精品解析：河南省信阳市息县第二高级中学2025-2026高三上学期数学期末模拟试卷

河南信阳息县高中2025-2026高三数学期末模拟试卷 考试时间：120分钟；满分：150 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数及共轭复数的定义结合复数的加法，应用复数相等得出参数. 【详解】设复数， 满足， 所以，则. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合中的不等式的解集，然后利用交集的定义求解即可. 【详解】因为集合， 或， 所以. 故选：D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式，结合同角三角函数商的关系得到，求解得到，即可判断. 【详解】由， 得， 即， 解得， 所以“”是“”成立的充分不必要条件， 故选：A 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用作商法及基本不等式比较大小，由对数的运算性质求，再由对数的性质比较大小，即可得. 【详解】因为，所以， 因为，又，故. 故选：A 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角函数图像的平移规则得到平移后的函数解析式，再结合正弦函数图像关于原点对称的性质，求出的表达式，最后根据选项进行判断即可. 【详解】由题意，令函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为， 则， 又平移后得到的图象关于坐标原点对称，即函数为奇函数， 所以，解得， 当时，. 故选：B 6. 已知为正项数列的前项和．若，且，则（ ） A. 7 B. 15 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过题中的一般项与前项和的关系式，利用公式来推导和 的关系，再通过构造法构造新数列并结合来得到的通项公式，算出结果. 【详解】因为， 所以，即． 因为，所以，所以， 所以数列是公比为2的等比数列， 所以，则， 所以，解得， 所以，则． 故选：B． 7. 为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等边三角形的边长为1，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出，可得，结合二次函数的性质求出最值即可. 【详解】设等边三角形的边长为1， 以为原点，所在直线为轴，以过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 所以， 所以， 则， 所以， 则. 又因为， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 故选：C. 8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案． 【详解】因为当时，， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 由此可得， 当时，令，解得或， 所以， 又因为， 所以， 所以； 由题意可得，，是方程，即的三个根， 所以， 即， 所以， 即， 所以． 故选：． 【点睛】关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，得到，即可解题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若数列为等差数列，公差为d，其前n项和为，，，，则（ ） A. B. C. D. 使的最小正整数n的值为22 【答案】ACD 【解析】 【分析】推导出，，判断AB；利用等差数列的基本性质和作差法判断C；由，结合等差数列性质及数列的单调性判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由，得，则，，C正确； 对于D，由，得，由， 得，解得，由，得数列单调递增，则， 因此使的最小正整数n的值为22，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 是上的偶函数 D. 函数有6个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件分析可得函数是周期函数，是上的奇函数，在上递增，关于直线对称等函数性质，对于A，利用周期求解判断；对于B，由单调性结合周期可判断；对于C，利用特值法及偶函数定义判断；对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，作出函数图象，数形结合可求解判断. 【详解】对都有，则， 所以函数是周期函数，周期为4， 函数的图像向左平移1个单位得函数的图象， 又函数的图像关于点对称， 因此函数的图象关于点对称，即函数是上的奇函数， 当时，，即函数在上递增，在上单调递增， 而，因此在上递增， 由得，则的图象关于直线对称， 则函数在上递减， 对于A，，故A正确； 对于B，因函数在上递增，函数的周期为4， 则在上递增，故B错误； 对于C，因，即有， 则函数不是R上的偶函数，故C错误； 对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数与的大致图象，如图， 因函数的最大值为1，而当时，， 因此函数与图象的交点在内， 观察图象知，函数与图象在内只有6个交点， 所以函数有6个零点，故D正确. 故选：AD. 11. 在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（ ） A. ， B. 为定值 C. 的最小值50 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设结合的位置可确定参数范围，判断A；取特殊位置计算的值，可判断B；根据数量积的运算律结合三角恒等变换可判断C；举出反例可判断D. 【详解】对于A，由题意知当F和C重合时，，此时取最小值，取到最大值1； 当E和C重合时，，此时取最小值，取到最大值1，A正确； 对于B，当F和C重合时，，； 当分别位于的中点时，满足， 此时，，由此可知不为定值，B错误； 对于C， ， 由，得，即, 即，即， 设，， 则 ，（为辅助角，）， 当时，取到最小值50，即的最小值50，C正确， 对于D，当时，， 则 ，故D错误， 故选：AC 【点睛】难点点睛：解答本题的难点是选项C的判断，解答时要利用向量的加减以及向量数量积的运算律结合三角代换以及恒等变换进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为______米． 【答案】 【解析】 【分析】在中，用表示，在中，用表示，根据的长，可求解. 【详解】中，，，， 中，，，， 因为米，所以， 解得： 故答案为： 13. 已知向量满足，向量在向量上的投影数量为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由投影的定义、向量垂直的数量积表示可分别求得和；根据向量数量积运算律可求得，进而得到结果. 【详解】由题意知：，， ，，解得：， ，. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，且，都有成立，，则不等式的解集为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可. 【详解】因为的图象是的图象向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是， 所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， 对任意的，，且，都有成立， 所以， 令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， 由是上的奇函数可得是上的偶函数， 所以在上单调递减， 当时，不等式得到，矛盾； 当时，转化成即，所以； 当时，转化成，，所以， 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共77分） 15. 在中，内角所对应的边分别是，且． （1）求； （2）若，求的周长最大值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）法一根据条件，利用倍角公式和诱导公式得，再利用射影公式：，可得，即可求解；法二，利用正弦定理边化角，即可求解； （2）结合（1）中结果，利用余弦定理得，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 方法1：由，得， 可得到， 根据射影公式得，则，即， 因，所以． 方法2：由法一知， 由正弦定理得，即． 因为，所以，故． 又，所以． 【小问2详解】 因为（1）知，由余弦定理得， 即． 由基本不等式，代入上式， 所以，即，得到（取得等号）， 又，故的周长的最大值是6． 16. 在平行四边形中，，，，，分别为和上的动点，且，. （1）若，，请用，表示，； （2）若，与相交于点，求的值； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量对应线段的位置关系及数量关系，数形结合用，表示，； （2）令，得，令结合（1）列方程求参数即可； （3）应用向量数量积的运算律求的范围. 【小问1详解】 由题设，； 【小问2详解】 由，，三点共线，，， 由，若，则， ，，， ，解得，所以； 【小问3详解】 ， ， . 17. 已知数列满足，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）记，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） 由，得， 又，，所以， 所以，， 即是以1为首项，3为公比的等比数列； （2） （3） 由（2）得， 所以， 所以， 显然是递增数列，所以. 因为，所以，所以. 【解析】 【分析】（1）利用结合等比数列的定义即可得证； （2）利用累加法即可求得的通项公式. （3）利用裂项相消法即可求解，根据其单调性即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 当时， . 当时，也成立，所以的通项公式为； 【小问3详解】 略 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在处有极值为时： ①求的值； ②若的导函数为，讨论方程的零点的个数． 【答案】（1） （2）①；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）将函数求导，求出函数在处的切线斜率，即得切线方程； （2）①根据函数的极值点和极值定义列出方程组，求出参数值，利用导函数进行验证即得； ②利用（2）的结论，求得，推出，利用求导，判断函数的单调性，求得极值点和极值，判断函数在R上的变化趋势，结合其图象判断与其的交点情况即得. 【小问1详解】 由题知定义域为，， 当时，， ， 切线方程为即； 【小问2详解】 ①由题意得，解得或， 令， 当时，，符合题意； 当时，，此时恒成立，不符合题意， 故． ②由①得 设 则 令，得或 当和时，，单调递增； 在时，，单调递减. ，, 又时，；时，，如图所示. 所以，当时，方程没有零点； 当或时，方程有一个零点； 当或时，方程有两个零点； 当时，方程有三个零点． 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象． （i）若在区间上没有对称轴，求的取值范围； （ii）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）或． 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式以及辅助角公式把合并，然后利用最小正周期计算公式可得答案； （2）利用平移伸缩法则可得到的解析式，（i）法一：利用，得到的范围，然后使它在相邻两条对称轴之间即可，法二：求出的对称轴，使区间在相邻两条对称轴之间即可，（ii）利用三角恒等变换化简，令，然后把问题转化为关于的不等式有解问题，法一：利用二次函数实根分布可得答案；法二：从反面入手，把能成立问题转化为恒成立问题，然后利用实根分布可得答案；法三：利用分离参数，把问题转化为求函数最值问题. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期为； 【小问2详解】 （i）将函数的图象向左平移个单位长度，得到 将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到函数 （i）（法一） ，而， . . 解得. 又， 当时，； 当时， 综上可知，的取值范围是. （法二） 令， 则的对称轴方程为，. 又在区间上没有对称轴， ， 解得， （后同法一）； （ii）由， 可得， 即，． 即， 即，其中， 因为，则， 令， 则关于的不等式在上有解， （法一） 设， 则或， 解得或； （法二） 依题意先研究：当在上恒成立时的取值范围，再求其补集即可． 设， 则即. 解得 满足题意的的取值范围是或．. （法三） 由可得， 当，即时，不等式不成立，舍去；. 当，即时，有解， 设，令， 则在上单调递增，所以当时， 即可，解得； 当，即时，有解， 此时， 而在上单调递增，所以当时， 即可，解得； 综上可知，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南信阳息县高中2025-2026高三数学期末模拟试卷 考试时间：120分钟；满分：150 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 16 6. 已知为正项数列的前项和．若，且，则（ ） A. 7 B. 15 C. 8 D. 16 7. 为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 若数列为等差数列，公差为d，其前n项和为，，，，则（ ） A. B. C. D. 使的最小正整数n的值为22 10. 已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 是上的偶函数 D. 函数有6个零点 11. 在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（ ） A. ， B. 为定值 C. 的最小值50 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为______米． 13. 已知向量满足，向量在向量上的投影数量为，，则______． 14. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，且，都有成立，，则不等式的解集为_______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共77分） 15. 在中，内角所对应的边分别是，且． （1）求； （2）若，求的周长最大值． 16. 在平行四边形中，，，，，分别为和上的动点，且，. （1）若，，请用，表示，； （2）若，与相交于点，求的值； （3）若，求的取值范围. 17. 已知数列满足，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）记，数列的前项和为，证明：. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在处有极值为时： ①求的值； ②若的导函数为，讨论方程的零点的个数． 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象． （i）若在区间上没有对称轴，求的取值范围； （ii）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $