6.2.1 向量的加法运算 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.1向量的加法运算 导学案 (学生版) 【1】教材知识提炼 定义 求两个向量 的运算，叫做向量的加法． 三角形法则 已知 向量，，在平面内任取一点， 作 ， ， 则向量 叫做与的和，记作 ，即 基本步骤：(1)平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．(2)以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即为两个向量的和． 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量，， 作 ， ， 以OA，OB为邻边作，则对角线上的向量 应用向量加法的平行四边形法则求向量和的基本步骤： (1)平移两个不共线的向量使之共起点． (2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形． (3)平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．　 两个法则的区别与联系 区别：(1)向量加法的三角形法则中强调“首尾相接”，向量加法的平行四边形法则中强调“共起点”． (2)向量加法的三角形法则适用于所有的非零向量求和，而向量加法的平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 联系：向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则在本质上是一致的．这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时应视情况而定． 运算律 向量加法的交换律: . 向量加法的结合律 . 模的不等式 ． 【2】基于教材的训练 一、单选题 1．化简等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 4．下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 5．等于（    ） A． B． C． D． 6．已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 8．等腰三角形中，在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（    ） A． B． C． D． 11.设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，，则的取值范围为 . 13．化简： ． 14．化简向量运算： ． 四、解答题 15．化简： (1) (2) 16．（1）如图①，用向量加法的三角形法则作出； （2）如图②，用向量加法的平行四边形法则作出． 17．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 18．已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 19．请大家回顾我们物理中学过的力的合成的平行四边形法则，请你画出如图力和的合力．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.1向量的加法运算 导学案 (详解版) 【1】教材知识提炼 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 三角形法则 已知非零向量，，在平面内任取一点， 作，，则向量叫做与的和，记作， 即 基本步骤：(1)平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．(2)以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即为两个向量的和． 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量，， 作，，以OA，OB为邻边作， 则对角线上的向量 应用向量加法的平行四边形法则求向量和的基本步骤： (1)平移两个不共线的向量使之共起点． (2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形． (3)平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．　 两个法则的区别与联系 区别：(1)向量加法的三角形法则中强调“首尾相接”，向量加法的平行四边形法则中强调“共起点”． (2)向量加法的三角形法则适用于所有的非零向量求和，而向量加法的平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 联系：向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则在本质上是一致的．这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时应视情况而定． 运算律 向量加法的交换律: . 向量加法的结合律 . 模的不等式 ． 【2】基于教材的训练 一、单选题 1．化简等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则 【分析】利用向量加法直接得到答案. 【详解】. 故选：C. 2．在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法的法则 【分析】利用向量加法的平行四边形法则即可求解. 【详解】由可得点是的中点，根据平行四边形法则：，即.    故选：D. 3．如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据平面向量的加法法则求解. 【详解】根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得. 故选：B. 4．下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【知识点】向量加法的运算律 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 5．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的运算律 【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解： 故选：B 6．已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】向量加法的运算律 【分析】根据向量的加法运算律判断 【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律， 所以，，，，都等于， 故选：A 7．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 8．等腰三角形中，在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相等向量、向量加法法则的几何应用、向量加法的法则 【分析】结合图形和题设条件，逐一判断各选项即可. 【详解】 对于A，如图，与方向不同，故A错误； 对于B，与方向相反，故B错误； 对于C，因在边上，满足， 则，，由A项知与不相等，故C错误； 对于D，由图知，， 因，故有，即D正确. 故选：D. 二、多选题 9．对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量加法的运算法则即可得到答案. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：ABD. 10．（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法的法则 【分析】根据向量的加法法则判断逐一判断即可. 【详解】解：由向量的加法法则可得：，故正确，错误； 当点在线段上时，，否则,故错误，D正确． 故选：AD. 11．设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、向量加法的法则 【分析】根据向量的线性运算，求得，结合零向量的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量，且是一个非零向量，所以A正确； 由，所以B不正确，C正确； 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】向量的模、向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量模的性质以及向量方向的不同情况来确定的取值范围. 【详解】当和方向相同时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最大值为. 当和方向相反时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最小值为. 由上述计算可知的最小值为，最大值为，所以的取值范围是[2,6]. 故答案为：[2,6]. 13．化简： ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 14．化简向量运算： ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量加法的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 四、解答题 15．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的运算律计算求解即可. 【详解】（1）根据向量加法运算律得； （2）根据向量加法运算律得； 16．（1）如图①，用向量加法的三角形法则作出； （2）如图②，用向量加法的平行四边形法则作出． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】（1）应用三角形法则得出； （2）应用平行四边形法则得出. 【详解】（1）在平面内任取一点，作，，再作向量，则． （2）在平面内任取一点，作，，以OA，OB为邻边作，则． 17．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 【答案】(1)答案见解析 (2)B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用、平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】（1）根据题意，直接画出向量图； （2）先得到四边形ABCD为平行四边形，即可得B地相对于A地的位移. 【详解】（1）向量，，，，如图所示： （2）由题意知．所以，且， 则四边形ABCD为平行四边形． 所以， 则B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 18．已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 【答案】作图见解析. 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据给定条件，利用平行四边形法则作出. 【详解】在平面内任取点，作向量，， 以线段为一组邻边作，连接， 则， 所以即为所作的向量. 19．请大家回顾我们物理中学过的力的合成的平行四边形法则，请你画出如图力和的合力．    【答案】答案见解析 【知识点】向量加法的法则、力的合成 【分析】根据向量加法的平行四边形法则作图即可. 【详解】如图所示．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $