24.3 数据的四分位数&24.4 数据的分组-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

24.3数据的四分位数 要点提示 1.四分位数：一组数据按从小到大的顺序排列，把这组数据的中位数叫作这组数据的第二四分位数，记作Q2 这组数据中位数的左侧和右侧数据的中位数，分别叫作这组数据的第一四分位数和第三四分位数，分别记作 Q1,Q.其中第一四分位数又称下四分位数，第三四分位数又称上四分位数. 2.箱线图：可以根据一组数据的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图.其中第三四分位数减 去第一四分位数的差，称为四分位距. O1固基础 A.15岁B.14岁C.13岁D.7人 5.【定义】把一组数据从小到大排序，用m表 知识点1四分位数 示中位数，则m把这组数据分为两部分，依 1.经调查八年级(1)班7位同学每周阅读时间 次记为S和T.用a和b分别表示S和T的 (单位：min)分别为78,80,85,90,79,82， 中位数，则所有数据中小于或等于a的占 83,则这组数据的下四分位数为 ( 25%,小于或等于b的占75%.这样的a, A.80 B.82 C.85 D.79 m,b把所有数据分成个数相等的四部分，称 2.某班5名同学参加演讲比赛，他们的成绩 为四分位数， （单位：分)分别是8,6,8,7,9，这组数据的上 【应用】甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 四分位数为 甲：91,96,70,89,60,70,100,80,92,98： 知识点2箱线图 乙：92,93,70,88,82,75,96,80,92,95 3.随着移动互联网的快速发展，基于互联网的 (1)求甲组数据的四分位数a,m,b. 共享单车应运而生.为了解某小区居民使用 (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观 共享单车的情况，某学校课外活动小组随机 察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图. 采访了该小区的10位居民，将采访数据绘 测试成绩 制成如下箱线图，则这组数据的中位数为 100 96- 93- 9 90 0 使用共享单车的次数 0 80 30 25 70 70 2 10 60 甲组 乙组 0 第3题图 【理解】(3)根据箱线图和对四分位数的理 02提能力 解，谈谈对两组成绩的看法 4.调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数 据结果如下表： 年龄/岁 11 12 13 14 人数 则该足球队队员年龄的上四分位数为( 数学八年级RJ版 24.4数据的分组 要点提示 利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组，分组方法如下： 一般地，设有n个数据工1，x2,…,x.,其平均数记为元，则离差平方和为d=(x1一元)2十(x2一元)2十…十(x。一元).如 果把它分成两组，前m个数据为一组，后(n一)个数据为另一组，这两个组的平均数分别记为元1和元2，离差平方和 分别为d,d,则d十d称为组内离差车方和，d品=m(匠1-元)2十(n一m)(匠2一元)，称为组间离差平方和.根据组内 离差平方和最小的原则进行分组时，由于d不变，既可以按d十d最小来分组，也可以按d最大来分组. O1固基础之 (1)上述数据中，中位数为 ,众 数为 知识点数据的分组 (2)通常组内学生身高越整齐则认为该组舞 1.现有数据：6,9,12,15,18,21.若将其分为2 台呈现效果越好，按照“组内离差平方和最 组，根据组内离差平方和最小的原则，下列 小”的方法，将学生按身高分为两组.嘉嘉和 选项中，最优的分组方法是 琪琪的分组方法如下： A.第一组{6,9,12}，第二组{15,18,21》 嘉嘉的分组方法： B.第一组{6,12,18}，第二组{9,15,21} 甲组学生的身高：161,162,162,163,166；乙 C.第一组{6,9,15,21}，第二组{12,18} 组学生的身高：168,168,168,169,169 D.第一组{6,21}，第二组{9,12,15,18} 琪琪的分组方法： 2.