21.7 第2课时 正方形的判定-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（冀教版·新教材）

©第2课时 ①基础在线 “知识要点分类练 >>知 … 知识点正方形的判定 1.(承德期末)四条边都相等，且对角线也相等的 四边形是 () A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上 的点F处，折痕为BE,若沿EF剪下，则折叠 部分是一个正方形，其数学原理是 () B A.有一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形 3.(沧州三模)已知四边形ABCD是平行四边 形，若AC⊥BD,要使得四边形ABCD是正方 形，则需要添加条件 () A.AB=BC B.∠ABC=90° C.∠ADB=30° D.AC=AB 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,AC=2BO,且BD为∠ABC的平分 线，求证：平行四边形ABCD为正方形， 正方形的判定 5.如图，□ABCD中，延长AB至点E,使BE= AB,连接CE,BD,DE,且CE=CD,DA= DE.判断四边形DBEC的形状，并说明理由. 易错点对正方形的判定掌握不透导致出错 6.如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件 便得到正方形 添加条件 四边形 正方形 a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件中：①a→c→d;②a→b→c; ③b→d→c.正确的添加顺序是 () A.仅① B.①② C.①③ D.②③ ②能力在线 > 方法规律综合练 7.(唐山期中)如图，点A(0,3), B(1,0),将线段AB平移到线 段DC,若∠ABC=90°，BC= AB,则点D的坐标是() A.(3,4) B.(3,3) C.(4,3) D.(4,1) 第二十一章76 8.如图，AC,BD是菱形ABCD的对角线，E,F 是BD上两点，且BE=DF,连接AE,CE, AF,CF,添加一个条件使四边形AECF是正 方形，这个条件可以是 () A.∠AEB=∠CFDB.BE=OE C.BD AC D.AC=20E D 第8题图 第9题图 9.(保定期中)如图，E为正方形ABCD内一点， ∠CEB=90°，CE=5,CB=13,将Rt△CBE绕 点C按顺时针方向旋转90°，得到△CDF.延 长BE交DF于点H,连接DE,则DE的长为 10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,P是OB上的一个动点，连接CP, 作PE⊥CP,交AB的延长线于点E,以PC 和PE为邻边作口PEFC. (1)观察与猜想：▣PEFC是 (填 “矩形”“菱形”或“正方形”)； (2)请验证你的猜想. 77探究在线八年级数学（下）·J刀 3 “:培优拔尖提升练 拓展在线》培优拔类 … ●. 11.（保定期中)阅读下列材料，并回答相关问题. 小明的作法：如 老师的问题：如 图②，以点A老师补充的问 为圆心，AB的 题：如图③， 图①，在矩形 ABCD中，求 长为半径画孤，M,N分别为 交AD于点E,EF,AE的中 作正方形 以点B为圆，点，P,Q分别 ABFE,使得点 为AM,BN的 E,F分别在 心，AB的长为 AD,BC上. 半径画孤，交 中点，且AE= D BC于点F,连 4,求PQ的长 接EF. E D /P A NE D M 图① B F C B F C 图③ 图② (1)在小明的作法中，AE BF;(填“>” “<”或“=”) (2)证明小明所作的四边形ABFE为正方 形；（可直接使用(1）中的结论) (3)解答老师补充的问题，又OE=OF,∴.四边形AECF是平行四边形. ∴∠AHG=60..∠ABH=30°.∴∠ABC=60° :CF平分∠DCA,CE平分∠BCA, AF⊥AB,∠BAP=90°.∠BPA=30° ∴∠BCF=∠EC0+∠0CF=号（∠BC0+∠OCD)= .PC=2FC.∴.PF=√PC2-FC=√3CF 如图，连接AC,:∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD, 号×180=902.四边形ABCF是矩形。 ∴.△ADC是等边三角形. 拓展在线 AF⊥CD,.CF=DF.∴.PF=√3DF 12.(1)选择条件①：∠ABC=∠CDA=90°； 第2课时菱形的判定 证明：，∠ABC=∠CDA=90°，AD∥BC, 基础在线 ∴.∠BAD=180°-∠ABC=90°. 1.,CE∥DB,CE=DB,.四边形BECD是平行四边形 ∴∠BAD=∠ABC=∠CDA=90. ,在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点， 四边形ABCD为矩形 BD=CD=AD=号AC 选择条件②证明略。 (2),四边形ABCD为矩形， .四边形BECD是菱形 ∴∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC,OC=OD=OB. 2.B DE平分∠ADC, 3.,四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,AB∥CD ∠ADE=∠CDE=号∠ADC=45 AB⊥AC,.∠BAC=∠ACD=90° :E,F分别是边BC,AD的中点， ∴.∠ADE=∠CED=45°. ∴.∠CDE=∠CED=45°.∴.CE=CD. AE-7BC-EC.CF-7AD-AF. .∠BDE=15°，∴.∠CDO=∠CDE+∠BDE=60° .'AD=BC,..AE=EC=CF=AF. ∴△COD是等边三角形. .四边形AECF是菱形.，ACLEF .OD=OC=CD=CE,∠COD=∠OCD=60° 4.B ∴.∠OCE=∠BCD-∠OCD=30°. 5.DO=AO,EO=CO,.四边形AEDC是平行四边形 ∴∠C0E=∠CE0=2180°-∠0cE)=75 四边形ABCO是矩形，.∠AOC=90°，即AD⊥EC .平行四边形AEDC是菱形. ∴.∠DOE=∠COE+∠COD=135° 6.D 21.6菱形 能力在线 第1课时菱形的性质 7.B8.D9.B10.B11.A 基础在线 12.连接BF,:△EFD和△ABC关于点O 成中心对称， 1.C2.B3.A4.D5.D6.A7.48.1 9.,四边形ABCD是菱形，.AB=BC. ∴.B,O,F三点共线，OB=OF,OC= OD,OA=OE. .AE=CF,.'.AB-AE=BC-CF, 即BE=BF. ∴四边形BCFD是平行四边形，四边形 BF=BE. ABEF是平行四边形. 在△ABF和△CBE中，，'〈∠B=∠B, :∠BAC=∠DBC, BA=BC, ∴∠BAC+∠ABD=∠DBC+∠ABD, 即∠BDC=∠ABC. ∴.△ABF≌△CBE(SAS).∴.AF=CE. AB=AC,.∠ABC=∠ACB. 能力在线 10.C11.A12.A13.336cm2 ∴∠BDC=∠ACB..BD=BC 14.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， 四边形BCFD是菱形.BF⊥CD. 又四边形ABEF是平行四边形， ∴.CB=CD,∠BCE=∠DCE 又.'CE=CE,∴.△CBE≌△CDE(SAS) .平行四边形ABEF是菱形 .∠CBE=∠CDE. 拓展在线 (2)·四边形ABCD是菱形， 13.(1)证明：，AF⊥AB,CE⊥CD, ∴.∠BAF=∠DCE=90° ·AB=AD,AC⊥BD,OA=OC,OB=2BD, AB∥CD,.∠ABF=∠CDE. :∠BAD=60°，∴.△BAD是等边三角形. .BE=EF=FD,.'.BF=DE, ∴.BD=AB=2..OB=1. ∴.△ABF≌△CDE(AAS). ∴OA=√AB2-OB=√3.∴.OC=√3， (2)四边形AECF是菱形.理由如下： .△ABF≌△CDE, BE⊥DE,且O为BD中点，OE=2BD=1. ∴.AF=CE,∠AFB=∠CED.∴.AF∥CE ∴CE=OC-OE-√3-1. ∴.四边形AECF是平行四边形， 拓展在线 在R△ABF中，：∠ABD=30,AF=合BR 15.(1)65 (2)证明：①，四边形ABCD是菱形， 在RADCE中，：EF=DF,CF=号DE, .AB=AD,AB∥CD,AD∥BC. BF=DE,.AF=CF..四边形AECF是菱形 .∠ABD=∠ADB, AE⊥BC,AF⊥CD,.AE⊥AD 21.7正方形 AF⊥AB. 第1课时正方形的性质 ∴.∠DAG=∠BAH=90° 基础在线 ∴.∠AHB=90°-∠ABD=90°-∠ADB=∠AGD 1.D2.B3.D4.A5.B6.B7.458.5 ..AG=AH. 9.四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠BAD=90. ②，BG=GH,.G是Rt△ABH斜边BH的中点. ∴·∠BAF+∠DAE=90°. ,.AG=BG=GH.由①知AH=AG. .DE⊥AG,BF⊥AG,'.∠DEA=∠AFB=90 .AG=AH=GH.∴△AGH是等边三角形. ∴∠DAE+∠ADE=90°.∠BAF=∠ADE 22 一探究在线·八 I∠AFB=∠DEA, :∠KPH=90°，.∠KPE+∠EPH=90. 在△ABF和△DAE中， ∠BAF=∠ADE, .PE⊥CP,∴.∠HPC+∠EPH=90° AB-=DA, ∴∠KPE=∠HPC ∴.△ABF≌△DAE..BF=AE.即AE=BF ∠PKE=∠PHC=90°， 能力在线 在△KPE和△HPC中，，PK=PH, 10.8W211.A12.A ∠KPE=∠HPC 13.·四边形ABCD是正方形，O为AC的中点， ∴△KPE≌△HPC(ASA).∴.PC=PE. ∴AB=BC=60em,∠ABC=90,0A=0C=号AC ,四边形PEFC是平行四边形，且PE⊥CP, ∴四边形PEFC是正方形 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC= 拓展在线 √602+602=60√2(cm). 11.(1)= (2)证明：，四边形ABCD是矩形， ,△ACE为等边三角形，∴.AC=AE=CE=60√2cm ∴.AD∥BC,∠A=∠B=90°. ∴.OA=OC=OD=30√2cm,OE⊥AC.∴.∠AOE=90. :AE=BF,四边形ABFE是平行四边形 在Rt△AOE中，由勾股定理，得OE=√CE-OC= AE=AB,∴.四边形ABFE是菱形. √/(60√2)2-(30√2)2=30√6(cm). :∠A=90°，∴四边形ABFE为正方形 (3)如图③，连接NP并延长，交BF于点 答：点O到点E的距离是30√6cm. G,在PG上截取PO=NP, 拓展在线 ∴.四边形ANGB是矩形..NG=AB=4 14.(1)证明：四边形ABCD为正方形， ,四边形AEFB是正方形，AE=4, ∴.AD=BC,∠ADE=∠CBF=45°. ..EF=AE=4. 图③ 在△ADE和△CBF中， ,M,N分别为EF,AE的中点，P,Q分别为AM,BN的中 (AD=CB, :∠ADE=∠CBF, 点，∴PN=2EM=EF=1,AN=2AE=2,0N=2. DE-BF, ..BG=AN=2,0G=NG-NO=2. ∴.△ADE≌△CBF(SAS)」 在Rt△OGB中，BO=√BG+OG=2√2. (2)连接AC交BD于点O,如图 .四边形ABCD为正方形，BD=10 :P,Q分别为ON,BN的中点，PQ=B0=VE. .BD垂直平分AC,OA=OC=OB= 2BD 21.8梯形 基础在线 =5. ∴.AF=CF,AE=CE 1.B2.C3.C4.C5.C6.D 由(1)知△ADE≌△CBF,.AE=CF. 7.如图，过点D作DE∥AB,交CB于点E, .AD∥CB, AF=CF=AE=CE.∴.四边形AECF为菱形. .四边形ABED是平行四边形 ,四边形AECF的周长为4√34， ∴.EB=AD=3,DE=AB=4. ..AF=1 ×434=√34. CB=6,.EC=BC-BE=6-3=3. CD=5,∴.CD2=DE+CE 在Rt△AOF中，OF=√AF2-OA=3.∴.EF=2OF=6. .△DEC是直角三角形.∴∠DEC=∠ABC=90°. 第2课时正方形的判定 基础在线 四边形ABCD的面积是？(AD+CB)·AB=合×(3 1.D2.A3.B +6)×4=18. 4.:四边形ABCD为平行四边形，.AB∥CD,BD=2BO. 8.4或14 .∠ABD=∠CDB. 能力在线 .AC=2BO,∴.AC=BD 9.C10.C11.B12.B13.1.5 .平行四边形ABCD为矩形 14.(1).CE是∠ACB的平分线， :BD为∠ABC的平分线， .∠ACE=∠BCE. ∴∠ABD=∠DBC.∠CDB=∠DBC .AD∥BC,.∠AEC=∠BCE, .BC=CD.∴平行四边形ABCD为正方形 .∠ACE=∠AEC.∴AE=AC. 5.四边形DBEC是正方形.理由如下： .AC=BC,..AE=BC. .四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD. :AE∥BC,.四边形AEBC是平行四边形. .'BE=AB,.'BE=CD. ,AC=BC,∴.平行四边形AEBC是菱形， .BE∥CD,.四边形DBEC是平行四边形 (2)如图，连接BD .CE=CD,.四边形DBEC是菱形 ,在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD, DA=DE,BE=AB,∴.DB⊥AE .∠ABC=∠DCB..△ABC≌△DCB..AC=DB .菱形DBEC是正方形. 由(1)可知，四边形AEBC是菱形， 6.C ∴.AC=BE=EA.∴.BE=BD,∠EAB=∠EBA. 能力在线 NBD⊥BE,∴∠BED=∠BDE=45°. 7.A8.D9.√/74 10.(1)正方形 ∠EAB=∠EBA=号×(180°-45)=67.5 (2)证明：过点P作PK⊥AB于点 ∠ABD=90°-67.5°=22.5. K,PH⊥BC于点H,如图所示， .∠ADB=2∠ABD. ∴∠PHB=∠PKE=∠PHC=9O 拓展在线 ,四边形ABCD是正方形， 15.(1)26 .∠ABC=90°，BD平分∠ABC. ∴.∠KPH=90° 20号 PK⊥AB,PH⊥BC,PK=PH ②有两种情况： 年级数学（下）·J小一