2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：方程与方程组

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：方程与方程组 一、单选题 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数m的取值情况是（　　） A． B． C． D． 3．一元二次方程 用配方法解该方程，配方后的方程为（　　） A． B． C． D． 4．由于受H7N9禽流感的影响，今年1月份市场上鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤25元经过连续两次降价后，售价下调到每斤l6元．设平均每次降价的百分率为a，则下列所列方程中正确的是（　　） A．16（1+a）2=25 B．25（1﹣2a）=16 C．25（1﹣a）2=16 D．25（1﹣a2）=16 5．某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度为xkm/h，则列方程是（　　） A． B． C． D． 6．据国家统计局发布的《中华人民共和国 2022 年国民经济和社会发展统计公报》显示， 2020 牛和 2022 年全国居民人均可支配收入分别约为 3.2 万元和 3.7 万元． 设 2020年至 2022 年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 ， 依题意可列方程为（　　） A． B． C． D．3. 7．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 8．已知，，若，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 9．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2 元，我的钱数将是你的 n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我 n 元，我的钱数将是你的 2 倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 10．设m是整数，关于x的方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，则方程的根为（　　）。 A． B．x=-1 C． D．有无数个根 二、填空题 11．一元二次方程x2=4x的解是　 　. 12．方程x2-3x+2=0 的二次项系数是　 　. 13．已知关于的一元二次方程的两个实数根是，，且，则的值是　 　． 14．已知关于x的方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　 　． 15．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米，若设截去小正方形的边长为x厘米，则应列出的方程为 　 　． 16．对于一元二次方程 ，有下列说法：①若 ，则 ；②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；④若 是一元二次方程 的根，则 ．其中说法正确的有　 　（填序号）． 三、解答题 17．解一元二次方程：． 18．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式：b2+c2＝2a2+16a+14①bc＝a2﹣4a﹣5②．求a的取值范围． 19．为提升青少年的身体素质，深圳市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某学校为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球.已知用800元购买篮球的个数比购买足球的个数少2个，足球的单价为篮球单价的 . （1）求篮球、足球的单价分别为多少元? （2）如果计划用不多于5200元购买篮球、足球共60个 ，那么至少要购买多少个足球? 20．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元． 21．用一条长的绳子能围成一个面积为的矩形吗？如果能，请求出这个矩形的长和宽，如果不能，请说明理由． 22． 某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8：00 9：30 9：50 10：50 G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）D1001次列车从A站到B站行驶了　 　分钟，从B站到C站行驶了　 　分钟； （2）记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为． ① ▲ ； ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值． 23．“小龙虾”是我县特色农业的拳头产品，在南县被广泛养殖.2020年估计某村养殖面积有100亩，到2022年该村养殖面积达到196亩． （1）求该村这两年“小龙虾”养殖面积的平均增长率； （2）某养殖户调查发现，当“小龙虾”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克．为了推广宣传，该养殖户决定降价促销，同时减少存量，已知“小龙虾”的平均成本为12元/千克，若要确保每天获利1750元，则售价应该降低多少元？ 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、是二元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、中，当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故答案为：C． 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得：， 故答案为：C 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则，解方程即可求出答案. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：把方程x2-2x-m=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=m， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=m+1， 配方得（x-1）2=m+1. 故答案为：A. 【分析】把常数项-m移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：设平均每次下调的百分率为x， 则第一次每斤的价格为：25（1﹣x）， 第二次每斤的价格为25（1﹣x）2=16； 所以，可列方程：25（1﹣x）2=16． 故选C． 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每次下调的百分率为x，根据“由原来每斤16元下调到每斤9元”，即可得出方程． 5．【答案】A 【解析】【解答】解：列车提速前行驶skm用的时间是小时， 列车提速后行驶s+50km用的时间是小时， 因为列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同， 所以列方程是=． 故选：A． 【分析】首先根据行程问题中速度、时间、路程的关系：时间=路程÷速度，用列车提速前行驶的路程除以提速前的速度，求出列车提速前行驶skm用的时间是多少；然后用列车提速后行驶的路程除以提速后的速度，求出列车提速后行驶s+50km用的时间是多少；最后根据列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，列出方程即可． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x， 根据题意得，． 故答案为：B． 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据增长率的计算公式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）2，可列出一元二次方程. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：已知方 程 有两个不相等的实数根， 此方程中a=1，b=-1，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴△>0，即， ∴1-m>0， 可得m<1， 故答案为：A. 【分析】本题根据一元二次方程根的判别式与根的关系，通过已知方程有两个不相等的实数根得出判别式大于0，进而建立关于m的不等式，求解出m的取值范围。 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ， ∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， 故答案为：B． 【分析】先求出， ，再求解即可。 9．【答案】D 【解析】【解答】解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数. 由题设可得： 将x=n(y-2)-2代入②得： 消去x得：(2y-7)n=y+4， 即： 为正整数， 的值分别为1， 3， 5， 15， ∴y的值只能为4， 5， 6， 11. ∴n的值分别为8， 3， 2， 1； x的值分别为14， 7， 6， 7. 即n的可能值的有4个. 故答案为：D . 【分析】首先设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数，根据题意可得方程组，消去x可整理求得2n=1 由n为正整数分析求解，即可求得答案. 10．【答案】C 【解析】【解答】（1）当m=0，原方程变为：x+1=0， 解得x1=-1，为有理根； （2）当m≠0，原方程为一元二次方程， ∵方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根， ∴△=b2-4ac为完全平方数，即△=（m-1）2-4m=（m-3）2-8为完全平方数， 而m是整数， ∴设（m-3）2-8=n2，即（m-3）2=8+n2， ∴完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9． ∴n2的末位数只能为1，6，而大于10的两个完全平方数相差大于8， ∴n=1， ∴m-3=3，即m=6， 所以方程为：6x2-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0， ∴x1= ，x2= ， 综上所述方程的根为x1=-1，x2= ，x3= 故答案为：C． 【分析】可分为m=0与m0两类，当方程为一元二次方程时，有理根可从判别式为完全平方数入手，进而求出m的值，再求出根. 11．【答案】x1=0，x2=4 【解析】【解答】解：x2=4x 移项可得：x2-4x=0 解方程可得：x1=0，x2=4 故答案为：x1=0，x2=4 【分析】移项，提公因式再解方程即可求出答案. 12．【答案】1 【解析】【解答】方程x2-3x+2=0 的二次项系数是1， 故答案为：1. 【分析】 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据定义即可直接得出答案。 13．【答案】5 【解析】【解答】根据题意得x1+x2=6，x1x2=k+1， ∵， ∴（x1+x2）2-2x1x2=24， ∴36-2（k+1）=24， ∴k=5． 故答案为5． 【分析】利用根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=k+1，然后根据完全平方公式的变形得到（x1+x2）2-2x1x2=24，然后代入得到关于k的一次方程解题即可． 14．【答案】 /2.5 【解析】【解答】∵方程有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴32-4×1×m=0， ∴m=， 故答案为：。 【分析】利用一元二次方程根的判别式列出方程求解即可。 15．【答案】​ 【解析】【解答】因为长方形水槽的底面长为 厘米，宽为 厘米，因此应列出的方程为 ． 【分析】挖掘几何图形中隐蔽的相等关系，并用一元二次方程进行描述． 16．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：（1）若 ，则 是方程 的解 ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知： ，故①符合题意； （2）∵方程 ，有两个不相等的实根， ∴ ∴ 又∵方程 的判别式 ∴方程 必有两个不相等的实根，故②符合题意 （3）∵ 是方程 的一个根 ∴ ∴ 若 等式成立，但 不一定成立，故③不符合题意 （4）若 是一元二次方程 的根 则根据求根公式得： 或 ∴ 或 ∴ ，故④符合题意． 故答案为：①②④ 【分析】根据方程的解含义，i元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的球根公式等对各项分别讨论，可得答案。 17．【答案】解：∵，，，∵， ∴， 即，． 【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式x=，利用代入求值即可求得方程的解。 18．【答案】解：∵b2+c2＝2a2+16a+14，bc＝a2﹣4a﹣5， ∴（b+c）2＝2a2+16a+14+2（a2﹣4a﹣5）＝4a2+8a+4＝4（a+1）2， 即有b+c＝±2（a+1）． 又bc＝a2﹣4a﹣5， 所以b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5＝0③的两个不相等实数根， 故△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣4a﹣5）＝24a+24＞0， 解得a＞﹣1． 若当a＝b时，那么a也是方程③的解， ∴a2±2（a+1）a+a2﹣4a﹣5＝0， 即4a2﹣2a﹣5＝0或﹣6a﹣5＝0， 解得， 或 ． 当a＝c时，同理可得 或 ． 所以a的取值范围为a＞﹣1且 且 ． 【解析】【分析】先通过代数式变形得（b+c）2=2a2+16a+14+2（a2-4a-5）=4a2+8a+4=4（a+1）2，即有b+c=±2（a+1）．有了b+c与bc，就可以把b，c可作为一元二次方程x2±2（a+1）x+a2-4a-5=0③的两个不相等实数根，由△=4（a+1）2-4（a2-4a-5）=24a+24＞0，得到a＞-1．再排除a=b和a=c时的a的值．先设a=b和a=c，分别代入方程③，求得a的值，则题目要求的a的取值范围应该是在a＞-1的前提下排除求得的a值． 19．【答案】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价分别为0.8x元，由题意得： ， 解得：x=100， 经检验：x=100是原方程的根，符合题意.∴0.8x=80， 答：篮球、足球的单价分别为 100、80 元。 （2）解：设购买m个足球，则购买（60-m）个篮球，由题意得： 80m+100（60-m）≤5200， 解得：m≥40. 答：至少要购买40个足球． 【解析】【分析】（1）列方程解答，数量关系： ；（2）列不等式解答，买足球的费用+买篮球的费用≤5200. 20．【答案】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元． 根据题意，得（x﹣3）（500﹣10× ）=800， 解得x1=7，x2=5． ∵售价不能超过进价的200%， ∴x≤3×200%．即x≤6． ∴x=5． 答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元 【解析】【分析】设每个粽子的定价为x元，由于每天的利润为800元，根据利润=（定价﹣进价）×销售量，列出方程求解即可． 21．【答案】解：不能，理由如下 设矩形的长为y cm， 依题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴不能用长的绳子围成一个面积为的矩形， 【解析】【分析】不能，理由如下：设矩形的长为y cm，根据题中的相等关系“矩形的面积=矩形的长×宽”可列关于y的方程，结合一元二次方程的根的判别式即可判断求解. 22．【答案】（1）90；60 （2）解：①； ②解法示例： （千米/分钟），，（千米/分钟）． ，A与B站之间的路程为360． ，当时，G1002次列车经过B站． 由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车． ⅰ．当时，， ，，（分钟）； ⅱ．当时，， ，，（分钟），不合题意，舍去； ⅲ．当时，， ，，（分钟），不合题意，舍去； ⅳ．当时，， ，，（分钟）． 综上所述，当或125时，． 【解析】【解答】解：（1）由图表可知，D1001次列车8：00-9：30从A行驶到达B，9：50-10：50从B行驶到达C， ∴从A到B行驶90分钟，从B到C行驶60分钟， 故答案为：90，60. （2）由图表可知，D1001次列车行驶时间为8：25到10：30，共计125分钟， ∵在行驶过程其行驶速度均保持不变，设从A到C的总路程为s， 则D1001次列车：， D1002次列车：， ∴； 故答案为：. 【分析】（1）由图表信息分析得出行驶时间即可； （2）①设总路程为s，由行程问题可计算其速度比值； ②根据行程问题由V1速度先计算总路程及各段路程，其次根据D1001次列车的停车时间进行分类讨论，利用行程问题分析得出其距离差的等量关系并检验即可. 23．【答案】（1）解：设平均增长率为x， 100（1+x）2＝196， 1+x＝±1.4， x1＝-2.4（舍），x2＝0.4， 答：平均增长率为40%． （2）解：设售价降低m元， （20-12-m）（200+50m）＝1750， m2-4m+3＝0， m1＝1，m2＝3， ∵减少存量， ∴m＝3． 答：降3元可获利1750元，同时减少了存量． 【解析】【分析】（1）典型的用一元二次方程解决增长率问题，通用公式为中x是增长率，n是增长周期数，； （2）根据每千克获利每天销售数量=每天总获利这一等量关系列方程求解；为达到推广同时减少库存的目的，解得的x要取大值。 学科网（北京）股份有限公司 $