21.7 正方形（题型专练）（基础达标7大题型+能力提升+拓展培优）数学新教材冀教版八年级下册

**基本信息** 练习围绕正方形性质与判定，分基础认知、技能应用、综合探究三层，覆盖从概念辨析到折叠证明的完整路径，适配新授课分层巩固需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|正方形性质与判定的概念辨析|选择填空为主，如性质比较题（第1题）、判定条件辨析（第4题），夯实基础概念| |技能应用|线段、角度、面积的计算|结合坐标系（第3题）、赵爽弦图（第7题），培养运算能力与几何直观| |综合探究|证明与折叠问题|动态折叠（第19题）、正方形与矩形综合证明（第16题），发展推理能力与空间观念|

学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 21.7正方形 题型一正方形的性质 题型二正方形的判定 题型三利用正方形的性质和判定求线段 题型四利用正方形的性质和判定求角度 基础达标题 题型五利用正方形的性质和判定求面积 题型六利用正方形的性质和判定证明 题型七正方形的折叠问题 21.7正方形 能力提升题 拓展培优题 基础达标题 题型一正方形的性质 1.(24-25八年级下·河北保定期末)正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是() A.对边平行且相等 B.对角线相等 C.对角线互相平分D.对角相等 【答案】B 【解析】解：A、对边平行且相等：平行四边形的定义即对边平行且相等，正方形必然满足，故A错误， 不符合题意： B、对角线相等：正方形的对角线相等，但一般平行四边形（如普通菱形、非矩形的平行四边形）对角线不 一定相等，故B正确，符合题意； C、对角线互相平分：所有平行四边形的对角线均互相平分，正方形也满足，故C错误，不符合题意； D、对角相等：平行四边形的对角相等，正方形同样满足，故D错误，不符合题意。 故选：B. 2.(2025河北唐山·二模)如图，直线1与正方形ABCD的边AB,AD分别相交于点M,N,如图所示，则 a+B的度数为() 1/46 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A.270 B.260° C.245 D.240° 【答案】A 【解析】解：根据正方形可得∠A=90°， .∠1+∠2=180°-90°=90°， :∠1+∠β=180°，∠2+∠a=180°， .a+阝=360°-90°=270°， 故选：A. 3.(24-25八年级下·湖北武汉期中)如图，在正方形0ABC中，O是坐标原点，点A的坐标为1，V⑤，则 点C的坐标为() 衣 A.（-5, B.-1,5) c.（5, D.(-5,-1 【答案】A 【解析】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D,过点A作AE⊥x轴于点E, 2/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA 在正方形0ABC中，∠A0C=90°，A0=C0, .∠A0C=∠CD0=90°， .∠C0D+∠A0E=LC0D+L0CD=90°， ∠OCD=LAOE, ∠CDO=∠OEA=90° 在△OCD和△A0E中， ∠DCO=∠EOA, CO=OA △OCD≌△AOE(AAS, ∴CD=OE=1,OD=AE=5, c(-5, 故选：A。 题型二正方形的判定 4.(25-26九年级上河北保定·期中)在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一 名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是(). ① 矩形 ③ 平行四边形 正方形 ② 菱形 ④ A.①对角相等 B. ②对角线互相垂直 C.③有一条对角线平分一组对角 D.④对角线相等 【答案】A 【解析】解：平行四边形的对角相等，故①错误； 对角线垂直的平行四边形是菱形，故②正确： 有一条对角线平分一组对角的矩形是正方形，故③正确； 对角线相等的菱形是正方形，故④正确， 故选：A. 3/46 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(2024河北秦皇岛一模)数学课上，嘉嘉作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A,B为 圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.作完图之后，嘉嘉经过测量 2 发现AC=BC=AD=BD,AB=CD,根据他的作图方法和测量可知四边形ADBC是正方形，嘉嘉的理由 是() D A.两组对边分别平行的菱形是正方形B.四条边相等的菱形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】C 【解析】解：根据题意可知AC=BC=AD=BD,可以判定四边形ADBC是菱形 又因为AB=CD,所以四边形ADBC是正方形 故选：C 6.(21-22八年级下·河北唐山期末)已知在平行四边形ABCD中，∠A=90°，如果添加一个条件，可使该 四边形是正方形，那么这个条件可以是() A.∠D=90° B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD 【答案】D 【解析】解：在平行四边形ABCD中， :∠A=90°， .四边形ABCD为矩形， 而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形， 故D正确， 故选：D 4/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三利用正方形的性质和判定求线段 7.(24-25八年级下·河北唐山期中)由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”.图中正方形 ABCD的边长是2，∠ABE=30°，则EG=() B A.√2 B.-2V5 C.6-√2 D.6-5 【答案】C 【解析】解：：四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，正方形ABCD的边长是2，∠ABE=30 .AB=BC=CD=AD=2,AE=DH=CG=BF,AH=DG=CF=BE, ∠AEB=90°， ∴EH=HG=GF=EF,∠FEH=90°， .四边形EHGF是正方形， :∠AEB=90°，∠ABE=30°，AB=2, BF=AE=1,BE=22-12=3, EF=V3-1, FG=V3-1, EG=VEF2+FG=V2EF=x(3-1)=6-2: 故选：C 8.(23-24八年级下·河北保定·期中)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD,用拉 紧的橡皮筋连接AC,BD,转动这个四边形，使它的形状改变.当LABC=90°时，如图1，测得AC=√.当 ∠ABC=60°时，如图2，此时BD-AC=() B 图1 图2 A.2W3B.V5-1 C.25-1 D.22 5/46 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】B 【解析】解：如图1， D 图1 当∠ABC=90°时，AB=BC=CD=DA, 四边形ABCD是正方形， 又：AC=√2， AB=1, 如图2，AC与BD的交点为O, A D 图2 当LABC=60°时， :AB=BC=CD=DA四边形ABCD是菱形， :∠A0B=90°，∠AB0=}∠ABC=30°，0H=0C,0B=0D, 2 0A= 1,1 AB= 2 x12' 2 0B-AB-O 2 4C=20A=2x2=1,BD=20B=2x3=/ :BD-AC=3-1, 故选：B 9.(20-21八年级下·河北石家庄·期末)如图，在边长为√2的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点， 且EF⊥AB于点F,连接DE,当LADE=22.5°时，EF=() 6/46 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E B.2√2-2 C.2-1 1 A.1 D.4 【答案】C 【解析】解：：四边形ABCD是正方形， :AB=CD=BC=V2,LB=LADC=90°，LBAC=∠CAD=45°， :AC=2AB=2, ∠ADE=22.5°， ∠CDE=90°-22.5°=67.5°， :∠CED=∠CAD+∠ADE=45°+22.5°=67.5°， ∠CDE=LCED, CD=CE=√2， ∴AE=2-V2, :EF⊥AB, ∠AFE=90°， :.△AFE是等腰直角三角形， 1， ·EF= 故选：C 题型四利用正方形的性质和判定求角度 10.如图，点E为正方形ABCD内一点，AD=ED,∠AED=70°，连结EC,那么∠AEC的度数是() A A.105° B.130 C.1350 D.140° 7/46 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】C 【解析】解：：AD=DE, ∠DAE=∠AED=70°， ∠ADE=180°-70°-70°=40°， :四边形ABCD是正方形， AD=CD,∠ADC=90°， ∠EDC=50°， .DC=DE, ∠DEC=∠DCE=180°-50)=65°， :∠AEC=∠AED+∠DEC=135°， 故选C. 11.(19-20九年级上·全国.单元测试)如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线 EM交对角线AC于点E,交BF于点M,连接BE,EF,则∠EBF的度数是() A.45 B.50° C.60 D.不确定 【答案】A 【解析】解：如图所示，过点E作EG⊥BC,EH⊥CD,垂足分别为G,H, :四边形ABCD是正方形， :CA平分∠BCD, .EH EG. :EM垂直平分BF, :EB=EF, 8/46 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .Rt△BEG≌△Rt△FEH, .∠BEG=LFEH, .ZBEF ZGEH :∠BCD=90,EG⊥BC,EH⊥CD, ·四边形CHEG是矩形， ∠GEH=∠BEF=90°. EB =EF, ∴△BEF是等腰直角三角形， ∠EBF=45, 故选A. 12.夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上.若A、 D、F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系() E A.∠1+∠2=60 B.∠2-∠1=30 C.∠2=2∠1 D.2L1+L2=90 【答案】B 【解析】：夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上， ∴.∠BAD=90°，∠DFE=60°， 1l2,A、D、F在一条直线上， .∠1+∠BAD=∠2+∠DFE, 即∠1+90°=∠2+60°， 可得：∠2-∠1=30°， 9/46 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选B 题型五利用正方形的性质和判定求面积 13.(2021河北石家庄.一模)如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、CE为边作 正方形，则两个阴影部分的面积差a-b的值为() F B a A.0 B.2 C.1 D.5 【答案】C 【解析】：六边形ABCDEF是正六边形， 则AD是其对称轴，则EFLAD BC,E、C关于AD对称，则CE⊥BD, :四边形ADPQ、四边形CEHG是正方形， .∠ECN=∠ADN=90°， :.四边形MCND是矩形， .S△W0D=S△ND, 连接OB、OC, ◇ E H 0 A D G a Q 0A=0B=0C=0D=1, AD=2, .SE方影0m=4, :正六边形内角和为180°×6-2)=720°， 10/46 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CDE= 720° =120°， 6 :AD⊥CE,DE=DC, ∴∠MDC=60°， :DM =- 1 2 ' CM= 2 CE=5, S正方形6=V3×V5=3, :a-b=(4-2S.McD)-(3-2SNcD)=4-2SMcD-3+2S.NcD=1; 故答案选C. 14.(25-26九年级上河北唐山期中)如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD,AE1BC于 点E,△BAE旋转一定角度后能与△DFA重合，根据图形回答问题. A F D B (1)旋转中心是点 ,旋转了 度； (2)若AE=4cm,求四边形ABCD的面积. 【答案】(1)4,90或270； (2)16cm2 【解析】(1)解：由图可知，点A为旋转中心，在四边形ABCD中，∠BAD=90°， .∠BAE+∠EAD=∠DAF+∠EAD=90°， ∠EAF=90°，360°-90°=270°， 所以，逆时针旋转了90°或顺时针270°； 故答案为：A,90或270： (2)解：由旋转性质知，AE=AF,∠F=∠AEB=∠AEC=∠C=90°， 四边形AECF是正方形， :△BAE旋转后能与△DAF重合， 11/46 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △BEA≌aDFA, S.BEA =S.DFA :四边形ABCD的面积=正方形AECF的面积， AE 4cm, :四边形ABCD的面积=42=16cm2. 15.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O是正方形A'B'C'O的一个顶点.如果两个正方形的边长 都等于2.那么正方形A'B'C'0绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 B F D E B 【答案】1 【解析】解：过点O分别作OM⊥AD于点M,ON⊥CD于点N,连接AC,BD交于点O,如图所示： A B :四边形A'B'C'O和ABCD是正方形， CD=AD,OA=OC=OB=OD,∠ADC=∠C'0A'=∠0MD=∠0ND=90°， :正方形ABCD的对角线相交于点O, :MO-TAD.NO=ICD, 2 .M0=N0=1, .四边形MOND是正方形， :OM⊥AD,ON⊥CD, ∴∠M0N=90° :∠M0F+∠F0N=∠N0E+∠F0N=90° 12/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠MOF=∠NOE, aOMF≌aONE(ASA), 则S.OM=S.ONE, 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形MOND面积， SE方形MovD=M0·N0=1x1=1, 那么两个正方形重叠的部分的面积等于1， 故答案为：1. 题型六利用正方形的性质和判定证明 16.(24-25八年级下·河北石家庄期末)如图，正方形ABCD的边长为4，点0为对角线BD的中点，点E为 AD边上的动点，点F在CD边上，连接OE,OF,OE⊥OF. E D (1)求证：OE=0F. (②)当点E在AD边上运动时，四边形OEDF的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请 说明理由， 【答案】(1)见解析 (②)四边形0EDF的面积不会发生变化，始终等于4 【解析】(1)解：过点O作OM⊥AD于点M,ON⊥CD于点N,如图所示： A Mh. ∴.∠0MD=∠0ME=∠0NF=90°， :四边形ABCD是正方形，且边长为4， :AB=BC=CD=AD=4,∠ADB=45°，∠ADC=∠C=90°， 13/46 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠0MD=∠ADC=∠0NF=90°， 四边形OMDN是矩形， :∠0MD=90°，∠ADB=45°， ∴△OMD是等腰直角三角形， ∴.OM=DM, ·矩形OMDN是正方形， .0M=0N,∠M0N=90°， :0E⊥0F, .LE0F=∠M0N=90°， ∴∠EOM+∠MOF=∠MOF+∠FON, .∠EOM=∠FON, 在AEOM和AFON中， ∠OME-∠ONF OM=ON ∠EOM=∠FON .aEOM≌aFON(ASA, .OE=OF (2)解：当点E在AD边上运动时，四边形0EDF的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接0C，如图所示： B Mh--- :四边形ABCD是正方形，点O为对角线BD的中点， ∠0CD=∠BDC=45°，DC=CB=4, :.△DOC是等腰直角三角形 :ON⊥CD :DN=CN=1DC=1CB-2 2 2 14/46 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则oN-号0c=2 由(1)得E0M≌aF0N ∴M0=0N=2 由(1)得∠M0N=90°，矩形OMDN是正方形， 则S四边影0EDF=S,EOM+S阳边形OMDr=S,FON+S臂达形OwDF=SE方形OMDN=M0XON=4. 17.(24-25八年级下·河北保定·期末)题情境： 如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交直线BC于 点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. 猜想证明： (1)求证：四边形DEFG是正方形： 解决问题： (2)求LDCG的度数； (3)若BC=8,CF=4,请直接写出CG的长 D D 备用图 【答案】(1)见解析；(2)∠DCG=45°；(3)CG的长为22或62. 【解析】解：(I)过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， D :正方形ABCD, F M B ∠BCD=90°，∠ECN=45°， :∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC, :四边形EMCN为矩形， 15/46 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 NE=NC, :四边形EMCN为正方形， :EM =EN, :四边形DEFG是矩形， .∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°， ∠DEN=∠MEF, 又∠DNE=∠FME=90°， ∠DNE=∠FME 在△DEN和△FEM中， EN=EM ∠DEN=∠FEM ADEN≌△FEM(ASA), :ED =EF, ·矩形DEFG为正方形： (2):矩形DEFG为正方形， .DE=DG,LEDC+LCDG=90°， “四边形ABCD是正方形， AD=DC,∠ADE+LEDC=90°， ∠ADE=LCDG, △ADE≌△CDG(SAS), ∠DAE=∠DCG=45°； (3)当点F在线段BC上时， :正方形EMCN,正方形ABCD, .BC=DC,MC=NC, BC-MC=DC-NC,即：BM=DN, :△DEN≌△FEM, :FM =DN :BM=FM-BC-FC-8-4-2. 2 2 MC=MF+FC=4+2=6, 16/46 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EC=√2MC=6√2，AC=V2BC=8V2 :△ADE≌aCDG, AE CG=AC-EC=82-62=22 当点F在线段BC的延长线上时， D A NXE C M B :正方形EMCN,正方形ABCD, .BC=DC,MC=NC, .BC-MC=DC-NC,即：BM=DN, :△DEN≌△FEM, .FM =DN, 片BM=FM=BC+FC-8+4=6. 2 2 MC=MF-FC=6-4=2, EC=2MC =22,AC=2BC=82, :△ADE≌aCDG, .AE CG=AC-EC=82-22=62. 综上，CG的长为2√2或6√2 18.(24-25八年级下河北廊坊月考)四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE,过点E 作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. D E B 备用图 (I)如图，求证：矩形DEFG是正方形（提示：过E分别作EP⊥DC、EQ⊥BC): (2)若AB=4,CE=3V2,求CG的长； 17/46 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数 【答案】（①）证明见解析 (2)√2 (3)130°或40° 【解析】(1)证明：作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q,则∠EQF=∠EPD=90° G B 图1 :四边形ABCD为正方形， .∠DCA=∠BCA=45°，AB=BC, EQ=EP,∠QEC=∠QEF+∠FEC=45°，∠PEC=45°， :四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF=90°，则∠PED+∠FEC=45°， ·.∠QEF=∠PED, 在Rt△EQF和Rt△EPD中， ∠QEF=∠PED EO=EP ∠EQF=∠EPD △EQF≌△EPD(ASA, .EF ED :矩形DEFG是正方形： (2)解：如图所示，过点G作GH⊥BC交BC延长线于H D E 由正方形的性质可得EF=GF,∠EFG=90°，∠ACB=45°， 18/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴CEQ是等腰直角三角形， ..OE=OC, CE=VQE2+QC2=20C=3√2， 0C=3, :EQ⊥BC,GH⊥BC, ∠EQF=∠FHG=90°， :∠QEF+∠QFE=∠QFE+∠HFG=90°， .∠OEF=∠HFG, :.△QEF≌AHFG(AAS), ∴.QF=GH,EQ=HF, .CO=HF, CQ-CF=HF-CF,即FQ=CH, .CH=HG, 由(1)可得△EQF≌△EPD, :OF DP, :EQ⊥BC,PC⊥BC,EP⊥CD, :四边形EOCP是矩形， .CP=OE=3, .DP=CD-CG=4-3=1, .CH =HG=1 CG=VCH2+GH2=√2； (3)解：当DE与AD的夹角为40°时，点F在BC边上，∠ADE=40°， 则∠CDE=90°-40°=50°， 在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC=360°-90°-90°-50°=130°； ②当DE与DC的夹角为40°时，点F在BC的延长线上，∠CDE=40°，如图3所示： 19/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G E 图3 :LHCF=LDEF=90°，∠CHF=∠EHD, ∴.∠EFC=∠CDE=40°， 综上所述，∠EFC的度数为130°或40°. 题型七正方形的折叠问题 19.(2025河北唐山二模)将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展 开铺平后得到图⑤，其中FM,GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则CX的值是 GE () ① A.5 B.1 C. D. 2 【答案】A 【解析】解：如图：连接NE,设直线NE与AB边的交点为P, D E P B 由折叠可知点P、E、G、N四点共线，且PE=GN, 设正方形ABCD的边长为2a,则CN=a,正方形ABCD的面积为4a, :若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等 :由折叠可知正方形EFGH的面积=x正方形ABCD的面积=4a, 5 5 正方形EFGH的边长G25 -a, 5 20/46 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CN 25V5 =a÷ GF s as. 2 故选A. 20.(23-24八年级下·河北张家口·期中)如图，已知正方形纸片ABCD,M、N分别是AD、BC的中点，把 BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ的度数为() M B A.20° B.25° C.30° D.60° 【答案】C 【解析】解：取BP的中点E,连接NE,如图所示： M :四边形ABCD为正方形， AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，AD∥BC, 根据折叠的性质知：BP=BC,∠PBQ=∠CBQ, :MN分别是AD、BC的中点， :.BN=IBC,AM=I AD, 2 2 :BN AM, :AD∥BC, :四边形ABNM为平行四边形， :∠ABN=90°， :.四边形ABNM为矩形， .∠BNM=90°， “E为BP的中点， 21/46 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷NE=BE=)BP, 2 1 BP-BC.BN-BC. :BN NE =BE, :.△BNE为等边三角形， ∠NBE=60°， :∠PBQ=∠CBQ=∠EBN=30°. 故选：C. 21.(2022河北模拟预测)如图，正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=3DE,将ADE沿 AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF,则下列结论： ①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③S.EGc=S.MFE;④LAGB+LAED=145°. 其中正确的个数是() D B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】解：：在正方形ABCD中，AB=6,CD=3DE, AB=BC=AD=6,∠ADE=∠ABG=90°， DE=2,CE=4, :将ADE沿AE对折至△AFE, ∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB,EF=DE=2, 又：AG=AG, .Rt△ABG≌Rt△AFGHL),故①正确： .BG=GF,∠BGA=∠FGA, 设BG=GF=x,则CG=6-x, 在RtAEGC中，EG=x+2,CG=6-x,CE=4, 22/46 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理可得(x+2)2=(6-x)2+42, 解得x=3,此时CG=6-3=3,则BG=CG,满足条件，故②正确： x3x4-6.5.u 1 2×6x2=6, SEGc=SAFE,故③正确； 在五边形ABGED中，∠BGE+∠GED=540°-90°-90°-90°=270°， 即2∠AGB+2∠AED=270°， .∠AGB+∠AED=135°，故④错误； ∴.正确的有三个， 故选：C 23/46 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 能力提升题 1.(24-25八年级下.河北沧州期末)下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是() A.有一个角是直角 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 【答案】D 【解析】解：正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直；而 正方形的对角线不仅相等、互相平分，还互相垂直，因此“对角线互相垂直”是正方形具备而矩形不一定具备 的性质。 故选D 2.下列命题是假命题的是() A,对角线相等的四边形是矩形： B.菱形的对角线互相垂直； C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；D.对角线相等的菱形是正方形； 【答案】A 【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以①是假命题； B、菱形的对角线互相垂直，所以②是真命题： C、一组对边相等，且这组对边平行的四边形是平行四边形，所以③是真命题： D、对角线相等的菱形是正方形，所以④是真命题. 故选：A. 3.(24-25八年级下·河北保定·期末)如图，这是一个由边长均为1的正方形组成的4×1网格，其中长度为 √10的线段是() D A.OA B.OB C.OC D.OD 【答案】C 【解析】解：如图： B C D 由正方形可得∠1=90°， 24/46 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由勾股定理得：0A=P+1P=2,0B=P+22=5,0C=2+32=0,0D=?+4=7, 则长度为√10的线段是0C, 故选：C 4.如图，P为正方形ABCD内一点，PC=2,将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE,则PE的长是() D A.1 B.√2 C.2 D.2√2 【答案】D 【解析】解：：△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE,其旋转中心是点C,旋转角度是90°， ∠PCE=90°，CE=CP=2, .△CPE是等腰直角三角形， .PE=CE2+CP2=22, 故选：D 5.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,则∠BED的度数为() A.15 B.30° C.45° D.60° 【答案】C 【解析】解：：ADE是等边三角形， ∠DAE=∠AED=60°，AD=AE, :四边形ABCD是正方形， ∠BAD=90°，AD=AB, ∠BAE=90°+60°=150°，AE=AB, 25/46 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠4EB-=2180°-150)=15°， ∠BED=60°-15°=45°. 故选：C 6.(2024河北邯郸三模)在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E是近AB上的一个动点（不与A、 B重合)连接EO并延长，交CD于点F,连接AF,CE,下列四个结论中： 甲：对于动点E,四边形AECF始终是平行四边形： 乙：若LABC<90°，则至少存在一个点E,使得四边形AECF是矩形： 丙：若AB>AD,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是菱形； 丁：若AB>AD,∠BAC=45°，则至少存在一个点E,使得四边形AECF是正方形.以上所有正确说法的 序号是() F A.甲、丙、丁正确，乙错误 B.甲、乙、丙、丁都正确 C.甲、乙、丙正确，丁错误 D.甲、乙、丙错误，丁正确 【答案】A 【解析】解：如图1， 图1 :四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O, .AB /DC,AB=DC,OA=OC,OB=OD, ∴∠OAE=∠0CF, :∠A0E=LC0F, :.△AOE≌△COF(ASA), .AE=CF, 又：AE∥CF, 26/46 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 四边形AECF为平行四边形， 即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF形为平行四边形，故选项甲正确： 如图2， D B F 图2 如图3， 当CE⊥AB时，点E不在边AB上，故选项乙错误. B 图3 当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，故选项丙正确 由丙知，若AB>AD,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是菱形， ∠BAC=45°， .∠DAC=∠BAC=45°， ∠DAB=90°， .若AB>AD,∠BAC=45°，则至少存在一个点E,使得四边形AECF是正方形，故选项丁正确， 故选：A. 7.(23-24八年级下河北雄安期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,分别以 AB,AC,BC为边在AB的同侧作正方形ABEF,ACPQ,BCMN,若四块阴影部分的面积分别为S,S2,S, S4,则S,-S2+S+S4等于() S2 A.36 B.24 C.48 D.72 【答案】B 21/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【解析】解：如图，过点F作DF⊥AM于点D,连接FP, D B :四边形ABEF,ACPO,BCMN是正方形， .LFAB=∠AFE=∠FAC+∠CAB=90°，∠ACT=∠ACB=90°，AB=AF=BE=EF, ∠N=90°，BC=BN,∠FPC=∠M=90°， :DF⊥AM, .LFDK=∠FDA=LAFD+∠FAC=90°， :∠CAB=∠AFD,∠CAT=∠DFK, :∠CAB=∠AFD,∠ACB=∠FDA=90°，AB=AF, RtAADF≌RtABCA, :DF=AC, ∠CAT=∠DFK,∠ACT=∠FDK=90°，DF=AC, .RtaDFK≌RtACAT, S2=SRIA ABC,FK=AT,∠DKF=∠CTA, :.KE=TF,∠MKE=∠PTF, :∠FPC=∠M=90°，KE=TF,∠MKE=∠PTF, .RtaFPT≌RtaEMK, .S3 =SAFPT' :AQ=AC,AF=AB,∠Q=∠ACB=90°， Rt△AQF≌Rt△ACB, .S+S3=SRIA4OF =SRIA 4BC :AB=BE,BC=BN,∠N=∠ACB=90°， .RtAABC≌RtAEBN, :S4=SR△ABC’ 28/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S,-S2+S+S4 1 =(S+5,-S,+S,=S4c-54c+Su4c=Sac=2x6x8=24. 故选B 8.(23-24八年级下河北沧州·月考)如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6,BE=8, 则阴影部分的面积是() A.100 B.60 C.76 D.80 【答案】C 【解析】解：：∠AEB=90°，AE=6,BE=8, AB=VAE2+BE2=V62+82=10, 5a2×4B×BE=×6x8=24, 1 2 S阴=SE方形ABcD-S4EB=10×10-24=76。 故选C 9.如图，正方形ABCD边长为I,延长BC至点E,使得BE=√5，AF平分∠BAE交BC于点F,连接DF ，则下列结论：①AF=EF:②AE平分∠DAF:③DF⊥AB;④CF=1- .其中正确的是() 3 6 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】B 【解析】解：过点F作FG⊥AE交于点G, :BE=√5，正方形ABCD边长为1， 29/46 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△ABE中，AE=√AB2+BE2=2, B :AF平分∠BAE交BC于点F, ∴FG=FB,AG=AB=1 GE=AE-AG=1,△AFE为等腰三角形 故AF=EF,①正确； :四边形ABCD为正方形， ∴.∠DAE=LAEB :AF=EF,AF平分∠BAE ∴.∠DAE=∠EAF=∠FAB 故AE平分∠DAF,②正确； :AD≠AF, ·DF不会垂直AE, 故DF⊥AE不成立，③错误 :BE=V5,正方形ABCD边长为1 CE=5-1, 设BF=x,则CF=1-x, :FG=FB=x,AF=EF=CF+CE=3-x, .在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2 即1+2=(5- 解得x 3 CF=1-5 故选：B 30/46 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.(22-23八年级下·河北廊坊期末)如图，正方形ABCD的边长为4，以对角线AC为一边向右作等边 △ACE,连接BE,则BE的长度是() B C A.42+4 B.26+4 C.4+22 D.2√6+2V2 【答案】D 【解析】如图，令AC,BE交于点O,由正方形ABCD,等边△ACE知BA=BC,EA=EC :BE垂直平分AC DA=DC 点D在BE上 B :ABCD是正方形 AC=BD=AB2+BC2=42 .0B=0C=2V2 Rta0CE中，CE=AC=4v2,0E=VCE2-0C2=V(4√2)2-(22)2=26 :BE=0B+0C=22+26 故选：D II.如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且CE=CD,连接BE并延长，交AD于点F,则∠AFE的 度数是 31/46 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B 【答案】67.5 【解析】解：：四边形ABCD是正方形 .∠ACB=45°，CD=CB,AD∥BC CE=CD .CE=CB :∠CBE=∠CEB=2 180°-∠BCE)=67.5° :AD∥BC ∴LAFE=∠CBE=67.5°. 故答案为：67.5°. 12.(22-23八年级下·河北石家庄·期末)如图，正方形ABCD中，点A,B都在点D的右侧，以点C为坐标 原点建立坐标系，若点D的坐标为(-2，-2)，则点B的坐标为 【答案】(2，-2) 【解析】解：由正方形的轴对称性知，点B,D关于y轴对称，故点B(2,-2). 故答案为：(2，-2) 13.(22-23八年级下·河北保定·期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABC的顶点O、B的坐标分别 是(0,0)，(2,0)，则顶点C的坐标是 32/46 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【答案】(L,-1) 【解析】解：连接AC, B :四边形OABC是正方形， 点A、C关于x轴对称， :,AC所在直线为OB的垂直平分线，即A、C的横坐标均为1， 根据正方形对角线相等的性质，AC=B0=2, 又：点A、C关于x轴对称， ∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为-1， 故C点坐标为(1，-). 故答案为：(L,-1) 14.如图，正方形ABCD中，点E在DC边上，DE=2,EC=1,把线段AE绕点A旋转，使点E落在直 线BC上的F点，则F,C两点间的距离为 D E C 【答案】5或1 【解析】解：①当点F在CB的延长线上时， 正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD=DE+CE=3,∠D=LABC=90°， 33/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ABF=∠D=90°； 由旋转知：AF=AE; 在ADE与△ABF中， AD=AB AE=AF' Rt△ADE≌Rt△ABF(HL), .BF DE=2, FC=BF+BC=2+3=5; O B ②当点F在CB边上时， E B 同理可得：Rt△ADE≌Rt△ABF(HL), .FC=BC-BF=3-2=1 故答案为：5或1. 15.(22-23八年级下，河北石家庄·期末)如图，正方形ABCD和正方形GBEF的边长分别是2和3，且点A, B,E在同一直线上，M是线段DF的中点，连结MG,MB,则MB的长为 ,MG的长为 34/46 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G M 夕 E 【答案】 V26 ② 2 2 【解析】解：连接BD,BF, :四边形ABCD,四边形BEFG是正方形， .∠DBC=LCBF=45°， ∠DBF=90°， :正方形ABCD和正方形GBEF的边长分别是2和3， :BD=22,BF=32, DF=BD2+BF2=26, :M是线段DF的中点， Mr= 2 过M作MH⊥BG于H, BM=FM=DF,BG=FG,GM =GM .△BGM≌△FGM(SSS), .LBGM=∠FGM=45°， ∴△GHM是等腰直角三角形， .MH=GH, .BH =3-HG, BM 2=BH2+HM 2, 26-3-HG+HG :. :HG=二或HG=。(不合题意舍去)， GM-HG- 35/46 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为： √26√2 2 2 G D B E 16.己知：如图，正方形ABCD中，E是边CD上一点， D E B B 图1 备用图 (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作射线AF,交BC于点F,且∠EAF=45°；（不写作法，保留作 图痕迹) (②)在(1)的条件下，若AD=4,DE=1,求EF的长.（在备用图中画草图并解答） 【答案】(1)见解析 ②EF的长是17 【解析】(1)解：如图 D E ∠EAF为所求作的角 G (2)解：如图， 36/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 0 E G B :四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=4,∠ABC=∠C=∠D=LBAD=90°， 将ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG, ∠ABD=∠D=90°，BG=DE=1,AG=AE, .∠ABG+∠ABC=180°， :G、B、F三点在同一条直线上， :∠BAG=∠DAE,∠EAF=45°， :∠GAF=∠BAG+∠BAF =∠DAE+BAF =90°-∠EAF =45°， ∠GAF=∠EAF, 在△GAF和△EAF中 「AG=AE ∠GAF=∠EAF, AF=AF ·△GAF≌AEAF(SAS), :GF=EF, 设BF=x,则有EF=GF=1+x,CF=4-x,CE=4-1=3, 在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2, 32+(4-x)2=(1+x)2, 解得：x=2 EF=1+1217 5=5 37/46 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 17.(24-25八年级下·河北保定·期末)施工队在一个正方形场地ABCD构建了平面直角坐标系，并标示了三 个顶点位置的坐标，数据如图（单位：m).一条笔直的地下水管经过A,C两处. A(-100,0)D(100,200) (300,0) B (1)求A,C之间的距离. (②)计划在地下水管上的E处引出两条水管，分别通往B处与BC的中点F处，若使两条水管的总长度最小， 求E处的坐标. 【答案】(1)AC=400m 【解析】(1)解：：A,C的纵坐标都是O,说明A,C都在x轴上，即直线AC就是x轴，C位于正半轴上， A位于负半轴上， AC=-100-300=400m. (2)由题意可知，原点O是线段AC靠近点A的四等分点，得到如1所示的平面直角坐标系.为了便于观 察，将其逆时针旋转45°，即常见的平面直角坐标系，如图2所示。 D(100,200) (-100,0)」 D(100,200) （-100,0) E (300,0) A (300,0) B B 图1 图2 由正方形的性质与轴对称的性质可知，点B,D关于x轴对称，连接DF,交x轴于点E, 则点E就是所要找的位置，连接EB,则EB,EF即两条水管的位置. 由B(100,-200),C(300,0,得F(200,-100). 设直线DF的解析式为y=c+b, 100k+b=200 将D(100,200),F(200,-100)代入，得 200k+b=-1001 38/46 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 「k=-3 解得 b=500 :.直线DF的解析式为y=-3x+500 当=0时，即-3x+500=0,解得x=500 30 50 点E的坐标为 18.(23-24八年级下·河北唐山期末)如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的 延长线上，且PE=PB D B C B C 图① 图② (I)求证：△BCP≌△DCP; (2)求证：∠DPE=∠ABC; (3)把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若AC=AD,则∠DPE= 度 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)60 【解析】(1)证明：在正方形ABCD中，BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°， 在△BCP和△DCP中， BC=DC ∠BCP=∠DCP, PC=PC aBCP≌aDCP(SAS); (2)证明：由(1)知，△BCP≌△DCP, .∠CBP=LCDP, .PE =PB, ∴.∠CBP=∠E, ∴.∠CDP=∠E, 设CD与PE相交于点O, 3y/46 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D .∠POD=∠COE, B C E ∠DPE=∠DCE=90°， LDPE=∠ABC; (3)解：在菱形ABCD中，BC=DC=AD,∠BCP=∠DCP, 又：AC=AD, :AD=CD=AC, 则△ACD是等边三角形， ∠ABC=60°， 在△BCP和△DCP中， BC=DC ∠BCP=∠DCP, PC=PC aBCP≌aDCP(SAS), ∠CBP=∠CDP, PE PB, ∠CBP=∠E, .∠CDP=∠E, 设CD与PE相交于点O, A D :∠POD=∠COE, .LDPE=∠DCE, :AB I CD .∠DCE=∠ABC=60°， .∠DPE=∠ABC=60°， 40/46 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：60 19.(23-24八年级下·河北保定·期末)四边形不具有稳定性，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变， 如图，正方形ABCD当改变内角大小就变成菱形ABC'D',若∠D'AB=30°，请你写出菱形ABC'D'的面积与 正方形ABCD的面积之比，再写出理由. D A B 【答案】子，理由见解析 【解析】解：过点D作D'E⊥AB于点E,如图， D D 30 A EB 设正方形ABCD的边长为a,则AB=AD=DC=BC=a, :四边形ABCD'为菱形 AB=AD'=D'C'=BC'=a, :在Rt△AED'中，∠D'AB=30°， DE=540', 2 S菱形HBCn:SE方形BCD=2 答：菱形ABCD'的面积与正方形ABCD的面积之比为；· 41/46 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 拓展培优题 1.(2026河北石家庄.一模)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴上，顶点D在y轴 上，直线1：y=x-2经过点B(-7,5).将正方形沿y轴向下平移m个单位后，点C恰好落在直线l上.下 列结论中，正确的有() ①直线1的解析式为y=-x-2; ②正方形ABCD的边长为5： ③平移距离m=7; ④平移后正方形对角线的交点到原点0的距离为2 A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③④ 【答案】C 【解析】解：：点B(-7,5)在直线1：y=c-2上， .5=-7k-2, 解得k=-1, 直线l:y=-x-2,故结论①正确： 过点B作BE⊥x轴交于点E,过C作CF⊥y轴交于点F,如下图所示： B E 四边形ABCD为正方形， 42/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AD,∠BAD=90°， .∠BAE+∠DA0=90°，∠BAE+∠EBA=90°， ∠DAO=∠EBA, AB=AD,∠BEA=∠AOD=90°， :△BEA≌△AOD(AAS), BE=A0=5, OD=AE=0E-A0=2, 由勾股定理得AB=√BE2+EA2=√29，故结论②错误； 同理可证△DFC≌aAOD, ..CF=OD=2,OF=OD+DF=7, .点C(-2,7),平移后点坐标为-2,7-m), 点(-2,7-m)在直线1：y=-x-2上， 代入得7-m=-(-2)-2, 解得m=7,故结论③正确； 平移前，对角线交点为BD中点， B(-7,5)、D(0,2), 其坐标为 3引 平移后坐标为（子引 到原点距离为 72 ,故结论④正确： 2 综上，正确的结论有①③④，故选C 2.(24-25八年级上河北邯郸月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别作∠BAC,∠ABC的外角 平分线，它们相交于京D,连接CD.有下列结论：@L08=45:②∠4DC=∠4BC,®CD平分 乙ACB:①巴D回当ACBC时，4B=CD-BC·其中一定正确的有() 43/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【解析】解：如图，过点D作DM⊥CA于M,DN⊥CB于N,DH⊥AB于H, ---1W B A 又：∠ACB=90°， ·四边形DMCN是长方形， ∠MDN=90°， :∠BAC,∠ABC的外角平分线相交于点D, :DM=DH DN DH, .DM =DN DH :CD平分∠ACB,故③正确； 同时可证长方形CMDN为正方形： 在Rt△ADM和RtAADH中， (AD=AD DM=DH .Rt△ADM≌Rt△ADH(HL), .∠ADM=∠ADH, 同理∠BDN=∠BDH, ∠4D8=∠ADH+∠BDH-NDN=45,故①正确： 1∠ABC=180°-2∠DBN)=90°-∠DBN=LNDB, :四边形CMDN为正方形， ∠NDC=45°， 44/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即∠NDB+∠CDB=45°， 由①∠ADC+∠CDB=45°， A∠ADC=∠NDB=∠ABC, 2 故②正确： 作CP⊥AD交DA的延长线于P,作CQ⊥BD交DB的延长线于Q, -N B ADCP SAACD= ADCP BDCO BDCO S.BCD BD' 则CP=CQ, 又：CP⊥AD,CQ⊥BD, 即CD平分∠ADB, 这不一定成立，故④错误： :四边形DMCN是正方形， :LMCD=∠NCD=45°， 当AC=BC时， :AD是∠MAB的平分线， :DM =DH, AD=AD, .Rt△ADM≌Rt△ADH(HL), :AM=AH, 同理BN=BH, AC=BC,CM =CN :AM BN .AH BH ·AM=AH=BN=BH, 设AC=BC=a,则AB=V2a, 45/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AM-AH BN=BH MC=AC+4M=a+ 20, .CD=√2MC=√2a+a, CD-BC=√2a+a-a=V2a, :AB=CD-BC,故⑤正确， 综上所述：一定正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C. 46/46函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.7正方形（答案版） A 夯基础 题型一正方形的性质 1.B 2.A 3.A 题型二正方形的判定 4.A 5.C 6.D 题型三利用正方形的性质和判定求线段 7.C 8.B 9.C 题型四利用正方形的性质和判定求角度 10.C 11.A 12.B 题型五利用正方形的性质和判定求面积 13.C14.(1)解：由图可知，点A为旋转中心，在四边形ABCD中，∠BAD=90°， ∴.∠BAE+∠EAD=∠DAF+∠EAD=90°， ∴∠EAF=90°，360°-90°=270°」 所以，逆时针旋转了90°或顺时针270°； 故答案为：A,90或270： (2)解：由旋转性质知，AE=AF,∠F=∠AEB=∠AEC=∠C=90°， ∴四边形AECF是正方形， ,△BAE旋转后能与△DAF重合， .△BEA≌aDFA, S.BEA=S.DFA ∴，四边形ABCD的面积=正方形AECF的面积， .AE=4cm, ∴.四边形ABCD的面积=42=16cm2. 15.1 题型六利用正方形的性质和判定证明 16.(1)解：过点O作OM⊥AD于点M,ON LCD于点N,如图所示： 1/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E Mh-- D .∠OMD=∠OME=∠ONF=90° :四边形ABCD是正方形，且边长为4， .AB=BC=CD=AD=4,∠ADB=45,∠ADC=∠C=90° .∠OMD=∠ADC=∠ONF=90°， ∴.四边形OMDN是矩形， .∠OMD=90°，∠ADB=45°， ∴△OMD是等腰直角三角形， ∴.OM=DM, ∴，矩形OMDN是正方形， ∴.OM=ON,∠MON=90°， .OE⊥OF. .∠EOF=∠MON=90°， ∴.∠EOM+∠MOF=∠MOF+∠FON, .∠EOM=∠FON, 在△EOM和△FON中， [∠OME=∠ONF OM=ON ∠EOM=∠FON ∴.△EOM≌aFON(ASA), ∴.OE=OF; (2)解：当点E在AD边上运动时，四边形OEDF的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接OC，如图所示： 2112 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B M--- D FN ,四边形ABCD是正方形，点O为对角线BD的中点， .∠OCD=∠BDC=45°，DC=CB=4, ∴.△DOC是等腰直角三角形 .ON⊥CD .D-CN-iDc-C-2 2 则0N=Dc=2 由(1)得△EOM≌△FON ∴.M0=ON=2 由(1)得∠MON=90°，矩形OMDN是正方形， 则S四边形oEDF=S.EOM+S四边形ONDF=S.FON+S四边形OMDe=S正方形OWDN=M0×ON=4, 17.(I)过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， D 正方形 ! M B ABCD ∠BCD=90°，∠ECN=45°， ∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC, ∴.四边形EMCN为矩形， NE=NC. ∴.四边形EMCN为正方形， ∴EM=EN, 四边形DEFG是矩形， ∴.∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=9O°， 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DEN=∠MEF, 又∠DNE=∠FME=90°， ∠DNE=∠FME 在 和 中， EN=EM ADEN△FEM ∠DEN=∠FEM '∴.aDEN≌aFEM(ASA), ∴ED=EF, ∴矩形DEFG为正方形； (2)矩形DEFG为正方形， ∴.DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°， ~四边形ABCD是正方形， ∴.AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°， .∠ADE=∠CDG」 '△ADE≌aCDG(SAS). .∠DAE=∠DCG=45°： (3)当点F在线段BC上时， :正方形EMCN,正方形ABCD, ∴.BC=DC,MC=NC. .BC-MC=DC-NC,即：BM-DN, .△DEN≌△FEM, .FM DN .BM-FM-BC-FC-8-4-2 2 2 .MC=MF+FC=4+2=6, ∴.EC=V2MC=6V2,AC=√2BC=8N2, ,△ADE≌△CDG. AE=CG=AC-EC=82-6√2=2√2， 当点F在线段BC的延长线上时， 4/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D CM B :正方形EMCV,正方形ABCD, .BC=DC,MC=NC. ∴.BC-MC=DC-NC,即：BM=DN, .△DEN≌△FEM. .FM=DN. BM-FM-BCFC-844-6, 22 .MC=MF-FC=6-4=2, ∴.EC=V2MC=2√2，AC=2BC=8N2, :△ADE≌ACDG, AE=CG=AC-EC=82-22=62 综上，CG的长为2√2或62. 18.(1)证明：作EP⊥CD于P,E0LBC于g,则∠EQF=∠EPD=90° G B 图1 ,四边形ABCD为正方形， ∴.∠DCA=∠BCA=45°，AB=BC, :.E0=EP,∠QEC=LQEF+∠FEC=45°，∠PEC=45°， :四边形DEFG是矩形， .∠DEF=90°，则∠PED+∠FEC=45°， .∠QEF=∠PED 在RtAEOF和Rt△EPD中， 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [∠QEF=∠PED EO=EP ∠EQF=∠EPD .△EOF≌aEPD(ASA), .EF =ED, .矩形DEFG是正方形： (2)解：如图所示，过点G作GH⊥BC交BC延长线于H E G B 由正方形的性质可得EF=GF,∠EFG=90°，∠ACB=45°， 、.△CEQ是等腰直角三角形， ..OE=OC .CE=VQE2+QC2=V2QC=3√2， .QC=3 .EQ⊥BC,GH⊥BC .∠EQF=∠FHG=90° :.∠QEF+∠QFE=∠QFE+∠HFG=90°， .∠QEF=∠HFG ∴.△OEF≌aHFG(AAS), ..OF=GH,EQ=HF, ..Co=HF CO-CF=HF-CF,FO=CH, .CH=HG. 由(1)可得△EQF≌△EPD ..OF =DP .EQ⊥BC,PC⊥BC,EP⊥CD, ∴四边形EQCP是矩形， CP=QE=3 6112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DP=CD-CG=4-3=1, .CH=HG=1 ..CG=CH2+GH2=2: (3)解：当DE与AD的夹角为40°时，点F在BC边上，∠ADE=40°， 则∠CDE=90°-40°=50°， 在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC=360°-90°-90°-50°=130°： ②当DE与DC的夹角为40°时，点F在BC的延长线上，∠CDE=40°，如图3所示： G H 图3 .∠HCF=∠DEF=9O°，∠CHF=∠EHD, .∠EFC=∠CDE=40° 综上所述，∠EFC的度数为130°或40°， 题型七正方形的折叠问题 19.A 20.C 21.C B 提能力 1.D 2.A 3.C 4.D 5.c 6.A 7.B 8.C 9.B 10.D √26 11.67.5° 12. (2,-2) 13.1,-10 14.5或1 15. 2 16.(1)解：如图 7112 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 为所求作的角. C=s4-5 G C ∠EAF (2)解：如图， D E GB ,四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=4,∠ABC=∠C=∠D=∠BAD=90°， 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG, .∠ABD=∠D=90°，BG=DE=1,AG=AE, .∠ABG+∠ABC=180° ∴.G、B、F三点在同一条直线上， ∠BAG=∠DAE,∠EAF=45°， ∴.∠GAF=∠BAG+∠BAF =∠DAE+BAF =90°-∠EAF =45°」 .∠GAF=∠EAF, 在△GAF和△EAF中 AG=AE ∠GAF=∠EAF, AF=AF .△GAF≌aEAF(SAS), ..GF=EF, 设BF=x,则有EF=GF=1+x,CF=4-x,CE=4-1=3, 在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2, 8112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32+(4-x)}=(1+x)2, 解一导 EF=1+1217 55· 17.(1)解：：A,C的纵坐标都是0，说明A,C都在x轴上，即直线AC就是x轴，C位于正半轴上，A位 于负半轴上. .AC=100-300=400m (2)由题意可知，原点O是线段AC靠近点A的四等分点，得到如1所示的平面直角坐标系.为了便于观 察，将其逆时针旋转45°，即常见的平面直角坐标系，如图2所示. 100,0 D(100,200) D(100,200) (-100,0) 、E (300,0) (300,0) B 图1 图2 由正方形的性质与轴对称的性质可知，点B,D关于x轴对称，连接DF,交x轴于点E, 则点E就是所要找的位置，连接EB,则EB,EF即两条水管的位置. 由B(100,-200),C(300,0),得F(200,-100). 设直线DF的解析式为y=cx+b 100k+b=200 将D(100,200),F(200,-100)代入，得1200k+b=-100' 「k=-3 解得1b=500 ∴.直线DF的解析式为y=-3x+500 当y-0时，即-3x+500=0:解得x=50 3, ∴点e的坐标为9”。小 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(1)证明：在正方形ABCD中，BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°， 在△BCP和△DCP中， BC=DC ∠BCP=∠DCP PC=PC .ABCP≌aDCP(SAS): (2)证明：由(1)知，△BCP≌△DCP, .∠CBP=∠CDP, .PE=PB, .∠CBP=∠E, .∠CDP=∠E, 设CD与PE相交于点O, 刀 B CE:∠POD=∠COE ∴∠DPE=∠DCE=90°， ∠DPE=∠ABC: (3)解：在菱形ABCD中，BC=DC=AD,∠BCP=∠DCP, 又：AC=AD, .AD=CD=AC, 则△ACD是等边三角形， ∠ABC=60°， 在△BCP和△DCP中， BC=DC ∠BCP=∠DCP PC=PC ∴ABCP≌DCP(SAS). ∠CBP=∠CDP. .PE=PB, 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CBP=LE, .∠CDP=∠E, 设CD与PE相交于点O, D E.·∠POD=∠COE ∠DPE=∠DCE, AB CD .∠DCE=∠ABC=60°， .∠DPE=∠ABC=60°， 故答案为：60 19.解：过点D'作D'E⊥AB于点E,如图， D D' 30° d EB 设正方形ABCD的边长为a,则AB=AD=DC=BC=a, :四边形ABCD'为菱形 .AB=AD'=D'C'=BC'=a, 在Rt△AED'中，∠D'AB=30°， 2 1 Scn Samacn=AB-D'E-a- swww0d-生 2 答：菱形ABC'D的面积与正方形ABCD的面积之比为2， 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展培优题 1.c 2.C 12/12 21.7 正方形 题型一 正方形的性质 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 2．（2025·河北唐山·二模）如图，直线l与正方形的边，分别相交于点M，N，如图所示，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在正方形中，O是坐标原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型二 正方形的判定 4．（25-26九年级上·河北保定·期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（　　）． A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一条对角线平分一组对角 D．④对角线相等 5．（2024·河北秦皇岛·一模）数学课上，嘉嘉作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，则直线即为所求．作完图之后，嘉嘉经过测量发现，，根据他的作图方法和测量可知四边形是正方形，嘉嘉的理由是（   ） A．两组对边分别平行的菱形是正方形 B．四条边相等的菱形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 6．（21-22八年级下·河北唐山·期末）已知在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（    ） A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD 题型三 利用正方形的性质和判定求线段 7．（24-25八年级下·河北唐山·期中）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的边长是2，，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·河北保定·期中）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，用拉紧的橡皮筋连接，转动这个四边形，使它的形状改变．当时，如图1，测得．当时，如图2，此时（    ）    A． B． C． D． 9．（20-21八年级下·河北石家庄·期末）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　） A．1 B． C． D． 题型四 利用正方形的性质和判定求角度 10．如图，点为正方形内一点，，，连结，那么的度数是(   )    A． B． C． D． 11．（19-20九年级上·全国·单元测试）如图，是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点，交于点，连接，，则的度数是（    ） A．45° B．50° C．60° D．不确定 12．夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上．若A、D、F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系（    ） A． B． C． D． 题型五 利用正方形的性质和判定求面积 13．（2021·河北石家庄·一模）如图，已知正六边形的边长为1，分别以其对角线、为边作正方形，则两个阴影部分的面积差的值为（ ） A．0 B．2 C．1 D． 14．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． (1)旋转中心是点________，旋转了________度； (2)若，求四边形的面积． 15．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 题型六 利用正方形的性质和判定证明 16．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 17．（24-25八年级下·河北保定·期末）题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接． 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形； 解决问题： （2）求的度数； （3）若，，请直接写出的长． 18．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)如图，求证：矩形是正方形（提示：过E分别作、）； (2)若，，求的长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 题型七 正方形的折叠问题 19．（2025·河北唐山·二模）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕，若正方形与五边形的面积相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 20．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 21．（2022·河北·模拟预测）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接，．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25八年级下·河北沧州·期末）下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（   ） A．有一个角是直角 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．下列命题是假命题的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形； B．菱形的对角线互相垂直； C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； D．对角线相等的菱形是正方形； 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，这是一个由边长均为1的正方形组成的4×1网格，其中长度为的线段是（　　） A． B． C． D． 4．如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（    ）    A．1 B． C．2 D． 5．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北邯郸·三模）在中，对角线相交于点O，E是近上的一个动点（不与A、B重合）连接并延长，交于点F，连接，下列四个结论中： 甲：对于动点E，四边形始终是平行四边形； 乙：若，则至少存在一个点E，使得四边形是矩形； 丙：若，则至少存在一个点E，使得四边形是菱形； 丁：若，，则至少存在一个点E，使得四边形是正方形．以上所有正确说法的序号是（   ） A．甲、丙、丁正确，乙错误 B．甲、乙、丙、丁都正确 C．甲、乙、丙正确，丁错误 D．甲、乙、丙错误，丁正确 7．（23-24八年级下·河北雄安·期中）如图，在中，，，，分别以为边在的同侧作正方形，若四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（    ） A．36 B．24 C．48 D．72 8．（23-24八年级下·河北沧州·月考）如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（　　） A．100 B．60 C．76 D．80 9．如图，正方形边长为1，延长至点E，使得，平分交于点F，连接，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）如图，正方形的边长为4，以对角线为一边向右作等边，连接，则的长度是（　　）    A． B． C． D． 11．如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是___________． 12．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形中，点A，B都在点D的右侧，以点C为坐标原点建立坐标系，若点D的坐标为，则点B的坐标为_______．    13．（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是________．    14．如图，正方形中，点E在边上，，，把线段绕点A旋转，使点E落在直线上的F点，则F，C两点间的距离为__________． 15．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形和正方形的边长分别是2和3，且点A，B，E在同一直线上，M是线段的中点，连结，，则的长为_________，的长为_____．    16．已知：如图，正方形中，是边上一点，    (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作射线，交于点，且；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长．（在备用图中画草图并解答） 17．（24-25八年级下·河北保定·期末）施工队在一个正方形场地构建了平面直角坐标系，并标示了三个顶点位置的坐标，数据如图（单位：m）．一条笔直的地下水管经过两处． (1)求之间的距离． (2)计划在地下水管上的处引出两条水管，分别通往处与的中点处，若使两条水管的总长度最小，求处的坐标． 18．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)把正方形改为菱形，其它条件不变（如图②），若，则________度． 19．（23-24八年级下·河北保定·期末）四边形不具有稳定性，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，正方形当改变内角大小就变成菱形，若，请你写出菱形的面积与正方形的面积之比，再写出理由．    1．（2026·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，直线：经过点．将正方形沿轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有（   ） ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为： ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25八年级上·河北邯郸·月考）如图，在中，，分别作，的外角平分线，它们相交于点，连接．有下列结论：①；②；③平分；④；⑤当时，．其中一定正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $