第4章 1 因式分解&第4章 2 提公因式法-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

本章小结 1D2A3号ab 4.15°或30°【解析】当△DEF运动到点D与点A重合 时，∠AFE=90°，此时∠CAF=60°-45°=15°； 当△DEF运动到A是DE的中点时，∠FAE=90°， 此时∠CAF=90°-60°=30°. 综上所述，∠CAF的度数为15°或30. 5.B 6.√3【解析】如图，过点E作EH⊥BC交BC的延长 线于点H. :△ABC为等边三角形， ..AB=BC=AC=4. AD是中线， .AD⊥BC,BD=CD=2 ∴.AD=√AB2-BD=2 由旋转，得DE=DA=2√3，∠ADE=60°， ∴.∠EDC=30° EH⊥BC, ∴EH=2DE=E, 1 1 S△me=2BD·EH=2X2XV3=B. 7.12【解析】由题意可知，当正方形的边长不小于长方形 对角线的长时，长方形可自由地从横放变换到竖放. :√10+5=5√5≈11.2，.该正方形边长的最小整数 值为12 8.解：(1)由旋转的性质可知，AB=AD,∠BAD=90°. 在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°， .∴.∠ADE=∠B=45°， ,.∠BDE=∠ADB+∠ADE=90° (2)DF=PF.证明如下： 由旋转的性质可知，AC=AE,∠CAE=90°. 在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°. :∠CDF=∠CAD,∠ACE=∠ADB=45°， ∴.∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD, 即∠FDP=∠FPD, ..DF=PF 9.B【解析】由题意可知，点P2的坐标为（一x十3,1一x -3). :点P2位于第四象限， ∴.-x+3>0,1-x-3<0,解得-2<x<3. 10.(一√2，w√6+1)【解析】过点B作BD⊥y轴于点 D,连接OB,OB',如图所示. 易得∠BOB′=75°，∠BOC= B 45°，OB=OB'=2J2 ∠B'OD=30°， ..B'D= 20B'=E -2-10 ∴.OD=√OB-BD=√6， 20 数学八年级BS版 ∴B'(-√2，w6), B"(-√2,6+1). 11.解：(1)如图，△A1B,C1即为所求. (2)如图，以B,C1,B,,C为顶点的四边形的面积为 10x8-2×号×2X4-2X7×4X8=40, 可斗0.上 (3)点E如图所示，点E的坐标为(3,0)〔或(4,2)或 (5,4)或(6,6)). 12.C13.D 14.解：点P(a-2b,-2)与点Q(-6,2a+b)关于原 点对称， /-26-6=0, -2+2a+b=0, a=2, 解得 b=-2, 则3a-b=3×2-(-2)=8. 15.D16.C 17.解：如图所示（答案不唯一） 第四章因式分解 1因式分解 1.A2.B3.(a+2b)(a+b) 4.解：(1)被墨水污染的部分是(x-2)(2x+5)-(2x2+ 3x-6)=2x2+5x-4x-10-2x2-3x+6=-2x -4. (2)根据题意，得一2x一4=2，解得x=一3. 5.A【解析】(x-3)(x-4)=x2-7x+12, .b=-7. 又(x-1)(x-2)=x2-3x十2，.c=2, ..b十c=-7+2=-5. 6.-4 7.3【解析】根据题意可设2x2十7x十m=(x十3)(2x +a)=2x2+(a+6)x+3a, /a+6=7 m=3a, 解得1， m=3. 8.解：(1)2 (2)由题意，得当x十2=0，即x=-2时，2x3+ax2+ 7x+b=0, .∴.-16+4a-14+b=0:① 当x-1=0,即x=1时，2x3+ax2+7x十b=0,.2+ a+7+b=0.② 联立①②，得厂16+4知-14+6=0 2+a+7+b=0, 解得13， 1b=-22. 2提公因式法 第1课时公因式是单项式的提公因式法 1.B2.(1)2(2)3x(3)4xy23.A 4.ab(b+a)5.24 6.证明：原式=3223×(32-3-1) =32023X5=15×322, ∴.32025一32024一32023能被15整除. 7.-b(ab2-3a+3)8.C 9.B【解析】由题意，得ab=10,a一b=5, ,∴.原式=ab(a-b)=10×5=50. 10.一8【解析】.6一√2的整数部分为4，∴.a=4, .ab2-3ab-4b=4b2-12b-4b=4b(b-4)=4× (2-√2)×(2-√2-4)=-4×(2-√2)×(2+√J2) =-4×「22-（√2）2]=-4×2=-8. 11.证明：：3"+3+3”=3"×33+3”=3"×(33+1)=28× 3"=4X7X3", ∴.3+3与3”的和一定能被4和7整除. 12.解：U=IR1+IR2+IR=I·(R1+R2+R).当R1 =34.9,R2=20.8,R3=32.3,I=2.5时，原式=2.5 ×(34.9+20.8十32.3)=220，∴.线路AB两端的电 压为220V. 第2课时公因式是多项式的提公因式法 1.B2.m2+mn+n23.B4.A 5.解：(1)原式=m(a-3)-2(a-3)=(a-3)(m-2). (2)原式=2x(x-y)2-4y(x-y)2=2(x-y)2(x 2y). 6.A7.4 8.-8或g【解析】将(2x-10)(x-2)-（x-2)(x- 13)因式分解，得(x-2)(x十3)，.a=-2,b=3或a =3,b=-2.当a=-2,b=3时，a0=(-2)3=-8; 当a=3,b=-2时，a=32=1 Γ9 综上所述，。的值是-8或行 9.解：原式=a(a十b)(a-b-a-b)=-2ab(a+b). 1 。1 1 “a+6=1,ab=4原式=-2×4×1=-2 10.解：杨力说的对.理由如下： 原式=(a3-2a2)-(a2b-2ab) =a2(a-2)-ab(a-2) =(a-2)(a2-ab) =a(a-2)(a-b) a=2,∴.a-2=0, ∴原式=0，杨力说的对. 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 1.B2.B3.C 4.解：(1)原式=(7a十6b)(7a-6b). (2)原式=25m2-16=(5m+4)(5m-4). (3)原式=(x-3+3)(x-3-3)=x(x-6). 5.C6.m(2+m)(2-m) 7.解：(1)原式=2xy(x2-y2)=2xy(x十y)(x-y). (2)原式=(a-b)(x2-4)=(a-b)(x+2)(x-2) 8.8ab9.-4(3x+y)(x+2y)10.C11.A 12.10【解析】，a+b=1,a2-b2+2b+9=(a+b)(a -b)+2b+9,∴.原式=a-b+2b+9=a+b+9 =10. 13.解：(1)原式=[3(a+b)+5(a-b)][3(a+b)-5(a- b)] =(8a-2b)(8b-2a) =4(4a-b)(4b-a). (2)原式=x2-8x-9十8x =x2-9 =(x+3)(x-3). 14.解：(1)公因式没有提取完 (2)原式=4m(x2-4y2)=4m(x+2y)(x-2y). 15.解：(1)10a+8 (2)m2-64的结果一定为20的倍数.理由如下：m -64=(10a+8)2-64=(10a+8+8)(10a+8-8) =20a(5a十8).结果中含有因数20，.m2-64的 结果一定为20的倍数. 16.解：(1)A (2)x2-y2=(x十y)(x-y)=16,x+y=8, ∴.8(x-y)=16,x-y=2. 3)原式=(1-2）)×(1+2)×(1-3)×(1+ 号)×(1-)×(1+)×…x(1-202)×(1 2021 ×2022-1×2022_101 20212×20212021 第2课时运用完全平方公式因式分解 1.B2.B3.(x-3)2 4.解：11+2m+6m2=(1+子m）) (2)(m+n)2-4(m+n)+4=(m+n-2)2. (3)(m+n)2-4mn=(m-n)2. 5.B6.3(x-3)2 7.解：(1)原式=x(x2-2xy十y2)=x(x-y)2. (2)原式=-3m(a2-4a+4)=-3m(a-2)2. 8.解：原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2. 下册参考答案第四章 因式分解 1因式分解 要点提示 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解.因式分解也可称为分解 因式 因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是互逆变形 O1固基础]之 (2)若被墨水污染的部分的值等于2，求 x的值. 知识点1因式分解的概念 1.(教材变式)下列由左到右的变形，属于因式 分解的是 A.x2-4=(x+2)(x-2) …◆02提能力 B.x(x+1)=x2十x 5.在对二次三项式x2+bx十c因式分解时，小 C.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x 刚看错了常数项c,分解成(x一3)(x一4)， D.x2+4x-2=x(x十4)-2 小明看错了一次项系数b,分解成(x一1)(x 知识点2因式分解的简单应用 一2)，则b+c的值为 2.利用因式分解对57×99+44×99-99进行 A.-5B.7 C.9 D.21 简便计算，正确的是 ( 6.如果把多项式x2一3x十n因式分解得(x一 A.99×(57+44)=99×101=9999 1)·(x十m),那么mn= B.99×(57+44-1)=99×100=9900 7.若关于x的二次三项式2x2+7x十m能被 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 x十3整除，则m的值为 D.99×(57+44-99)=99×2=198 8.推理能力多项式x2一3x十2可以因式分解 3.图中各块图形面积之和为a2+ 为(x-2)(x一1)，说明多项式x2一3x十2 3ab+2b2,例如，当a=16,b= 有一个因式为x一1，还说明当x一1=0时， 37时，各块图形面积之和为 第3题图 x2-3x+2=0. 162+3×16×37+2×372=(16+37)×(16 利用上述结论解答以下两个问题： +37+37),则因式分解a2+3ab+2b2= (1)若多项式x2十kx-8有一个因式为x一 2,则k的值为 4.如右图所示的练习本上书写的2x2+3x-6+ (2)若x十2，x-1是多项式2x3+a.x2+7x 是一个正确的因式分解，但其 =(x-2)(2x+5) 十b的两个因式，求a,b的值. 中一部分因被墨水污染而看不清了. (1)求被墨水污染的部分. 下册第四章 2提公因式法 第1课时公因式是单项式的提公因式法 要点提示 公因式的概念：一个多项式的各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式 提公因式法的概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成 两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法， O1固基础 02提能力 知识点《1确定公因式 8.若m+2n=1,则3m2+6mn+6n的值为 1.(教材变式)多项式8a3b2c+12ab3c2中各项 的公因式是 ()》 A.1 B.2 C.3 D.4 A.4abc B.4ab2c C.8abc D.4abc2 9.如图，长方形的长、宽分别为 2.写出下列多项式的最大公因式： a,b,面积为10.若a比b大5，= (1)4x-6y: 则a2b一ab2的值为（）第9题图 (2)3x-6.x2+12x3: A.60 B.50 C.25 D.15 (3)12x3y2+8.xy3-4x2y2: 10.已知6一√2的小数部分b=2一√2，如果用 知识点2提单项式进行因式分解 a表示它的整数部分，那么ab2-3ab一4b 3.将-206-a6提公因式后，另一个因式是 的值是 11.求证：对于任意自然数n,3"+3与3”的和一 定能被4和7整除. A.a+2b B.-a+2b C.-a-b D.a-26 4.（2025上海)分解因式：ab2+a2b= 5.已知a+b=6,ab=2,则2ab+2ab2= 12.跨物理学科如下图，把R,（单位：2)、R2、 R3三个电阻串联起来.设线路AB上通过 6.求证：32025一32024一32023能被15整除. 的电流为I(单位：A),线路AB两端的电 压为U(单位：V),则U=IR,+IR2+IR3 当R1=34.9,R2=20.8,R3=32.3,I=2. 5时，求线路AB两端的电压. 易错点因式分解时弄错符号或漏项 7.因式分解：-ab3+3ab-3b 62 数学八年级BS版 第2课时公因式是多项式的提公因式法 要点提示 多项式型公因式的确定方法：(1)定系数，取各项系数的最大公因数；(2)找相同因式，看多项式中各项都含有相 同字母及相同（或互为相反）的整体多项式的因式；(3)定指数，取相同字母及相同因式的最低指数. O1固基础 02提能力 知识点1直接提公因式法 6.将6a2b(y-x)2十8ab2(x-y)3因式分解， 1.下列各组中，没有公因式的是 应提取的公因式是 A.3a-3b与b-a A.2ab(x-y)2 B.48ab(r-y)2 B.m.x+y与x+my C.48ab(x-y)3 D.2ab(x-y)3 C.(m-1)3与-(1-m)3 7.已知a一2=b十c,则代数式a(a一b-c)一 D.a十b与-(b+a) b(a-b-c)-c(a-b-c)的值等于 2.若(m+n)3-mn(m十n)=(m十n)·A,则 A表示的多项式为 8.已知多项式(2x-10)(x-2)-(x-2)(x- 知识点2变形后提公因式法 13)可因式分解为(x+a)(x十b),则ab的 3.把-a(x-y)-b(y-x)十c(x-y)因式分 值是 解，正确的结果是 A.(x-y)(-a-b+c) 9.已知a十b=1,山=子，利用因式分解求a(a B.(y-x)(a-b-c) +b)(a-b)-a(a+b)2的值. C.-(x-y)(a+b+c) D.-(y-x)(a+b-c) 4.把多项式(x一2)2一4x十8因式分解，下列 步骤中，开始出现错误的一步是( 解：原式=(x-2)2十(4x一8)① =(x-2)2+4(x-2)② 10.纠错题李老师在黑板上写下一道题目： =(x-2)(x-2+4)③ 先因式分解，再计算求值： =(x-2)(x+2).④ a3-a2b-2a2+2ab,其中a=2. A.① B.② C.③ D.④ 李华看到题目马上说：“没有给出b的值， 5.(教材变式)把下列各式因式分解： 不能算出最终结果.”杨力反驳道：“不用给 (1)m(a-3)+2(3-a). 出b的值就可以计算出最终结果.”他们两 人谁说的对？请说明你的理由. (2)2x(x-y)2-4y(y-x)2. 下册第四章