连接OH，求证：2∠OHP=∠AHB： （3）如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交x轴于F，猜想GB、OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图①中， ∵AH⊥BC，即∠AHC＝90°，∠COB＝90° ∴∠HAC＋∠ACH＝∠OBC＋∠OCB＝90°， ∴∠HAC＝∠OBC． 在△OAP与△OBC中:， ∴△OAP≌△OBC（ASA）， （2） 证明：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图②． 在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°， ∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP． 又由(1)可知：△OAP≌△OBC， ∴OP＝OC. 在△COM与△PON中：， ∴△COM≌△PON（AAS）， ∴OM＝ON． ∵OM⊥CB，ON⊥HA， ∴OH平分∠CHA， ∴∠OHP＝∠CHA＝45°， ∵∠AHB＝90°， ∴2∠OHP＝∠AHB． （3） 当点G在y轴的正半轴上时，BG﹣BO＝AF；当点G在线段OB上时，OB＝BG+AF；当点G在B点下方y轴上时，AF＝OB＋BG； 理由： 情况一：当点G在y轴的正半轴上时，连接OE，作EF⊥EG，如图． ∵∠AOB＝90°，OA＝OB，E为AB的中点， ∴OE⊥AB，∠BOE＝∠AOE＝45°，OE＝EA＝BE， ∴∠OAB＝45°，∠GOE＝∠GOA+∠AOE =90°＋45°＝135°， ∴∠EAF＝135°＝∠GOE． ∵GE⊥EF，即∠GEF＝90°， ∴∠OEG＝∠AEF， 在△GOE与△FAE中：， ∴△GOE≌△FAE（ASA）， ∴OG＝AF， ∴BG﹣BO＝GO＝AF， ∴BG﹣BO＝AF． 情况二：当点G在线段OB上时，连接OE，作EF⊥EG，如图： ∵∠OEG=∠FEG-∠FEO=90°-∠FEO，∠AEF=∠AEO-∠FEO=90°-∠FEO， ∴∠OEG=∠AEF， 结合情况一中已经证明的EO=EA，∠EOG=∠EAF=45°， ∴△GOE≌△FAE(ASA)， ∴GO＝AF． ∴OB＝BG+GO=BG＋AF． 情况三：当点G在B点下方y轴上时，连接OE，作EF⊥EG，如图： ∵∠BEG=∠FEG-∠FEB=90°-∠FEB，∠OEF=∠OEB-∠FEB=90°-∠FEB， ∴∠BEG=∠OEF， 且∠FOE=∠FOB+∠BOE=90°+45°=135°，∠GBE=180°-∠OBE=180°-45°=135°， ∴∠FOE=∠BGE=135°， 又OE=BE， 易证△GOE≌△FAE(ASA)， ∴GO＝FA． ∴AF＝AO+OF=OB＋BG． 【解析】 【分析】(1)要证明△AOP≌△BOC已经有一边，一角相等，只要证明∠HAC=∠OBC即可． (2)如下图②中，过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，由△COM≌△PON(AAS)，推出OM=ON．因为OM⊥CB，ON⊥HA，推出HO平分∠CHA，由此即可证明． (3)分点G在y轴的正半轴上、点G在线段OB上、点G在B点下方y轴上时三种情况画出图形讨论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理、等腰三角形的性质及判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $