专题06二元一次方程组的应用寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题06二元一次方程组的应用寒假预习讲义 · 掌握审设列解检验答六步解题法，会找实际问题中的两个等量关系 · 能识别工程、方案等常见题型，熟记核心等量关系，初步列简单方程组 · 尝试用列表法梳理数量关系，感受建模思想的妙用 预习必备 知识点梳理 1.核心思想 2.解题步骤 3.常见题型与核心等量关系 4.解题技巧 5.高频易错提醒 常考题型 精讲精炼 1.由实际问题列二元一次方程组 2.由几何图形列二元一次方程组 3.二元一次方程组应用:方案问题 4.二元一次方程组应用:行程问题 5.二元一次方程组应用:工程问题 6.二元一次方程组应用:数字问题 7.二元一次方程组应用:分配问题 8.二元一次方程组应用:销售问题 9.二元一次方程组应用:和差倍分 10.二元一次方程组应用:几何问题 11.二元一次方程组应用:图表信息 12.二元一次方程组应用:古代问题 13.二元一次方程组应用:其他问题 强化巩固 题型通关 单选题(6题) 填空题(8题) 解答题(6题) 【知识点01.核心思想】 建模思想：将实际问题转化为数学模型，关键找两个等量关系列二元一次方程组，实现未知到已知的转化。 消元思想：解方程组用代入 / 加减消元法，把二元化为一元求解。 【知识点02.解题步骤】 1.审：理清已知、未知，明确数量关系与等量关系。 2.设：直接 / 间接设两个未知数（带单位）。 3.列：据等量关系列方程组，保证同类量、单位统一、数值相等。 4.解：用代入 / 加减消元法求未知数的值。 5.检验：验证解满足方程组且符合实际意义。 6.答：规范写答案（带单位）。 【知识点03.常见题型与核心等量关系】 题型 核心等量关系 和差 倍分 总量 = 各部分量之和；A=B 的 n 倍 ±m 配套 问题 部件数量成固定比例（如 1 甲配 2 乙，则甲 ×2 = 乙） 行程 问题 相遇：路程和 = 总路程；追及：路程差 = 初始距离；路程 = 速度 × 时间 销售 问题 总价 = 单价 × 数量；利润 = 售价 - 成本；利润率 = 利润 / 成本 ×100% 数字 问题 两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数按数位拆分表示 工程 问题 工作总量 = 工作效率 × 工作时间；合作效率 = 各效率之和（常设总量为 1） 方案问题 ① 不同方案的数量 / 费用满足题干限定条件；② 据总要求列方程组，结合整数解确定可行方案 【知识点04.解题技巧】 1.用列表法梳理数量关系，清晰呈现已知、未知与等量关系（尤其配套、工程问题）。 2.间接设元：直接设元列方程复杂时，设中间量简化计算（如数字、方案问题）。 3.工程问题常设工作总量为 1，方便表示工作效率；方案问题需结合正整数解筛选合理方案。 【知识点05.高频易错提醒】 1.列方程时单位必须统一（如行程问题千米 / 时与分钟需换算）。 2.检验两步走：先验是否满足方程组，再验是否符合实际意义（如人数、件数为正整数）。 3.设未知数、写答案时，务必注明单位；方案问题需完整列举所有可行方案，不遗漏。 【题型1.由实际问题列二元一次方程组】 【典例】班上有男生、女生共31人，女生人数的一半比男生总数少10人，设男生人数为x人，女生人数为y人，根据题意，可列方程组为 ． 【跟踪专练1】抢修一段全长460米的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2天全部修完．修完时，甲工程队比乙工程队多修了60米．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为米/天和米/天，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案． 【题型2.由几何图形列二元一次方程组】 【典例】如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 【跟踪专练2】如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【题型3.二元一次方程组应用:方案问题】 【典例】某商店订购了A，B两种商品，A商品18元/千克，B商品20元/千克，若B商品的数量比A商品的2倍少10千克，购进两种商品共用了1540元，求两种商品各多少千克． 【跟踪专练1】端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入、两种食品盒中，种食品盒每盒装8个粽子，种食品盒每盒装10个粽子，若将200个粽子分别装入、两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满，粽子没有剩余），则有哪几种不同的分装方式？ 【跟踪专练2】新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污损导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 家居用品名称 单价/元 数量/个 金额/元 挂钟 30 2 60 垃圾桶 15 塑料鞋架 40 艺术饰品 2 120 电热水壶 35 1 合计 8 310 (1)________，________； (2)甲居民购买了垃圾桶、塑料鞋架各几个？ (3)若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？ 【题型4.二元一次方程组应用:行程问题】 【典例】列方程组解应用题： 甲、乙两人相距6km，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可追上乙．两人的平均速度各是多少？ 【跟踪专练1】从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是，平路的速度是，上坡速度是，从甲地到达乙地时共用了，从乙地回到甲地时共用了，求甲、乙两地相距多少千米？ 【跟踪专练2】某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． (1)请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ (2)若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 【题型5.二元一次方程组应用:工程问题】 【典例】列方程组解应用题：某车间10月份计划加工甲、乙两种零件共200个，由于采用新技术，实际产量为216个，其中甲零件超产10%，乙零件超产5%求，该车间10月份计划加工甲、乙零件各多少个？ 【跟踪专练1】长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 【跟踪专练2】甲、乙两个工人同时接受一批任务，上午工作的小时中，甲用了小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做个零件；下午两人继续工作小时后，全天总计甲反而比乙多做个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？ 【题型6.二元一次方程组应用:数字问题】 【典例】两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 【跟踪专练1】有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【跟踪专练2】设是0，，2中的一个数，已知，，求的值． 【题型7.二元一次方程组应用:分配问题】 【典例】某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． （1）求大、小两种垃圾桶的单价； （2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？ 【跟踪专练1】某车间有名工人，每人每天能生产螺栓个或螺母个，且一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 【跟踪专练2】某酒店客房部有三人间、双人间客房．三人间的价格为元/天，双人间的价格为元/天．为吸引游客，该酒店推出了团体入住五折优惠的活动．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费3020元，则该旅游团住了三人间和双人间客房各多少间？ 【题型8.二元一次方程组应用:销售问题】 【典例】某校计划购买一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元．求每个篮球和每个足球的售价？ 【跟踪专练1】大刚和小亮到同一家超市购买水果．大刚买了苹果和梨，共花了元；小亮买了苹果和梨，共花了元．设苹果和梨的价格分别为x元/千克和y元/千克，请列出方程组，并求出苹果和梨的价格． 【跟踪专练2】运动会结束后八（1）班班主任准备购买一批明信片，用来奖励积极参与运动会各个比赛项目的学生，计划花180元购买A，B两种明信片共20盒．已知A种明信片每盒12元，B种明信片每盒8元． (1)甲同学根据上述信息，列出了尚不完整的方程请你在横线上填上具体的数字，并说明a，b分别表示的含义． (2)乙同学设x表示购买了A种明信片的盒数，y表示购买了B种明信片的盒数．请你帮他列出方程组并计算购买A种明信片和B种明信片各多少盒． 【题型9.二元一次方程组应用:和差倍分问题】 【典例】刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 【跟踪专练1】为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套型一体机．求今年每套A型、型一体机的价格各是多少万元？ 【跟踪专练2】有一群鸟，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若从地上飞到树上1只，则地上的鸟就是整个鸟群的；若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟就一样多了．你知道树上、地上各有多少只鸟吗？试列方程组解答． 【题型10.二元一次方程组应用:几何问题】 【典例】在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 【跟踪专练1】小明用8块大小一样的长方形瓷砖恰好拼成一个大的长方形（如图1）；小红也用8块这种瓷砖拼出了一个正方形（如图2），但中间还留下一个边长为的小正方形（阴影部分）．你能求出这些长方形瓷砖的长和宽吗？ 【跟踪专练2】如图，在中，分别是的对边，点是边上一点，连，满足，且是不等式组的最大整数解． (1)求的长； (2)若平分的周长，求的长． 【题型11.二元一次方程组应用:图表信息问题】 【典例】今年“五一”期间，桐柏水帘洞火爆桐柏，打卡次数之多，位居桐柏首位，实现了416万左右的收入．某游客购买了三种桐柏特色商品，因不小心污染了相关信息，导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 商品名称 单价（元） 数量（袋/件） 金额（元） 桐柏山板栗 15 桐柏豆筋 40 乐神康 a 2 90 合计 5 185 (1)某游客购桐柏山板栗，桐柏豆筋各几袋？ (2)某游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共多少钱？ 【跟踪专练1】为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 【跟踪专练2】为了改善社区居住环境，提升居民幸福指数，光明社区决定建设一个大型广场，在广场四周布置，两种园艺造型共40个，每种园艺造型所需花卉盆数和完成所需时间如下表所示： 一个造型 一个造型 所需花卉盆数（单位：盆） 完成所需时间（单位：小时） 4 6 已知1个种园艺造型和2个，种园艺造型共需260盆花卉，3个种园艺造型和1个种园艺造型共需380盆花卉． (1)每个种园艺造型和每个种园艺造型各需要多少盆花卉？ (2)若园艺工人每天工作8小时，要求在25天内完成园艺造型建设，且造型不多于25个，则有几种方案可以选择？ 【题型12.二元一次方程组应用:古代问题】 【典例】《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？（利用二元一次方程组求解） 【跟踪专练1】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：现有甲袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋子比乙袋子轻了12两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？ 【跟踪专练2】我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲只羊，那么甲现拥有的羊数就是乙现拥有羊数的倍；如果甲给乙只羊，那么两人现拥有的羊数相等．问甲、乙原各有多少只羊？ 【题型13.二元一次方程组应用:其他问题】 【典例】一家超市中，芒果的售价为4元/千克，荔枝的售价为10元/千克，小明在这家超市买了芒果和荔枝共10千克，共花费76元，求小明这次买的芒果、荔枝各多少千克． 【跟踪专练1】某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为5元/辆，小型汽车的停车费为3元/辆．现在停车场有辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费元．问中、小型汽车各有多少辆？ 【跟踪专练2】某公司组织员工旅游，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，则可载人，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，则可载人． (1)请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？ (2)若该公司有名员工，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．现打算同时租甲、乙两种客车共辆，他们有几种租车方案？（两种客车都要租） (3)在（）的条件下，已知甲种客车每辆租金为元，乙种客车每辆租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费用． 单选题 1．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 3．佳佳坐在匀速行驶的车上，每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下． 则12：00时看到的两位数是（   ） 时刻 12：00 13：00 14：00 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比12：00时看到的刚好颠倒 比12：00看到的两位数中间多了个0 A．15 B．16 C．25 D．34 4．小明在教材116页活动2汽车轮胎换位的探究中，获得了数学信息，知道电动车一般也是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在电动车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．3000 B．3750 C．4000 D．4500 5．有货物，大车一次能装，小车一次能运，若要一次运完且两种车都得用，派车方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 6．现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 填空题 7．“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有只，兔有只，则可列方程组为 ． 8．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 9．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为 ． 10．某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则 ． 11．一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是 岁． 12．现有1角、5角、1元硬币各6枚，从中取出9枚，共值3元．则取出的5角硬币的枚数是 ． 13．如图，在的方格内，填写了一些式子或数，使各行、各列及对角线上三个数之和都相等，则 ． 6 1 4 14．如图，周长为的长方形被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形的面积为 ． 解答题 15．有大小两种水桶，3个大桶与2个小桶一次最多可以装水，5个大桶和4个小桶一次最多可以装水．问1个大桶与2个小桶一次最多可以装多少水？ 16．为了防控流感，我校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？ (2)由于部分区域需要重点消毒，我校准备花60元再次购买这两种消毒液，有多少种购买方案． 17．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 18．某科技物流公司承包了某智能仓库的货物运输任务，拟派出A，B两种型号的无人运输车运输货物．已知2辆A型无人运输车与3辆B型无人运输车一次共运输货物60箱，5辆A型无人运输车与6辆B型无人运输车一次共运输货物135箱． (1)一辆A型无人运输车和一辆B型无人运输车一次各运输货物多少箱？ (2)该科技物流公司决定派出A，B两种型号的无人运输车共20辆参与运输，若本次运输的货物总量不少于250箱，且B型无人运输车至少派出8辆，则有哪几种派车方案？请通过计算说明． 19．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”． 请根据图文信息解决下列问题： (1)求甲的赛跑速度； (2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？ 20．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06二元一次方程组的应用寒假预习讲义 · 掌握审设列解检验答六步解题法，会找实际问题中的两个等量关系 · 能识别工程、方案等常见题型，熟记核心等量关系，初步列简单方程组 · 尝试用列表法梳理数量关系，感受建模思想的妙用 预习必备 知识点梳理 1.核心思想 2.解题步骤 3.常见题型与核心等量关系 4.解题技巧 5.高频易错提醒 常考题型 精讲精炼 1.由实际问题列二元一次方程组 2.由几何图形列二元一次方程组 3.二元一次方程组应用:方案问题 4.二元一次方程组应用:行程问题 5.二元一次方程组应用:工程问题 6.二元一次方程组应用:数字问题 7.二元一次方程组应用:分配问题 8.二元一次方程组应用:销售问题 9.二元一次方程组应用:和差倍分 10.二元一次方程组应用:几何问题 11.二元一次方程组应用:图表信息 12.二元一次方程组应用:古代问题 13.二元一次方程组应用:其他问题 强化巩固 题型通关 单选题(6题) 填空题(8题) 解答题(6题) 【知识点01.核心思想】 建模思想：将实际问题转化为数学模型，关键找两个等量关系列二元一次方程组，实现未知到已知的转化。 消元思想：解方程组用代入 / 加减消元法，把二元化为一元求解。 【知识点02.解题步骤】 1.审：理清已知、未知，明确数量关系与等量关系。 2.设：直接 / 间接设两个未知数（带单位）。 3.列：据等量关系列方程组，保证同类量、单位统一、数值相等。 4.解：用代入 / 加减消元法求未知数的值。 5.检验：验证解满足方程组且符合实际意义。 6.答：规范写答案（带单位）。 【知识点03.常见题型与核心等量关系】 题型 核心等量关系 和差 倍分 总量 = 各部分量之和；A=B 的 n 倍 ±m 配套 问题 部件数量成固定比例（如 1 甲配 2 乙，则甲 ×2 = 乙） 行程 问题 相遇：路程和 = 总路程；追及：路程差 = 初始距离；路程 = 速度 × 时间 销售 问题 总价 = 单价 × 数量；利润 = 售价 - 成本；利润率 = 利润 / 成本 ×100% 数字 问题 两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数按数位拆分表示 工程 问题 工作总量 = 工作效率 × 工作时间；合作效率 = 各效率之和（常设总量为 1） 方案问题 ① 不同方案的数量 / 费用满足题干限定条件；② 据总要求列方程组，结合整数解确定可行方案 【知识点04.解题技巧】 1.用列表法梳理数量关系，清晰呈现已知、未知与等量关系（尤其配套、工程问题）。 2.间接设元：直接设元列方程复杂时，设中间量简化计算（如数字、方案问题）。 3.工程问题常设工作总量为 1，方便表示工作效率；方案问题需结合正整数解筛选合理方案。 【知识点05.高频易错提醒】 1.列方程时单位必须统一（如行程问题千米 / 时与分钟需换算）。 2.检验两步走：先验是否满足方程组，再验是否符合实际意义（如人数、件数为正整数）。 3.设未知数、写答案时，务必注明单位；方案问题需完整列举所有可行方案，不遗漏。 【题型1.由实际问题列二元一次方程组】 【典例】班上有男生、女生共31人，女生人数的一半比男生总数少10人，设男生人数为x人，女生人数为y人，根据题意，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出方程组即可． 【详解】解：由题意可得方程组为； 故答案为． 【跟踪专练1】抢修一段全长460米的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2天全部修完．修完时，甲工程队比乙工程队多修了60米．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为米/天和米/天，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握根据实际问题中的等量关系列出方程组的方法是解题的关键． 从题目中的两个核心条件入手：一是两队天共修米，二是甲队天比乙队多修米，根据这两个等量关系，分别列出方程，组成方程组． 【详解】解：∵甲、乙两队天修完米， ∴； ∵甲比乙多修米， ∴ ∴方程组为 ． 故选：B． 【跟踪专练2】某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案． 【答案】(1)65名 (2)见解析 【分析】（1）由题意可以列出二元一次方程组求解； （2）由题意列出关于、的二元一次方程，然后根据、都是非负整数可以得到解答． 【详解】（1）解：设1辆小客车能坐名学生，1辆大客车能坐名学生， 根据题意，得解得则． 答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生． （2）解：由题意，得，所以． ，为非负整数， ∴或或 ∴租车方案有三种： 方案一：租用小客车20辆； 方案二：租用小客车11辆，大客车4辆； 方案三：租用小客车2辆，大客车8辆． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，由题意正确列出二元一次方程（组）并求解是解题关键． 【题型2.由几何图形列二元一次方程组】 【典例】如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长= 1个长+3个宽，②一个长+一个宽= 80cm，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，根据题意，得 故选：C． 【点睛】此题主要考查了用二元一次方程组解决实际问题，做题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 【跟踪专练1】如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，找到等量关系是解题的关键．由与互为邻补角可列出方程，根据 的度数比的度数的2倍多10°，可列出方程，联立两方程即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 【题型3.二元一次方程组应用:方案问题】 【典例】某商店订购了A，B两种商品，A商品18元/千克，B商品20元/千克，若B商品的数量比A商品的2倍少10千克，购进两种商品共用了1540元，求两种商品各多少千克． 【答案】A商品30千克，B商品50千克 【分析】设A商品x千克，B商品y千克，根据数量关系列出二元一次方程组 求解即可. 【详解】解：设A商品x千克，B商品y千克. 由题意得解得 答：A商品30千克，B商品50千克. 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，分析题意，找等量关系，列出方程是方程解决实际问题的关键. 【跟踪专练1】端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入、两种食品盒中，种食品盒每盒装8个粽子，种食品盒每盒装10个粽子，若将200个粽子分别装入、两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满，粽子没有剩余），则有哪几种不同的分装方式？ 【答案】共有四种不同的分装方式： ①种食品盒个，种食品盒个； ②种食品盒个，种食品盒个； ③种食品盒个，种食品盒个； ④种食品盒个，种食品盒个． 【分析】本题主要考查二元一次方程的正整数解的应用，涉及到方程思想和分类讨论思想．解题的关键在于根据题目条件列出关于两种食品盒数量的二元一次方程，然后结合正整数的条件来确定方程的解，也就是不同的分装方式．设出未知数：设用种食品盒个，种食品盒个．再根据粽子总数列出方程．变形后根据的取值范围求出方程的正整数解：通过对取值的讨论，求出满足条件的和的值，进而得到不同的分装方式． 【详解】解：设种食品盒x个，种食品盒个， 根据题意得：， ∴ 由题意知，、均为正整数， ∴或或或． 故共有四种不同的分装方式： ①种食品盒个，种食品盒个； ②种食品盒个，种食品盒个； ③种食品盒个，种食品盒个； ④种食品盒个，种食品盒个． 【跟踪专练2】新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污损导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 家居用品名称 单价/元 数量/个 金额/元 挂钟 30 2 60 垃圾桶 15 塑料鞋架 40 艺术饰品 2 120 电热水壶 35 1 合计 8 310 (1)________，________； (2)甲居民购买了垃圾桶、塑料鞋架各几个？ (3)若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？ 【答案】(1)60，35 (2)甲居民购买了1个垃圾桶，2个塑料鞋架 (3)共有2种购买方案：方案1：购买1个艺术饰品，6个垃圾桶；方案2：购买2个艺术饰品，2个垃圾桶． 【分析】本题考查二元一次方程组与二元一次方程的应用，掌握单价×数量=金额的基本关系，以及根据正整数条件确定购买方案的方法是解题的关键． （1）根据单价×数量=金额的基本关系，直接计算艺术饰品的单价和电热水壶的金额； （2）先从总数量和总金额中减去已知商品的部分，得到垃圾桶和塑料鞋架的数量和与金额和，再设未知数列方程组求解； （3）设再次购买的数量为未知数，根据总花费列二元一次方程，再根据正整数条件确定所有可行的购买方案． 【详解】（1）解：，． （2）解：设甲居民购买了垃圾桶个，塑料鞋架个， 依题意，得 解得 答：甲居民购买了个垃圾桶，个塑料鞋架． （3）解：设甲居民再次购买个艺术饰品，个垃圾桶， 依题意，得， ． 又，均为正整数， ∴或 ∴共有种购买方案： 方案：购买个艺术饰品，个垃圾桶； 方案：购买个艺术饰品，个垃圾桶． 【题型4.二元一次方程组应用:行程问题】 【典例】列方程组解应用题： 甲、乙两人相距6km，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可追上乙．两人的平均速度各是多少？ 【答案】甲的速度是4千米/时，乙的速度是2千米/时 【分析】设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，根据甲乙两人相距6千米，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行甲3小时可追上乙，可列方程组求解． 【详解】解：设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时， ，解得：， 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是2千米/时． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键． 【跟踪专练1】从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是，平路的速度是，上坡速度是，从甲地到达乙地时共用了，从乙地回到甲地时共用了，求甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】甲、乙两地相距千米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设从甲地到乙地的坡路长为x km，平路长为y km，利用时间路程速度，结合往返两地所需时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设从甲地到乙地的坡路长为x km，平路长为y km， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两地相距千米． 【跟踪专练2】某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． (1)请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ (2)若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 【答案】(1)起步价5元，每千米1.5元 (2)31千米 【分析】此题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析等量关系． （1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，根据题意得到关于x、y的方程组，解方程组即可得； （2）设他这次乘车走了m千米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，由题意得： ， 解得：， 答：出租车的起步价是5元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元； （2）设他这次乘车走了m千米 根据题意得， 解得 答：他这次乘车走了31千米． 【题型5.二元一次方程组应用:工程问题】 【典例】列方程组解应用题：某车间10月份计划加工甲、乙两种零件共200个，由于采用新技术，实际产量为216个，其中甲零件超产10%，乙零件超产5%求，该车间10月份计划加工甲、乙零件各多少个？ 【答案】该车间10月份计划加工甲、乙零件各120个,80个． 【分析】根据等量关系,甲加工的数量加上乙加工的数量等于总量列出方程组即可; 【详解】解:设该车间10月份计划加工甲、乙零件各x个,y个,由题意得: 解得 答: 该车间10月份计划加工甲、乙零件各120个,80个 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,根据等量关系列出方程组是解题的关键． 【跟踪专练1】长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 【答案】甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确出方程组求解． 设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米，根据题意列出方程组求解． 【详解】解：设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米． 【跟踪专练2】甲、乙两个工人同时接受一批任务，上午工作的小时中，甲用了小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做个零件；下午两人继续工作小时后，全天总计甲反而比乙多做个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？ 【答案】这一天甲做了个零件，乙做了个零件． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲每小时做个零件，乙每小时做个零件，由题意得，然后解方程组即可，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】解：设甲每小时做个零件，乙每小时做个零件， 由题意得， 解得：， 则甲一天做，乙一天做， 答：这一天甲做了个零件，乙做了个零件． 【题型6.二元一次方程组应用:数字问题】 【典例】两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 【答案】较大的两位数与较小的两位数分别30，20 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可得等量关系：①两个两位数的差是10；②和的和是5050，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设较大的两位数为，较小的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 答：较大的两位数与较小的两位数分别30，20． 【跟踪专练1】有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2)35 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程的应用： （1）一个两位数的值等于其十位数字乘以10再加上个位数字，据此求解即可； （2）根据原来两位数得到十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，原来的两位数为，新的两位数为， 故答案为：；； （2）由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为35． 【跟踪专练2】设是0，，2中的一个数，已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，二元一次方程组的应用，根据题意求出取2和取的个数是解题的关键．设有p个x取2，有q个x取，根据题意求出P和q的值，然后计算……的值即可． 【详解】解：设有p个x取2，有q个x取， 根据题意得， 解得：， ． 【题型7.二元一次方程组应用:分配问题】 【典例】某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． （1）求大、小两种垃圾桶的单价； （2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？ 【答案】（1）大垃圾桶单价为180元，小垃圾桶的单价为60元；（2）2880． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据第（1）问求得的大小垃圾桶的单价计算即可． 【详解】（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元， 由题意列方程得， 解得， 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元． （2）． 答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元． 【点睛】此题考查了二元一次方程组应用题，解题的关键是分析出题目中的等量关系． 【跟踪专练1】某车间有名工人，每人每天能生产螺栓个或螺母个，且一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 【答案】21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意，得， 解得：， 答：应安排21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母． 【跟踪专练2】某酒店客房部有三人间、双人间客房．三人间的价格为元/天，双人间的价格为元/天．为吸引游客，该酒店推出了团体入住五折优惠的活动．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费3020元，则该旅游团住了三人间和双人间客房各多少间？ 【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，理解题意，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 【题型8.二元一次方程组应用:销售问题】 【典例】某校计划购买一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元．求每个篮球和每个足球的售价？ 【答案】每个篮球的售价为元和每个足球的售价为元 【分析】设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据题意，列出方程组，解出方程，即可． 【详解】设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元， ∴， 解得：， 答：每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元． 【点睛】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的实际运用． 【跟踪专练1】大刚和小亮到同一家超市购买水果．大刚买了苹果和梨，共花了元；小亮买了苹果和梨，共花了元．设苹果和梨的价格分别为x元/千克和y元/千克，请列出方程组，并求出苹果和梨的价格． 【答案】，苹果的价格为7元/千克，梨的价格为4元/千克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“大刚买了苹果和梨，共花了元；小亮买了苹果和梨，共花了元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：， 解得：． 答：苹果的价格为7元/千克，梨的价格为4元/千克． 【跟踪专练2】运动会结束后八（1）班班主任准备购买一批明信片，用来奖励积极参与运动会各个比赛项目的学生，计划花180元购买A，B两种明信片共20盒．已知A种明信片每盒12元，B种明信片每盒8元． (1)甲同学根据上述信息，列出了尚不完整的方程请你在横线上填上具体的数字，并说明a，b分别表示的含义． (2)乙同学设x表示购买了A种明信片的盒数，y表示购买了B种明信片的盒数．请你帮他列出方程组并计算购买A种明信片和B种明信片各多少盒． 【答案】(1)；；表示买种明信片花的总钱数，表示买种明信片花的总钱数． (2)购买了种明信片盒，种明信片盒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． （1）由已知条件补全方程组，根据总价÷单价=数量即可得出，分别表示的含义； （2）根据种盒数种盒数，种盒数单价种盒数单价，由此列方程组求解即可． 【详解】（1）解：，；表示买种明信片花的总钱数，表示买种明信片花的总钱数． 从等量关系式入手分析，由“”、“”可知，、分别表示两种明信片的单价，而依等量关系式可知：总价÷单价=数量，便知表示种明信片的总价，表示种明信片的总价，则方程组补充为： （2）解：根据题意，得 解得 答：购买了种明信片盒，种明信片盒． 【题型9.二元一次方程组应用:和差倍分问题】 【典例】刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 【答案】16道 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题， ， 解得， 答：刘畅同学做对了16道题． 【跟踪专练1】为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套型一体机．求今年每套A型、型一体机的价格各是多少万元？ 【答案】每套型一体机价格是1.2万元，每套型一体机价格是1.8万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据“A、B一体机价格关系”和“采购金额与数量关系”列出方程组求解． 设每套A型—体机价格为万元，每套B型—体机价格为万元，根据B型比A型价格多0.6万元、960万元买500套A型和200套B型这两个条件列方程组，求解得出价格． 【详解】设今年每套型一体机的价格是万元，每套型一体机的价格是万元， 根据题意，可得， 解得， 把代入，得， 答：每套型一体机价格是1.2万元，每套型一体机价格是1.8万元． 【跟踪专练2】有一群鸟，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若从地上飞到树上1只，则地上的鸟就是整个鸟群的；若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟就一样多了．你知道树上、地上各有多少只鸟吗？试列方程组解答． 【答案】树上有7只鸟，地上有5只鸟． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设树上有只鸟，地上有只鸟，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设树上有只鸟，地上有只鸟． 根据条件，若从地上飞到树上1只，则地上的鸟为整个鸟群的，得：； 若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟一样多，得：； 即， 解得：． 答：树上有7只鸟，地上有5只鸟． 【题型10.二元一次方程组应用:几何问题】 【典例】在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，可得． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据题意，得 解得 所以，小长方形的长为，宽为． 阴影部分图形的总面积． 【跟踪专练1】小明用8块大小一样的长方形瓷砖恰好拼成一个大的长方形（如图1）；小红也用8块这种瓷砖拼出了一个正方形（如图2），但中间还留下一个边长为的小正方形（阴影部分）．你能求出这些长方形瓷砖的长和宽吗？ 【答案】这些长方形瓷砖的长和宽分别为，． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设这些长方形瓷砖的长为，宽为，由图中信息列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设这些长方形瓷砖的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， 答：这些长方形瓷砖的长和宽分别为，． 【跟踪专练2】如图，在中，分别是的对边，点是边上一点，连，满足，且是不等式组的最大整数解． (1)求的长； (2)若平分的周长，求的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握方程组和不等式组的应用是解题关键． （1）利用代入消元法解方程组可得的值，求出不等式组的解集，由此即可得的值； （2）设，则，根据平分的周长建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：方程组的解为； 不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以这个不等式组的解集为， ∵是这个不等式组的最大整数解， ∴． （2）解：∵在中，是的对边，， ∴， 设，则， ∵平分的周长， ∴， ∴， 解得， 所以的长为6． 【题型11.二元一次方程组应用:图表信息问题】 【典例】今年“五一”期间，桐柏水帘洞火爆桐柏，打卡次数之多，位居桐柏首位，实现了416万左右的收入．某游客购买了三种桐柏特色商品，因不小心污染了相关信息，导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 商品名称 单价（元） 数量（袋/件） 金额（元） 桐柏山板栗 15 桐柏豆筋 40 乐神康 a 2 90 合计 5 185 (1)某游客购桐柏山板栗，桐柏豆筋各几袋？ (2)某游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共多少钱？ 【答案】(1)购买桐柏山板栗1袋，购买桐柏豆筋2袋 (2)游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共340元 【分析】（1）设购买桐柏山板栗袋，购买桐柏豆筋袋，根据题意联立二元一次方程组并解方程组即可求解． （2）利用，即可求解． 【详解】（1）解：设购买桐柏山板栗袋，购买桐柏豆筋袋， 由题意得：， 解得：， 答：购买桐柏山板栗1袋，购买桐柏豆筋2袋． （2）（元）， 答：游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共340元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理清题意，根据等量关系列出二元一次方程组是解题的关键． 【跟踪专练1】为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 【答案】捐5本的有20人，捐8本的有12人，理由见详解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确运用方程表示出数量关系并求解是解题的关键． 根据该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，由此列式求解即可． 【详解】解：该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人， ∴， 解得，， ∴捐5本的有20人，捐8本的有12人． 【跟踪专练2】为了改善社区居住环境，提升居民幸福指数，光明社区决定建设一个大型广场，在广场四周布置，两种园艺造型共40个，每种园艺造型所需花卉盆数和完成所需时间如下表所示： 一个造型 一个造型 所需花卉盆数（单位：盆） 完成所需时间（单位：小时） 4 6 已知1个种园艺造型和2个，种园艺造型共需260盆花卉，3个种园艺造型和1个种园艺造型共需380盆花卉． (1)每个种园艺造型和每个种园艺造型各需要多少盆花卉？ (2)若园艺工人每天工作8小时，要求在25天内完成园艺造型建设，且造型不多于25个，则有几种方案可以选择？ 【答案】(1)每个种园艺造型需要100盆花卉，每个种园艺造型需要80盆花卉 (2)6种 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）根据1个种园艺造型和2个，种园艺造型共需260盆花卉，3个种园艺造型和1个种园艺造型共需380盆花卉，再结合表格信息建立方程组求解即可； （2）设建造种园艺造型个，则需建造种园艺造型个，根据题意可得，再解不等式组即可. 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． ∴每个种园艺造型需要100盆花卉，每个种园艺造型需要80盆花卉； （2）解：设建造种园艺造型个，则需建造种园艺造型个， 园艺工人25天工作时长为（小时）， 根据题意，得， 由①解得：， ∴， 又∵为整数， ∴可取20，21，22，23，24，25， ∴有6种方案可以选择． 【题型12.二元一次方程组应用:古代问题】 【典例】《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？（利用二元一次方程组求解） 【答案】李三公家有间客房，来了位房客． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理清题意，根据等量关系列方程是解题关键． 设有间客房，位房客，根据等量关系建立二元一次方程组，解方程，即可求解． 【详解】解：设李三公家的店有间客房，来了位房客， 根据题意，得， 解得：， 李三公家有间客房，来了位房客． 【跟踪专练1】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：现有甲袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋子比乙袋子轻了12两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？ 【答案】黄金每枚重33两、白银每枚重27两 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设黄金每枚重x两、白银每枚重y两，根据“黄金9枚白银11枚的重量相等，两袋互相交换1枚后，甲袋子比乙袋子轻了12两”建立二元一次方程组求解． 【详解】解：设黄金每枚重x两、白银每枚重y两． 由题意，得： 解得： 答：黄金每枚重33两、白银每枚重27两． 【跟踪专练2】我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲只羊，那么甲现拥有的羊数就是乙现拥有羊数的倍；如果甲给乙只羊，那么两人现拥有的羊数相等．问甲、乙原各有多少只羊？ 【答案】甲有羊只，乙有羊只． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有羊只，乙原有羊只，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲原有羊只，乙原有羊只， 根据题意得，， 解得：， 答：甲有羊只，乙有羊只． 【题型13.二元一次方程组应用:其他问题】 【典例】一家超市中，芒果的售价为4元/千克，荔枝的售价为10元/千克，小明在这家超市买了芒果和荔枝共10千克，共花费76元，求小明这次买的芒果、荔枝各多少千克． 【答案】小明购买的芒果4千克，荔枝6千克 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找出两个不同的相等关系，正确地列出方程组即可．设小明购买的芒果为千克，荔枝为千克，根据等量关系式芒果的重量荔枝的重量千克，芒果的花费荔枝的花费元，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小明购买的芒果为千克，荔枝为千克， 由题意得，， 解得：， 答：小明购买的芒果4千克，荔枝6千克． 【跟踪专练1】某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为5元/辆，小型汽车的停车费为3元/辆．现在停车场有辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费元．问中、小型汽车各有多少辆？ 【答案】中型汽车辆，小型汽车辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系、列出二元一次方程组是解题的关键．设中型汽车有x辆、小型汽车有y辆，根据等量关系“中型汽车小型汽车”和“中型汽车停车费小型汽车停车费元”，列方程组求解即可． 【详解】设中型汽车有x辆、小型汽车有y辆， 根据题意，得， 解得， 答：中型汽车辆，小型汽车辆． 【跟踪专练2】某公司组织员工旅游，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，则可载人，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，则可载人． (1)请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？ (2)若该公司有名员工，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．现打算同时租甲、乙两种客车共辆，他们有几种租车方案？（两种客车都要租） (3)在（）的条件下，已知甲种客车每辆租金为元，乙种客车每辆租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费用． 【答案】(1)甲种客车每辆能载客人，乙两种客车每辆能载客人 (2)有三种租车方案 (3)租甲种客车辆、乙种客车辆最省钱，最少的租车费用是元 【分析】（）设甲种客车每辆能载客人，乙两种客车每辆能载客人，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设租甲种客车辆，则租乙种客车辆，根据题意列出不等式组解答即可求解； （）求出每一组方案的费用，进而比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种客车每辆能载客人，乙种客车每辆能载客人， 由题意得，， 解得， 答：甲种客车每辆能载客人，乙两种客车每辆能载客人． （2）解：设租甲种客车辆，则租乙种客车辆， 由题意得，， 解得， ∵为正整数， ， ∴有三种租车方案； （3）解：由（）得，有以下三种租车方案： ①租甲种客车辆，乙种客车辆； ②租甲种客车辆，乙种客车辆； ③租甲种客车辆，乙种客车辆； 若租甲种客车辆、乙种客车辆，租金为（元）， 若租甲种客车辆、乙种客车辆，租金为（元）， 若租甲种客车辆、乙种客车辆，租金为（元）， ， ∴租甲种客车辆、乙种客车辆最省钱，最少的租车费用是元． 单选题 1．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设木长尺，绳子长为尺，由题意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设木长尺，绳子长为尺. ∵ 引绳度之，余绳尺， ∴. ∵ 屈绳量之，不足一尺，即对折后量木，木剩余尺， ∴ 对折绳子长度比木长小尺， ∴． 因此，方程组为， 故选：B． 2．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图，根据配图给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 根据设小长方形的长和宽为y、x，可得到关于x、y的两个方程，即得答案． 【详解】解：∵设小长方形的宽为，长为， 如图可知，1个小长方形的宽加1个小长方形的长等于7；1个小长方形的长减去1个小长方形的宽等于3． ∴． 故选：B． 3．佳佳坐在匀速行驶的车上，每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下． 则12：00时看到的两位数是（   ） 时刻 12：00 13：00 14：00 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比12：00时看到的刚好颠倒 比12：00看到的两位数中间多了个0 A．15 B．16 C．25 D．34 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，先设看到的个位数字为x，十位上的数字为y，再根据的数字和是7列出方程，然后根据两段路程相等列出方程，可得出方程组，求出解即可． 【详解】解：设看到数的个位数字为x，十位上的数字为y，，根据题意，得 ， 故选：B． 4．小明在教材116页活动2汽车轮胎换位的探究中，获得了数学信息，知道电动车一般也是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在电动车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．3000 B．3750 C．4000 D．4500 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 由题意可得， 两式相加可得， 解得：， 故这对轮胎最多可以行驶3750公里， 故选：B． 5．有货物，大车一次能装，小车一次能运，若要一次运完且两种车都得用，派车方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】先设派辆大车，辆小车，根据有货物，大卡车一次能装，小车一次能运，列出方程，再进行讨论，即可得出答案；本题考查了列二元一次方程并分类讨论求解的实际应用，找到等量关系并设未知数列方程是解题的关键． 【详解】解：设派辆大车，辆小车， 由题意（、为正整数）， 当派大车1辆时，小车辆； 当派大车2辆时，小车辆； 当派大车3辆时，小车辆； 当派大车4辆时，小车辆； 则共有4种派车方案； 故选：D． 6．现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 填空题 7．“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有只，兔有只，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组；根据题意，鸡和兔的总头数为35，总腿数为94，鸡有2条腿，兔有4条腿，据此列出方程组。 【详解】解：设鸡有只，兔有只，由头数关系得，由腿数关系得， 故所列方程组为． 故答案为：． 8．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出方程组，求出即可． 【详解】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： ， 即由此可得： ， ∴，即甲比乙大5岁． 故答案为：5． 9．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为 ． 【答案】100元、150元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元，根据第一次和第二次购进的费用列出二元一次方程组，通过消元法求解． 【详解】解：设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元， 根据题意，得方程组： 解得： 故第一次购进A种茶每盒100元，B种茶每盒150元， 故答案为：元，元． 10．某家具生产厂生产某种配套桌椅（1张桌子配4把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子3把，现计划用140块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），生产出来的桌椅刚好配套．设用块板材制作桌子，用块板材制作椅子，则 ． 【答案】60 【分析】本题考查二元一次方程组在配套问题中的应用，掌握根据配套比例建立数量关系，结合总资源数列方程的方法是解题的关键． 根据总板材数和桌椅配套关系列出二元一次方程组，通过代入法求解． 【详解】解：设用块板材制作桌子，块板材制作椅子， 由总板材数可得． 生产桌子张，椅子把，由于配套要求为张桌子配把椅子，故椅子数量是桌子数量的倍，即． 联立方程得： 解得： 故答案为：． 11．一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是 岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小雅爷爷是岁，小雅是岁，根据题意得，解方程即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小雅爷爷是岁，小雅是岁， 依题意得， 解得， ∴小雅的年龄是岁， 故答案为：． 12．现有1角、5角、1元硬币各6枚，从中取出9枚，共值3元．则取出的5角硬币的枚数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设取出1角的硬币x枚，5角的硬币y枚，则取出1元的硬币枚，根据这些硬币的总值为3元，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，均为非负整数即可求出结论． 【详解】解：设取出1角的硬币x枚，5角的硬币y枚，则取出1元的硬币枚， 依题意，得：， ∴， ∵x，y，均为非负整数， ∴，， 即取出的5角硬币的枚数为3枚． 故答案为：3． 13．如图，在的方格内，填写了一些式子或数，使各行、各列及对角线上三个数之和都相等，则 ． 6 1 4 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程组． 根据各行、各列及对角线上三个数之和都相等，列出关于，的方程组，通过加减消元法求出方程组的解，最后代入即可求解． 【详解】解：由题意得： 化简方程组，得： 由②得：， 将代入①，得：， 解得：， 故方程组的解为： ， 故答案为：． 14．如图，周长为的长方形被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形的面积为 ． 【答案】70 【详解】通过观察图形，找到小长方形长和宽的数量关系，再结合大长方形的周长，建立二元一次方程组来求解． 解：设小长方形的长为，宽为． 水平方向上，个小长方形的长等于个小长方形的宽，即． 周长：． 因此，得到方程组： ， ： ，即： ③联立①得： ，解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 ∴小长方形的长，宽． ∴大长方形的长为，宽为． ∴面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是通过观察图形找到小长方形长与宽的数量关系，再结合大长方形的周长建立方程求解． 解答题 15．有大小两种水桶，3个大桶与2个小桶一次最多可以装水，5个大桶和4个小桶一次最多可以装水．问1个大桶与2个小桶一次最多可以装多少水？ 【答案】1个大桶与2个小桶一次最多可装水． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．设一个大桶一次最多可装水，一个小桶一次最多可装水，根据题意列出方程组，进而再求得1个大桶与2个小桶一次最多可装多少水． 【详解】解：设一个大桶一次最多可装水，一个小桶一次最多可装水，依题意，得 解得 1个大桶与2个小桶一次最多可装水： 答：1个大桶与2个小桶一次最多可装水． 16．为了防控流感，我校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？ (2)由于部分区域需要重点消毒，我校准备花60元再次购买这两种消毒液，有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶 (2)三种 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设买甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据“购买了甲，乙种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元”建立二元一次方程组求解； （2）设买甲种消毒液购买了m瓶，乙种消毒液购买了n瓶，根据(1)求得的单价以及“花60元再次购买这两种消毒液”得到二元一次方程，再求出其正整数解即可． 【详解】（1）解：设买甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据题意， 得， 解得， 答：甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶． （2）解：设买甲种消毒液购买了m瓶，乙种消毒液购买了n瓶，根据题意， 得，化简得， ∵m，n为正整数， ∴或或． ∴有三种购买方案． 17．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 18．某科技物流公司承包了某智能仓库的货物运输任务，拟派出A，B两种型号的无人运输车运输货物．已知2辆A型无人运输车与3辆B型无人运输车一次共运输货物60箱，5辆A型无人运输车与6辆B型无人运输车一次共运输货物135箱． (1)一辆A型无人运输车和一辆B型无人运输车一次各运输货物多少箱？ (2)该科技物流公司决定派出A，B两种型号的无人运输车共20辆参与运输，若本次运输的货物总量不少于250箱，且B型无人运输车至少派出8辆，则有哪几种派车方案？请通过计算说明． 【答案】(1)设A型无人运输车一次运输货物15箱，B型无人运输车一次运输货物10箱 (2)有3种方案：①A型无人运输车10辆，B型无人运输车10辆；②A型无人运输车11辆，B型无人运输车9辆；③A型无人运输车12辆，B型无人运输车8辆 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设A型无人运输车一次运输货物x箱，B型无人运输车一次运输货物y箱，根据题意可以得到相应的二元一次方程组，从而可得答案； （2）设派出A型无人运输车m辆，B型无人运输车辆，根据题意可以列出不等式组，从而可得答案． 【详解】（1）解：设A型无人运输车一次运输货物x箱，B型无人运输车一次运输货物y箱． 由题意，得      解此方程组，得 经检验，是原方程组的解，也符合实际情况． 答：设A型无人运输车一次运输货物15箱，B型无人运输车一次运输货物10箱． （2）解：设派出A型无人运输车m辆，B型无人运输车辆． ∴． ∴． ∴有3种方案：①A型无人运输车10辆，B型无人运输车10辆； ②A型无人运输车11辆，B型无人运输车9辆； ③A型无人运输车12辆，B型无人运输车8辆． 19．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”． 请根据图文信息解决下列问题： (1)求甲的赛跑速度； (2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？ 【答案】(1)甲的赛跑速度为 (2)乙获胜 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由甲的速度是乙的1.2倍，即可求解； （2）设甲用时为x秒，乙用时为y秒，由题意：甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）依题意得：甲的赛跑速度为； （2）设甲用时为秒，乙用时为秒， 依题意得：， 解得：； ， 此次赛跑中乙获胜． 20．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【答案】5岁． 【分析】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： 即由此可得：， ∴，即甲比乙大5岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用中的年龄问题，理解年龄差不会随年龄的变化而变化是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $