2026年山东省青岛市自主招生考试数学专题：一次函数

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：一次函数 一、单选题 1．已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．若一次函数y = kx + b的图象经过点 (－2， －1)和点 (1， 2 ) ， 则这个函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．公式L=L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（　　） A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P 4．若点A(m，n)在一次函数y=3x+b的图像上，且3m-n>2，则b的取值范围为（　　） A．b>2 B．b>-2 C．b<2 D．b<-2 5．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位，所得直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 6．正比例函数y＝(2k＋1)x，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＞－ B．k＜－ C．k＝ D．k＝0 7．一家游泳馆的游泳收费标准为50元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用/元 每次游泳收费/元 A类 300 40 B类 500 35 C类 800 30 例如，购买A类会员卡，一年内游泳40次，消费元，小明非常喜欢游泳运动，他每年游泳的次数介于50～55次之间，则他到该游泳馆办卡最划算的方式应是（　　）． A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡 C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡 8．关于x的一次函数，当时，y的最大值是（　　） A． B． C． D． 9．如图， 直线 过原点，直线 的表达式为 ， 且直线 和 互相垂直， 交点为 ， 那么直线 的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．根据图象，可得关于x的不等式的解集是　 　． 11．一次函数的图象与轴的交点坐标是　 　． 12．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E的坐标为　 　 13．已知一次函数 的图象经过点 ， ，若 ，请写出一个正确的 的值　 　． 14．如图，直线l经过第二、三、四象限，其解析式为y＝（m﹣2）x﹣m，则m的取值范围为　 　． 15．如图，，，，…，都是面积为的等边三角形，边AO在y轴上，点，，，…，，都在直线上，点，，，…，都在直线的上方，观察图形的构成规律，用你发现的规律直接写出点的坐标为　 　． 三、解答题 16．已知一次函数经过、两点．求这个一次函数的解析式． 17．点A，B，C，D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标． 18．甲、乙两车分别从相距225 km 的 A，B 两地出发相向而行，乙车比甲车先出发0.5h，两车分别以各自的速度匀速行驶.甲在途经 C地(A，B，C三地在同一直线上)时因有事停留了1h后，按原速度继续前往 B地，乙车从 B地直达 A地，最终两车同时到达各自目的地.甲、乙两车距各自出发地的路程分别记为 y1(km)，y2(km)，它们与甲车的行驶时间x(h)的关系如图所示. （1）求甲、乙两车的速度； （2）求 y2关于x的函数表达式； （3）在0≤x≤3的范围内，求甲车在出发多长时间后，甲车行驶的路程比乙车行驶的路程多15 km. 19．如图，图甲是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为10厘米，6个叠放在一起的纸杯的高为14厘米. （1）求4个叠放在一起的纸杯的高为多少厘米? （2）若设x个叠放在一起的纸杯的高为y厘米（如图乙），并将这x个叠放在一起的纸杯按如图丙所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计. ①求y关于x的函数表达式. ②若竖立的方盒的高为33.5厘米，求x的最大值. 20．甲骑电动车，乙骑自行车从太子湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是　 　km/h，乙的速度是　 　km/h； （2）对比图①、图②可知：　 　，　 　； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 21．某工厂在A，B两城分别生产同种产品共200件，其中城生产件，城生产产品的总成本（元）与产品数量（件）之间满足函数关系式城生产产品的成本为每件60元． （1）若城生产产品的件数为30件，求A，B两城完成这种产品生产任务的总成本． （2）设A，B两城生产这批产品总成本共元，求天于的函数关系式，并求生产这批产品总成本最小的生产方案； （3）在（2）的生产方案下，要把这批产品全部运往C，D两地，从城运往C，D两地的费用分别为10元/件和20元/件；从城运往C，D两地的费用分别为元/件为常数，）和30元/件；地需要150件，地需要50件，请你帮工厂设计出运费最节省的运输方案。 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数l1：y=x+b与l2：y=kx+3分别经过x轴上的点B（1，0）．点C（4，0），交于点P，点D为直线l2上一点． （1）求点 P 的坐标； （2）若点D的横坐标小于点P的横坐标，连接OD，OP，当△BCP和△ODP的面积相等时，求点D的坐标； （3）在 l1上是否存在点 E， 使得以O，D，P，E为顶点的四边形是以OP为边的平行四边形？若存在，求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限， ∴k＜0， ∴一次函数y=kx+k的图象经过第二、三、四象限. 故答案为：C. 【分析】正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0时，图象经过一、三象限，当k＜0时，图象经过二、四象限，据此并结合题意得k＜0，进而根据一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，判断得出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：将（-2，-1）、（1，2）代入y=kx+b得 解得 故y=x+1，函数y=x+1的图象经过第一、二、三象限，故不经第四象限. 故答案为：D. 【分析】先利用待定系数法求出一次函数的解析，再根据一次函数的性质确定出图象经过的象限，进而确定出不经过的象限.也可用描点法直接画出一次函数图象，通过观察图象直接得到答案. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵10＜80，0.5＜5， ∴A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬， ∴A选项表示这是一个短而硬的弹簧． 故选A． 【分析】A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬，由此即可得出结论． 4．【答案】D 【解析】【解答】解：将点A（m,n）代入 一次函数y=3x+b 得 3m+b=n, ∴3m-n=-b， 又 3m-n>2 ， ∴-b＞2, ∴ b<-2 . 故答案为：D。 【分析】根据一次函数的性质，将点A（m,n）代入 一次函数y=3x+b 得3m-n=-b，又 3m-n>2 ，然后整体替换得出关于b的不等式，求解即可。 5．【答案】A 【解析】【解答】解： 函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，得到直线：y=-x， 直线y=-x再向上平移1个单位得到：y=-x+1。 故答案为：A. 【分析】函数的图象绕坐标原点逆时针旋转的直线与y=x垂直，可得解析式y=-x，再进一步得出直线y=-x向上平移1个单位的直线y=-x+1即可。 6．【答案】B 【解析】【解答】由题意得， ， . 故答案为：B. 【分析】根据正比例函数的系数与增减性的关系得出：当自变量的系数小于0时，若y随x增大而减小，从而得出不等式，求解即可得出答案。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：设一年内游泳次数x次，总费用为y元， 则，，，， 当时， ，，，， ∴同等次数下，购买B类会员年卡最划算， 故答案为：B． 【分析】设一年内游泳次数x次，总费用为y元，根据各类会员卡的收费标准求出y的范围，比较即可得答案． 8．【答案】A 【解析】【解答】解： ∵0＜k＜1， ∴该一次函数y随x的增大而增大， 当2≤x≤3时，取x=3时，y有最大值， 故答案为：A. 【分析】将一次函数化为y=kx+b的形式，先确定k的符号，再确定其增减性，然后根据自变量的范围求最值. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：∵一次函数经过原点， ∴设所求一次函数的解析式为y=kx， ∵一次函数的图象与直线 垂直， ∴k=， 则直线l1的解析式为 故答案为：D. 【分析】本题考查两直线垂直，k的乘积为-1，因为一次函数经过原点，所以可以设出一次函数的解析式为y=kx，由于两直线垂直，k之间的关系即可求出一次函数k的值，即可求出一次函数的解析式，. 10．【答案】 【解析】【解答】解：由图象可知：不等式的解集是； 故答案为：． 【分析】 所求不等式的解集即直线在直线下方时对应的自变量x的取值范围． 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵一次函数 ， ∴当y=0时，2x+3=0， 解得：， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标是 ， 故答案为：. 【分析】根据题意先求出当y=0时，2x+3=0，再求出，最后求交点坐标即可。 12．【答案】（4，8）或（﹣12，﹣8） 【解析】【解答】解： 当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE， ∵∠EAB=∠ABO， ∴AE∥OB， ∵A（0，8）， ∴E点纵坐标为8， 又E点在直线y=x+4上，把y=8代入可求得x=4， ∴E点坐标为（4，8）； 当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2， 设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y=kx+b， 把A、E坐标代入可得 ∴直线AE的解析式为y=x+8，令y=0可得x+8=0，解得x=， ∴C点坐标为（，0）， ∴AC2=OC2+OA2，即AC2=（）2+82， ∵B（4，0）， ∴BC2=（4﹣）2=（）2﹣+16， ∵∠EAB=∠ABO， ∴AC=BC， ∴AC2=BC2，即（）2+82=（）2﹣+16， 解得a=﹣12，则a+4=﹣8， ∴E点坐标为（﹣12，﹣8）， 综上可知E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）， 故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）． 【分析】分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为（a，a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC=BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标． 13．【答案】0 【解析】【解答】∵一次函数 中k=1＞0 ∴y随x增大而增大 ∵函数经过点 ， ， ， ∴a＜1 故可写出一个正确的 的值为0 故答案为：0． 【分析】根据一次函数的增减性求解可得结果。 14．【答案】0＜m＜2 【解析】【解答】解：∵直线y＝（m﹣2）x﹣m经过第二、三、四象限， ∴ ， ∴0＜m＜2． 故答案为：0＜m＜2． 【分析】一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时， 一次函数图象经过第二、三、四象限，据此解答即可. 15．【答案】（，） 【解析】【解答】解：如图，∵△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是等边三角形， ∴∠AOB1=∠A1B1B2=∠A2B2B3=…=60°， ∴AO∥A1B1∥A2B2∥…， ∵AO在y轴上， ∴A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，… 过B1作B1C⊥x轴，垂足为C， ∵点B1在在直线y=x上， 设B1（x，x）， ∴∠B1OC=30°， ∵△OAB1是面积为的等边三角形， ∴△OAB1的边长为， ∴△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为的等边三角形， ∴B1C=，OC=， ∴A1的坐标为（，）， 同理A2（3，2）、A3（，），… ∴An（，）， ∴A2022的坐标为（3033，1012）， 故答案为：（3033，1012）． 【分析】先求出A1的坐标为（，），A2（3，2）、A3（，），可得规律An（，），再将n=2022代入计算即可。 16．【答案】解：设所求的一次函数的解析式为． 把、代入得 ， 解得， 所以所求的解析式为． 【解析】【分析】设出一次函数的解析式，将两个点代入解析式列出方程组，解方程即可． 17．【答案】解：设直线AB方程为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）”， ∴ ， 解得： ， ∴直线AB的方程为：y=2x+6， 同理可得：直线CD方程为 解方程组 ， 得 ， 所以直线AB，CD的交点坐标为（﹣2，2） 【解析】【分析】本题需先根据已知条件写出直线AB、CD的解析式，再把方程组进行解答，即可求出直线AB，CD的交点坐标． 18．【答案】（1）解： 甲车的速度为225÷(4-1) = 75(km/h)， 乙车的速度为225÷(0.5+4) = 50(km/h) （2）解：设y2关于x的函数表达式为 ∵乙车比甲车先出发半个小时， ∴b=50×0.5=25， 根据图象可知， y2经过(4，225)， ∴225=4k+25， 解得： k=50 关于x的函数表达式为 (0≤x≤4) （3）解： 150÷75=2(h)， 当0≤x≤2时， 当2<x≤3时， 当0≤x≤2时， 当甲车行驶的路程比乙车行驶的路程多15km时，得75x-(50x+25)=15， 解得x =1.6； 当2<x≤3时，当甲车行驶的路程比乙车行驶的路程多15km时， 得150-(50x+25)= 15， 解得x =2.2， 综上可知：甲车在出发1.6或2.2后甲车行驶的路程比乙车行驶的路程多15km 【解析】【分析】(1)分别根据“速度=路程÷时间”计算即可； (2)设y2关于x的函数表达式为 由乙车比甲车先出发半个小时， 则b=50×0.5=25，然后把(4，225)代入求解即可； (3)写出0≤a≤3时y1关于x的函数表达式，按照 x的取值范围，根据 列关于x的一元一次方程并求解即可. 19．【答案】（1）解：易知杯沿的宽(高)度为(14-10) ÷(6-1)=0.8(厘米)， 所以4个叠放在一起的纸杯的高度为10+0.8×(4-1)=12.4(厘米). （2）解：①y=10+0.8×(x-1)=0.8x+9.2； ②由题意得0.8x+9.2≤33.5，解得x≤30， 因为x为正整数，所以x的最大值为30. 【解析】【分析】 （1）根据题意得出每增加一个纸杯，杯沿高度增加4÷5=0.8cm，进而即可4个叠放的纸杯高； （2）①根据（1）可以确定一次函数表达式； ②根据题意列出一元一次不等式，解不等式，求得最大正整数解即可. 20．【答案】（1）25；10 （2）10；1.5 （3）解：当甲乙路程差为7.5km时，即有 25x-12.5-10x=7.5或10x-(25x-12.5)=7.5 解得x=或， 即当x=或时，甲乙路程差为7.5km.​​​​​​​ 【解析】【解答】解：(1)由函数图象知甲行驶25km的时间为1小时，故=25km/h，乙行驶25km的时间为2.5小时，故=25÷2.5=10km/h. (2)由图①知甲的路程与时间函数关系为S=25x-12.5，乙的路程与赶时间的函数关系为S=10x， 由图可知当x=1.5时，=25km，=15km.甲乙的路程差为25-15=10km； 【分析】(1)直接由图像可知甲乙的路径与时间，即可求出甲乙的速度； (2)求出甲乙路程与时间的函数关系式，再由图①与②可知当x=1.5时，甲乙的路程差最大，即可得出a和b的值； (3)可能甲比乙的路程多7.5km，也可能是乙比甲的路程多7.5，即可计算出对应的时间. 21．【答案】（1）解：当A城生产产品的件数为30件时，则：B城生产产品的件数为件， ∵， ∴当时，， ∴A，B两城完成这种产品生产任务的总成本为元； （2）解：由题意可得： 当时，（元） 总成本最小的生产方案为：城生产20件，城生产180件． （3）解：设从城运往地件，则从城运往地件，从城运往地件，从城运往地件，总运费为元，据题意可得： ①当20-a<0，即时，随的增大而减小，故当时，有最小值，即从城运往地20件，从城运往地130件，从城运往地50件总运费最小． ②当时，即时，，总运费为定值，即从城运往地件，则从城运往地件，从城运往地件，从城运往地件，其中，运费一样。 ③当时，即时，随的增大而增大，故当时，有最小值，即从城运往地20件，从城运往地150件，从城运往地30件总运费最小． 【解析】【分析】（1）分别求出两城各自的总成本，相加即可； （2）根据总成本等于两城各自的总成本之和，列出函数关系式，利用二次函数的性质，求出最值即可； （3）设从城运往地件，则从城运往地件，从城运往地件，从城运往地件，总运费为元，据题意可得：，利用一次函数的性质进行求解即可． 22．【答案】（1）解：∵ 一次函数l1：y=x+b经过x轴上的点B（1，0）． ∴1+b=0 解得b=-1 ∴ 一次函数l1：y=x-1 ∵ 一次函数l2：y=kx+3经过x轴上的点C（4，0） ∴ 4k+3=0 解得k= ∴ 一次函数l2：y=x+3 ∵ 一次函数l1：y=x-1与一次函数l2：y=x+3交于点P ∴ 联立解析式得： 解得 ， ∴ 点P （2）解：设直线 l2交 y 轴于 K，如图： ∵B（1，0），C（4，0）， ∴BC＝3， ∵ 一次函数l2：y=x+3 ∴ K（0，3） ∴ OK＝3， ， 且 ， ∴D 在 y 轴右侧 ， ， 解得 ， ∴ 的坐标为 ； （3）解：在 l1 上存在点 E，使得以 O，D，P， E为顶点的四边形是以OP为边的平行四边形. 理由如下： 设 ， 由（1）知，点P（）点O（0，0） 当 OE，PD 为对角线时，PD ，OE的中点重合 如图所示：根据线段中点公式可得： ， 解得 ， ∴E（4，3）； 当 OD，PE 为对角线时，PE ，OD的中点重合， 如图所示： . 解得 ， ； 综上所述， E的坐标为E（4，3）或 . 【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一次函数的交点问题，一次函数几何面积，平行四边形性质，线段中点公式等知识，熟悉一次函数的相关知识是解题关键。（1）由点B求出一次函数l1的解析式，由点C求出一次函数l2的解析式，联立两个解析式，求出交点P；（2）先求出，再求出根据， 且 可得，则D 的坐标为 ； （3）分两种情况讨论：由（1）知，点P（）点O（0，0）设 ，当 OE，PD 为对角线时，PD ，OE的中点重合，根据线段中点公式可得：，得 ，E（4，3）；当 OD，PE 为对角线时，PE ，OD的中点重合，.得 ，，E的坐标为E（4，3）或 . 学科网（北京）股份有限公司 $