专题6.3 解三角形（高效培优讲义）数学沪教版高一必修第二册

专题6.3 解三角形 教学目标 （1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形． （2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． （3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 教学重难点 1.重点 （1）正弦定理的应用； （2）余弦定理的应用； （3）正弦定理与余弦定理在实际生活中的应用。 2.难点 （1）三角形的周长与面积问题； （2）三角形的高、中线、角平分线在不同类型三角形中的性质。 知识点01 正弦定理与余弦定理 1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． 2、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 【即学即练】在中，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】直接利用正弦定理进行边化角即可求解. 【详解】因为，由正弦定理，得， 因为，所以，因为，所以或. 故选：D. 知识点02 正弦定理与余弦定理的应用 1、正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 2、内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 【即学即练】（25-26高三上·上海浦东新·期末）中，，，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理以及余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可得， 因为，所以. 故答案为：. 知识点03 实际应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． 2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． 3、方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． 4、坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 【即学即练】（25-26高三上·上海宝山·期中）如图所示，设港口在灯塔南偏西20°方向上，两地相距24海里；灯塔在灯塔南偏东40°方向上，与港口相距31海里.货船从港口出发，行驶到达两灯塔连线段上的处时，若此时货船恰与灯塔相距20海里，则此时货船与港口相距 海里.    【答案】21 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理解三角即可得解. 【详解】在中，， 由余弦定理可得，, 即， 化简可得，解得或（舍去）， 所以（海里）， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故答案为：21. 题型01 正弦定理的应用 【典例1】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 【变式1】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】结合题干根据正弦定理化简得，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，则，由正弦定理可得， 又因为，可得，所以，所以， 又因为，可得. 故答案为： 【变式2】．在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、二倍角的余弦公式 【分析】根据，由正弦定理结合，得到，然后由二倍角公式求解. 【详解】由正弦定理，，又， ， . 故答案为：. 【变式3】．（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，再由三角形的内角和定理，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以，即， 所以或（舍去），即， 又因为，则，解得． 故答案为：. 题型02 余弦定理的应用 【典例2】．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】余弦定理边角互化的应用 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 【变式1】．（2025高二上·河南·学业考试）在中，内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理列出关于的方程，然后解方程得到的值. 【详解】在中，由余弦定理得， 得， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 故答案：2 【变式2】．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【详解】由题意，，可得； 由余弦定理，， 代入条件，可得，解得. 故选：B. 【变式3】．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】先利用正弦定理求出，再利用余弦定理结合正弦定理得：，再利用平方和公式，结合三角函数的符号求的值. 【详解】因为，， 由正弦定理得：. 由余弦定理可得：，即， 所以， 所以， 又，， 所以. 故选：C. 题型03 判断三角形的形状 【典例3】．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用、利用三角恒等变换判断三角形的形状、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】由，可得， ，， 所以，， 因为，所以，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 【变式1】．（24-25高一下·上海杨浦·月考）小张同学尺规作图，画一个三角形，三条高的长度分别为，则小张同学（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个钝角三角形 D．能作出无数个钝角三角形 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由余弦定理即可求解. 【详解】设边上的高分别为，则， 所以最大角的余弦值满足，， 所以能作出一个钝角三角形. 故选：C. 【变式2】．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用二倍角余弦公式和正弦边角互化，结合三角形内角性质可得，即可判断形状. 【详解】由，可得，， 所以， ，故， 因为，所以，， 即是直角三角形. 故选：B. 【变式3】．（24-25高一下·上海青浦·月考）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．无法判断 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】应用正弦边角关系及差角正弦公式可得，即可得. 【详解】由题设及正弦边角关系有，即， 由，故，即三角形为等腰三角形. 故选：A 【变式4】．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由已知及正弦定理得，化简即可得，由，则有，即可得出答案. 【详解】由题干条件和正弦定理可得， 又因为在中，，所以， 所以上述等式可化为， 即，又，即， 所以，故为直角三角形. 故选：B. 题型04 正弦定理与余弦定理的综合应用 【典例4】．（2025·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式求出的值，再结合三角形的面积公式可求得结果； （2）利用余弦定理结合同角三角函数的平方关系可得出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】（1）由二倍角余弦公式可得，可得， 因为，所以，故， 故的面积为. （2）在中，，，， 由余弦定理可得， 故为锐角，且， 由正弦定理可得，故. 【变式1】．（24-25高二下·上海·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)设中，角，，的对边长分别为，，，若，，的面积为，求的值. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期及单调增区间即可. （2）先根据求C，再根据三角形面积公式得，由余弦定理得，最后解方程组得参数值，再相加求结果即可. 【详解】（1）由题意得 ， 由正弦函数最小正周期公式得最小正周期； 由，解得， 得函数的增区间为. （2）由得，，则， 因为，所以， 可得，故， 由三角形面积公式得，解得，记为①式， 由余弦定理得，记为②式， 联立①②解得或，故. 【变式2】．（24-25高一下·山西忻州·期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，求c． 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理进行求解； （2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解即可. 【详解】（1）变形为：， 所以，因为，所以； （2）因为，且，所以， 由正弦定理得：，即，解得：． 【变式3】．（25-26高三上·上海·期中）在中，. (1)若，求的值； (2)若，求的值与角的大小. 【答案】(1) (2)； 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）通过余弦定理得，可求得； （2）根据已知可得，，利用正弦定理求得的值；然后根据求得余弦，进而可得角的大小. 【详解】（1）在中，， ， 由余弦定理得，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以； （2）因为，，所以， 因为，，所以， 又，由正弦定理， 所以； 则 ， 因为，所以. 题型05 解三角形的实际应用 【典例5】．（24-25高一下·云南楚雄·月考）山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题 【分析】在中，得，在中，得，在中得，代入数值即可求得的值. 【详解】， 在中，， 在中，， 则， 由正弦定理，得，所以， 在中，. 故选：D. 【变式1】．《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为，东畔长为，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为（注：）（    ） A．6.6 B．3.3 C．4 D．7 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理即可求解. 【详解】由题意知：， 在中，由余弦定理可得：， 代入得：，即， 因为，故， 故. 故选：A. 【变式2】．（2025·上海杨浦·一模）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有 .（写出所有正确的序号） 【答案】②③④ 【难度】0.4 【知识点】几何图形中的计算、正弦定理解三角形、距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】结合题目给出条件以及直角三角形的边角关系，可知均已确定，对于①②③，可先根据余弦定理判断是否确定，再根据勾股定理判断是否确定；对于④，可直接根据余弦定理进行判断. 【详解】设， 在中，， 同理可得， 由于均为已知量，故均为定值. 对于①：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故该方程为关于的一元二次方程，可能有两解. 例如，若， 则可得，即，解得或， 由勾股定理可得，由于为定值，而有两解，故也有两解，故①错误； 对于②：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故也为定值， 又因为，其中均为定值，故为定值，故②正确； 对于③：在中，由余弦定理可得，整理得且均为定值， 故该方程为关于的一元二次方程.又， 故，即有两解，设两解分别为， 由韦达定理可知，，即异号，因此该方程仅有1个正数解，即有唯一确定解， 又因为，其中均为定值，故为定值，故③正确； 对于④：在中，由余弦定理可知，，因为均为定值，故也为定值，故④正确， 故答案为：②③④. 【变式3】．（25-26高三上·上海杨浦·期中）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行卧姿射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线匀速移动，目标点的速度为，且，.忽忽略瞄准时枪口的高度，并且假设子弹离开枪口后做匀速直线运动.此人要进行连续两次射击，为了准确瞄准目标点以及保证射击的准确性，需要射击时仰角大于等于40°（仰角为直线与平面所成角），则此人两次射击的时间间隔最大为 秒.（精确到0.1秒）    【答案】1.8/ 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题 【分析】根据“射击时仰角大于等于40°”，利用几何关系，列出不等式，即得答案. 【详解】设此人从目标P移动t秒时开始射击，则，设， 则，，， 则， 即，解得， 所以时间间隔最大为秒. 故答案为： 题型06 三角形的个数问题 【典例6】．在中，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．1个或2个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理解三角形 【分析】结合图形，三角形的性质进行判断. 【详解】 如图，在中，因为， 所以， 所以，所以可以构成两个三角形， 所以的解的个数是2个，故A，C，D错误. 故选：B. 【变式1】．（23-24高一下·上海·假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）； ①，，，有两解； ②，，，有一解； ③，，，无解； ④，，，有一解． 【答案】④ 【难度】0.65 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】对于①，由正弦定理求得，可判断三角形解的个数；对于②，由正弦定理求得，结合三角形中大边对大角性质，可判断三角形解的个数；对于③，由正弦定理，结合，可得解的个数；对于④，由正弦定理得 ，结合可得三角形的解有一个，由此可得答案. 【详解】对①：由正弦定理，所以， 又因为，所以有一解，故①错误； 对②：正弦定理，所以， 又因为，所以，则三角形的解有两解，故②错误； 对③：由正弦定理，所以， 又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故③错误； 对于④，由正弦定理，所以， 又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故④正确， 故答案为：④. 【变式2】．在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】已知，的前提下，利用直角构造出关于的不等式，即可得出三角形的个数解. 【详解】因为，，如图于， 由直角可得. 当或时，有一解； 当时，无解； 当时，有两解. 结合四个选项，可知，选项A，B，C三项错误. 故选：D 【变式3】．（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 题型07 三角形的面积与周长问题 【典例7】．（2025·上海杨浦·一模）已知函数，. (1)记，求证：函数为偶函数； (2)在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、函数奇偶性的定义与判断、辅助角公式 【分析】（1）利用诱导公式得，再根据偶函数的定义证明即可； （2）利用辅助角公式整理，根据已知求出，利用余弦定理结合已知可得的值，最后由三角形面积公式求解. 【详解】（1）根据题意， ， 则， 所以函数为偶函数； （2）由辅助角公式得， 则， 所以，可得， 由余弦定理可得，由于，， 则，解得（舍去负根）， 由已知得，则， 所以. 【变式1】．（25-26高三上·上海·期中）在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1）根据余弦定理证出，结合题目信息可得，求出，进而可得角大小； （2）根据正弦定理求出，结合余弦定理推导出，然后根据基本不等式算出，再利用三角形的面积公式求出面积的最大值，可得答案． 【详解】（1）根据余弦定理得， 由，可得， 因为，所以， 又因为，解得， 所以角的值为. （2）若外接圆的直径， 根据正弦定理得， 由余弦定理得， 即，可得， 根据基本不等式，可得，所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 可得的面积， 所以当时，的面积取得最大值， 所以面积的最大值为． 【变式2】．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在三角形中，内角A，B，C所对边分别为、、，已知． (1)求角A的大小； (2)若且，三角形的面积为，求三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、用和、差角的余弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出A. （2）由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理得， 所以由得， 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由的面积为，得，所以， 又，则，，所以， 由余弦定理得，解得， 所以的周长为. 【变式3】．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)16. 【难度】0.65 【知识点】余弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题、证明三角形中的恒等式或不等式、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证； （2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得. 【详解】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 一、单选题 1．（25-26高三上·重庆北碚·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求出角，再根据三角形内角和定理即可得解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·山东威海·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由，利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式得，又即可求，进而得. 【详解】由有，由正弦定理有， 又， 所以，又为的内角，所以，即， 又由，所以， 又，所以，所以. 故选：C. 3．（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理得：， 所以， 故选：A. 4．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在中，，则的形状是（    ）. A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形 C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】由余弦定理化简得出，即可得出结论. 【详解】由余弦定理可得， 整理可得，所以，所以是底边为的等腰三角形. 故选：B. 5．（24-25高三上·上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由余弦定理，正弦定理，同角的三角函数关系化简即可； 【详解】由可得， 又，所以， 由和正弦定理可得，即， 所以，所以，所以的形状为等边三角形， 故选：D. 6．（25-26高三上·贵州·月考）一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为一条直线），当船航行到点A时，测得远处一座灯塔T在其北偏东45°的方向上．渔船继续向北航行10km到达点B，此时测得灯塔T在其北偏东75°的方向上，则此时渔船与灯塔T的距离为（    ） A．km B．km C．km D．km 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由题意可得示意图，则 所以 由正弦定理可得，故（）. 故选：A 7．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，，则三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】由正弦定理得：， 又，有，满足条件的有两个. 故选：B 8．（25-26高三上·上海松江·期末）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论： ①当时，；②的最大值为（   ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】根据“直径”的定义，找出“直径”与三角形边长之间的关系，分别对两个结论进行分析判断即可. 【详解】结论①：，BC边上的高等于， . 在中，，又， 所以，即，解得， 因此，. 当封闭区域内两点位于在同一半圆上时， 以在上任取两点，为例，连接， 则，又，所以， 当封闭区域内两点位于在不同半圆上时， 以在上取一点，在上取一点为例，设，的中点分别为，，连接，，，， 由两点间线段最短可得，当且仅当，，，四点共线时取等号， 综上，， 所以， 故结论①正确. 结论②：设中角，，所对的边长分别为，，，设边上的高为，即，. 由三角形面积公式可得， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以. ， 即，当且仅当时取等号. 由①知， 将，代入可得， 当且仅当，，，四点共线，时取等号， 所以，故结论②正确. 故选：B 9．（25-26高三上·北京海淀·期中）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．若，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求三角形面积的最值或范围、基本不等式求和的最小值 【分析】对A，C选项可用平方数大于等于0进行判断得出，对C，D选项用基本不等式判断. 【详解】当时，，再由，且. 所以, 当且仅当，即或时等号成立， 所以时，，故A错误，C错误； 当时，，再由，且. 所以， 当且仅当时，即等号成立，故B正确，D错误. 故选：B 二、填空题 10．（25-26高三上·河南·月考）记的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用、辅助角公式、基本不等式求和的最小值 【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理、基本不等式、辅助角公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 由余弦定理得，， 即，且， 则，当且仅当时取等号， 又， 因为，所以，所以 所以， 所以，所以， 故. 故答案为： 11．（24-25高一下·上海·期末）在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理，结合，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，，即， 若有两解，则，且，所以， 所以. 故答案为： 12．（2025·上海闵行·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点在边BC上，且，小闵同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算、基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定信息确定照射面积最大时情况，再利用正弦定理、三角形面积公式列式，利用基本不等式求出最大值. 【详解】依题意，要使手电筒在ABC内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过AB、AC边，如图， 在正中，，，设， 由正弦定理得：，则， ，则， ， 当且仅当，即，亦即时取等号， 所以手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为. 故答案为： 13．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）所对的三边为，则的最小值 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】利用三角形的内角关系，结合正弦定理、余弦定理及已知条件对等式进行化简变形，再均值不等式得出值域，构造函数利用函数单调性求最小值． 【详解】， ，故， 由正弦定理得， ，故， 由余弦定理得，又， ，故， ， ，，， （，）， 令，，则，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为， ． 故答案为：． 三、解答题 14．（2025·江苏南京·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由题意，根据正弦定理和余弦定理计算即可求解； （2）由（1），由题意可得，，在和中，利用余弦定理建立方程，求得，进而，再次利用余弦定理计算即可求解. 【详解】（1），由正弦定理得， 得，所以， 由，得. （2）如图，因为，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即； 在中，由余弦定理得， 即，① 所以，得， 由解得，代入①得，由解得. 在中，由余弦定理得. 15．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在中，． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据条件，利用商数关系得到，再利用三角形的性质和正弦的和角公式，即可求解； （2）根据条件，利用三角形面积公式，得，再由余弦定理可得，即可求解. 【详解】（1）由，可得， 整理得． 则， 即， 所以．由，故， 又，所以． （2）设的内角所对的边分别为， 由（1）知，则的面积，得到， 因为，由余弦定理， 得，得到，所以， 所以的周长为． 16．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）在中，角A、、的对边分别为、、，已知． (1)若，，求的面积； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理可得，根据余弦定理可得角A，代入面积公式即可得答案. （2）根据余弦定理及均值不等式，可得a的范围，根据两边之和大于第三边，即可得答案. 【详解】（1）由正弦定理得，，故， 由余弦定理得， 因为，所以， 所以的面积； （2）由题意及均值不等式得 ， 当且仅当时等号成立，故， 又，所以， 所以的取值范围是. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 解三角形 教学目标 （1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形． （2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． （3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 教学重难点 1.重点 （1）正弦定理的应用； （2）余弦定理的应用； （3）正弦定理与余弦定理在实际生活中的应用。 2.难点 （1）三角形的周长与面积问题； （2）三角形的高、中线、角平分线在不同类型三角形中的性质。 知识点01 正弦定理与余弦定理 1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． 2、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 【即学即练】在中，，则（    ） A． B．或 C． D．或 知识点02 正弦定理与余弦定理的应用 1、正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 2、内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 【即学即练】（25-26高三上·上海浦东新·期末）中，，，，则 . 知识点03 实际应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． 2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． 3、方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． 4、坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 【即学即练】（25-26高三上·上海宝山·期中）如图所示，设港口在灯塔南偏西20°方向上，两地相距24海里；灯塔在灯塔南偏东40°方向上，与港口相距31海里.货船从港口出发，行驶到达两灯塔连线段上的处时，若此时货船恰与灯塔相距20海里，则此时货船与港口相距 海里.    题型01 正弦定理的应用 【典例1】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 【变式1】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则 . 【变式2】．在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，则 ． 【变式3】．（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，若，则 ． 题型02 余弦定理的应用 【典例2】．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【变式1】．（2025高二上·河南·学业考试）在中，内角的对边分别为，若，则 ． 【变式2】．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A． B． C． D． 题型03 判断三角形的形状 【典例3】．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【变式1】．（24-25高一下·上海杨浦·月考）小张同学尺规作图，画一个三角形，三条高的长度分别为，则小张同学（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个钝角三角形 D．能作出无数个钝角三角形 【变式2】．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【变式3】．（24-25高一下·上海青浦·月考）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．无法判断 【变式4】．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型04 正弦定理与余弦定理的综合应用 【典例4】．（2025·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 【变式1】．（24-25高二下·上海·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)设中，角，，的对边长分别为，，，若，，的面积为，求的值. 【变式2】．（24-25高一下·山西忻州·期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，求c． 【变式3】．（25-26高三上·上海·期中）在中，. (1)若，求的值； (2)若，求的值与角的大小. 题型05 解三角形的实际应用 【典例5】．（24-25高一下·云南楚雄·月考）山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为，东畔长为，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为（注：）（    ） A．6.6 B．3.3 C．4 D．7 【变式2】．（2025·上海杨浦·一模）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有 .（写出所有正确的序号） 【变式3】．（25-26高三上·上海杨浦·期中）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行卧姿射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线匀速移动，目标点的速度为，且，.忽忽略瞄准时枪口的高度，并且假设子弹离开枪口后做匀速直线运动.此人要进行连续两次射击，为了准确瞄准目标点以及保证射击的准确性，需要射击时仰角大于等于40°（仰角为直线与平面所成角），则此人两次射击的时间间隔最大为 秒.（精确到0.1秒）    题型06 三角形的个数问题 【典例6】．在中，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．1个或2个 【变式1】．（23-24高一下·上海·假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）； ①，，，有两解； ②，，，有一解； ③，，，无解； ④，，，有一解． 【变式2】．在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 【变式3】．（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为 . 题型07 三角形的面积与周长问题 【典例7】．（2025·上海杨浦·一模）已知函数，. (1)记，求证：函数为偶函数； (2)在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求的面积. 【变式1】．（25-26高三上·上海·期中）在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 【变式2】．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在三角形中，内角A，B，C所对边分别为、、，已知． (1)求角A的大小； (2)若且，三角形的面积为，求三角形的周长． 【变式3】．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 一、单选题 1．（25-26高三上·重庆北碚·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东威海·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在中，，则的形状是（    ）. A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形 C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形 5．（24-25高三上·上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 6．（25-26高三上·贵州·月考）一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为一条直线），当船航行到点A时，测得远处一座灯塔T在其北偏东45°的方向上．渔船继续向北航行10km到达点B，此时测得灯塔T在其北偏东75°的方向上，则此时渔船与灯塔T的距离为（    ） A．km B．km C．km D．km 7．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，，则三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 8．（25-26高三上·上海松江·期末）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论： ①当时，；②的最大值为（   ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误 9．（25-26高三上·北京海淀·期中）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．若，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 二、填空题 10．（25-26高三上·河南·月考）记的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 11．（24-25高一下·上海·期末）在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ． 12．（2025·上海闵行·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点在边BC上，且，小闵同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为 13．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）所对的三边为，则的最小值 ． 三、解答题 14．（2025·江苏南京·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求； (2)若，，求. 15．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在中，． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 16．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）在中，角A、、的对边分别为、、，已知． (1)若，，求的面积； (2)若，求的取值范围． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $