2026年河南省中考数学仿真模拟卷

2026年河南省中考数学真题仿真模拟卷 一、选择题（30分，每题3分） 1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作　(　　) A. +40元 B. －40元 C. +20元 D. －20元 2.如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有自然数1～11，折叠成正方体后，与数字6重合的数字是(　　) A.8，10 B.7，9 C.2，7 D.4，8 3.据不完全统计，随着我国科技投入的大幅提高，全社会研发经费从1.03万亿元增长到2.79万亿元，居世界第二位，其中数据2.79万亿用科学记数法可表示为（　　） A．0.279×1013 B．2.79×1012 C．27.9×1011 D．2.79×1011 4.如图1，有一个破损的扇形零件，小明利用图中的量角器量出这个扇形零件的圆心角的度数为50°，你认为小明测量的依据是(　　) A. 垂线段最短 B. 对顶角相等 C. 圆的定义 D. 三角形内角和等于180° 5.若关于x的一元二次方程(a－3)x2－4x－1＝0有实数根，则a的值可以为(　　) A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 6.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，CD是△ABC的角平分线，则CD的长为(　　) A. B. C. D. 7.计算  +  的结果等于 （　　） A. B. C. D.1 8.小亮与同学组队玩寻宝游戏，在某个环节，小亮面前有A，B两组箱子（如图），A组有3个箱子，其中1个箱子中装有重要线索；B组有2个箱子，其中1个箱子中装有重要线索．小亮要从A，B两组箱子中各选一个箱子去获得线索，则小亮一条线索都没有得到的概率为（          ） A. B. C. D. 9.如图，已知菱形ABCD的顶点B(0，0)，A(2，2 )，点C在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，交CD于点E，连接BE，若MN恰好经过点A，则点E的坐标为（         ）　 A. (5，  ) B. (5，2 )                                                          C. (5， )                                                D. (5，  ) 10.物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流 （ A）和它们两端的电压 （ V），根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识 ，可判断这四个用电器中电阻 最大的是（          ）　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题（共15分，每题3分） 11.写出一个使代数式  有意义的x的值            ． 12.2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔8名选手参加总决赛，他们的决赛成绩分别是95，92，93，89，94，90，96，88，则这8名选手决赛成绩的中位数是      ． 13.观察下列单项式，探究其规律：xy2,-2x2y3,3x3y4,-4x4y5,…，按照上述规律，第2024个单项式是            . 14.图①是我国明末《崇祯历书》中记录《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图②，根据割圆八线图，在扇形AOB中，  ，AC⊥AO，OC交 于点D，过点D作DE⊥OB，若CD=OD=2，则图②中阴影部分的面积是______. 15.定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形，如图，点E是矩形ABCD内一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是双等腰四边形，且AD＝DE，延长AE交BC于点G，连接FG．若AD＝5，∠EFG＝90°，  ，则AB＝            ． 三、解答题（共8题，共75分） 16.（10分）(1)计算： ； (2)化简： ． 17.（9分）某地农业技术部门积极助力家乡草莓种植的改良与推广，通过安装温湿度、光照传感器，结合 AI算法优化水肥方案技术，提高草莓的品质.为了解改良效果，在相同条件下，随机抽取了甲、乙两种草莓各10个样品，对质量 (单位：g)、糖度(单位：Brix) 进行测评，并对数据进行整理、描述和分析： 甲种草莓的单果质量和糖度数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量 24.1 25.3 22.5 23.9 26.0 21.2 24.7 25.8 20.7 23.4 糖度 9.5 10.3 8.8 9.7 10.6 8.9 11.0 10.2 9.1 10.4 乙种草莓的单果质量和糖度数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量 19.5 21.0 18.3 20.6 22.1 17.8 20.2 19.1 21.5 18.4 糖度 11.7 10.9 12.0 11.3 10.6 12.2 11.5 10.8 12.1 11.2 甲、乙两种草莓的单果质量和糖度的平均数、中位数、方差如下： 平均数 中位数 方差 质量 甲 23.76 24 3.0204 乙 19.85 19.85 1.9185 糖度 甲 9.85 9.95 0.5225 乙 11.43 11.4 0.2881 (1)如果选择一种进行推广种植，你会选择哪种草莓? (2)在进行大面积推广种植之前，技术人员需要对草莓种植进行继续改良， 请给出改良意见. 18.（9分）如图， ABC的顶点为网格线的交点，反比例函数  的图象过格点A，B．将 ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C的对应点C′． （1）求过点C′的反比例函数解析式，并画出其图象(x＜0)； （2）在过点C′的反比例函数图象上任取一点D，过点D向y轴作垂线，交  的图象于点E，连接DO，EO， ODE的面积会发生变化吗？若不变化，求出 ODE的面积；若变化，请说明理由． 19.（9分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AC上，将点E绕点A逆时针旋转60°得到点F． (1)在图中求作点F；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)连接OF，连接EF交DC于点G，当G是DC的中点时，求tan∠OFE的值． 20.（9分）某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． （1）“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花279元，购买10本A图书比购买6本B图书多花162元，请求出A、B图书的标价； （2）“读书节”期间书店计划用不超过3680元购进A、B图书共200本，且A图书不少于50本，A、B两种图书进价分别为24元、16元；销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大？ 21.（9分）由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下. 活动主题 测量建筑物的高度 测量示意图 测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上． 测量数据 BE=1.5m，AB=3m，BF=3.5m. 备注 点F，A，B，C在同一水平线上. 根据以上信息，解决下列问题. 任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出BC的长度，就可以测出建筑物的高度CD”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； 任务2：求建筑物CD的高是多少？ 任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物CD的高度为11m，请写出一条测量结果有误差的原因．  22.（10分）如图，已知抛物线y=x2-bx+c与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)若点P是抛物线上一动点，当抛物线上点P，C之间的部分(含点P，C)的高度(最高点和最低点的纵坐标之差)为6时，求点P的坐标. (3)若点M(m+1，y1)，N(m+3，y2)在该抛物线上，且y1＜y2，请直接写出m的取值范围.  23.（10分）【问题再现】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积（即四边形OEBF的面积）始终等于正方形ABCD面积的 ． 【初步探究】小明在证明上述问题时，发现题目中正方形A'B'C'O，这一条件主要用到的信息是∠A'OC'＝90°，图中一些线段之间也有特殊的关系．深入思考后他为大家编了如下题目：如图②，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，O是边AC的中点．以O为顶点作∠A'OC′＝90°，OA'交线段AB于点E，OC′交线段BC于点F．请完成以下问题： （1）四边形OEBF的面积是△ABC面积的            ． （2）猜想线段BE、BF、AB之间的等量关系，并说明理由． （3）【延伸探究】爱动脑的小军在小明问题的基础上进行了延伸，让∠A'OC'绕点O旋转，OA′交直线AB于点E，OC'交直线BC于点F，连接EF．若AB＝4，BE＝1，请直接写出△OEF的面积． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中考数学真题仿真模拟卷 详解详析 一、选择题 1.B 2.C　 【解析】观察题图可知，折叠后与数字6重合的数字是2，7. 3.B 【解析】2.79万亿＝2790000000000＝2.79×1012. 4.B　 5.C 6.B　 【解析】由题图可得AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ，∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为等腰直角三角形，∵CD为△ABC的角平分线，∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD＝ . 7.A　 【解析】原式=   +   =  ==  . 8.B 【解析】设A组3个箱子为A1，A2，A3，其中A1箱子中装有重要线索；B组2个箱子为B1，B2，其中B1箱子中装有重要线索．根据题意画树状图如下答案图·： 答案图 共有6种等可能的情况数，其中一条线索都没有得到的有2种，则一条线索都没有得到的概率是  ． 9.A  【解析】由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED＝90°，CE＝DE.∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝2DE，∴∠DAE＝30°，∠D＝60°，∴∠ABC＝60°，如解图，作EG⊥BC交BC的延长线于点G，∵A(2，2 )，∴AB＝4，∵AB＝2DE，∴DE＝CE＝2.在Rt△ECG中，∵∠ECG＝60°，∴CG＝ CE＝1，EG＝ CG＝ ，∴BG＝BC＋CG＝5，∴点E的坐标为(5， ). 解图 10.C 【解析】由题意得U＝IR，根据一次函数的性质可知，R越大，直线斜率越大，R丙＞R甲＞R丁＞R乙． 二、填空题 11.3（答案不唯一） 【解析】由题可知，x－2＞0，解得x＞2，∴满足条件的x的值可以是3（答案不唯一）． 12.92.5　 【解析】将这组数据按从小到大进行排序：88，89，90，92，93，94，95，96，中间的两个数分别为92，93，中位数为 ＝92.5. 13.-2024x2024y2025 14. 【解析】∵AC⊥AO， OD=2，OD=OA，∴ ，∵ ，在Rt△ODE中，∠DOE=30°，OD=2，∴DE=1，OE= S阴影=S△CAO－S扇形ODA+S扇形OBD－S△OED= － π － 1 = . 15. 或  【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝∠ADC＝∠C＝90°，BC＝AD＝5，AB＝CD，∵四边形AEFD是双等腰四边形，AD＝DE，∴DE＝EF或DE＝DF，①如答案图①，当DE＝EF＝AD＝5时，过点E作EH⊥CD于点H，延长HE交AB于点K，∴∠EHF＝90°，DH＝FH,四边形ADHK为矩形，AK＝DH，HK＝AD＝5，∵∠EHF＝∠EFG＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵∠EHF＝∠FCG＝90°，∴△EHF∽△FCG，∴  ，∵EF＝5，∴HF＝3，HE＝4，AK＝DH＝HF＝3，KE＝1．设CG＝3k，FC＝4k，则BG＝5－3k，AB＝CD＝DF＋FC＝6＋4k，∵KE∥BC，∴△AKE∽△ABG，∴  ，解得  ，∴  ；②如答案图②，当DE＝DF＝AD＝5时，过点E作EH⊥CD于点H．∵∠BAD＝90°，DE＝DF＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DEF＝∠DFE，在四边形ADEF中，∠ADC＝90°，∴∠DAE＋∠DEA＋∠DEF＋∠DFE＝270°，∴∠AEF＝∠DEA＋∠DEF＝135°，∴∠FEG＝45°，∵∠EFG＝90°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴FE＝FG．由①可知，∠HEF＝∠CFG，又∵∠EHF＝∠FCG＝90°，∴△EHF≌△FCG（AAS），∴HF＝CG，HE＝CF，∴  ，设HF＝3k，HE＝4k，则DH＝5－3k，AB＝CD＝5＋4k，在Rt△DEH中，DH2＋HE2＝DE2，∴（5－3k）2＋（4k）2＝52，解得  或k＝0（不合题意，舍去），∴  ，综上所述，AB的长为  或  ．       答案图①                                            答案图② 三、解答题 16.解：(1)原式＝－1+2 9                   ＝－10+2 ； 解：(2)原式 •         •           •          ＝－x(x+1)       ＝－x2－x． 17.解：(1)从平均数和中位数角度来看，甲种草莓的单果质量大于乙种草莓的单果质量，但甲种草莓的糖度低于乙种草莓的糖度； 从方差角度来看，甲种草莓单果质量的方差和糖度的方差均大于乙种草莓，说明甲种草莓的单果质量不均匀，糖度波动比较大.由于人们对草莓口感的要求会比较高，所以我建议推广乙种草莓(合理即可)； (2)由于乙种草莓的单果质量比较小，所以技术人员需要运用种植技术提高草莓的单果质  量(言之有理即可). 18.解：（1）如答案图①，C(4，4)， ∵将 ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C的对应点C′， ∴C′(－1，3)， 设过点C′的反比例函数解析式为  （k≠0）， ∴  ， ∴k＝－3， ∴过点C′的反比例函数解析式为  ，其x＜0时的图象如答案图①所示； 答案图① （2） ODE的面积不会发生变化； 理由：如答案图②，设DE交y轴于点F， ∵DE⊥y轴，点D在反比例函数解析式为  的图象上，点E在反比例函数  的图象上， ∴S△ODF  ，S△OEF  ， ∴S△ODE＝S△ODF+S△OEF  3， ∴△ODE的面积不会发生变化，△ODE的面积为3． 答案图② 19.解：(1)如答案图，点F即为所求； (2)如上图，连接OG． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝BC＝AB，∠DAB＝∠DCB＝60°，AC⊥BD， ∴∠DCA＝∠ACB＝30°， ∵∠DOC＝90°，GD＝GC， ∴OG＝CG＝DG， ∴∠GOC＝∠GCO＝30°， ∵∠AEF＝60°， ∴∠OGE＝90°，即OG⊥EF， 设AD＝CD＝BC＝AB＝4m，则CG＝DG＝OG＝2m， ∴CE＝EG m， ∵OA＝OC＝2 m， ∴AE＝EF＝AC－CE＝4 m m m， ∵OG GE＝2m， FG＝EF－EG m m m， ∴在Rt△OGF中，tan∠OFE ． 20.解：（1）设A图书的标价为x元，B图书的标价为y元． 根据题意得 ， 解得 ， 答：A图书的标价为27元，B图书的标价为18元； （2）设购进A图书t本，总利润为w元． 由题意得24t+16（200﹣t）≤3680， 解不等式得t≤60， 又∵t≥50， ∴50≤t≤60， w＝（27﹣1.5﹣24）t+（18﹣16）（200﹣t）＝﹣0.5t+400， ∵﹣0.5＜0，w随t的增大而减小， ∴当t＝50时，w有最大值． 答：A图书购进50本，B图书购进150本时，利润最大． 21.解：任务1：小明的说法正确，理由如下： 由题意可得，∠DCB＝∠EBA＝90°，∠EAB＝∠DBC， ∴△AEB∽△BDC， ∴ ＝ ， ∵BE=1.5m，AB=3m， ∴CD= BC， ∵可以直接测量出BC的长度， ∴建筑物的高度CD可以通过计算得出； 任务2：∵∠EBF＝∠DCF＝90°，∠EFB＝∠DFC， ∴△EFB∽△DFC， ∴ ＝ ， 由任务1得， ＝ ， ∴ ＝ ， ∵AB＝3m，BF＝3.5m， ∴ ＝ ， ∴BC＝21m， ∵ ＝ ，即 ＝ ， ∴CD＝10.5m. 答：建筑物CD的高是10.5m； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差(答案不唯一). 22.解：（1）将A(-1，0)，B(3，0)分别代入y=x2-bx+c， 得  解得  ∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3. ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，-4). （2）对于y=x2-2x-3，当x=0时，y=-3，∴(0，-3). ∵-3-(-4)=1＜6， ∴当抛物线上点P，C之间的部分的高度为6时，分两种情况讨论. 设点P的横坐标为a，则点P的纵坐标为a2-2a-3. ①当点P位于y轴左侧时，a2-2a-3=-3+6， 解得a1=1+  （舍去），a2=1-  ， ∴P(1-  ，3). ②当点P位于y轴右侧时，a2-2a-3=-4+6， 解得a1=1+   ，a2=1-  （舍去）， ∴P(1+  ，2). 综上可知，点P的坐标为(1-  ，3)或(1+  ，2). （3）m＞-1. 【解法提示】对于y=x2-2x-3，∵1＞0，∴离抛物线对称轴越远的点纵坐标越大.∵点M(m+1，y1)，N(m+3，y2)在抛物线上，且y1＜y2，∴MN的中点在抛物线的对称轴（直线x=1）右侧，∴ ＞1，解得m＞-1. 23.解：（1）   ； 【解法提示】∵∠ABC＝90°，BA＝BC，O是边AC的中点，∴   ，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF+∠BOE＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，    ∴△BOE≌△COF（ASA），∴S△BOE＝S△COF，∴S四边形OEBF＝S△BOE+S△BOF＝S△COF+S△BOF   ． （2）BE+BF＝AB，理由如下： 如答案图①，连接OB， ∵∠ABC＝90°，BA＝BC，O是边AC的中点， ∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°， ∴∠BOF+∠COF＝90°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠BOF+∠BOE＝90°， ∴∠BOE＝∠COF， 在△BOE和△COF中， ， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴BE＝CF， ∴BE+BF＝CF+BF＝BC＝AB． 答案图① （3）【延伸探究】△OEF的面积为  或  ． 【解法提示】①如答案图②，连接OB，过O作OH⊥AB于点H，∴∠AHO＝∠OHE＝90°，在等腰直角△AOB中，  ，∵BA＝BC，O是边AC的中点，∴  ，∴∠AOB＝∠COB＝∠A'OC'＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∠OBF＝∠OCB＝∠BAC＝45°，∴∠OBE＝∠OCF＝135°，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴△EOF是等腰直角三角形，∵BE＝1，∴HE＝HB+BE＝2+1＝3，由勾股定理得  ，∴△OEF的面积为  ；②如答案图③，作OP⊥AB于点P，同理可得△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴△EOF是等腰直角三角形，∵BE＝1，∴PE＝PB﹣BE＝2﹣1＝1，由勾股定理得  ，∴△OEF的面积为  ，综上所述，△OEF的面积为  或  ．              答案图②                               答案图③       数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中考数学真题仿真模拟卷 一、选择题（共30分，每题3分） 1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作　(　　) A. +40元 B. －40元 C. +20元 D. －20元 1.B 2.如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有自然数1～11，折叠成正方体后，与数字6重合的数字是(　　) A.8，10 B.7，9 C.2，7 D.4，8 2.C　 【解析】观察题图可知，折叠后与数字6重合的数字是2，7. 3.据不完全统计，随着我国科技投入的大幅提高，全社会研发经费从1.03万亿元增长到2.79万亿元，居世界第二位，其中数据2.79万亿用科学记数法可表示为（　　） A．0.279×1013 B．2.79×1012 C．27.9×1011 D．2.79×1011 3.B 【解析】2.79万亿＝2790000000000＝2.79×1012. 4.如图1，有一个破损的扇形零件，小明利用图中的量角器量出这个扇形零件的圆心角的度数为50°，你认为小明测量的依据是(　　) A. 垂线段最短 B. 对顶角相等 C. 圆的定义 D. 三角形内角和等于180° 4.B　 5.若关于x的一元二次方程(a－3)x2－4x－1＝0有实数根，则a的值可以为(　　) A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 5.C 6.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，CD是△ABC的角平分线，则CD的长为(　　) A. B. C. D. 6.B　 【解析】由题图可得AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ，∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为等腰直角三角形，∵CD为△ABC的角平分线，∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD＝ . 7.计算  +  的结果等于 （　　） A. B. C. D.1 7.A　 【解析】原式=   +   =  ==  . 8.小亮与同学组队玩寻宝游戏，在某个环节，小亮面前有A，B两组箱子（如图），A组有3个箱子，其中1个箱子中装有重要线索；B组有2个箱子，其中1个箱子中装有重要线索．小亮要从A，B两组箱子中各选一个箱子去获得线索，则小亮一条线索都没有得到的概率为（          ） A. B. C. D. 8.B 【解析】设A组3个箱子为A1，A2，A3，其中A1箱子中装有重要线索；B组2个箱子为B1，B2，其中B1箱子中装有重要线索．根据题意画树状图如下答案图·： 答案图 共有6种等可能的情况数，其中一条线索都没有得到的有2种，则一条线索都没有得到的概率是  ． 9.如图，已知菱形ABCD的顶点B(0，0)，A(2，2 )，点C在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，交CD于点E，连接BE，若MN恰好经过点A，则点E的坐标为（         ）　 A. (5，  ) B. (5，2 )                                                          C. (5， )                                                D. (5，  ) 9.A  【解析】由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED＝90°，CE＝DE.∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝2DE，∴∠DAE＝30°，∠D＝60°，∴∠ABC＝60°，如解图，作EG⊥BC交BC的延长线于点G，∵A(2，2 )，∴AB＝4，∵AB＝2DE，∴DE＝CE＝2.在Rt△ECG中，∵∠ECG＝60°，∴CG＝ CE＝1，EG＝ CG＝ ，∴BG＝BC＋CG＝5，∴点E的坐标为(5， ). 解图 10.物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流 （ A）和它们两端的电压 （ V），根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识 ，可判断这四个用电器中电阻 最大的是（          ）　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10.C 【解析】由题意得U＝IR，根据一次函数的性质可知，R越大，直线斜率越大，R丙＞R甲＞R丁＞R乙． 2、 填空题（共15分，每题3分） 11.写出一个使代数式  有意义的x的值            ． 11.3（答案不唯一） 【解析】由题可知，x－2＞0，解得x＞2，∴满足条件的x的值可以是3（答案不唯一）． 12.2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔8名选手参加总决赛，他们的决赛成绩分别是95，92，93，89，94，90，96，88，则这8名选手决赛成绩的中位数是      ． 12.92.5　 【解析】将这组数据按从小到大进行排序：88，89，90，92，93，94，95，96，中间的两个数分别为92，93，中位数为 ＝92.5. 13.观察下列单项式，探究其规律：xy2,-2x2y3,3x3y4,-4x4y5,…，按照上述规律，第2024个单项式是            . 13.-2024x2024y2025 14.图①是我国明末《崇祯历书》中记录《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图②，根据割圆八线图，在扇形AOB中，  ，AC⊥AO，OC交 于点D，过点D作DE⊥OB，若CD=OD=2，则图②中阴影部分的面积是______. 14. 【解析】∵AC⊥AO， OD=2，OD=OA，∴ ，∵ ，在Rt△ODE中，∠DOE=30°，OD=2，∴DE=1，OE= S阴影=S△CAO－S扇形ODA+S扇形OBD－S△OED= － π － 1 = . 15.定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形，如图，点E是矩形ABCD内一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是双等腰四边形，且AD＝DE，延长AE交BC于点G，连接FG．若AD＝5，∠EFG＝90°，  ，则AB＝            ． 15. 或  【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝∠ADC＝∠C＝90°，BC＝AD＝5，AB＝CD，∵四边形AEFD是双等腰四边形，AD＝DE，∴DE＝EF或DE＝DF，①如答案图①，当DE＝EF＝AD＝5时，过点E作EH⊥CD于点H，延长HE交AB于点K，∴∠EHF＝90°，DH＝FH,四边形ADHK为矩形，AK＝DH，HK＝AD＝5，∵∠EHF＝∠EFG＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵∠EHF＝∠FCG＝90°，∴△EHF∽△FCG，∴  ，∵EF＝5，∴HF＝3，HE＝4，AK＝DH＝HF＝3，KE＝1．设CG＝3k，FC＝4k，则BG＝5－3k，AB＝CD＝DF＋FC＝6＋4k，∵KE∥BC，∴△AKE∽△ABG，∴  ，解得  ，∴  ；②如答案图②，当DE＝DF＝AD＝5时，过点E作EH⊥CD于点H．∵∠BAD＝90°，DE＝DF＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DEF＝∠DFE，在四边形ADEF中，∠ADC＝90°，∴∠DAE＋∠DEA＋∠DEF＋∠DFE＝270°，∴∠AEF＝∠DEA＋∠DEF＝135°，∴∠FEG＝45°，∵∠EFG＝90°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴FE＝FG．由①可知，∠HEF＝∠CFG，又∵∠EHF＝∠FCG＝90°，∴△EHF≌△FCG（AAS），∴HF＝CG，HE＝CF，∴  ，设HF＝3k，HE＝4k，则DH＝5－3k，AB＝CD＝5＋4k，在Rt△DEH中，DH2＋HE2＝DE2，∴（5－3k）2＋（4k）2＝52，解得  或k＝0（不合题意，舍去），∴  ，综上所述，AB的长为  或  ．       答案图①                                            答案图② 三、解答题（共8题，共75分） 16.（10分）(1)计算： ； (2)化简： ． 16.解：(1)原式＝－1+2 9                   ＝－10+2 ； 解：(2)原式 •         •           •          ＝－x(x+1)       ＝－x2－x． 17.（9分）某地农业技术部门积极助力家乡草莓种植的改良与推广，通过安装温湿度、光照传感器，结合 AI算法优化水肥方案技术，提高草莓的品质.为了解改良效果，在相同条件下，随机抽取了甲、乙两种草莓各10个样品，对质量 (单位：g)、糖度(单位：Brix) 进行测评，并对数据进行整理、描述和分析： 甲种草莓的单果质量和糖度数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量 24.1 25.3 22.5 23.9 26.0 21.2 24.7 25.8 20.7 23.4 糖度 9.5 10.3 8.8 9.7 10.6 8.9 11.0 10.2 9.1 10.4 乙种草莓的单果质量和糖度数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量 19.5 21.0 18.3 20.6 22.1 17.8 20.2 19.1 21.5 18.4 糖度 11.7 10.9 12.0 11.3 10.6 12.2 11.5 10.8 12.1 11.2 甲、乙两种草莓的单果质量和糖度的平均数、中位数、方差如下： 平均数 中位数 方差 质量 甲 23.76 24 3.0204 乙 19.85 19.85 1.9185 糖度 甲 9.85 9.95 0.5225 乙 11.43 11.4 0.2881 (1)如果选择一种进行推广种植，你会选择哪种草莓? (2)在进行大面积推广种植之前，技术人员需要对草莓种植进行继续改良， 请给出改良意见. 17.解：(1)从平均数和中位数角度来看，甲种草莓的单果质量大于乙种草莓的单果质量，但甲种草莓的糖度低于乙种草莓的糖度； 从方差角度来看，甲种草莓单果质量的方差和糖度的方差均大于乙种草莓，说明甲种草莓的单果质量不均匀，糖度波动比较大.由于人们对草莓口感的要求会比较高，所以我建议推广乙种草莓(合理即可)； (2)由于乙种草莓的单果质量比较小，所以技术人员需要运用种植技术提高草莓的单果质  量(言之有理即可). 18.（9分）如图， ABC的顶点为网格线的交点，反比例函数  的图象过格点A，B．将 ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C的对应点C′． （1）求过点C′的反比例函数解析式，并画出其图象(x＜0)； （2）在过点C′的反比例函数图象上任取一点D，过点D向y轴作垂线，交  的图象于点E，连接DO，EO， ODE的面积会发生变化吗？若不变化，求出 ODE的面积；若变化，请说明理由． 18.解：（1）如答案图①，C(4，4)， ∵将 ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C的对应点C′， ∴C′(－1，3)， 设过点C′的反比例函数解析式为  （k≠0）， ∴  ， ∴k＝－3， ∴过点C′的反比例函数解析式为  ，其x＜0时的图象如答案图①所示； 答案图① （2） ODE的面积不会发生变化； 理由：如答案图②，设DE交y轴于点F， ∵DE⊥y轴，点D在反比例函数解析式为  的图象上，点E在反比例函数  的图象上， ∴S△ODF  ，S△OEF  ， ∴S△ODE＝S△ODF+S△OEF  3， ∴△ODE的面积不会发生变化，△ODE的面积为3． 答案图② 19.（9分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AC上，将点E绕点A逆时针旋转60°得到点F． (1)在图中求作点F；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)连接OF，连接EF交DC于点G，当G是DC的中点时，求tan∠OFE的值． 19.解：(1)如答案图，点F即为所求； (2)如上图，连接OG． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝BC＝AB，∠DAB＝∠DCB＝60°，AC⊥BD， ∴∠DCA＝∠ACB＝30°， ∵∠DOC＝90°，GD＝GC， ∴OG＝CG＝DG， ∴∠GOC＝∠GCO＝30°， ∵∠AEF＝60°， ∴∠OGE＝90°，即OG⊥EF， 设AD＝CD＝BC＝AB＝4m，则CG＝DG＝OG＝2m， ∴CE＝EG m， ∵OA＝OC＝2 m， ∴AE＝EF＝AC－CE＝4 m m m， ∵OG GE＝2m， FG＝EF－EG m m m， ∴在Rt△OGF中，tan∠OFE ． 20.（9分）某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划． （1）“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花279元，购买10本A图书比购买6本B图书多花162元，请求出A、B图书的标价； （2）“读书节”期间书店计划用不超过3680元购进A、B图书共200本，且A图书不少于50本，A、B两种图书进价分别为24元、16元；销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大？ 20.解：（1）设A图书的标价为x元，B图书的标价为y元． 根据题意得 ， 解得 ， 答：A图书的标价为27元，B图书的标价为18元； （2）设购进A图书t本，总利润为w元． 由题意得24t+16（200﹣t）≤3680， 解不等式得t≤60， 又∵t≥50， ∴50≤t≤60， w＝（27﹣1.5﹣24）t+（18﹣16）（200﹣t）＝﹣0.5t+400， ∵﹣0.5＜0，w随t的增大而减小， ∴当t＝50时，w有最大值． 答：A图书购进50本，B图书购进150本时，利润最大． 21.（9分）由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下. 活动主题 测量建筑物的高度 测量示意图 测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上． 测量数据 BE=1.5m，AB=3m，BF=3.5m. 备注 点F，A，B，C在同一水平线上. 根据以上信息，解决下列问题. 任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出BC的长度，就可以测出建筑物的高度CD”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； 任务2：求建筑物CD的高是多少？ 任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物CD的高度为11m，请写出一条测量结果有误差的原因．  21.解：任务1：小明的说法正确，理由如下： 由题意可得，∠DCB＝∠EBA＝90°，∠EAB＝∠DBC， ∴△AEB∽△BDC， ∴ ＝ ， ∵BE=1.5m，AB=3m， ∴CD= BC， ∵可以直接测量出BC的长度， ∴建筑物的高度CD可以通过计算得出； 任务2：∵∠EBF＝∠DCF＝90°，∠EFB＝∠DFC， ∴△EFB∽△DFC， ∴ ＝ ， 由任务1得， ＝ ， ∴ ＝ ， ∵AB＝3m，BF＝3.5m， ∴ ＝ ， ∴BC＝21m， ∵ ＝ ，即 ＝ ， ∴CD＝10.5m. 答：建筑物CD的高是10.5m； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差(答案不唯一). 22.（10分）如图，已知抛物线y=x2-bx+c与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)若点P是抛物线上一动点，当抛物线上点P，C之间的部分(含点P，C)的高度(最高点和最低点的纵坐标之差)为6时，求点P的坐标. (3)若点M(m+1，y1)，N(m+3，y2)在该抛物线上，且y1＜y2，请直接写出m的取值范围.  22.解：（1）将A(-1，0)，B(3，0)分别代入y=x2-bx+c， 得  解得  ∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3. ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，-4). （2）对于y=x2-2x-3，当x=0时，y=-3，∴(0，-3). ∵-3-(-4)=1＜6， ∴当抛物线上点P，C之间的部分的高度为6时，分两种情况讨论. 设点P的横坐标为a，则点P的纵坐标为a2-2a-3. ①当点P位于y轴左侧时，a2-2a-3=-3+6， 解得a1=1+  （舍去），a2=1-  ， ∴P(1-  ，3). ②当点P位于y轴右侧时，a2-2a-3=-4+6， 解得a1=1+   ，a2=1-  （舍去）， ∴P(1+  ，2). 综上可知，点P的坐标为(1-  ，3)或(1+  ，2). （3）m＞-1. 【解法提示】对于y=x2-2x-3，∵1＞0，∴离抛物线对称轴越远的点纵坐标越大.∵点M(m+1，y1)，N(m+3，y2)在抛物线上，且y1＜y2，∴MN的中点在抛物线的对称轴（直线x=1）右侧，∴ ＞1，解得m＞-1. 23.（10分）【问题再现】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积（即四边形OEBF的面积）始终等于正方形ABCD面积的 ． 【初步探究】小明在证明上述问题时，发现题目中正方形A'B'C'O，这一条件主要用到的信息是∠A'OC'＝90°，图中一些线段之间也有特殊的关系．深入思考后他为大家编了如下题目：如图②，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，O是边AC的中点．以O为顶点作∠A'OC′＝90°，OA'交线段AB于点E，OC′交线段BC于点F．请完成以下问题： （1）四边形OEBF的面积是△ABC面积的            ． （2）猜想线段BE、BF、AB之间的等量关系，并说明理由． （3）【延伸探究】爱动脑的小军在小明问题的基础上进行了延伸，让∠A'OC'绕点O旋转，OA′交直线AB于点E，OC'交直线BC于点F，连接EF．若AB＝4，BE＝1，请直接写出△OEF的面积． 23.解：（1）   ； 【解法提示】∵∠ABC＝90°，BA＝BC，O是边AC的中点，∴   ，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF+∠BOE＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，    ∴△BOE≌△COF（ASA），∴S△BOE＝S△COF，∴S四边形OEBF＝S△BOE+S△BOF＝S△COF+S△BOF   ． （2）BE+BF＝AB，理由如下： 如答案图①，连接OB， ∵∠ABC＝90°，BA＝BC，O是边AC的中点， ∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°， ∴∠BOF+∠COF＝90°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠BOF+∠BOE＝90°， ∴∠BOE＝∠COF， 在△BOE和△COF中， ， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴BE＝CF， ∴BE+BF＝CF+BF＝BC＝AB． 答案图① （3）【延伸探究】△OEF的面积为  或  ． 【解法提示】①如答案图②，连接OB，过O作OH⊥AB于点H，∴∠AHO＝∠OHE＝90°，在等腰直角△AOB中，  ，∵BA＝BC，O是边AC的中点，∴  ，∴∠AOB＝∠COB＝∠A'OC'＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∠OBF＝∠OCB＝∠BAC＝45°，∴∠OBE＝∠OCF＝135°，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴△EOF是等腰直角三角形，∵BE＝1，∴HE＝HB+BE＝2+1＝3，由勾股定理得  ，∴△OEF的面积为  ；②如答案图③，作OP⊥AB于点P，同理可得△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴△EOF是等腰直角三角形，∵BE＝1，∴PE＝PB﹣BE＝2﹣1＝1，由勾股定理得  ，∴△OEF的面积为  ，综上所述，△OEF的面积为  或  ．              答案图②                               答案图③       数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $