期末重难点提升3 四边形-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（冀教版·新教材）

©期末重难点 重难点1多边形的内角和与外角和 1.(中考·遂宁)已知一个凸多边形的内角和是 外角和的4倍，则该多边形的边数为() A.10 B.11 C.12 D.13 2.已知n边形的内角和0=(n-2)×180°. (1)嘉嘉同学说，0能取900°；琪琪同学说，0也 能取600°.嘉嘉、琪琪的说法对吗？若对，求出 边数n;若不对，请说明理由； (2)若n边形变为(n十x)边形，发现内角和增 加了540°，用列方程的方法确定x. 重难点2平行四边形的性质与判定 3.(中考·新疆)如图，在□ABCD中，∠BCD的平 分线交AB于点E,若AD=2,则BE= A 第3题图 第5题图 4.(邢台期中)在平行四边形ABCD中，∠A与 ∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是() A.60° B.80° C.100° D.120° 5.(邯郸期末)如图，在平行四边形ABCD中，要 在对角线BD上找点E,F,使四边形AECF 为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正 确的方案有 () 甲：只需要满足BE=DF; 乙：只需要满足AE=CF; 提升3四边形 丙：只需要满足AE∥CF A.1个B.2个 C.3个 D.0个 6.如图，E是□ABCD的边AD的中点，对角线 AC与BD相交于点O,BE的延长线交CD的 延长线于点F,连接AF,OE. (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； (2)若OE=2,求CF的长. 重难点3特殊平行四边形的性质与判定 7.(中考·德阳)如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，需要增加的一个条件可以是() A.AB∥CD B.AB=BC C.∠B=∠D D.AC=BD 第7题图 第8题图 8.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，BA= BE,则∠BAE= () A.75° B.70° C.40° D.30° 期末复习108 9.(中考·湖南)如图，在四边形ABCD中，对角 线AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四边 形ABCD的周长为 () A.6 B.9 C.12 D.18 A aD A 第9题图 第10题图 10.(中考·河北)如图，将矩形ABCD沿对角线 BD折叠，点A落在点A'处，A'D交BC于点 E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE 内的点C处，下列结论一定正确的是() A.∠1=45°-a B.∠1=a C.∠2=90°-a D.∠2=2a 11.(中考·浙江)【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E 在对角线BD上. 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成， 请写出△ABE≌△CBE的证明过程； (2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼 角”∠BAE的度数 109探究在线八年级数学（下）·JJ 12.(保定期末)如图，菱形ABCD的边长为8， ∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O,点 E在对角线BD上，连接AE,作∠AEF= 120°，且边EF与直线DC相交于点F. (1)求菱形ABCD的面积； (2)求证：AE=EF. 13.如图，P是四边形ABCD内一点，且满足PA =PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,E,F,G, H分别为边AB,BC,CD,DA的中点. (1)猜想四边形EFGH的形状，并证明你的 猜想； (2)连接PG,若PG=DG,直接判断四边形 EFGH的形状. 14.如图①，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,P是BC上一点，∠CPD=2∠ACB =2a,过点D作DE⊥AC于点E,并延长DE 交BP于点F. (1)求∠CDF的度数（用a表示）； (2)如图②，连接OP. ①求证：DF=2OP; ②若AD=m,PF=n,求BF的长（用含m,n 的式子表示) 图① 图② 重难点4梯形 15.位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区 是安徽省第二家国家级高新技术产业开发 区，2024年在全国高新区排名前2位.其中， 火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯 形.如图，AB∥CD,∠B=90°，AB=1060m, CD=460m,AD=1000m. (1)求BC的长； (2)求四边形ABCD的面积. 期末复习110能力在线 5.(1)200108 9.D10.C (2)200-20-60-80=40(人) 11.(1)填表如表所示 ∴.C项目的人数为40人. 速度区间/(km/h) 频数 频率 补全统计图如图所示. 30<x≤40 14 0.07 农大静种管生 人数 40<x50 50 0.25 80 50<x≤60 96 0.48 60<x70 22 0.11 ABCD活动 70<x≤80 18 0.09 6.(1)40 合计 200 1 (1)E组的人数为40一4一11一7一9=9，补全频数分布直 (2)采用的是抽样调查 方图如图所示. 七年级m名学生积分频数分布直方图 (3)根据表格信息，频数分布直方图如图. 频数 100f频数 96 90 80 70 6 50A 50 40 20406080100120积分分 3 20 2218 10f (2)E组对应的扇形圆心角的度数为360×品=81 0 304050607080速度/0km/h) 22.5数据变化趋势的刻画 (4)速度超过60km/h的有22+18=40（辆）， 1.(1)如图即为所求， ∴.违章车辆共有40辆， w/mL 拓展在线 80 12.(1)40 70 (2)表中依次填2422 60 50 52 补全频数分布直方图如图所示。 25频数 40 90 30 20 303 3 10/7 15 0510152025303540t/min 4 (2)由(1)可以发现，这些点近似地在一次函数图象上， 22 设w关于t的函数表达式为w=kt, BCDE组别 图② 则5k=10,解得=2. (3)“E”对应的扇形圆心角的度数为360°×5%=18°， .地关于t的函数表达式为w=2t (4)(答案和理由合理即可)20min合适. (3)当t=24×60=1440(min)时，=2×1440=2880(mL) 理由：样本中有36人能在20min内完成用餐，占比 答：水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量为2880mL 90%,可以鼓励20min没有完成用餐的同学适当加快用 2.(1)如图所示即为所求 //mm 餐速度，有利于食堂缩短供餐时间。 80 微专题10统计图的综合应用 79日 1.C 8 77 2.(1)50(2)301449 76 (3)类型D的书签作品有50-5-15-20=10（件）， 75 补全条形统计图如图所示. 74 4书签数量件 25 71 20 70 15 5 1015202530/℃ 图② 04 (2)由(1)可知，这些点近似地在一条直线上， B C D主题类型 设这条直线的关系式为1=t+b,把(0,80)，(30,70.8)代 3.A 入，得 4.(1)290一(85+80+65)=60（万元） 30k+b=70.8, 23 补图如图所示。 =-1=- (2)85×23%=19.55≈19.6（万元）. 著季机离编香 1b=80, 75t+80. b=80. 所以该店1月份音乐手机的销售额 4销停/万元 23 约为19.6万元. (3)当l=83.6mm时，-希+80=83.6，解得-12， (3)不同意.理由如下： .估计此地当时的气温约为一12℃. 3月份音乐手机的销售额是60×18% (4)当t=一15时，l=84.6;当t=40时，1=67.7. =10.8(万元)， ∴估计该大桥伸缩缝长度的最大值与最小值分别是 4月份音乐手机的销售额是65×17% 4月 84.6mm,67.7mm. 图① =11.05(万元). 单元综合复习（五）数据的收集整理与描述 而10.8<11.05， 热门考点突破 因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了 1.B2.普查3.A4.C5.D6.C7.B8.C9.B 一探究在线·八年 10.(1)75 +成活数 .y2=10x+100. (2)C种树苗成活300×20%× 8 84 ∴套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为 90%=54(棵).补全图形如图 y1=20x,y2=10x+100. 所示. (2)根据题意，当y=y2时，两种套餐费用一样， (3)因为A成活率为300X35% 84 即20x=10x+100,解得x=10. 此时y1=y2=200 -80%,B成活率为号 A B D品种 =80%; ∴去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用是200元. 图② (3)办理套餐一时，20x=300,解得x=15. 51 C的成活率为90%；D成活率为300×20%=85%， 办理套餐二时，10x+100=300,解得x=20 :20>15,.小马准备300元去该体育馆办理套餐，选择 所以C品种果树苗的成活率最高。 套餐二更合算. 核心素养提升 期未重难点提升3四边形 11.(1)50144° (2)补全频数分布直方图如图所示 1.A 模型设计成绩的频数 2.(1)嘉嘉的说法对，琪琪的说法不对.理由如下： 分布直方图 .0=900°，∴.(n-2)×180°=900°，解得n=7. 人数（频数 :0=60,(n-2)×180°=60，解得n=9. 15 50 :n为整数，.0不能取600°. 故嘉嘉的说法对，琪琪的说法不对 A B CD 成绩分 (2)由题意，得(n一2)×180+540=(n+x一2)×180，解得 期末复习 x=3. 期末重难点提升1平面直角坐标系 3.24.A5.B 1.a>22.B3.B 6.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 4.(1):点M(m,2m十3)在x轴上， ,∴.AB=CD,AB∥CD. 2m+3=0m=-是 ∠ABE=∠BFC,∠BAE=∠FDE E是AD的中点，AE=DE. “点M的坐标为(-号，0） ∴.△ABE≌△DFE(AAS).∴.BE=FE. .四边形ABDF是平行四边形. (2)点N的坐标为（一3,2），且直线MN∥y轴， (2)四边形ABCD是平行四边形， .点M的横坐标为一3，即m=一3. ..OA=OC,AB-CD. ,,2m+3=-3X2+3=-3. :AE=DE,.OE是△ACD的中位线. .点M的坐标为（一3，一3）. ∴.CD=2OE=2X2=4. 5.B6.C7.6 四边形ABDF是平行四边形， 8.(1)如图，△A1B1C1如图所示 .'.AB=DF..DF-CD=4. ..CF=CD+DF=8. 7.D8.B9.C10.D 11.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .AB=CB,∠ABD=∠CBD 又：BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS). (2)四边形ABCD是正方形 .∠BAD=90°，∠ADB=45° .DE=DA,∴.∠DAE=∠DEA (2)(1,-1)(2,-4)(4,-2) :∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°， (3)5amc=3×3-7×3X1-号×2×2-号×1X3=4 ∠DAE=∠DEA=67.5 ∴.∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5° 期末重难点提升2函数与一次函数 12.(1)四边形ABCD是菱形， 1.A2.A3.A4.A5.D6.D7.D ..AB=BC=8,AC LBD,BD=20B. 2 ∠ABC=60°， 8.(1)把B(m,2)代人y=- x中，解得m=-3, ∴△ABC是等边三角形 .B(-3,2). ∴.AC=AB=8, 将B(-3,2),A(-2,4)代入y=kx十b中，得 任-欢十8解得伦 A0=2AB=2×8=4. 在Rt△AB0中，B0=√AB2-AO=√82-4=4√3. 直线41的表达式为y=2x十8. .BD=8W3. (2)令2x十8=0，解得x=-4, .点C的坐标为（一4,0）. “菱形ABCD的面积为2 ACX BD=-号X8X8,3=323. 2 OCy (2)连接EC,:BD垂直平分AC, ∴.AE=EC,∠EAC=∠ECA. (3)该定点与点E的距离为22或2√5， ,DA=DC,∠DAC=∠DCA. 9.B10.C '.∠EAC+∠DAC=∠ECA+∠DCA 11.(1)设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为少=1x, .∠EAD=∠ECD, 由题意，得5k=100,解得k1=20,∴.yM=20x. .∠AEF=120°，∠ADC=∠ABC=60°， 设选择套餐二时，y2关于x的函数表达式为y2=k2x十b .∠EAD+∠F=360°-∠AEF-∠ADC=180°. 把点(0,100)和点(20,300)分别代入2=k2x十b,得 .∠ECD+∠ECF=180°， 合0190=00，郭得合90： (b=100, ∴.∠F=∠ECF. .EF=EC.∴.AE=EF 级数学（下）·JJ一 25 13.(1)四边形EFGH是菱形.证明如下： 答：参加调查的总人数为180人，补全条形图如图所示 如图，连接AC,BD, 十人数 .∠APB=∠CPD 60i .∠APB+∠APD=∠APD+∠CPD 即∠BPD=∠APC 在△BPD和△APC中， (PB=PA, 2 ∠BPD=∠APC, PD=PC, A C D 举别 '.