山东省烟台市芝罘区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷（五四学制）

初四数学参考答案 一、选择题（每题3分，满分30分） 题号1 2 3 4 5 6 > 8 10 答案 A D A B B D C A D 二、填空题（每题3分，满分18分） 1.号：12.13m:18.120w5m:14.72,15.-2166 三、解答题（共8题，满分72分） 17.(4分) 解：原式= 2 =2-3+V2+2-√2 3 =1: 4 18.(6分) 解：母线长为 9+0-4-35m 3 其表面积是： 6π×4+×6元×32=(24π+9V2Dm2。 .6 19.(8分) 解：(1)在Rt△ABD中，∠B=45°，AB=4 :'.sinB=4D_AD 2 AB 4 2 解得，AD-2√2 .2 在Rt△ADC中，tanC-2 .c .3 由勾股定理得，AC-√10。… .4 (2)作CE⊥AB于点E B D BC-BD+CD=AD+CD-3√2 5 Se=1BC.AD-AB.CR 2 ∴.3√2×22=4CE 解得，CE-3… 7 ·sin∠BAC-CE。3 3W10 .8 AC√1010 20.(10分) 解：（1)50,83.5,144°；… (2)补全频数分布直方图如下： .3 模型设计成绩的频数分布直方图 ◆人数（频数） 20 15 0 10 5 5 0 A 成绩/分 （3)1200× 20+10 =720 50 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人；…7 (4)画树状图如下： 开始 丙 个N 个 乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 由树状图可知，共有12种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ·所选的两位同学恰为甲和丙的概率为2=。 ...10 12-6 21.（10分) (1)解：根据题意，y=250-10(x-25)=-10x+500: .3 (2)由题意：P=(x-20)(-10.x+500)=-10.x2+700.x-10000=-10(x-35)2+2250,.5 ∴.当x=35时，P取得最大值，最大值为2250， 答：当每袋售价定为35元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润是2250元；6 (3)由题意得：P≥2000 当P=2000时， -10x2+700x-10000=2000, .x2-70x+1200=0, 解得x1=30,x2=40 P≥2000， .∴.30≤x≤40， 8 又25≤x≤38， .∴.30≤x≤38， 又y=-10x+500, y随x的增大而减小， .当x=38时，y有最小值 y最小=-10x38+500=120(袋)， 超市每天至少销售水饺120袋。 .10 22.(10分) 解：（1)如图，过点O作OG⊥AC于点G, 41 B E C D ∴.∠AG0=90° 由题意得：AC⊥EF,OD⊥EF, ∴AC∥OD, .∠DOG=∠AGO=90°， ,∠A0D=120°， ∴.∠AOG∠AOD-∠DOG-30°， ,O为AB的中点，AB=6米， 012AB3米， ..3 在RtAA0G中，OG-4-co∠A0G=3 3≈2.6（米） 答：此时支点0到小竹竿AC的距离约为2.6米。 .5 (2)如图，设OG交A1C1于点H, E D 由题意得：OG⊥A1C1,OD∥A1C1,OA1=OA=3米， ,∠A1OD=143°， ∴.∠A1=180°-∠A1OD=37°， 在Rt△A1OH中，A1H=OA1c0s37≈2.4米， 7 由(1)可知，在Rt△AOG中，AG=OA sin30°=1.5米， .9 A1H-AG2.4-1.5=0.9（米)， 答：点A上升的高度约为0.9米。.10 23.(10分) 解：(1)证明：，BD=CD, ∴.∠C=∠DBC, 又，∠C=∠BAD, ∠BAD=∠DBC, ,AB为O的直径， ∴.ADB=90°， '.∠BAD+∠DBA=90° ∴.∠DBC+∠DBA=90°，即∠CBA=90°， 3 ,AB⊥BC, ∴.BC为O的切线： 4 (2)解：如图，作BF⊥CD于点F, 在Rt△ABD中，由勾股定理得，BD4V2 Cp=BD=A2s AD=2, cos∠BAD1 ..AB=6 :∠C-∠BAD,∠BEC=∠BAD ∴.∠C-∠BEC .BC=BE… .6 1 BP-CK-7CR ·Cos∠BAD=1 ∴cos∠BBC EF 1 8z31 设EF=x,则BC=BE=3x,CE=2EF-2x, ,∠DBC=∠BAD,∠BEC=∠BAD ∴.∠DBC=∠BEC 又∠cC-∠C ∴.△CBE∽△CDB .BC_CD ，即BC2=CECD8 CE BC .(3x)2=2x4V2 解得8V2 9 BB-3x-812 3 010 24.(14分) (1)解：由题意，将A(-1,0),B(5,0),C(0,5)代入y=m2+bx+c, 「a-b+c=0 得： 25a+5b+c=0, 5=c [a=-1 解得b=4, …2 c=5 则抛物线解析式为y=-x2+4x+5;… .3 (2)作DE⊥x轴于点E,交BC于点F E 设直线BC的解析式为y=x+c, c=5 把C(0,5),B(5,0)代入得 5k+c=0 [k=-1 解得c=5’ .直线BC的解析式为y=一X+5,.4 设D(x,-x2+4x+5)(0<x<5),则E(x,0),F(x,-x+5), .DE=-x2+4x+5,DF=-x2+4x+5-(-x+5)=-x2+5x, .(5) 5 AB=6,OC=5 1 S ACD=S ABC+S BCD-S ABD= 2 x6x5+3r2+50x6-+4x+5)=6 2 解得x=3,x2=-4(舍去) yD=-32+4×3+5=8 .D点坐标为（3,8)： ..8 (3)存在。 设D(x,-x2+4x+5)(-1<x<5),作DM⊥y轴于点M,BNLDM于点N,则DM=x, MC--x2+4x 若∠BCD=90° 由题意，∠OCB-45° ∴.∠DCM-45°， ∴.∠CDM-45=∠DCM ∴.MD=MC .x=-x2+4x 解得x=3,x2=0（舍去) 此时，yD=-32+4×3+5=8,D点坐标为(3,8)10 若∠BDC=90° 则∠CMD=∠DNB=90°，∠CDH∠BDN=90° ,∠DB4∠BDN=90° ∴.∠CDM∠DBN .△CDM∽△DBN ÷cN0N MD=x,MC=-x2+4x,DN-5-x,BN=-x2+4x+5 (-x2+4x)(-x2+4x+5)）(5-x) Xx-4)0x-5)0x+1)=-x(x-5) 由题意，x(x-5)0 ∴.(x-4)(x+1)=-1 解得，七=3+V 3-V21 2 -2= 2 12 .y= 7+V21 7-√21 2 2 综上，存在点D的位置使得△BCD是直角三角形点D的坐标是(3,8)或(3+，7+V2) 2 或3,7-)。 2 14初四数学 选择图答案栏： 恩号 2 5 7 8 9 10 答案 一、.选择网（每愿3分，共30分） 1、如图①，榫卯是中国古代家具及其它器械的主要结构方式。图②的左视图是 正面 图① 图② B 01 2.在Rt△MBC中，∠C=90°，AC=√15，AB=4,则cosB的值是 A店 B. c. D. 15 3.在直角坐标系中，抛物线y=之+br+c上部分点的横、纵坐标的对应值如下表： -1 0 2 25 3 4 y m -8 n -8.75 -8 -5 则下列结论正确的是 A抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标为(25，-8.75) C.当>4时，y随x的增大而减小 D.抛物线必经过点(0，-5) 4.某班学生到山东省博物馆参加研学活动。博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚 硫钺”“蛋壳黑肉杯”“项度”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作 为纪念品。若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚碑银”的概串是 A司 B吉 c 5。在同一平面直角坐标系中，一次函数y=+b与二次函数y=m2+br的图象可能是 初四数学第1页（共8页） 妆妹头六 6.如图，PA,PC是⊙O的切线，A,C为切点，AB是⊙O的直径，若∠P=70°，则 ∠BAC的度数为 A,25° B.35 C:459 D.55° 7。某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计如图所示，其中斜坡4C与 水平方向的夹角为α，地下停车场层高BC3米，.则在停车场的入口处，可通过汽车的最 大高度是 一极 A,3米 B. 3米 入口 cosa 地下停车场一一一一一 C.3sna米 D.3cosa米 8.如图，直线1∥2，直线m分别交，h于点A,B,以A为圆心，AB长为半径画 弧，分别交h,h于直线m同侧的点C,Dr∠ADB=35°，AB-9,则弧CD的长度是 A.5π B.4x A D 1 D. 1 B C 9.已知二次函数y=m2+b+c（c0.2之c<-1)图象顶点P的坐标是（-1，n),与x 轴交于点41,0)和点B,有下列结论aO2atb-0,@<a<名：国4a-2bte0:Qa=片 3 时，△PAB是直角三角形。其中正确的是 A.②③④ B.①③0 C.①③ D.②⑧ 10.如图，在平行四边形BCD中，∠BC60°，B=2√5，D-4,M是四边形内部 的一个动点，且∠CB华∠BAM,则线段CM长度的最小值是 A.2 B.3 C.2+5 D.25-2 初四数学第2页（共8页） 二、填空愿（每恩3分，共18分） 1.函数)2-3×的自变盘式的取植范围 L2.如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB中点，C为拱门最高点，线段CD 经过拱门所在圆的圆心，若4B-1m,CD-2.5m,则拱门所在胸的半径长为 13.如图：因地形原因：`湖泊两端A,.B的距离不易测量，菜科技小组需要用无人机 进行测量。他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯为 60°。测得B-点的俯角为30°，(A,B,C三点在同一竖直乎面内)，则湖泊两端A,B的距 离为 :（结果保留根号) 14.如图，⊙O是正五边形BCDE的内切圆，分别切BCD于点M,N,P是优颈 MN上的一点，则之PN的度数为 N 15.若对于二次函数y2+2b+c(b,c是常数)，当≤0时，y的最小值为2，当0 时，y的最小值为2，则b的值为 16.如图，矩形ABCD中，E是AB中点。以DE为直径的半圆交BC于M,N两点， 若AB-12,AD=18,则MN的长度是 B N 初四数学第3页（共8页） 三、解答题（共8题，济2分） 17.(4分)计算：(si30y-tm260°+2cos45°+2-2 18.(6分)一农场“粮仓”由一个圆柱和一个圆锥构成，·其三视囪如图所示（单位： 四)，求圆锥的母线长，并讦该“粮的表面积、 6 -6→ 主钗田 左视图 俯视田- 19.(8分)如图，在△MBC中，4DLBC于D,∠B=45°，.amC-2,4B-4. (1)求4C的长： (2)求si血∠BAC的值. 初四数学第4页（共8页） 0、Q0分)为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展“逐梦科技强国” 主题活动。下面是该校某调查小组对活动中模型议计水平的调查报告，请完成极告中相应 问题。 。。 挑型设计水于调查报肯， 调查主题 :8【.,土：逐梦科技强国地活动中模具设计水平·，·：'三() 调查目的 通过数据分析，获取信息，发展数据观和应用过小” :远00五 调查对象 某校学生棋型设计成绩 调查方式 抽样调查 机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理， 将其分成如下四组： A:N 0≤r70:B:70≤r80:C:80≤r<90:D:90<≤100. 下面路出了部分信息： 其中C组的成绩为：80,81,82,82,83,84,84,84,85,85,86,86， 数据收集 86,87,87,88,88,89,89,89. 与表示 棋型设计成绩的领致分布直方图 机型设计成绩的腐形统计留 人数（领数） 20 D 20% B 30% 成绩/分 根据以上信息解决下列问题： S(1)本次共抽取了名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是分， 在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 3 数据分析 (2)请补全频数分布直方图： 与应用 (3)请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数： (4)学校决定从模型设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名 同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和 丙的概串。 初四数学第6项，失母项竹 (1210分)某超市在：“元旦”来临前名，购进一种品牌水饺，每袋进价是20元，超 市规定每袋售价不得少于25元。根据以往销售经验发现：当售价定为每技25：元时，.每天 可卖出250袋，每袋售价每提高1元，每天要少安出10袋：，，八.八： (1)求出每天的销售量y(袋)与每袋售价x(元)之间的函数关系式： 3.，=f. (2)当每袋售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？ (3)力为稳定物价，有关管理部门限定：这种水饺的每袋售价不得高于38元。如果超 市想要每天获得苏低于2000元的利润，那么超市每天至少销售水饺多少袋？ 之2(10分)如图1是我国古代提水的器具桔桦，创造于春秋时期。它选择大小两根 竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小 竹竿始终与地面垂直)，小竹竿上悬挂水桶。其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下 压用力，从而提水出井。当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里。如图2是桔 操的示意图，大竹竿AB-6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF。 图1 图2 图3 (1)当水桶在井里时，∠4OD-20°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确 到0.1米)： (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至AB1的位置，小竹竿AC至41C 的位置，此时∠41OD-143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）。（参考数据：√5≈ 1.73,sim37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 初四数学第顷共8项 23.(10分)如图，在四边形BCD中，BD=CD,∠C=∠BAD。以B为苴径的⊙O 经过点D,且与边CD交于点E,连接AE,BE. (1)求证：BC为⊙O的切线： ,(2)若AD-2,cos∠BAD-二，求BE的长. :D h 初四数学第7页（共8页） 24.(14分)如图，已知抛物线y=m2+b1c与坐标轴交于A,B,C三点，0-1，OB-OC=与。 D是x轴上方抛物线上一点，连接AC,BC. (1)求抛物线的解析式： (2)当点D在第一象限时，连接AD,CD,△ACD的面积是6，求点D的坐标： (3)是否存在点D的位凰，.使得△BCD是直角三角形？若存在，请求出所有符合条 件的点D的坐标：若不存在，请说明理由. B 初四数学第8页共8页)