-题多解法现有一组数据：8,12,16,20， 甲组学生的身高：161,162,162,163；乙组学 24,28.若将其分为2组，试根据组内离差平 生的身高：166,168,168,168,169,169， 方和最小的原则，确定最优分组方式，并计 请通过计算，比较嘉嘉和琪琪谁的分组方法 算分组后的总组内离差平方和。 更好 ………之O2提能力之… 3.某校舞蹈队共10名学生，测量并获取了所有 学生的身高（单位：cm),数据整理如下：161， 162,162,163,166,168,168,168,169,169. 下册第二十四章4,5或2,3,5,6时，x1=(2十3十4十5)÷4=3.5，x =(2+3+5+6)÷4=4,故C,D选项不符合题意. 11.10,4.5【解析】数据a1,a2,a3,a4,a5的平均数为4， 那么数据3a1-2,3a2-2,3a3一2,3a4-2,3a5-2的 平均数为3×4一2=10：数据a1,a2,aa,a4a5的方差 为0.5，那么数据3a1-2,3a2-2,3a3-2,3a4-2, 3a5-2的方差为0.5×32=4.5. 12.解：(1)409992 .5 (2)八年级有500×10=250（人）， 九年级有400×(10%十20%)=120（人）， 八、九年级共有250+120=370（人）. 故估计两个年级低于90分的家长总人数为370. (3)九年级家长对“青少年身心健康知识”了解得更 好.理由如下： 示例：平均数和中位数相同的情况下，九年级家长分 数的众数更高，且方差小于八年级，即九年级家长的 分数更稳定且满分更多，所以九年级家长了解得更好 (合理即可) 24.3数据的四分位数 1.D2.8.53.164.C 5.解：(1)把甲组的成绩从小到大排列：60,70,70,80,89， 91,92,96,98,100.故m _89+91=90,a=70,b=96. 2 (2)绘制甲组箱线图如图. 测试成绩 100- 100 196 96 93 90 80 80 70- 10 .70 60- -60 甲组 乙组 (3)示例：根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成 绩比较集中（合理即可）. 24.4数据的分组 1.A 2.解：分组如下表： 第一组离 第二组离 组内离差 分组 差平方和 差平方和 平方和 第1个间隔 0 160 160 第2个间隔 P 80 88 第3个间隔 32 32 64 第4个间隔 80 8 88 第5个间隔 160 0 160 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第3个 26 数学八年级RJ版 间隔分组时，组内离差平方和最小，因此最优分组为 {8,12,16}和{20,24,28}，总组内离差平方和为64. 一题多解法 分组方式1：前3个与后3个数据，即{8,12,16》 和{20,24,28}. 第一组：7-=8+12+16 3 12,离差平方和=(8- 12)2+(12-12)2+(16-12)2=32 第二组：7=20+24+28=24，离差平方和=(20 3 -24)2+(24-24)2+(28-24)2=32. 总离差平方和：32+32=64. 分组方式2：奇偶位置分组，即{8,16,24}和{12， 20,28}. 第一组：7=8+16+24=16，离差平方和=(8 3 16)2+(16-16)2+(24-16)2=128. 第二组：立=12+20+28=20，离差平方和=(12 3 -20)2+(20-20)2+(28-20)2=128. 总离差平方和：128+128=256. 分组方式3：小值与大值分组，即{8,12,20,24}》 和16,28. 第一组7=8+12+20+24=16，离差平方和= 4 (8-16)2+(12-16)2+(20-16)2+(24-16)2 =160. 第二组：元=16十28=22，离差平方和=(16 2 22)2+(28-22)2=72. 总离差平方和：160+72=232. 最优分组为{8,12,16}和{20,24,28}，总组内离 差平方和为64. 3.解：(1)167168 (2)嘉嘉的分组方法：甲组学生身高的平均值为 161+162+162+163+166 =162.8(cm), d=(161-162.8)2+2×(162-162.8)2+(163- 162.8)2+(166-162.8)2=14.8. 乙组学生身高的平均值为168+168+168+169+169 5 =168.4(cm), d=3×(168-168.4)2+2×(169-168.4)2=1.2. 组内离差平方和为d+d=14.8+1.2=16. 琪琪的分组方法：甲组学生身高的平均值为 161+162+162+163=162(cm), d号=(161-162)2+2×(162-162)2+(163-162)2=2. 乙组学生身高的平均值为 166+168+168+168+169+169 6 =168(cm), d?=(166-168)2+3×(168-168)2+2×(169- 168)2=6. 组内离差平方和为d十d号=2+6=8. .16>8, ∴.琪琪的分组方法更好 本章小结 1.A2.D 3.解：x甲=90×50%+83×20%+95×30%=90.1 (分)， xz=96×50%+82×20%+94×30%=92.6(分)， x两=84×50%+88×20%+94×30%=87.8（分）， 学期总评成绩优秀的同学是甲、乙 4.A【解析】：远甲=10×(8×4+9×2+10×4)=9，x乙 =10×(8×3+9×4+10×3)=9,元m=2: ”s=10×[4×(8-9)2+2X(9-9)+4×(10- 9)2]=0.8, 2=10×[3×(8-9)+4X(9-9)2+3×(10-9)] =0.6,.s>s2. 5.乙【解折1号=号×[(32-25)+(30-25)+(25 25)2+(18-25)2+(20-25)2]=29.6, s2=5×[(28-25)2+(25-25)2+(26-25)2+(24 -25)2+(22-25)21=4. :29.6>4,∴.两个品种大豆中光合作用速率更稳定的 是乙 6.3.654.1755.255【解析】将数据从小到大排序为 2.85,2.97,3.56,3.74,3.96,4.12,4.23,4.36,4.82, 5.69,5.876.45mn=412+423-4.175,ms- 2 3.56十3.74=3.65m6=482+5.69 2 2 5.255. 7.148 8.解：(1)由条形图可知，第10个数据是3分，第11个数 据是4分， .中位数为3.5分. 由条形图，得平均数为20×1X1+3X2+6X3+5×4 +5×5)=3.5(分)， ∴.客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分， ∴.该部门不需要整改 (2)设监督人员抽取的问卷所评分数为x,则有 3.5×20+工>3.55，解得x>4.55. 20+1 :满意度从低到高为1分、2分、3分、4分、5分，共 5档， ∴.监督人员抽取的问卷所评分数为5分. .4<5, ,∴，加入这个数据，客户所评分数从小到大排列后，第 11个数据不变，还是4分，即中位数是4分， ∴.中位数发生了变化，由3.5分变成4分. 9.解：(1)B (2)40×(50×8+75×14+100×10+135×8)=88.25 1 (min). 故这40位老师的平均“作业时间”为88.25min. (3)300×40 ,10+8 =135(位). 故估计该校老师的“作业时间”不少于90min的人数 为135. 专题训练 专题训练一二次根式的运算 1.解：(1)原式=√3-4√5+3√5=0. (2原式=2婚-E+号后-巨+6-号6- E (3)原式=3-2√2+3√2-2√2-3=-√2. 2.B 8、,5 3.解：(1)原式=-5×3×√7××54=-15×V2四 =-30√5 、2.23Aab·ab·6=-方Vab (2)原式=一 =-4a2. 4.解：(1)原式=4-2√2+22=4. (2)原式=4-2√5+2-2+√3-1=3-√3 5.B【解析】：√4-x有意义，.4-x≥0，∴x≤4， ∴.√x2-8.x+16-(√4-x)2=√(x-4) (/4-x)2=|x-4|-(4-x)=4-x-4十x=0. 6.2m-10 7.A【解析】：'P(a,b)是平面直角坐标系中第二象限的 点，∴a<0,b>0,.Va-√b-(√b-a)2=-a- b-(b-a)=-a-b-b+a=-2b. 8.22 9.解：由数轴知一1<x<2, ∴.|x-2|-√(x-3)2+√4x2-20.x+25 =2-x-(3-x)+|2x-5 =2-x-3+x-2x+5 =4-2x. 10.解：原式=9-5-(3+1-23) =4-4+23 =2W3 11.解：原式=-3)丘+3+丘+y √x-3 √：+√ 下册参考答案