△BPD≌△APC(SAS).,'.BD=AC 60 E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点， (2)360°×180 120°. ∴EF=AC,FG=2BD,GH=AC,EH=号BD, 答：B部分扇形所对应的圆心角为120°. 10.(1)141650 ∴.EF=FG=GH=EH..四边形EFGH是菱形. (2)115.2补全频数分布直方图如图所示， (2)四边形EFGH是正方形.证明如下： 抽取学生成绩的 PC=PD,G为CD的中点，∴PG⊥CD 数分布直方图 PG=DG,.∠PDG=45° 16颜数 16 14 .∠PCG=45°..∠PDG+∠PCG=90°. 1 43 由(1)可知，△BPD≌△APC, 10 .∠PDB=∠PCA..∠AOD=∠ODC+∠OCD=90°」 即AC⊥BD. GH是△ACD的中位线，∴.GH∥AC.∴BD⊥GH EH是△ABD的中位线，∴.EH∥BD. 05060708090100成绩1分 .HE⊥HG.∴.∠EHG=90° 新课标·新情境 .菱形EFGH为正方形. 1.2(答案不唯一)2.(2,1)（答案不唯一）3.(6,2) 14.(1),DF⊥AC,.∠CEF=90° 4.C5.C .∠ACB+∠CFE=90°. 6.(1)①0.10.61.8 在矩形ABCD中，∠BCD=90°， ②0.12 .∠CFE+∠CDF=90° ③由①得小华去书店的速度为0.1km/min, .∠CDF=∠ACB=a. 当0≤x≤6时，y=0.1x; (2)如图②，取DF的中点M,连接CM,OM,设OM=x. 由图可知，当6<x≤18时，y=0.6; 在矩形ABCD中，OB=OC=OD, 当18<x≤30时，假设直线表达式为y=kx+b, .∠2=∠ACB=a. 将(18,0.6)，(30,1.8)代入，得 :∠CPD=2∠ACB=2a,∠CPD=∠2 +∠BDP, 0.6-186士：解得=01， 1.8=30k+b, 1b=-1.2. ∴.∠BDP=a.∴.PB=PD. .y=0.1x-1.2. 在△PBD中，OP为中线， (0.1x(0≤x≤6)， ∴.OP⊥BD,∴∠1=90°-∠2=90°-a 图② 综上，y=0.6(6<x≤18)， 在Rt△DCF中，CM为中线， (0.1x-1.2(18<x≤30) ∴CM=MF=2DP. (2)当y1<y2时，12<x<24. 7.,四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC ∴.∠MCF=∠DFC=90°-a. .∠DAE=∠AEB. .∠1=∠MCF..OP∥CM ,AD∥BC,AF=CE,∴.四边形AFCE是平行四边形 OM为△BFD的中位线， .AE∥CF.∴.∠DAE=∠CFD.∴.∠AEB=∠CFD. ∴OM=2BF,OM/BE (方法不唯一，也可证△ABE≌△CDF,得∠AEB= ∠CFD) .四边形OPCM为平行四边形 8.C9.(1)E,F(2)(-3,3) ∴PC=OM,OP=CM=号DF,BC=AD=BF+PF+ 10.(1)当0≤x≤3且为整数时，设y=kx, 则12=3k,解得k=4. PC, ,.y=4x; 即DF=2OP,2x+n+x=m, 当x>3且为整数时，设y=k1x十b, x=m写”∴BF=2x=2m2 3 则2=36士解得，5， 115=5k1+b, 1b=7.5. 15.(1)作DE⊥AB于点E, 则∠AED=90°. .y=1.5x+7.5. 又∠B=90°，AB∥DC, |4x(0≤x≤3且为整数)， .四边形BCDE是矩形， 即函数关系式为y-{1,5x十7.5(x>3且为整数) .'BC=DE,BE=CD=460 m (2)①若顾客购买两份套餐A,花费6×2=12（元），包子 ∴.AE=1060-460=600(m). 6个，豆浆2碗，符合题意，此时肉包2个； ②若顾客先购买一份套餐A,花费6元，包子3个，豆浆1碗， ∴.BC=DE=√10002-600=800(m). 再购买肉包3个+豆浆1碗，花费12+2=14（元），符合 (2)Sa边5D=460+1060)X80=608000(m). 题意，此时肉包1+3=4（个）； ③若顾客先购买一份套餐B,花费7元，包子2个，豆浆2碗， 期未重难点提升4数据的收集整理与描述 再购买肉包4个，花费1.5×4+7.5=13.5（元），符合题 1.D2.D3.D4.A5.B6.B7.A8.C 意，此时肉包1十4=5（个）. 9.(1)调查总人数为45÷25%=180（人）. 综上可知，他最多能买肉包的个数是5个. 选择B的人数为180-50-45-25=60（人）. 11.(1)相等垂直 26 一探究在线·八年 (2)证明：过点G作GM⊥BC于点M,作NT⊥GM分别 交AB,CD于点T,N. :四边形ABCD是正方形， ∴.∠ACB=45°，∠B=∠BCD=90° ∴.∠TGM=∠B=∠GMB=∠GMC =∠BCD=∠NGM=90°. ∴.四边形TBMG为矩形，四边形 GMCN为正方形. ∴.GN=GM=MC=CN=BT, 20.如图，以点D为原点，DC所在直线为x ∠CNT=∠BTG=90°，BM=GT 轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐 ∴.∠DNG=∠GTE=90°. 标系.过点E作EG⊥x轴于点G,交AB ∴.DC-CN=BC-CM,即DN=BM=GT. 于点F, .'FG⊥AC,∠ACB=45°， 由题意可得EF⊥AB,FG=AD=4,AF (D)O G ∴.∠ACB=∠CFG=45°.∴.CG=GF. =DG, ∴.CM=MF..BT=MF】 .'AB=BC,AE=BF, AE=BE-5,AF-2AB=3. ..AB-AE-BT=BC-BF-MF. 根据勾股定理，得EF=√AE一AF=4. ∴.ET=NG..Rt△DNG≌Rt△GTE. .EG=EF十FG=8,DG=3..点E的坐标为(3,8) ∴.DG=GE,∠NDG=∠EGT. 综上，A(0,4),B(6,4),C(6,0),D(0,0),E(3,8) 又.∠NDG+∠NGD=90°， (答案不唯一). ∴∠EGT+∠NGD=90°.∠DGE=90°.∴.DG⊥GE. 21.(1)建立如图所示坐标系 (3)在正方形ABCD中，，AB=AD,∠DAE=∠ABF= “帅”(1，一1)，“相”(5,1). 楚河 汉界 90°，AE=BF, (2)所走路线为C(2,2)→(3， Rt△DAE≌Rt△ABF..∠ADE=∠BAF,AF=DE. 0)→(4,2)→(2,1)→D(4,0). 相 A ∴.∠ADE+∠DEA=∠BAF+∠DEA=90° (答案不唯一) ∴.∠AOE=90°.∴.AF⊥DE 22.(1)点A能与原点重合.理由 (马 如下： 2 在Rt△DAE中，AD=3,AE=1, ∴DE=√AE+AD=√I+3z=√/10. 当a-3=0时，解得a=3; 当6-2a=0时，a=3. 由等面积法，得AOX DEX-名=AEXADX-号， .点A能与原点重合. (2)AB∥y轴，AB=7,A(a-3,6-2a),B(b,3), 即A0XV而X号=1X3×7,∴A0=3 且点A在x轴下方， 10 .3-(6-2a)=7,a-3=b.解得a=5,b=2. 在Rt△OAE中，0E=VAE-AO-√1-(3 23.(1)建立平面直角坐标系如图所示， B, 10 BC=6,.A(0,0),B(-3,-3), -y10 C(3,一3). 10 (2)A,B,C的对应点的坐标分别为 由(2)可知，DG=GE,DG⊥GE, A1(2,0),B(一1，-3)，C(5,-3), ∠GED=45°..△EOQ为等腰直角三角形. △A1BC如图所示，与原图案相比， .Q0=E0=y10 整个图案向右平移了2个单位长度. 10 (3)A,B,C的对应点的坐标分别为A2(0,0),B2(一3,3)， C2(3,3),△AB2C2如图所示，所得图案与原图案关于x QF=AF-AO-OQ-10-310 -10_310 10 10 轴对称. 5 第十八章学情评估 (4)A,B,C的对应点的坐标分别为A(0,0),B(-6,-6), C3(6,一6)，△ABCa如图所示，与原图案相比，所得的图案 1.B2.B3.C4.D5.A6.B7.C8.D9.C 形状不变，各边扩大到原来的2倍。 10.D11.D12.B13.(3,-2)14.(1,-2)15.(1,6) 24.(1)-3<a<2 16.(1,4) (2),点P(2a一4，a十3)为“整点”，∴.a为整数. 17.(1)点A,B,C如图所示. 又.-3<a<2,.a=-2,-1,0,1, 当a=-2时，此时点P(-8,1)； 当a=一1时，此时点P(一6,2)； 当a=0时，此时点P(一4,3)； 当a=1时，此时点P(一2,4). .“整点”P的坐标为（一8,1）或(-6,2)或(-4,3)或 (-2,4). 2号 (3)6 第十九章学情评估 18.点A表示为(4,140)，∴∠A0D=140°. 1.B2.A3.A4.B5.A6.D7.A8.C9.D ∠C0D=60°，..∠A0C=140°-60°=80° 10.D11.D12.B13.每吨水的价格14.点P和点N :0B平分∠A0C,∴∠AOB=2∠A0C=40° 15.68.616.号或9 ∴.∠B0D=∠AOD-∠AOB=140°-40°=100° 17.根据题意，得月产值y与月份x之间的函数关系式为 OB=3,.点B可表示为(3,100). y=1.3十0.2x,其中常量是1.3,0.2，变量是x,y. 19.(1)如图，△A1B1C1即为所求. 18.(1)是 (2)如图，△A2B2C2即为所求。 (2)点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为 (3)如图，点P即为所求. 33.7%. 级数学（下）·J小一