精品解析：四川乐山市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

乐山市市中区2025—2026学年度上期期末教学质量监测考试 八年级数学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14 2. 为了直观地表示东坡区7所城区初中学校的学生人数各占全区初中学生人数的百分比，最适合使用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 以上都可以 3. 如图，，，则可判定，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的个数有（ ） ①②若，则③等腰三角形两底角相等④全等三角形的对应边相等 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，数轴上点A、B、C、D分别对应有理数、、0、2，点P对应的数为，则点P应落在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 射线的延长线上 6. 计算：的值为（ ） A. B. 6 C. D. 7. 我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（ ） A. B. C. D. 8. 将多项式分解因式为：，则（ ） A. 2025 B. 1225 C. 625 D. 225 9. 如图，在中，，，，点D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 10. 为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”（i和n表示正整数，），例如：，．若，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共120分） 注意事项： 1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 实数的相反数是_____． 12. 在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有40名学生，达到优秀的有18人，合格的有17人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是______． 13. 分解因式：_____ 14. 行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步了解高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空物体下落的速度v（单位：）和下落的高度h（单位：m）近似满足公式，物体下落的速度越大，会对地面的人和物品产生巨大伤害．已知小亮家所住楼层阳台离地面的高度是，假如一枚鸡蛋从小亮家阳台坠落，则鸡蛋落地时的速度为______． 15. 如图，在等边的顶点A、C处各有一只蚂蚁，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过后，它们分别爬到了D、E处，连接，和交于点F，则______． 16. 如图，在中，，于点D，平分，交于E，交于点G，过点E作于点F，若，，现有下列结论：①②③④，其中正确的结论的是______．（填序号） 三、本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：作边上的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，连接，当，时，求的周长． 20. 为了解2025年国庆长假期间到乐山大佛旅游的游客对我区旅游服务满意度，乐山旅游局随机抽取了部分游客进行调查，并将调查结果按照“A．非常满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 请根据以上统计图中的信息，回答下列问题： （1）抽样调查共抽取游客多少人？ （2）请通过计算补全条形统计图，并求出A等级所在扇形统计图的圆心角度数； （3）2025国庆长假期间，乐山大佛景区累计接待游客近36万人，请你估计对服务表示不满意的游客大约有多少万人次？ 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 如图，已知点A、B是数轴上的两点，点A对应的数为，点B在点A的右侧，点C为数轴上一动点，设点B对应的数为m，点C对应的数为x，若． （1）求m的值； （2）对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点C为“优美关系”，求x的值． 23. 如图，在中，，，点D为的中点，点E、F分别为边上的点，且于点D． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 24. 阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例1：分解因式． 解：原式； 例2：求代数式的最小值． 解：原式，∴当时，有最小值是． 【类比应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； （3）仿照例2的步骤，求的最小值； （4）若，求的算术平方根． 25. 造纸厂只生产面积为的长方形纸张，称为纸，其他纸张都在纸的基础上裁剪获得，这是全球最广泛使用的纸张规格体系，叫标准．如图1，我们把纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张，把纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张，由此方法我们可以得到A系列纸张、、、… 查阅资料知A系列纸张的规格如下： 规格 长（） 1189 841 594 420 297 宽（） 841 594 420 297 210 长与宽的比值 1.41 1.41 1.41 ▲ ▲ （1）请计算、纸的长与宽之比（结果保留两位小数），并填在上面表中； （2）通过查阅资料，可知A系列纸的长与宽之比为一个固定的无理数，请求出这个数； （3）如图2，已知长方形是一张纸，点E、F分别为边的中点，请判断的形状，并说明理由． 26. （1）用数学的眼光观察： 如图1，和都是等腰直角三角形，，，，连接、． 则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）用数学的思维思考： ①如图2，设、相交于点F，连接并延长交于点G，求的度数； ②如图3，若H是的中点，连接、，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山市市中区2025—2026学年度上期期末教学质量监测考试 八年级数学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．据此判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不是无理数，该选项不符合题意； B、是无理数，该选项符合题意； C、是有理数，不是无理数，该选项不符合题意； D、3.14是有理数，不是无理数，该选项不符合题意； 故选：B． 2. 为了直观地表示东坡区7所城区初中学校的学生人数各占全区初中学生人数的百分比，最适合使用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 以上都可以 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图的特点选择即可． 本题考查了统计图的选择，熟练掌握统计图的意义是解题的关键． 【详解】解：直观地表示东坡区7所城区初中学校的学生人数各占全区初中学生人数的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图． 故选：B． 3. 如图，，，则可判定，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，已知两组对边相等，隐藏条件是，可知根据可判定． 【详解】解：在和中， ， ， 判定的依据是． 故选：D． 4. 下列命题是真命题的个数有（ ） ①②若，则③等腰三角形两底角相等④全等三角形的对应边相等 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了算术平方根、等腰三角形的性质、全等三角形的性质等知识点，根据相关定义判断每个命题的真假即可． 【详解】解：，∴①错误； 可推出或，即，∴②正确； 等腰三角形两底角相等，∴③正确； 全等三角形的对应边相等，∴④正确． ∴真命题有3个． 故选：C． 5. 如图，数轴上点A、B、C、D分别对应有理数、、0、2，点P对应的数为，则点P应落在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 射线的延长线上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，不等式的性质，掌握相关知识点是解题关键．先估算出，再结合不等式的性质，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ，即， ， ， ∴表示数的点应落在线段上， 故选：B． 6. 计算：的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查积的乘方逆运算，解题的关键是逆用积的乘方公式，根据积的乘方公式，将原式转化为进行计算． 【详解】解： ， 故选：C． 7. 我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的几何意义，体现数形结合的思想．图中的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和，由此可得到答案． 【详解】解：图中的面积可表示为：， 或， 故可以得到的数学等式是：， 故选：D． 8. 将多项式分解因式为：，则（ ） A. 2025 B. 1225 C. 625 D. 225 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 通过比较因式分解后的系数，求出p和q的值，然后计算． 【详解】解：， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 9. 如图，在中，，，，点D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 延长到点，使得，则直线是线段的垂直平分线，连接，于是得到，于是，根据点到直线的距离垂线段最短，得到的最小值就是的高，过点作于点，求即可． 【详解】解：延长到点，使得， ， ∴直线是线段的垂直平分线， 连接， ， ， 根据点到直线的距离垂线段最短，得到的最小值就是的高， 过点作于点， ， ， ， ， ， 故选： B． 10. 为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”（i和n表示正整数，），例如：，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出的值．根据题目中的式子，可以将展开，从而可以得到和的值，本题得以解决． 【详解】解：∵， , , ∴， ， ∴， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共120分） 注意事项： 1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 实数的相反数是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：实数的相反数是． 12. 在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有40名学生，达到优秀的有18人，合格的有17人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是______． 【答案】0.125 【解析】 【分析】先求出不合格人数，再根据频率计算公式：频率=频数÷总数求解即可． 【详解】解：根据题意，不合格人数为40-18-17=5（人）， ∴不合格人数的频率为5÷40=0.125， 故答案为：0.125． 【点睛】本题考查频率，熟记频率计算公式是解题关键． 13. 分解因式：_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 14. 行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步了解高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空物体下落的速度v（单位：）和下落的高度h（单位：m）近似满足公式，物体下落的速度越大，会对地面的人和物品产生巨大伤害．已知小亮家所住楼层阳台离地面的高度是，假如一枚鸡蛋从小亮家阳台坠落，则鸡蛋落地时的速度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，根据给定的公式 ，将 和代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 15. 如图，在等边的顶点A、C处各有一只蚂蚁，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过后，它们分别爬到了D、E处，连接，和交于点F，则______． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的定义和性质．先证明，推出，再根据三角形外角的性质得出，等量代换后即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 又两只蚂蚁以相同的速度爬行， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，于点D，平分，交于E，交于点G，过点E作于点F，若，，现有下列结论：①②③④，其中正确的结论的是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得出，故①正确；证明，得出，根据，，得出，则，结合，得出，故②正确；勾股定理求出，则，勾股定理求出，则，故③正确；根据，，求出，，即可解答； 【详解】解：∵，，平分， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴，故③正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】该题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的性质和判定、勾股定理、平行线的性质和判定等知识点，解答的关键是掌握以上知识点． 三、本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、幂的乘方、同底数幂的乘除运算： （1）先计算算术平方根、立方根、乘方，再进行加减运算； （2）先计算幂的乘方、同底数幂的乘除运算，再合并同类项． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 分解因式 【答案】(a+b)2(a-b)2 【解析】 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，然后再利用完全平方公式进行分解即可得. 【详解】(a2+b2) 2-4a2 b2 =[(a2+b2)+2ab][(a2+b2)-2ab] =(a+b)2(a-b)2. 【点睛】本题考查了综合利用平方差公式与完全平方公式因式分解，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的结构特征是解题的关键. 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：作边上的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，连接，当，时，求的周长． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； ； （2）的周长为14 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质； （1）根据题意作线段的垂直平分线，即可求解； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的中垂线， ， ，， 的周长 ． 20. 为了解2025年国庆长假期间到乐山大佛旅游的游客对我区旅游服务满意度，乐山旅游局随机抽取了部分游客进行调查，并将调查结果按照“A．非常满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 请根据以上统计图中的信息，回答下列问题： （1）抽样调查共抽取游客多少人？ （2）请通过计算补全条形统计图，并求出A等级所在扇形统计图的圆心角度数； （3）2025国庆长假期间，乐山大佛景区累计接待游客近36万人，请你估计对服务表示不满意的游客大约有多少万人次？ 【答案】（1）人 （2） 补全条形统计图为： （3）表示不满意的游客大约有万人次 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）用B等级的人数除以占比即可； （2）先由总数减去的人数求出等级的人数，即可补全条形统计图，再用乘以A等级的占比即可求解圆心角； （3）用样本估计总体的方法求解． 【小问1详解】 解：（人）， 答：抽样调查共抽取游客人； 【小问2详解】 解：等级的人数：（人）， A等级所在扇形统计图的圆心角度数为：； 【小问3详解】 解：（万人）， 答：表示不满意的游客大约有万人次． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，1 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则，把所求式子化简，先用多项式乘多项式，多项式除以单项式展开，再合并同类项，化简后将x，y的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 22. 如图，已知点A、B是数轴上的两点，点A对应的数为，点B在点A的右侧，点C为数轴上一动点，设点B对应的数为m，点C对应的数为x，若． （1）求m的值； （2）对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点C为“优美关系”，求x的值． 【答案】（1）； （2）或或． 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，轴对称的性质． （1）直接根据数轴上两点间的距离作答即可； （2）分三种情况作答即可． 【小问1详解】 解：∵点A对应的数为，点B在点A的右侧，， ∴点B对应的数为， 即； 【小问2详解】 解：如图，当点B、点C关于点A对称时， ∴， 即； 如图，当点A、点B关于点C对称时， ∴， 即； 如图，当点A、点C关于点B对称时， ∴， 即； 综上所述，x的值为或或． 23. 如图，在中，，，点D为的中点，点E、F分别为边上的点，且于点D． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 中，，，点D为的中点， ，，， ，， ，， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）4 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）连接，可得等腰直角和，推出，，再证，进而证明，可得； （2）根据可得，则四边形的面积，由此可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 四边形的面积， ，，， 是等腰直角三角形， ， ． 24. 阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例1：分解因式． 解：原式； 例2：求代数式的最小值． 解：原式，∴当时，有最小值是． 【类比应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； （3）仿照例2的步骤，求的最小值； （4）若，求的算术平方根． 【答案】（1）9 （2） （3）6 （4）2 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式求解； （2）先凑成局部完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将变形为完全平方加有理数的形式即可； （4）利用完全平方公式将变形为，求出和即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：9； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：； 由于，所以， 即的最小值为6； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ∴的算术平方根为2． 【点睛】本题考查配方法在因式分解、解方程、算术平方根、求最值问题中的应用，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 25. 造纸厂只生产面积为的长方形纸张，称为纸，其他纸张都在纸的基础上裁剪获得，这是全球最广泛使用的纸张规格体系，叫标准．如图1，我们把纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张，把纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张，由此方法我们可以得到A系列纸张、、、… 查阅资料知A系列纸张的规格如下： 规格 长（） 1189 841 594 420 297 宽（） 841 594 420 297 210 长与宽的比值 1.41 1.41 1.41 ▲ ▲ （1）请计算、纸的长与宽之比（结果保留两位小数），并填在上面表中； （2）通过查阅资料，可知A系列纸的长与宽之比为一个固定的无理数，请求出这个数； （3）如图2，已知长方形是一张纸，点E、F分别为边的中点，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2）A系列纸的长与宽的比值均为； （3） 解：是直角三角形，理由如下： 由（2）知，A系列纸的长与宽的比值均为， 设，则， ∵点E、F分别为边的中点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，算术平方根的实际应用． （1）利用长除以宽即可求解； （2）设的长和宽分别为和，根据题意得到，求得，据此即可求得，可推出A系列纸的长与宽的比值均为； （3）设，则，利用勾股定理及其逆定理即可判断是直角三角形． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设的长和宽分别为和， 由题意可知，A系列纸张的长与宽的比值为一个固定的无理数， ∴， ∴或(舍去) ， ∴，即纸的长与宽的比值是； 同理可知，纸的长为，宽为，纸的长为，宽为， ∴， 又∵， ∴， 即纸的长与宽的比值是； 同理可得：A系列纸的长与宽的比值均为； 【小问3详解】 略 26. （1）用数学的眼光观察： 如图1，和都是等腰直角三角形，，，，连接、． 则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）用数学的思维思考： ①如图2，设、相交于点F，连接并延长交于点G，求的度数； ②如图3，若H是的中点，连接、，求证：． 【答案】（1）； （2）①； ②证明：延长到，使，连接，如图3， ∵点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∵为等腰直角三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， 在和中 ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由等腰直角和等腰直角，得到，利用可得出，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）①过点A作，由（1）知，根据全等三角形对应边上的高相等得出，根据角平分线判定定理得出是的平分线，结合，得出是的平分线，由（1）知，即，即可得出． ②延长到，使，连接，则，证明，可得，则，从而得，根据，可得，由此可证明，可得，即可得和的数量关系． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵和都为等腰直角三角形，， ，， 即， 在和中， ， ， ， 设、相交于点F， ∵，， ∴， 即； （2）①过点A作， ∵， ∴， 即是的平分线， ∵， ∴是的平分线， 由（1）知， ∴， ∴． ②略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $