第3章 勾股定理 期末复习 题2025—2026学年苏科版八年级数学上册

2025—2026学年苏科版八年级数学上册《勾股定理》期末复习答案 一．选择题（共13小题） 1．下列各组数中是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．8，11，12 D．6，8，10 【分析】根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案． 【解答】解：、不是，因为； 、不是，因为0.3，0.4，0.5不是正整数； 、不是，因为； 、是，因为．且6、8、10是正整数． 故选：． 【点评】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形． 2．以下列数组为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．，2， B．，， C．1，1， D． 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形． 【解答】解：、由于，故本选项错误； 、由于，故本选项正确； 、由于，故本选项错误； 、由于，故本选项错误． 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 3．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最长边上的高为（　　） A．6 B．2.4 C．8 D．4.8 【分析】根据已知先判定其形状，再根据三角形的面积公式求得其高． 【解答】解：三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理， 此三角形为直角三角形，则10为直角三角形的斜边， 设三角形最长边上的高是， 根据三角形的面积公式得：， 解得． 故选：． 【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是先判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式解答． 4．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】设，根据题意可推出，然后在△中利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：设， 根据题意可知，，，，， ， ， 在△中，， ，即， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．如图，在中，以为边的正方形的面积为28，以为边的正方形Ⅱ的面积为36，若，则的度数　　 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【分析】首先根据正方形的面积求出和的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可． 【解答】解：以为边的正方形的面积为28，以为边的正方形Ⅱ的面积为36， ，， ， 是直角三角形， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是求出和的长，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，此题难度不大． 6．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A．5 B． C． D．6 【分析】由题意可得：，，由勾股定理求出，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由题意，得，，， 在△中，由勾股定理，得， ， 又，， 按手势解锁一次的路径长为：． 故选：． 【点评】本题考查了两点间的距离，勾股定理，掌握两点间的距离，勾股定理是解题的关键． 7．如图，在等边三角形中，为的中点，，△与△关于点中心对称，连接，则的长为（　　） A． B． C．4 D． 【分析】根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【解答】解：等边三角形中，为的中点，， ，，， ， △与△关于点中心对称， ，，， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 8．如图，以△的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边，则图中阴影部分的面积为（　　） A．36 B．18 C．6 D． 【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可知以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积． 【解答】解：如图，△是等腰直角三角形，，过点作， ，， ， ， 同理可得：，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 9．如图，在△中，，，，若是上的一个动点，则的最小值是（　　） A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 【分析】利用勾股定理求出，根据垂线段最短，求出的最小值即可解决问题． 【解答】解：，，， ， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值， 的最小值， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则△的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据折叠的条件可得：，在直角△中，利用勾股定理就可以求解． 【解答】解：将此长方形折叠，使点与点重合，． ． ， 根据勾股定理可知， ， 解得． △的面积为． 故选：． 【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 11．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（　　） A．52 B．104 C．48 D．96 【分析】根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理列出方程，解方程求出，再根据长方形的面积公式计算即可． 【解答】解：设， ，， ，， 则， ， 由勾股定理得：，即， 解得：， ， 长方形的面积为：， 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 12．如图，在△和△中，，，于点，的反向延长线与交于点，连结，则线段，，三者之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可得，由可得，由，可得是的垂直平分线，可得，根据勾股定理可求的值． 【解答】解：如图，连接， ，， ， ， ，， ， ， ，， 是线段的垂直平分线， ， ，即， ． 故选：． 【点评】本题主要考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线得出是解题的关键． 13．在一次数学探究活动中，有如下问题情形：在平面直角坐标系中，△ 是等腰直角三角形，，点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，点的纵坐标为2．小明发现当点在轴的负半轴上运动时△仍是等腰直角三角形），边始终过一个定点，则该定点到原点的距离是（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】设直线为，交轴于点，点到直线的距离为，取点，连接交于点，连接，证明，结合，，得△△，得，，可得，结合，，得△△，得，可得，得到． 【解答】解：设纵坐标始终为4的直线为，交轴于点，点到直线的距离为， 取点，连接交于点，连接，则， ， ， ， ， ，， △△， ，， ， ， 轴， ， ， △△， ， ， ， 边始终过一个定点， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形在坐标轴上的移动．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形边的大小关系，是解题的关键． 二．填空题（共12小题） 14．如图，点在△中，，，，，，则图中阴影部分的面积为 　24　 ． 【分析】根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【解答】解：，，， ， ，， ， △是直角三角形，， ， 故答案为：24． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是求出的长． 15．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙高1丈丈尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从处向右滑1尺到处时，木棒上端恰好沿墙壁从处下滑到处，则木棒长 　50.5　尺． 【分析】设木杆的长为尺，则木杆低端离墙的距离尺，在中，，则，求解即可． 【解答】解：设木杆的长为尺， 则木杆低端离墙的距离尺， 在中， ， ， 解得：， 故答案为：50.5． 【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意列出方程式解题的关键． 5．如图，网格小正方形边长为1，以为圆心为半径画弧，交网格于点，则长是 　　 ． 【解答】解：网格小正方形边长为1，以为圆心为半径画弧，交网格于点，如图，连接， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/28 14:56:08；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 17．以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆、的面积分别是3、4，则半圆的面积是 　7　． 【分析】给直角三角形注上字母，根据勾股定理得，从而可推出，代入已知条件即可求出半圆的面积． 【解答】解：如图，是直角三角形， ， ， ， 半圆、的面积分别是3、4， 半圆的面积是， 故答案为：7． 【点评】本题考查勾股定理，圆面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 18．在△中，斜边，则　8　 ． 【分析】由可得，代入即可求值． 【解答】解：由题意可得：， ， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，正确进行计算是解题关键． 19．所谓的勾股数就是指使等式成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士琳钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数、，取，，，则、、就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和　13　组成一组勾股数． 【分析】根据勾股数的定义可得要求的数的平方是，再进行计算即可． 【解答】解：由题意， ，解得， ， （三个数中最大）、84和13组成一组勾股数． 故答案为：13． 【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 20．如图，一长方体容器，长、宽均为3，高为7，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则　5　 ． 【分析】设，则，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出即可． 【解答】解：如图所示： 设，则， 根据题意得：， 解得， ， ， 由勾股定理得：， 故答案为：5． 【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键． 21．如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，若，，则的长是 　2　． 【分析】由图可知四边形是正方形，里面的小四边形也为正方形且边长为，再利用勾股定理求解． 【解答】解：由图可知四边形是正方形， 里面的小四边形也为正方形且边长为， 那么对角线， ，， 所以， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 22．定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．如图，在△中，，，若为△的“妙分线”，则的长为　3或 ． 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理，等腰三角形性质解答即可． 【解答】解：如图，，．过点作，交的延长线于点， 设，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：， ； 过点作，交的延长线于点， 设，， ，． ，， ， 解得， 故答案为：3或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，理解“妙分线”并熟练掌握以上知识是解题的关键． 23．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为 ． 【分析】连接，则，在△中，利用勾股定理得到，根据线段的和差即可得到结论． 【解答】解：连接， 由题意知：， 在△中，由勾股定理得： ， ， 故的长为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理，明确是解题的关键． 24．如图，在△中，，，为的中点，交的延长线于点．若，则 ． 【解答】解：在△中，，，， 由勾股定理得：， 在△中，，为的中点， 则， 设，则， 在△中，，即， 解得：， 则， 故答案为：． 25．如图，在△中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 　5　． 【分析】由勾股定理得到，由正方形面积公式得到，求出，即可得到阴影部分的面积． 【解答】解：△是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：5． 【点评】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理得到． 三．解答题（共18小题） 26．如图，在中，是边上高，若，，． （1）求的周长． （2）判断的形状并加以证明． 【分析】（1）利用勾股定理可求出，的长，即可求出的周长； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明． 【解答】解：（1）是边上高， ， ， ， ， 的周长； （2）是直角三角形，理由如下： ， 即， 是直角三角形． 【点评】本题主要考查了勾股定理以及其逆定理的运用；熟练掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 27．如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点． （1）直接写出以下线段的长： 　　 ， 　　 ； （2）求的度数． 【分析】（1）利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理证明△是等腰直角三角形，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：，， ，， 故答案为：；； （2）连接， 由题意得：，，， ， △是直角三角形， ， ， △是等腰直角三角形， ． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 28．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： （1）在网格中画出长为的线段． （2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰． 【分析】（1）根据勾股定理可得直角边长为2和1的直角三角形斜边长为； （2）根据勾股定理可得直角边长为3和1的直角三角形斜边长为，再根据面积为3确定． 【解答】解：（1）如图所示：线段即为所求； （2）即为所求． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 29．若、，比较与的大小． 小明的思路：利用数的运算，将、分别平方后，再进行比较． 小亮的思路：利用数形结合构造了如图所示的图形，在△中，，点在上，，． （1）请按小明的思路，比较与的大小，写出比较过程； （2）请按小亮的思路，结合图形，比较与的大小． 【分析】（1）将，分别平方并展开后比较大小即可； （2）利用勾股定理求得，的长度后比较大小即可． 【解答】解：（1） ， ， ， ， 即； （2）， ，， ，， ， ，， ， ， 即． 【点评】本题考查勾股定理，实数的大小比较，实数的运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 30．如图，每个小正方形的边长为1． （1）求四边形的面积； （2）求的度数． 【分析】（1）根据四边形的面积即可得出结论； （2）先根据锐角三角函数的定义判断出，再根据直角三角形的性质可得出，故可得出结论． 【解答】解：（1）四边形的面积 ； （2）；理由如下： ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是勾股定理、三角函数以及三角形面积的计算，熟知勾股定理及直角三角形的性质是解答此题的关键． 31．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理和线段的和差即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得，，， ， ， 答：绳子的总长度为； （2）如图， 根据题意得，，，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 32．定义：我们把三角形某边上的中点到这条边上的高的距离称为三角形某边的“中高距”． （1）如图1，△中，，，，求△中边的“中高距”； （2）如图2，△中，，，，求△中边的“中高距”． 【解答】解：（1）如图1，、分别是三角形的高线与中线， △中，，，， ， ，， ， 即△中边的“中高距”为； （2）如图2，、分别是三角形的高线与中线， 设，则，， 在△与△中，由勾股定理可得， ， 即， 解答， 即△中边的“中高距”为． 33．小明：七下课本认识了等腰三角形，而八上课本第6页有一个“大角对大边”，这两个知识都反映在同一个三角形中边、角之间大小的对应关系． 小红：是的．课本第87页的勾股定理“在△中，若，则”也反映了三角形中角的大小与边之间的数量关系． 小明：我猜想，如果，三边平方之间也有某种关系．比如：①当时，或②当时，． 你认为小明的猜想是否正确？如果正确，请选择其中的一个加以证明；如果不正确，请举出反例． 【分析】过点作，交的延长线于，根据勾股定理证明结论． 【解答】解：小明的猜想正确， 证明①，如图，过点作，交的延长线于， 在△中，， 在△中，，即， ， ， ， 同理可证②． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 34．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 【分析】先在△中，利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理证明△是直角三角形，从而可得，即可解答． 【解答】解：该婴儿车符合安全标准， 理由：，，， ； ，， ， ， △是直角三角形， ， 即， 该婴儿车符合安全标准． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 35．如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到地面的距离，点到的距离，于，，，求点到地面的距离的长为多少米？ 【分析】根据勾股定理求出，根据长方形的性质，得出，即可得出答案． 【解答】解：由题知：， 在△中，由勾股定理得：， 四边形是长方形， ， ， 答：点到地面的距离的长为2.5米． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，求出． 36．如图所示，四边形，，，，，． （1）求证：； （2）求四边形的面积； （3）如图2，以为坐标原点，以、所在直线为轴、轴建立直角坐标系，点在轴上，若，求的坐标． 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明； （2）根据四边形的面积的面积的面积，代入数据计算即可求解； （3）先根据，求出，再根据点的坐标即可求解． 【解答】（1）证明：连接． ，，， ． 又，， ． ； （2）四边形的面积的面积的面积 ． 故这块土地的面积是； （3）， ， ， ， ，点在轴上， 的坐标为或． 【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积等知识点，能求出是解此题的关键． 37．在几何学习中，同一个结论往往存在多种证明方法． 【课本例题重现】 如图，为△的斜边上的高，设，，，求证：． 证明：在△中，根据勾股定理，得． 在△中，根据勾股定理，得． 在△中，根据勾股定理，得． ， ． ． 【解法探究】小明同学提出了不同的证明思路： 小明：我想可以取中点，连接，则 ，在△中，由勾股定理推理得到． 请帮小明写出完整的证明过程． 【分析】取中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据勾股定理列式计算即可得出结论． 【解答】解：如图，取中点，连接， 在△中，，是的中点， 则，， ， 在△中，，即， 整理得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 38．【例题讲解】 已知，，求的值．小亮探究出解题方法如下： 已知，，求的值． 解：， ， ，， ， ． 【方法运用】 根据小亮探究出的解题思路与方法，解决下列问题： （1）小亮发现，借助原例题的条件和结论还可以求出的值，请你直接写出的值； （2）若，，求和的值； 【拓展提升】 （3）如图，以△的直角边、为边作正方形和正方形，若△的面积为6.5，正方形和正方形的面积和为35，直接写出的长． 【分析】（1）代入计算即可； （2）将写出，将写出，代入计算即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意可得，，由，再根据算术平方根的定义求出即可． 【解答】解：（1），，， ； （2），， ， ， 故答案为：，4； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， △的面积为6.5，正方形和正方形的面积和为35， ，， 即，， ， ， ， 即． 【点评】本题考查勾股定理，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 39．在△中，，点，分别是边，上的点，连接． （1）若点为的中点，，，，则△是　直角　 三角形；（填“等腰”“等边”或“直角” （2）如图1，连接，若平分，，，，求的长； （3）如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求的长． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可得出结论； （2）根据角平分线的性质定理结合勾股定理进行求解即可； （3）①等边对等角得到，中垂线的性质结合等边对等角得到，进而推出，即可得证；②连接，设，则，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：（1）点为的中点，， ， ，，且， ， △是直角三角形， 故答案为：直角； （2）平分，，， ． 设，则， 在△中，， ， ， 即． （3）①． 理由如下： 由题意知， ． 是的垂直平分线， （线段垂直平分线的性质）， ． ， ， ． ． ②如图，连接． 设，则． ，， ，． 由勾股定理，得，， 即， ， 的长为． 【点评】本题考查勾股定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 40．工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面与地面垂直，工人师傅握住长杆的处，此时长杆恰好能够到墙面上的维修点（即与重合），若点到地面的垂直高度为1.5米，点到墙面的距离为0.8米，根据手中余杆的长度，计算出的长度为1.7米． （1）求处离地面的垂直高度； （2）在余杆仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变，杆可任意倾斜），握住处，且离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点正上方0.5米处的维修点，请问能否成功？说明理由． 【分析】（1）利用勾股定理得出，图中的长，求出的值； （2）利用勾股定理求的长，与的长比较． 【解答】解：（1）过点作，为垂足， 在△中根据勾股定理得， （米； （2）无法成功， 理由： ，， ，在△中根据勾股定理得， 无法成功． 【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股求直角三角形的边长． 41．定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． （1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点、是线段的勾股分割点． （2）设，则，分两种情形①当为最长线段时，依题意，②当为最长线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）是． 理由：，， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形， 点、是线段的勾股分割点． （2）设，则， ①当为最长线段时，依题意， 即， 解得； ②当为最长线段时，依题意． 即， 解得， 综上所述，或10． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型． 42．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，为边上的动点，设，则，则 　　 ； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为　　 ． 【分析】（1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点关于的对称点，连结，与交于点，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点为边上一动点，设，则，作点关于的对称点，连结，与交于点，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【解答】解：（1）边长为1的正方形，为边上的动点，设，则， 根据题意得：， 故答案为：；； （2）如图1，作点关于的对称点，连结，与交于点，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在△中，由勾股定理得：， 的最小值为， 的最小值为； （3）如图2，构造一个长方形，使两边长，，点为边上一动点，设，则，作点关于的对称点，连结，与交于点，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在△中，由勾股定理得：， 的最小值为7， 的最小值为7， 故答案为：7． 【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是熟练利用轴对称解决线段和最小的问题． 43．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么． （1）如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 　3　 个； （2）如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示） ①　　 ； ②与的关系为 　　 ，与的关系为 　　 ． 【分析】（1）①勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么． （2）在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：．在图2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：． （2）①根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足的有3个； ②根据半圆面积和勾股定理即可得结论：． （3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知①； ②与的关系为，与的关系为． 【解答】解：（1）根据题意得：， 如图 即有：，，， ； 如图 ，，， ， ； 如图 下面推导正三角形的面积公式： 正△的边长为，过顶点作，为垂足，如图， 在正△中，有，， ， ，， 在△中，有 ， 正△的面积为：， ，，， ， ； 三个图形中面积关系满足的有3个， 故答案为：3； （2）关系：，理由如下： 以为直径的半圆面积为：， 以为直径的半圆面积为：， 以为直径的半圆面积为：， 三角形的面积为：， ， 即：， 结合（1）的结论：， ； （3）①正方形、、、、、、中，对应的边长分别为、、、、、、，则有 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，， ，，， 故答案为：． ②与的关系为，与的关系为． 故答案为：，． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是掌握勾股定理． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/27 16:24:42；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 第16页（共27页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年苏科版八年级数学上册《勾股定理》期末复习 一．选择题（共13小题） 1．下列各组数中是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．8，11，12 D．6，8，10 2．以下列数组为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．，2， B．，， C．1，1， D． 3．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最长边上的高为（　　） A．6 B．2.4 C．8 D．4.8 4．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，以为边的正方形的面积为28，以为边的正方形Ⅱ的面积为36，若，则的度数　　 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 6．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A．5 B． C． D．6 7．如图，在等边三角形中，为的中点，，△与△关于点中心对称，连接，则的长为（　　） A． B． C．4 D． 8．如图，以△的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边，则图中阴影部分的面积为（　　） A．36 B．18 C．6 D． 9．如图，在△中，，，，若是上的一个动点，则的最小值是（　　） A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 10．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则△的面积为（　　） A． B． C． D． 11．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（　　） A．52 B．104 C．48 D．96 12．如图，在△和△中，，，于点，的反向延长线与交于点，连结，则线段，，三者之间的关系为（　　） A． B． C． D． 13．在一次数学探究活动中，有如下问题情形：在平面直角坐标系中，△ 是等腰直角三角形，，点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，点的纵坐标为2．小明发现当点在轴的负半轴上运动时△仍是等腰直角三角形），边始终过一个定点，则该定点到原点的距离是（　　） A．1 B． C． D．2 二．填空题（共12小题） 14．如图，点在△中，，，，，，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 15．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中卷九“勾股”中记载：“今有垣高一丈，倚木于垣，上于垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思是：如图，墙高1丈丈尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．当木棒下端沿地面从处向右滑1尺到处时，木棒上端恰好沿墙壁从处下滑到处，则木棒长 　　尺． 16．如图，网格小正方形边长为1，以为圆心为半径画弧，交网格于点，则长是 　　 ． 17．以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆、的面积分别是3、4，则半圆的面积是 　　． 18．在△中，斜边，则　　 ． 19．所谓的勾股数就是指使等式成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士琳钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数、，取，，，则、、就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和　　组成一组勾股数． 20．如图，一长方体容器，长、宽均为3，高为7，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则　　 ． 21．如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，若，，则的长是 　　． 22．定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．如图，在△中，，，若为△的“妙分线”，则的长为　　 ． 23．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为 　　 ． 24．如图，在△中，，，为的中点，交的延长线于点．若，则　　 ． 25．如图，在△中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 　　． 三．解答题（共18小题） 26．如图，在中，是边上高，若，，． （1）求的周长． （2）判断的形状并加以证明． 27．如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点． （1）直接写出以下线段的长： 　　 ， 　　 ； （2）求的度数． 28．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： （1）在网格中画出长为的线段． （2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰． 29．若、，比较与的大小． 小明的思路：利用数的运算，将、分别平方后，再进行比较． 小亮的思路：利用数形结合构造了如图所示的图形，在△中，，点在上，，． （1）请按小明的思路，比较与的大小，写出比较过程； （2）请按小亮的思路，结合图形，比较与的大小． 30．如图，每个小正方形的边长为1． （1）求四边形的面积； （2）求的度数． 31．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 32．定义：我们把三角形某边上的中点到这条边上的高的距离称为三角形某边的“中高距”． （1）如图1，△中，，，，求△中边的“中高距”； （2）如图2，△中，，，，求△中边的“中高距”． 33．小明：七下课本认识了等腰三角形，而八上课本第6页有一个“大角对大边”，这两个知识都反映在同一个三角形中边、角之间大小的对应关系． 小红：是的．课本第87页的勾股定理“在△中，若，则”也反映了三角形中角的大小与边之间的数量关系． 小明：我猜想，如果，三边平方之间也有某种关系．比如：①当时，或②当时，． 你认为小明的猜想是否正确？如果正确，请选择其中的一个加以证明；如果不正确，请举出反例． 34．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准． 35．如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到地面的距离，点到的距离，于，，，求点到地面的距离的长为多少米？ 36．如图所示，四边形，，，，，． （1）求证：； （2）求四边形的面积； （3）如图2，以为坐标原点，以、所在直线为轴、轴建立直角坐标系，点在轴上，若，求的坐标． 37．在几何学习中，同一个结论往往存在多种证明方法． 【课本例题重现】 如图，为△的斜边上的高，设，，，求证：． 证明：在△中，根据勾股定理，得． 在△中，根据勾股定理，得． 在△中，根据勾股定理，得． ， ． ． 【解法探究】小明同学提出了不同的证明思路： 小明：我想可以取中点，连接，则　　 ，在△中，由勾股定理推理得到． 请帮小明写出完整的证明过程． 38．【例题讲解】 已知，，求的值．小亮探究出解题方法如下： 已知，，求的值． 解：， ， ，， ， ． 【方法运用】 根据小亮探究出的解题思路与方法，解决下列问题： （1）小亮发现，借助原例题的条件和结论还可以求出的值，请你直接写出的值； （2）若，，求和的值； 【拓展提升】 （3）如图，以△的直角边、为边作正方形和正方形，若△的面积为6.5，正方形和正方形的面积和为35，直接写出的长． 39．在△中，，点，分别是边，上的点，连接． （1）若点为的中点，，，，则△是　　 三角形；（填“等腰”“等边”或“直角” （2）如图1，连接，若平分，，，，求的长； （3）如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求的长． 40．工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面与地面垂直，工人师傅握住长杆的处，此时长杆恰好能够到墙面上的维修点（即与重合），若点到地面的垂直高度为1.5米，点到墙面的距离为0.8米，根据手中余杆的长度，计算出的长度为1.7米． （1）求处离地面的垂直高度； （2）在余杆仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变，杆可任意倾斜），握住处，且离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点正上方0.5米处的维修点，请问能否成功？说明理由． 41．定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． （1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 42．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，为边上的动点，设，则，则　　 　　 ； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为　　 ． 43．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么． （1）如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 　　 个； （2）如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示） ①　　 ； ②与的关系为 　　 ，与的关系为 　　 ． 第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $