专题05二元一次方程组寒假预习讲义（1）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题05二元一次方程组寒假预习讲义（1） 1掌握二元/三元一次方程及方程组的核心概念，能快速识别特征、理解解的定义并学会代入验证； 2. 熟练运用代入、加减消元法解二元方程组，能用降元法攻克简单三元方程组； 3. 可将实际问题转化为方程组，按需选择最优解法，保证计算准确； 4. 理解方程组内逻辑关联，通过应用题学以致用，实现知识类比迁移，为开学深度学习铺垫。 预习必备 知识点梳理 1.二元一次方程 2.二元一次方程组 3.解二元一次方程组 4.三元一次方程组 常考题型 精讲精炼 1.二元一次方程的定义 2.二元一次方程的解 3.二元一次方程组的判定 4.检验方程组的解 5.由方程组解求参数 6.代入消元法 7.加减消元法 8.二元一次方程组的特殊解法 9.错解复原问题 10.构造方程组求解 11.由解的情况求参数 12.同解方程组问题 13.三元一次方程组的定义及解 14.三元一次方程组的应用 强化巩固 (解答题7题) 【知识点01.二元一次方程】 1.定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程， 形如ax+by=c（a、b）。 2.二元一次方程的解：使方程两边相等的两个未知数的一组值，有无数组解。 3.检验解：将未知数的值代入方程，验证左右两边是否相等。 【知识点02.二元一次方程组】 1.定义：把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，组成二元一次方程组（特殊形式：一个二元一次方程 + 一个一元一次方程也可）。 2.方程组的解：同时满足方程组中所有方程的未知数的值，一般有一组解（也可能无解 / 无数解）。 3.检验方程组的解：将值代入方程组的每个方程，均成立才是解。 【知识点03.解二元一次方程组】 核心思路：消元（将二元→一元，化未知为已知） 1.代入消元法（代入法） 步骤： ①选系数为±1的未知数，用含一个未知数的式子表示另一个； ②代入另一个方程，消去一个未知数得一元一次方程； ③解一元一次方程，回代求另一个未知数； ④写方程组的解。 适用：有未知数系数为±1的方程组。 2.加减消元法（加减法） 步骤： ①把同一个未知数的系数化为相等或互为相反数； ②把两个方程相加 / 相减，消去一个未知数得一元一次方程； ③求解后回代； ④写解。 适用：同一个未知数系数成倍数关系或易凑成相等 / 相反数的方程组。 易错点：消元时注意符号，回代时代入原方程而非变形后的方程。 【知识点04.三元一次方程组】 1.定义：含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1，且由三个整式方程组成的方程组，形如 核心思路：多次消元（三元→二元→一元）。 2.解法步骤 ① 选一个未知数为消元目标，利用加减法 / 代入法，将三元方程组转化为二元一次方程组； ② 解所得的二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 将结果回代到原方程，求出第三个未知数的值； ④ 写出三元一次方程组的解。 关键：消元时目标统一，避免重复消元或漏消。 【题型1.二元一次方程的定义】 【典例】如果是二元一次方程，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程，只含有个未知数且含有未知数的项的最高次数为一次的整式方程是二元一次方程，据此解答即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列式子中，，，中，是二元一次方程的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，根据概念逐个判断即可得答案． 【详解】解：方程，含有两个未知数x、y，次数均为1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义； 方程，含有三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件； 式子不是等式，仅为代数式，不构成方程； 不等式属于不等式而非等式，不符合二元一次方程的定义， 综上，只有是二元一次方程，共1个， 故选：A． 【跟踪专练2】若是二元一次方程，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程．由二元一次方程的定义可知x，y的次数为1，且未知项的系数不等于0，据此可列出方程，，，且，求解得出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，，且， 解得：，， ∴． 故答案为：4． 【题型2.二元一次方程的解】 【典例】一个二元一次方程的解的个数有 ． 【答案】无数个 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键，根据二元一次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：二元一次方程的一般形式为（不同时为 0）． 当时，对于每一个的取值，都可以求出唯一的值与之对应，有无数个解； 当时，，此时的值唯一确定，而可以取任意实数，也有无数个解． ∴二元一次方程有无数个解． 故答案为：无数个． 【跟踪专练1】已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，将给定的解代入方程，通过解一元一次方程求k的值，即可作答． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴把代入得：， 即， ∴， ∴， 因此，k的值为2， 故选：D 【跟踪专练2】课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，那么8人组最多可能有 组． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设8人组有组，7人组由组，则5人组有（）组，可得，求、的正整数解即可． 【详解】解：设8人组有组，7人组由组，则5人组有（）组，由题意得， ， 整理得：， ， 、为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， ∴8人组最多可能有6组， 故答案为：6． 【题型3.二元一次方程组的判定】 【典例】下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：①方程组中的方程不是整式方程，故方程组不是二元一次方程组； ②方程组中的方程不是一次方程，故方程组不是二元一次方程组； ③方程组中含有三个未知数，故方程组不是二元一次方程组； ④方程组是二元一次方程组； ⑥方程组是二元一次方程组； ⑦方程组是二元一次方程组； ∴二元一次方程组有④⑤⑥，共3个， 故选：C． 【跟踪专练1】已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中， 是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 【跟踪专练2】下列方程组为二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程判断即可； 【详解】解：A.中，x的次数是2，故A选项不符合题意； B.是二元一次方程组，故B选项符合题意； C.中y在分母上，故C选项不符合题意； D.中有3个未知数，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的判断，准确分析是解题的关键． 【题型4.检验方程组的解】 【典例】写出一个解为的二元一次方程组： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕列一组算式，如，，然后用，代换，可得方程组． 【详解】解：先围绕列一组算式， 如：，，然后用，代换， 可得等．答案不唯一，符合题意即可． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，此题是开放性题目，答案不唯一．掌握二元一次方程组解的意义是解题的关键． 【跟踪专练1】已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】写出一个解为的二元一次方程组为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5.由方程组解求参数】 【典例】已知是关于，的二元一次方程的解，则的值是（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，将方程的解代入原方程是解题的关键．将代入关于x，y的二元一次方程得到关于k的方程，解这个方程即可得到k的值． 【详解】解：将代入关于x，y的二元一次方程得： ． ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】已知关于x，y的二元一次方程组的解为则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，正确进行计算是解题关键． 将方程组的解代入原方程组，得到关于和的方程，解出和的值，再计算的值即可． 【详解】解：将代入二元一次方程组，得 由方程②得：，解得 将代入方程①得：，解得 ∴解得： ∴． 故答案为：7． 【跟踪专练2】已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故选：B． 【题型6.代入消元法】 【典例】已知方程，用含有的代数式表示的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的变形，用一个未知数表示另一个未知数．解题关键是通过移项等操作，将单独放在等式的一边，从而用含有的代数式表示．通过移项，系数化为，将单独放在等式的一边即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】用代入法解方程组有以下过程： （1）由①，得．③ （2）将③代入②，得． （3）去括号，得． （4）解得．将代入③，得．所以这个方程组的解是 以上解题过程中，开始出错的一步是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】C 【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 根据代入消元法的运算法则进行判断即可． 【详解】解：∵ 由①得 ③，正确； 将③代入②得 ，正确； 去括号时，，但过程写为 ，错误； ∴ 开始出错的一步是（3） 故选：C． 【跟踪专练2】二元一次方程组，它的解x和y值相等，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据x和y值相等可得，，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 它的解x和y值相等， 解①得：， ， ∴， 将，代入②，得， 解得． 故答案为：． 【题型7.加减消元法】 【典例】已知二元一次方程组，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键． 根据解二元一次方程组，通过将两个方程相加可直接求出的值． 【详解】解：二元一次方程组， 将两式相加，， 整理后为：， 即． 故选：A ． 【跟踪专练1】已知二元一次方程组则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体加减消元法，解题关键是观察方程系数的特征，通过两式直接相减构造出的表达式，从而简化计算． 通过观察两个方程的系数特点，可直接将两式相减，整体求出的值． 【详解】解：方程组 ： ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 通过将方程组的两个方程相减，得到与m的关系式，再代入已知条件求解m的值． 【详解】解：方程组， ，得： ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 故选：C． 【题型8.二元一次方程组的特殊解法】 【典例】已知方程组，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，掌握二元一次方程组解的计算方法是关键． 【详解】解：， 得，， ∴， 等式两边同时乘以得，， 故答案为：5 ． 【跟踪专练1】若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得； 故选D． 【跟踪专练2】若方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用换元法求二元一次方程组的解，把方程组变形为：，再根据方程组的解为，由此可得，进而得出答案． 【详解】解：将方程组整理， 可得：， 方程组的解为， 方程组的解为， 整理可得：， 故答案为：． 【题型9.错解复原问题】 【典例】小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值． 【详解】解：将、代入得： 得：， 把代入①得：， 解得：． 故选：B 【跟踪专练1】甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，将代入方程中可求得，将代入方程中可求得，代入所求式子即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：将代入方程中可得，， 解得：， 将代入方程中可得， 解得：， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入中得一个方程，把代入中的一个方程，联立解方程组即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， 把代入中，得， 根据题意，得； 解得， 故选：B． 【题型10.构造方程组求解】 【典例】已知是一个二元一次方程组的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知条件，写出符合题意的方程组． 【详解】根据二元一次方程组的定义可知，符合题意的方程组可以为不唯一， 故答案可以为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义以及构造二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的定义． 【跟踪专练1】已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，根据无论取何值，方程总成立的条件是方程中不含的部分和含的部分同时为零．因此，需解联立方程组：，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练2】定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时， ． （2）若，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 【详解】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 【题型11.由解的情况求参数】 【典例】关于，的二元一次方程组的解适合，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程组中上式减去下式可得，结合，可求出，的值，再代入方程组中即可求出的值． 【详解】解：关于，的二元一次方程组，上式减去下式得， ∴，解方程组得，，代入方程得，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的值求参数，掌握解二元一次方程组的方法（代入法，加减法）是解题的关键． 【跟踪专练1】已知关于、方程组的解满足，则的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组中的两个方程相加推出，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练2】若方程组的解中x与y的值的和为4，则k为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再把解代入求出答案． 根据解二元一次方程的步骤，可得二元一次方程组的解，根据二元一次方程组的解相同，可得关于k的一元一次方程,根据解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：由题意得：，解得：， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 【题型12.同解方程组问题】 【典例】若二元一次方程组和同解，则可通过解方程组 求得这个解． 【答案】 【分析】找到两个不含参数的方程，组成新的方程组即可． 【详解】解：因为两方程组有相同的解， 所以方程组的解必然适合两方程组． 故答案为：． 【点睛】本题考查同解方程组．解题的关键是找到两个不含参数的方程，组成新的方程组． 【跟踪专练1】关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，先求出的解，再将解代入中求出a，b，即可求解． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得：， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】若关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】首先将变形得，然后由已知条件即可得出，从而得出答案． 【详解】解：原式变形可得， 令， 则化简为：， 方程和为系数完全相同的二元一次方程组，即同解， ∴ ∴， 解得． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是通过变形换元得出两个方程组的解相同，从而得出答案． 【题型13.三元一次方程组的定义及解】 【典例】下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 【跟踪专练1】已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了解三元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中三个方程成立的未知数的值．把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入已知等式中计算即可求出a的值． 【详解】解：， 得：，即， 得：， 得：， 得：， 将，，代入中得：， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 【题型14.三元一次方程组的应用】 【典例】三元一次方程组：含有 未知数，每个方程中含有未知数的项的 都是 ，并且一共有 方程，这样的方程组叫做三元一次方程组． 【答案】 三个 次数 1 3个 【分析】由题意直接根据三元一次方程组的定义进行填空即可. 【详解】解：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，并且一共有3个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组． 故答案为：三个，次数，1，3个. 【点睛】本题考查三元一次方程组的定义，注意掌握含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为一次，并且一共有3个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组． 【跟踪专练1】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质与等式的性质，解题的关键是根据图形列出不等式与等式． 设▲、●、■这三种物体的质量分别为，由图得到即可求解． 【详解】设▲、●、■这三种物体的质量分别为， 由图可得， 解得， 所以 故选：C． 【跟踪专练2】有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付 元． 【答案】100 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解． 【详解】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元． 由甲购3件，5件，1件，共200元，即①， 乙购4件，7件，1件，共250元，即②， 得③， 得④， 得， ∴丙购、、各1件，应付100元， 故答案为：100． 1．解方程（组）： (1)解方程：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程（二）——去分母，三元一次方程组的定义及解法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，求解即可； （2）用加减消元法，先求得，代入其中两个方程中，再用加减消元法继续求解即可． 【详解】（1）解：原式去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 所以； （2）解：， ，得， 所以， 把代入①，得， 把代入，得， 所以， ，得， 所以， 把代入，得， 所以， 所以方程组的解为． 2．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）将原方程组化简整理可得：，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 由①得：③， 将③代入②得：，解得：， 将代入③得：， 故原方程组的解为． （2）解：将方程两边同乘以，得，整理得， 故原方程组化简整理可得： 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 故原方程组的解为． 3．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将两个方程组重新组合是解题的关键． 首先根据两个方程组的解相同，先联立不含参数的方程求出方程组的解，再将解代入含参数的方程中，进而求出a，b的值，最后计算的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴可得方程组：，解得：， ∴可得方程组：，解得：， ∴． 4．若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】14 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出关于a和b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入得： 解得： ∴ 5．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组的错解复原问题，根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此求出a、b的值，再利用加减消元法解原方程组即可得到答案． 【详解】解：甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得， ，． ，． ∴原方程组为 得 ， 解得， 把代入得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 6．在下边的的方格图中，已经有3格分别填入11、18、20三个数，如果中心方格填入的数为，且每行、每列、每条对角线上的3个数之和都等于．试用和的代数式填在相应的空格内，并求出、的值． 11 18 20 【答案】见解析， 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的解法，先根据每行、每列、每条对角线的和都等于，用和表示空格中的数；再利用中心数与和的关系及某条线的和建立方程，求解和的值． 【详解】解：由题意可得第一行第三个数为， 由题意可得第二行第三个数为， 由题意可得第三行第一个数为， 由题意可得第三行第三个数为， 由题意可得第三行第三个数为， 根据对角线3个数之和为，列出方程可得， 整理得：， 解得： 7．一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数． 【答案】473 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可． 【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z， 由题意，得，. 解得， 答：原来的三位数为473． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题05二元一次方程组寒假预习讲义(1) 预习目标 1掌握二元/三元一次方程及方程组的核心概念，能快速识别特征、理解解的定义并学 会代入验证； 2.熟练运用代入、加减消元法解二元方程组，能用降元法攻克简单三元方程组； 3.可将实际问题转化为方程组，按需选择最优解法，保证计算准确： 4.理解方程组内逻辑关联，通过应用题学以致用，实现知识类比迁移，为开学深度 学习铺垫。 预习内容概览 预习必备 1.二元一次方程 2.二元一次方程组 知识点梳理 3.解二元一次方程组 4.三元一次方程组 1.二元一次方程的定义 2.二元一次方程的解 3.二元一次方程组的判定 4.检验方程组的解 5.由方程组解求参数 6.代入消元法 常考题型 7.加减消元法 8.二元一次方程组的特殊解法 精讲精炼 9.错解复原问题 10.构造方程组求解 11.由解的情况求参数 12.同解方程组问题 13.三元一次方程组的定义及解 14.三元一次方程组的应用 强化巩固 (解答题7题) 3 知识点梳理 【知识点01.二元一次方程】 1定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程， 形如ax+by=c(a、b≠0)。 2.二元一次方程的解：使方程两边相等的两个未知数的一组值，有无数组解。 3检验解：将未知数的值代入方程，验证左右两边是否相等。 试卷第1页，共3页 【知识点02.二元一次方程组】 1.定义：把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，组成二元一次方程组 (特殊形式：一个二元一次方程+一个一元一次方程也可)。 2.方程组的解：同时满足方程组中所有方程的未知数的值，一般有一组解（也可 能无解/无数解)。 3.检验方程组的解：将值代入方程组的每个方程，均成立才是解。 【知识点03.解二元一次方程组】 核心思路：消元（将二元→一元，化未知为已知） 1.代入消元法（代入法） 步骤： ①选系数为±1的未知数，用含一个未知数的式子表示另一个； ②代入另一个方程，消去一个未知数得一元一次方程； ③解一元一次方程，回代求另一个未知数： ④写方程组的解。 适用：有未知数系数为牡1的方程组。 2.加减消元法（加减法） 步骤 ①把同一个未知数的系数化为相等或互为相反数： ②把两个方程相加/相减，消去一个未知数得一元一次方程； ③求解后回代； ④写解。 适用：同一个未知数系数成倍数关系或易凑成相等/相反数的方程组： 易错点：消元时注意符号，回代时代入原方程而非变形后的方程。 【知识点04.三元一次方程组】 1.定义：含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1，且由三个整式方程组成 ax+by+cz=d ex+fy+gz=h 的方程组，形如 ix+jy+kz =1 核心思路：多次消元（三元→二元→一元)。 试卷第1页，共3页 2解法步骤 ①选一个未知数为消元目标，利用加减法/代入法，将三元方程组转化为二元 一次方程组： ②解所得的二元一次方程组，求出两个未知数的值： ③将结果回代到原方程，求出第三个未知数的值； ④写出三元一次方程组的解。 关键：消元时目标统一，避免重复消元或漏消。 常考题型精讲精练 【题型1.二元一次方程的定义】 【典例】如果2x3"=y是二元一次方程，则m= 【跟踪专练1】下列式子中2x-3y=5,3x-y+2z=0,2x+4y,5x-y>0中，是二元 次方程的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 【跟踪专练2】若m+1x+2y-2=0是二元一次方程，则m+n=」 【题型2.二元一次方程的解】 【典例】一个二元一次方程的解的个数有」 x=2 【跟踪专练1】已知 y=-1 是关于x,y的二元一次方程c+3y=1的一个解，则k的值是() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【跟踪专练2】课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和 8人三种情况，那么8人组最多可能有 组 【题型3.二元一次方程组的判定】 【典例】下列六个方程组中，是二元一次方程组的有() +y=1 x+12y=4 x=2 x=y-3 ①x ；② y=9 16x-6y=-9 +2=16:③/-=2 (2-3y=4:④ 7x-9y=5:⑤ y=3:⑥/ x+1=4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【跟踪专练1】已知下列方程组： 试卷第1页，共3页 3x+2y=7 [2x+y=7 ① (y=5 ；② x+z=29 3x+4y=2 x+2y=3 ®-y-1:@3+= 一十 32 x+32 其中， 是二元一次方程组.（填序号） 【跟踪专练2】下列方程组为二元一次方程组的是() x+y=5 x+y=3 2x+y=2 x+y=6 A. B C. x-1=6 D 1x2-y=8 x-y=1 2x-z=1 y 【题型4.检验方程组的解】 x=2 【典例】写出一个解为 y=-5的二元一次方程组： x=-1 【跟踪专练1】已知二元一次方程组的解是 y=-2' 则该方程组为() x+y=-3 x+y=-3 x-y=1 A. B. C. [2x=y D. y=2 x-2y=3 x+y=3 3x-y=5 x=2 【跟踪专练2】写出一个解为 的二元一次方程组为 y=1 【题型5.由方程组解求参数】 x=3k 【典例】已知 y=-3k 是关于x,y的二元一次方程2x-y=27的解，则k的值是() A.3 B.-3 C.2 D.-2 ax+by=13 x=3 【跟踪专练1】己知关于x,y的二元一次方程组 的解为 ax-7y=8 y=1则a-b的值 是 x=1 【跟踪专练2】己知 =2是二元一次方程3r-四=1的一个解，则a的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 【题型6.代入消元法】 试卷第1页，共3页 【典例】己知方程2x-y-5=0,用含有x的代数式表示y的形式为】 【跟踪专练1】用代入法解方程组 2x+y=4① 3x-2y=-1②有以下过程： (1)由①，得y=4-2x.③ (2)将③代入②，得3x-2(4-2x=-1. (3)去括号，得3x-8-2x=-1. x=7 (4)解得x=7.将x=7代入③，得y=-10.所以这个方程组的解是 y=-10 以上解题过程中，开始出错的一步是() A.(1) B.(2)》 C.(3) D.(4) 4x+3y=1 【跟踪专练2】二元一次方程组 ax+(a-1)y=3, 它的解x和y值相等，则a的值为 【题型7.加减消元法】 2x+y=2 【典例】已知二元一次方程组 x+2y=1,则x+y的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 x+3y=1 【跟踪专练1】己知二元一次方程组 3x+y=5则-y的值为 3x-y=4m+1 【跟踪专练2】己知关于x,y的二元一次方程组 x+y=2m-5的解满足x-y=4,则m的 值为() A.-1 B.7 c.1 D.2 【题型8.二元一次方程组的特殊解法】 3x+y=12 【典例】己知方程组 (x+3y=22'则y-x= 2a-3b=13 a=8.3 【跟踪专练1】若方程组 3a+5b=30.g的解为 =1.2’则方程组 2(x+2)-3(y-1)=13 3(x+2)+5(y-1=30.9 的解为() 试卷第1页，共3页 x=8.3 x=10.3 x=9.3 x=6.3 A. y=1.2 B. y=0.2 y=-1.2 y=2.2 ax+by=c x=3 【跟踪专练2】若方程组 的解为 ax+bay=C2 y=8' 则方程组 ax+4by=G的解 ax+4bay=C2 为」 【题型9.错解复原问题】 ax+by=2 m-7y=-8'小李解对了，得： =3，小 X=-2 【典例】小李、小张两位同学同时解方程组 x=-2 张抄错了m,得： y=2 则原方程组中a的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 a.x+5y=15① 【跟踪专练1】甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的a,得到 4x-by=-2② X=-3 x=5 方程组的解为 乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为 y=4 则10a+b的 x=1 【跟踪专练2】甲、乙两人同求方程ax-by=7的整数解，甲正确的求出一个解为 y=-1' =2'则a,b的值分别为() x=3 乙把ax-by=7看成ax-by=l,求得一个解为 a=2 a=3 [a=3 a=4 A C. D b=5 b=4 b=5 b=3 【题型10.构造方程组求解】 【典例】己知 少=-2是一个二元一次方程组的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组 x=3 【跟踪专练1】己知关于x,y的二元一次方程x-y+3+m(2x+y-6=0,不论m取何值， 方程总有一个固定不变的解，这个解为() 试卷第1页，共3页 x=1 x=1 x=-1 x=-1 y=-4 B. y=4 C. y=2 y=-2 【跟踪专练2】定义：数对(x,y)经过运算P可以得到数对(x',y）,记作px,y)=(x',y), =arx+（a,b为常数).如当a=1b=1时，p-2,3)=(L,-5: 其中 y'=ax-by (1)当a=2,b=1时，p1,0)= (2)若p2,1=（0,4),则a= ,b= 【题型11.由解的情况求参数】 3x+5y=a+2 【典例】关于x,y的二元一次方程组 的解适合x+y=10,则a的值为() 2x+3y=a A.14 B.12 C.6 D.-10 【跟踪专练1】已知关于x、y方程组 x+2y=6的解满足x+y=-3,则a的 2x+y=1+2a 值」 4x+3y=14 【跟踪专练2】若方程组 +k-y=6的解中x与y的值的和为4，则k为() A.4 B.3 C.2 D.1 【题型12.同解方程组问题】 【典例】若二元一次方程组 2x-3y=15 (cx-ay=5 和 ax+by=1 x+y=1同解，则可通过解方程组 求得这个解. [2x+3y=19,「3x-2y=9 【跟踪专练1】关于x,y的方程组 ar+by=-1与{bx+dy=-7有相同的解，则a+b-3的 值为() A.-1 B.-6 C.-8 D.-4 ax+by=e x=3 【跟踪专练2】若关于x,y的方程组 的解是 cx+dy=f =-2则关于x,y的方程组 试卷第1页，共3页 a(x-1)+b(y+1)=2e c(x-1)+d(y+1)=2f 的解是 【题型13.三元一次方程组的定义及解】 【典例】下列方程是三元一次方程的是() A.2x-y-z=0B.3z=1 C.y+3z=7 D.xy+xz=2 x+y=3a 【跟踪专练1】已知方程组{y+z=5a的解使代数式x-2y+3z的值等于-10，则a的值 z+x=4a 为 x-y+4z=1 【跟踪专练2】若实数x,y,z满足 x-2y+3z=3 则x+y+6z的值为() A.-3 B.0 C.3 D.-2 【题型14.三元一次方程组的应用】 【典例】三元一次方程组：含有未知数，每个方程中含有未知数的项的都是一，并 且一共有方程，这样的方程组叫做三元一次方程组. 【跟踪专练1】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图 所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为() △△y △0 ●、▲B.▲、■、 C.■、▲、● D.●、■、△ 【跟踪专练2】有A、B、C三种货物，甲购A3件，B5件，C1件，共200元.乙购A4 件，B7件，C1件，共250元，则丙购A、B、C各1件，应付元. 强化巩固通关 1.解方程（组）： (1)解方程：+1_2x-3 =1; 26 试卷第1页，共3页 a+b+c=2 (2)解方程组： 4a+2b+c=3 a-b+c=6 2.解下列方程组： 2x+y=7 (1) x+2y=8 x+4y=14 (2)x-3y-31 4 312 5x+y=6 x-2y=10 3.己知关于x,y的二元一次方程组{ 和 的解相同，求a+5b的值. ax+by =-2 ax-by=6 ax+y=7 5.甲、乙两名同学在解方程组 2x-b邮=132时，甲看错了方程①中的a,解得 ar+y=5① 、2 2 y=-2 x=3 乙看错了方程②中的b,解得 =-7请你根据以上结果，求出原方程组的解 6.在下边的3×3的方格图中，已经有3格分别填入11、18、20三个数，如果中心方格填入 的数为x,且每行、每列、每条对角线上的3个数之和都等于y,试用x和y的代数式填在 相应的空格内，并求出x、y的值. 11 18 20 7.一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上 的数的3如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小 99.求这个三位数. 试卷第1页，共3页