浙江温州市乐清市荆山公学2025-2026学年高二上学期数学周测试卷（11月2日）

荆山公学2025-2026学年度高二数学周测试卷（3） 11月2日 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修一。 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（本题5分）若直线与直线平行，则的值为（   ） A．3 B． C．或3 D．以上都不正确 3．（本题5分）已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（本题5分）若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，，连接轴于M点，若，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是 B．已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量 C．向量在向量上的投影向量为 D．已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则的最小值为 10．（本题6分）已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 11．（本题6分）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 . 13．（本题5分）已知圆，圆，点分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，，则的最大值为 . 14．（本题5分）已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论： ①三角形面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为 ③四面体外接球表面积的最小值为. 以上正确的结论是 . 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 16．（本题15分）已知圆关于直线对称，且过点 (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程． 17．（本题15分）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 18．（本题17分））已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 19．（本题17分）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D B B B A D BC BCD AC 1．C 【详解】当直线过原点时，直线方程为，即，在两坐标轴上的截距均为，满足题意；当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线方程为，代入点，得，解得， 则直线方程为，即，综上所述直线方程为或，故选：C. 2．A 【详解】因为直线与直线平行，所以， 解得或，经检验当时，两直线重合，所以.故选：A. 3．D 【详解】因为，，，四点共面，任意三点不共线，且， 所以，则.故选：D. 4．B 【详解】因为，所以， 记直线与直线的夹角为，则.故选：B 5．B 【详解】因为，，所以，因为与垂直， 所以，解得，所以， 所以，故选：B. 6．B 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：B. 7．A 【详解】由，化简可得，则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得，故实数的取值范围是．故选：A. 8．D 【详解】设AF1＝m，AF2＝n．如图所示，由题意可得：Rt△AF1F2∽Rt△OMF2， ∴．则m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m． 化为：m2，n2＝9m2＝6b2． ∴6b2＝4c2．∴c2， 化为：．故选D． 9．BC 【详解】点关于轴对称点的坐标是，故选项A为假命题； 显然不共面，，所以选项B为真命题； 向量在向量上的投影向量为，所以选项C为真命题；    由题可得示意图图一，将放在同一个平面上得图二， 当三点共线的时候有最小值为,由题可知， 由余弦定理可知， 所以选项D为假命题；故选：BC 10．BCD 【详解】A.由条件可知，，解得：，所以椭圆， 所以，椭圆的离心率，故A错误； B.由椭圆方程可知，，，以为直径的圆与椭圆由4个交点， 所以椭圆上存在点使得，故B正确； C.设，，代入椭圆方程，， 两式相减得，由题意可知，，， 所以，，所以，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理为，故C正确； D.因为直线过椭圆的焦点，所以的周长为，故D正确.故选：BCD 11．AC 【详解】由题，斜率为，，斜率为， 对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，因为，所以即，且即， 又两条平行直线与间的距离为，所以或，故B错误； 对于C，对，令， 所以直线过定点.故C正确； 对于D，由C可知直线过定点，所以要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D错误.故选：AC. 12． 【详解】设，则，， 当时，最小，此时，从而 ， 当且仅当时，等号成立．所以的最小值为.故答案为： 13． 【详解】,点分别是圆，圆上的动点， 可知： 所以，， 设关于轴的对称点为，则， 当三点共线时，取最大，最大值为， 所以，故答案为：7。 14．② 【详解】对于①：如图，由条件可知，，点是直径的两个端点， ，所以是钝角， ， 所以当时，的面积最大，最大值是，故①错误； 对于②：， ，当时，的最大值是， 所有三棱锥的最大值是，故②正确； 对于③：设外接圆的半径为，四面体SOPQ外接球的半径， 中，根据正弦定理可得，得， ，所以，则外接球的半径也无最小值，所以四面体SOPQ外接球表面积无最小值，故③错误.故答案为：② 15．(1)，(2) 【详解】（1）由题可得，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得，即； （2）∵直线化简得：， 令，解得，∴定点， 则点到直线的距离，∴到直线的距离为. 16．(1)圆心坐标为，半径为，(2)或 【详解】（1）由题意：. 所以圆：. 所以圆的圆心为，半径. （2）因为，所以圆心到直线的距离为：. 设直线的点斜式方程为：，即. 由或.所以直线的方程为：或. 17．(1)，，(2)存在， 【详解】（1）因为， ， 所以； 所以 ，所以. （2）假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得，故满足条件. 18．(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为. 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且， 所以椭圆的方程为. （2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在，当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为，联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以.综上，为定值0. （ii）由（i）可得， 所以， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 19．(1)证明见解析(2)(3). 【详解】（1）取的中点，连结， 由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形， 则，故, 故平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 所以，因为，， 故平面与平面所成角的正弦值为. （3）点是内一动点且，则点在以为直径的圆上， 当线段的长最小时，点在与圆的交点处，此时，， 设直线与直线所成角为，所以， 所以直线与直线所成角得余弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $