2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：反比例函数

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：反比例函数 一、单选题 1．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A．y＝﹣3x+6 B．y=x2 C．y＝ D．y＝ 2．若点，，都在反比例函数的图像上，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 4．如图，函数y= （x＜0）的图象与直线y= x+m相交于点A和点B．过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，P为线段AB上的一点，连接PE、PF．若△PAE和△PBF的面积相等，且xP=﹣ ，xA﹣xB=﹣3，则k的值是（　　） A．﹣5 B． C．﹣2 D．﹣1 5．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝ 在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是(　　) A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16 6．反比例函数 (k为不等于0的常数)的图象如图所示，以下结论错误的是（　　） A．k＞0 B．若点M (1，3)在图象上，则k＝3 C．在每个象限内，y的值随x值的增大而增大 D．若点A(－1，a)，B(2，b)在图象上，则a＜b 7．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图象的一个交点为A（﹣1，2），则另一个交点B的坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1） 8．反比例函数 图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜0 ＜x2 ＜x3，则y1 ，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1 9．已知点 都在反比例函数 的图象上， 以下说法正确的是（　　） A．若 ， 则 B．若 ， 则 C．若 ， 则 D．若 ， 则 10．如图，直线y=x+4与双曲线y=﹣ 相交于A、B两点，点P是y轴上的一个动点，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为（　　） A．（0， ） B．（0， ） C．（0，﹣ ） D．（0，﹣ ） 11．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E点，双曲线y=(x＞0)的图像经过点A，若S△BEC=6，则k等于（　　）. A．3 B．6 C．12 D．24 二、填空题 12．点 在反比例函数 的图象上，则k的值为　 　 13．已知反比例函数y＝ （m为常数）的图象在每个象限内，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是　 　. 14．反比例函数 （k是常数，k≠0）的图象经过点（1，4），那么这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而　 　.（填“增大”或“减小”） 15．如图是函数和函数在第一象限部分的图象，则时，使成立的x的取值范围是　 　. 16．如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，与反比例函数 （ ， ）的图象交于点 ．过点 作 轴，垂足为点 ，若 ，则 的值为　 　． 17．设直线与双曲线分别交于点、点．若，则的值为　 　． 18．函数y1＝x（x≥0），y2＝（x＞0）的图象如图所示，则以下4个结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x＞2时，y2＞y1；③直线x＝1与y1，y2依次交于C，B两点，则BC＝3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是 　 　． 三、解答题 19．已知反比例函数 的图象过点P（－1，3），求m的值和该反比例函数的表达式. 20．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若一个用电器通过的电流超过12A，这个用电器将被烧毁，为使这个用电器安全使用，它的可变电阻应控制在什么范围？ 21．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示： （1）求电流I关于电阻R的函数解析式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 22．已知双曲线y=和直线y=ax+b相交于A（﹣1，4）和B（2，m）两点，试确定双曲线和直线的函数关系式． 23．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 24．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（a-1，2）． （1）若a＝4，求y关于x的函数表达式； （2）点B（-2，b）也在反比例函数y的图象上． ①当-2＜b≤-1，求a的取值范围； ②若B在第二象限，求证：2b-a＞-1． 25．已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A（2，a)，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点。 （1）求反比函数的表达式； （2）如图1，过点B做y轴的垂线，与的图像交于点D，当线段BD=3时，求B点坐标。 （3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图像上时，求点E的坐标。 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A、是一次函数，不符合题意； B、y=x2，不符合题意； C、中，未知数的次数是次，不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意． 故答案为：D 【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可。 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴图象在二四象限， ∵， ∴； 故选：D 【分析】根据反比例函数性质即可求出答案. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故答案为：A． 【分析】首先根据待定系数法求出反比例函数解析式为，进而根据点B在反比例函数图象上，即可得出点，再结合函数图象，找到一次函数图象在反比例函数图象上边部分所对应的x的取值范围即可。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得：xA、xB是方程 = x+m即x2+2mx﹣2k=0的两根， ∴xA+xB=﹣2m，xA•xB=﹣2k． ∵点A、B在反比例函数y= 的图象上， ∴xA•yA=xB•yB=k． ∵S△PAE=S△PBF， ∴ yA（xP﹣xA）= （﹣xB）（yB﹣yP）， 整理得xP•yA=xB•yP， ∴﹣ =xB•yP， ∴﹣ k=xA•xB•yP=﹣2kyP，． ∵k≠0， ∴yP= ， ∴ ×（﹣ ）+m= ， ∴m= ． ∵xA﹣xB=﹣3， ∴（xA﹣xB）2=（xA+xB）2﹣4xA•xB=（﹣2× ）2+8k=9， ∴k=﹣2． 故选C． 【分析】由题意可得xA、xB是方程 = x+m即x2+2mx﹣2k=0的两根，根据根与系数的关系可得xA+xB=﹣2m，xA•xB=﹣2k．易得xA•yA=xB•yB=k，由S△PAE=S△PBF可求出yP，然后把点P的坐标代入y= x+m就可求出m，再根据xA﹣xB=﹣3就可求出k的值． 5．【答案】C 【解析】【解答】由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数 经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论． ∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数 经过点A时k最小，经过点C时k最大， ∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=16，∴2≤k≤16． 故答案为：C． 【分析】将点A、C的坐标分别代入反比例函数解析式求出k的值，即可求出k的取值范围。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：A. 反比例函数图象在一、三象限，故k＞0，不符合题意； B. 将点M（1，3）代入解析式可得：k=1×3=3，不符合题意； C.观察图像可知，在每个象限内，y的值随x值的增大而减小，符合题意； D.由点A，B的横坐标可知，点A在第三象限，点B在第一象限，所以a＜b，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】根据反比例函数的图象和性质判断各选项即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：将A点坐标代入y=﹣x+b和y= 可求得k=﹣2，b=1， 所以，直线为y=﹣x+1，反比例函数为y=﹣ ， 解 得 或 ， 所以另一点（2，﹣1）； 故另一个交点B的坐标为（2，﹣1）． 故选D． 【分析】根据反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，将A点坐标代入求得k、b的值，再联立两函数方程求得另一交点坐标． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵反比例函数 中，-k2-1＜0， ∴函数图象的两个分支分别位于二，四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． ∵x1＜0 ＜x2 ＜x3， ∴（x1，y1）两点位于第二象限，点（x2，y2），（x3，y3）位于第四象限， ∴y2＜y3＜y1． 故答案为：B． 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出其函数图象所在的象限，再根据x1＜0 ＜x2 ＜x3，判断出各点横坐标的大小即可． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：∵k<0， ∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， A.若-2＜x1＜-1，则-1＜x1+1<0， ∴点A（x1，y1），B（x1+ 1，y2）都在第二象限， ∵1< x1 +1， ∴y1< y2，故A不合题意； B.若-1＜x1<0，则0＜x1 +1<1， ∴点A（x1，y2）在第二象限，点B（x1 + 1，y2）在第四象限， ∴y1 >y2，故B不合题意； C.若0<x1<1，则1<x1+1<2， 点A（x1，y1），B（x1 + 1，y2）都在第四象限，x1 < x1 +1， ∴y1<y2，故C符合题意； D.若1 ＜x1 <2，则2< x1+1<3， 点A（x1，y），B（x1+ 1，y2）都在第四象限， ∴x1< x1 +1， .Y1 <Y2，故D不合题意； 故答案为：A. 【分析】对于反比例函数，当k < 0时，在每个象限内，y随x的增大而增大，根据x的取值范围，判断点A和B是否在同一象限，再比较y1和y2的大小即. 10．【答案】B 【解析】【解答】解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于P， 则点P即为所求， ， 解得， ， ， 则点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（﹣3，1）， ∴点A′的坐标为（1，3）， 设直线BA′的解析式为：y=kx+b， ， 解得， ， ∴直线BA′的解析式为：y= x+ ， 当x=0时，y= ， ∴点P的坐标为（0， ）， 故B符合题意. 故答案为：B． 【分析】先利用轴对称—最短路径找出PA+PB的值最小时点P的位置，再解方程组求得A、B的坐标，从而利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而可得P点的坐标. 11．【答案】C 【解析】【分析】先根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比及面积公式得出BO•AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值． 【解答】∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线， ∴BD=DC=AC， ∴∠DBC=∠ACB， 又∵∠DBC=∠EBO， ∴∠EBO=∠ACB， 又∵∠BOE=∠CBA=90°， ∴△BOE∽△CBA， ∴BO：BC=OE：AB， 即BC•OE=BO•AB． 又∵S△BEC=6， ∴BC•EO=6， 即BC•OE=12， ∵|k|=BO•AB=BC•OE=12． 又∵反比例函数图象在第一象限，k＞0． ∴k=12． 故选C． 【点评】此题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用 12．【答案】3 【解析】【解答】解：把点 代入 ，得 ， ∴k=1×3＝3， 故答案为：3． 【分析】将点M的坐标代入计算即可。 13．【答案】m＞2 【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小， 则m﹣2＞0， ∴m＞2. 故答案为：m＞2. 【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象两支位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，图象两支位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，据此可得m-2＞0，求解即可. 14．【答案】减小 【解析】【解答】解：∵反比例函数y= （k是常数，k≠0）的图象经过点（1，4）， ∴k=4＞0， ∴在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小． 故答案为：减小． 【分析】将点（1，4）代入反比例函数y= （k是常数，k≠0）求出k的值，根据反比例函数的图象、性质与系数的关系，k大于0的时候，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y的值随x的值增大而减小． 15．【答案】x＞3 【解析】【解答】解：将两边同乘以2得2x>， 则原题可转换为当x>0时，使2x>成立的x的取值范围， 观察图象可知， 当x＞3时，y=2x 的图象始终在的图象的上方， 当0<x<3时，y=2x 的图象始终在的图象的下方， ∴当x＞3时，2x>恒成立， 即 当x＞3时，x>恒成立， 故当x＞0时，使x>成立的x的取值范围为x＞3. 故答案为：x＞3. 【分析】原题可转换为当x>0时，使2x>成立的x的取值范围，然后根据图象，找出函数y=2x的图象在函数y=的上方部分所对应的x的范围即可. 16．【答案】16 【解析】【解答】解：把 代入 可得： ∴ ∴ ∵ ∴ 把 代入 可得： ∵ ∴ 点的坐标为 把 代入 可得： 故答案为：16 【分析】先求出OD=2，再求出y=8，最后利用待定系数法计算求解即可。 17．【答案】 【解析】【解答】解：由题意，令， 解得：， 点，的横坐标分别为：， 则， 所以 由得， 解得，舍去． 故答案为：． 【分析】先根据直线及双曲线的解析式建立方程，进而用表示出点，的横坐标，进一步表示出，最后建立关于的方程，解方程求出符合题意的k的值. 18．【答案】①③④ 【解析】【解答】解：①∵两个函数图象的交点为A，令y1＝y2， ∴x＝， ∴x＝2，代入y1＝x（x≥0），得：y＝2， ∴A（2，2），故本选项正确； ②当x＞2时，y1＞2，y2＜2，故本选项错误； ③当x＝1时，y1＝1，y2＝4， ∴BC＝y2﹣y1＝4﹣1＝3，故本选项正确； ④根据图象可知，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项正确． 所以①③④正确. 故答案为：①③④. 【分析】令y1＝y2求出x、y的值，得到点A的坐标，据此判断①；根据图象以及点A的坐标可判断②；令x=1，求出y1、y2的值，进而判断③；根据图象可直接判断④. 19．【答案】解：把点P（-1，3）代入 ，得 .解得 . 把m=2代入 ，得 ，即 . ∴反比例函数的表达式为 . 【解析】【分析】把点P的坐标代入函数解析式求得m的值即可 20．【答案】（1）解：电流I是电阻R的反比例函数．设I＝， ∵图象经过M(4，9)， ∴u＝IR＝9×4＝36， ∴I＝，（R＞0） （2）解：当I＝12时，R＝＝3， ∵I随R的增大而减小， 用电器的可变电阻应控制在3欧以下范围内． 【解析】【分析】（1）设I＝，根据待定系数法将点M坐标代入解析式即可求出答案. （2）将I=12代入解析式，结合反比例函数的性质即可求出答案. （1）电流I是电阻R的反比例函数．设I＝， ∵图象经过M(4，9)， ∴u＝IR＝9×4＝36， ∴I＝，（R＞0） （2）当I＝12时，R＝＝3， ∵I随R的增大而减小， 用电器的可变电阻应控制在3欧以下范围内． 21．【答案】（1）解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为． ∵函数图象过点（9，4）， ∴， 解得k＝36． ∴电流I与电阻R之间的函数表达式为． （2）解：∵限制电流不能超过10A， ∴≤10， 解得R≥3.6， ∴用电器的可变电阻应大于或等于3.6Ω． 【解析】【分析】（1）先设电流I与电阻R之间的函数表达式为，然后代入函数图象所过点的坐标即可求出k的值，然后写出函数解析式； （2）已知电流I不能超过10A，则可得，求解即可得出R的范围. 22．【答案】解：把A（﹣1，4）代入y=得k=﹣1×4=﹣4， 所以反比例函数解析式为y=﹣， 把B（2，m）代入y=﹣得2m=﹣4，解得m=﹣2， 把A（﹣1，4），B（2，﹣2）代入y=ax+b得 ，解得， 所以一次函数解析式为y=﹣2x+2． 【解析】【分析】先把A（﹣1，4）代入y=求出k得到反比例函数解析式为y=﹣，再利用反比例函数解析式确定B（2，m），然后把A点和B点坐标代入y=ax+b得到关于a和b的方程组，于是解方程组求出a、b即可得到一次函数解析式． 23．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴； （2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∵点是该反比例函数图象上的两点，， ∴点A和点B都在第二象限， ∴． 【解析】【分析】(1)首先根据函数图象的位置得出 ， 再解不等式即可得出k的取值范围； （2）首先根据函数图象的位置，得出函数的性质： 在每个象限内，y随x增大而增大， 根据性质即可得出 ． 24．【答案】（1）解：若a＝4，则A（3，2）， ∴k＝2×3＝6， ∴反比例函数解析式为：y＝； （2）解：①∵反比例函数的图象经过点A（a-1，2）B（-2，b）也在反比例函数图象上， ∴2（a-1）＝-2b， ∴b＝1-a， ∵-2＜b≤-1，即-2＜1-a≤-1， 解得：2≤a＜3． ②∵b＝1-a， ∴a＝1-b ∵B在第二象限，b＞0， ∴b-1＞-1， ∴-a＝b-1＞-1， ∴2b-a＞-1． 【解析】【分析】（1）当a＝4时，把点A坐标代入y＝中，即可求出k值； （2）①由点A（a-1，2）B（-2，b）均在反比例函数图象上，可得2（a-1）＝-2b，即得b＝1-a，利用-2＜b≤-1建立关于a的不等式组并解之即可； ②由（1）可得a＝1-b，由B在第二象限可得b＞0，利用不等式的性质即可证明. 25．【答案】（1）解：将A（2，a）代入y＝3x，得：a＝3×2＝6， ∴A（2，6）， 将A（2，6）代入 y＝，得 6＝， 解得：k＝12， ∴反比例函数表达式为 y＝. （2）解：设点B（m，3m），则点D（m＋3，3m）， 根据可得xy＝12， ∴3m（m＋3）＝12， 解得：m1＝1，m2＝−4 （舍去）， ∴B（1，3）. （3）解：如图所示， 过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°， ∴∠HEB＋∠EBH＝90°， ∵点A绕点B顺时针旋转 90°， ∴∠ABE＝90°，BE＝BA， ∴∠EBH＋∠ABF＝90° ∴∠BEH＝∠ABF， ∴△EHB≌△BFA（AAS）， 设点B（n，3n）， ∴EH＝BF＝6−3n，BH＝AF＝2−n， ∴点E（6−2n，4n−2）， ∵点E在反比例函数图象上， ∴（4n−2）（6−2n）＝12， 解得 n1＝，n2＝2（舍去）． ∴点E（3，4）． 【解析】【分析】（1）先将点A的坐标代入解析式y＝3x，求出a的值，可得点A的坐标，再将点A的坐标代入y＝，求出k的值即可； （2）设点B（m，3m），则点D（m＋3，3m），再结合反比例函数解析式可得3m（m＋3）＝12，再求出m的值即可； （3）过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，先利用“AAS”证出△EHB≌△BFA，设点B（n，3n），则EH＝BF＝6−3n，BH＝AF＝2−n，再求出点E的坐标，最后将点E的坐标代入反比例函数解析式求出n的值即可. 学科网（北京）股份有限公司 $