21.6 第2课时 菱形的判定-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（冀教版·新教材）

又OE=OF,∴.四边形AECF是平行四边形. ∴∠AHG=60..∠ABH=30°.∴∠ABC=60° :CF平分∠DCA,CE平分∠BCA, AF⊥AB,∠BAP=90°.∠BPA=30° ∴∠BCF=∠EC0+∠0CF=号（∠BC0+∠OCD)= .PC=2FC.∴.PF=√PC2-FC=√3CF 如图，连接AC,:∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD, 号×180=902.四边形ABCF是矩形。 ∴.△ADC是等边三角形. 拓展在线 AF⊥CD,.CF=DF.∴.PF=√3DF 12.(1)选择条件①：∠ABC=∠CDA=90°； 第2课时菱形的判定 证明：，∠ABC=∠CDA=90°，AD∥BC, 基础在线 ∴.∠BAD=180°-∠ABC=90°. 1.,CE∥DB,CE=DB,.四边形BECD是平行四边形 ∴∠BAD=∠ABC=∠CDA=90. ,在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点， 四边形ABCD为矩形 BD=CD=AD=号AC 选择条件②证明略。 (2),四边形ABCD为矩形， .四边形BECD是菱形 ∴∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC,OC=OD=OB. 2.B DE平分∠ADC, 3.,四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,AB∥CD ∠ADE=∠CDE=号∠ADC=45 AB⊥AC,.∠BAC=∠ACD=90° :E,F分别是边BC,AD的中点， ∴.∠ADE=∠CED=45°. ∴.∠CDE=∠CED=45°.∴.CE=CD. AE-7BC-EC.CF-7AD-AF. .∠BDE=15°，∴.∠CDO=∠CDE+∠BDE=60° .'AD=BC,..AE=EC=CF=AF. ∴△COD是等边三角形. .四边形AECF是菱形.，ACLEF .OD=OC=CD=CE,∠COD=∠OCD=60° 4.B ∴.∠OCE=∠BCD-∠OCD=30°. 5.DO=AO,EO=CO,.四边形AEDC是平行四边形 ∴∠C0E=∠CE0=2180°-∠0cE)=75 四边形ABCO是矩形，.∠AOC=90°，即AD⊥EC .平行四边形AEDC是菱形. ∴.∠DOE=∠COE+∠COD=135° 6.D 21.6菱形 能力在线 第1课时菱形的性质 7.B8.D9.B10.B11.A 基础在线 12.连接BF,:△EFD和△ABC关于点O 成中心对称， 1.C2.B3.A4.D5.D6.A7.48.1 9.,四边形ABCD是菱形，.AB=BC. ∴.B,O,F三点共线，OB=OF,OC= OD,OA=OE. .AE=CF,.'.AB-AE=BC-CF, 即BE=BF. ∴四边形BCFD是平行四边形，四边形 BF=BE. ABEF是平行四边形. 在△ABF和△CBE中，，'〈∠B=∠B, :∠BAC=∠DBC, BA=BC, ∴∠BAC+∠ABD=∠DBC+∠ABD, 即∠BDC=∠ABC. ∴.△ABF≌△CBE(SAS).∴.AF=CE. AB=AC,.∠ABC=∠ACB. 能力在线 10.C11.A12.A13.336cm2 ∴∠BDC=∠ACB..BD=BC 14.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， 四边形BCFD是菱形.BF⊥CD. 又四边形ABEF是平行四边形， ∴.CB=CD,∠BCE=∠DCE 又.'CE=CE,∴.△CBE≌△CDE(SAS) .平行四边形ABEF是菱形 .∠CBE=∠CDE. 拓展在线 (2)·四边形ABCD是菱形， 13.(1)证明：，AF⊥AB,CE⊥CD, ∴.∠BAF=∠DCE=90° ·AB=AD,AC⊥BD,OA=OC,OB=2BD, AB∥CD,.∠ABF=∠CDE. :∠BAD=60°，∴.△BAD是等边三角形. .BE=EF=FD,.'.BF=DE, ∴.BD=AB=2..OB=1. ∴.△ABF≌△CDE(AAS). ∴OA=√AB2-OB=√3.∴.OC=√3， (2)四边形AECF是菱形.理由如下： .△ABF≌△CDE, BE⊥DE,且O为BD中点，OE=2BD=1. ∴.AF=CE,∠AFB=∠CED.∴.AF∥CE ∴CE=OC-OE-√3-1. ∴.四边形AECF是平行四边形， 拓展在线 在R△ABF中，：∠ABD=30,AF=合BR 15.(1)65 (2)证明：①，四边形ABCD是菱形， 在RADCE中，：EF=DF,CF=号DE, .AB=AD,AB∥CD,AD∥BC. BF=DE,.AF=CF..四边形AECF是菱形 .∠ABD=∠ADB, AE⊥BC,AF⊥CD,.AE⊥AD 21.7正方形 AF⊥AB. 第1课时正方形的性质 ∴.∠DAG=∠BAH=90° 基础在线 ∴.∠AHB=90°-∠ABD=90°-∠ADB=∠AGD 1.D2.B3.D4.A5.B6.B7.458.5 ..AG=AH. 9.四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠BAD=90. ②，BG=GH,.G是Rt△ABH斜边BH的中点. ∴·∠BAF+∠DAE=90°. ,.AG=BG=GH.由①知AH=AG. .DE⊥AG,BF⊥AG,'.∠DEA=∠AFB=90 .AG=AH=GH.∴△AGH是等边三角形. ∴∠DAE+∠ADE=90°.∠BAF=∠ADE 22 一探究在线·八 I∠AFB=∠DEA, :∠KPH=90°，.∠KPE+∠EPH=90. 在△ABF和△DAE中， ∠BAF=∠ADE, .PE⊥CP,∴.∠HPC+∠EPH=90° AB-=DA, ∴∠KPE=∠HPC ∴.△ABF≌△DAE..BF=AE.即AE=BF ∠PKE=∠PHC=90°， 能力在线 在△KPE和△HPC中，，PK=PH, 10.8W211.A12.A ∠KPE=∠HPC 13.·四边形ABCD是正方形，O为AC的中点， ∴△KPE≌△HPC(ASA).∴.PC=PE. ∴AB=BC=60em,∠ABC=90,0A=0C=号AC ,四边形PEFC是平行四边形，且PE⊥CP, ∴四边形PEFC是正方形 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC= 拓展在线 √602+602=60√2(cm). 11.(1)= (2)证明：，四边形ABCD是矩形， ,△ACE为等边三角形，∴.AC=AE=CE=60√2cm ∴.AD∥BC,∠A=∠B=90°. ∴.OA=OC=OD=30√2cm,OE⊥AC.∴.∠AOE=90. :AE=BF,四边形ABFE是平行四边形 在Rt△AOE中，由勾股定理，得OE=√CE-OC= AE=AB,∴.四边形ABFE是菱形. √/(60√2)2-(30√2)2=30√6(cm). :∠A=90°，∴四边形ABFE为正方形 (3)如图③，连接NP并延长，交BF于点 答：点O到点E的距离是30√6cm. G,在PG上截取PO=NP, 拓展在线 ∴.四边形ANGB是矩形..NG=AB=4 14.(1)证明：四边形ABCD为正方形， ,四边形AEFB是正方形，AE=4, ∴.AD=BC,∠ADE=∠CBF=45°. ..EF=AE=4. 图③ 在△ADE和△CBF中， ,M,N分别为EF,AE的中点，P,Q分别为AM,BN的中 (AD=CB, :∠ADE=∠CBF, 点，∴PN=2EM=EF=1,AN=2AE=2,0N=2. DE-BF, ..BG=AN=2,0G=NG-NO=2. ∴.△ADE≌△CBF(SAS)」 在Rt△OGB中，BO=√BG+OG=2√2. (2)连接AC交BD于点O,如图 .四边形ABCD为正方形，BD=10 :P,Q分别为ON,BN的中点，PQ=B0=VE. .BD垂直平分AC,OA=OC=OB= 2BD 21.8梯形 基础在线 =5. ∴.AF=CF,AE=CE 1.B2.C3.C4.C5.C6.D 由(1)知△ADE≌△CBF,.AE=CF. 7.如图，过点D作DE∥AB,交CB于点E, .AD∥CB, AF=CF=AE=CE.∴.四边形AECF为菱形. .四边形ABED是平行四边形 ,四边形AECF的周长为4√34， ∴.EB=AD=3,DE=AB=4. ..AF=1 ×434=√34. CB=6,.EC=BC-BE=6-3=3. CD=5,∴.CD2=DE+CE 在Rt△AOF中，OF=√AF2-OA=3.∴.EF=2OF=6. .△DEC是直角三角形.∴∠DEC=∠ABC=90°. 第2课时正方形的判定 基础在线 四边形ABCD的面积是？(AD+CB)·AB=合×(3 1.D2.A3.B +6)×4=18. 4.:四边形ABCD为平行四边形，.AB∥CD,BD=2BO. 8.4或14 .∠ABD=∠CDB. 能力在线 .AC=2BO,∴.AC=BD 9.C10.C11.B12.B13.1.5 .平行四边形ABCD为矩形 14.(1).CE是∠ACB的平分线， :BD为∠ABC的平分线， .∠ACE=∠BCE. ∴∠ABD=∠DBC.∠CDB=∠DBC .AD∥BC,.∠AEC=∠BCE, .BC=CD.∴平行四边形ABCD为正方形 .∠ACE=∠AEC.∴AE=AC. 5.四边形DBEC是正方形.理由如下： .AC=BC,..AE=BC. .四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD. :AE∥BC,.四边形AEBC是平行四边形. .'BE=AB,.'BE=CD. ,AC=BC,∴.平行四边形AEBC是菱形， .BE∥CD,.四边形DBEC是平行四边形 (2)如图，连接BD .CE=CD,.四边形DBEC是菱形 ,在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD, DA=DE,BE=AB,∴.DB⊥AE .∠ABC=∠DCB..△ABC≌△DCB..AC=DB .菱形DBEC是正方形. 由(1)可知，四边形AEBC是菱形， 6.C ∴.AC=BE=EA.∴.BE=BD,∠EAB=∠EBA. 能力在线 NBD⊥BE,∴∠BED=∠BDE=45°. 7.A8.D9.√/74 10.(1)正方形 ∠EAB=∠EBA=号×(180°-45)=67.5 (2)证明：过点P作PK⊥AB于点 ∠ABD=90°-67.5°=22.5. K,PH⊥BC于点H,如图所示， .∠ADB=2∠ABD. ∴∠PHB=∠PKE=∠PHC=9O 拓展在线 ,四边形ABCD是正方形， 15.(1)26 .∠ABC=90°，BD平分∠ABC. ∴.∠KPH=90° 20号 PK⊥AB,PH⊥BC,PK=PH ②有两种情况： 年级数学（下）·J小一©第2课时 ①基础在线》知识要点分类然 知识点1一组邻边相等的平行四边形是菱形 1.(保定期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°. D为AC的中点，连接DB,过点C作CE∥ DB,且CE=DB,连接BE,DE.求证：四边形 BECD是菱形. 知识点2四条边相等的四边形是菱形 2.(廊坊阶段练习)要检测一个四边形是不是菱 形，下列方案可行的是 () A.任选两个角，测量它们的角度 B.测量四条边的长度 C.测量两条对角线的长度 D.测量两条对角线交点到四个顶点的长度 3.如图，在□ABCD中，AB⊥AC,E,F分别是边 BC,AD的中点，连接AE,CF,EF.求证：AC ⊥EF. D 菱形的判定 知识点3 对角线互相垂直的平行四边形是 菱形 4.(邯郸二模)下面是嘉嘉作业本上的一道习题 及解答过程： 已知：如图，四边形ABCD是 菱形，延长CA到点E,延长 AC到点F,使AE=CF,连接 EB,BF,FD,DE 求证：四边形EBFD是菱形. 证明：连接BD,交AC于点O, 四边形ABCD是菱形， ∴.OB=OD,OA=OC,①. .AE=CF,.② ∴.四边形EBFD是平行四边形. EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形 若以上解答过程正确，则①，②分别为() A.AB=BC,BE=BF B.ACBD,OE=OF C.AB∥DC,OE=OFD.AD∥BC,BD=AC 5.如图，在矩形ABCO中，延长AO到点D,使DO =AO,延长CO到点E,使EO=CO,连接AE, ED,DC,AC.求证：四边形AEDC是菱形. 易错点对菱形的判定方法掌握不透而致错 6.已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O,AC⊥BD,∠ABO=∠CBO,再添加一 个条件使四边形ABCD是菱形，添加条件不 正确的是 （) A.AB=AD B.AB∥CD C.OB-OD D.AD-CD 第二十-章72 2能力在线》 方法规律综合练 7.已知口ABCD的两条对角线AC,BD相交于 点O,AB=5,AC=6,BD=8,则四边形ABCD 的周长是 () A.18 B.20 C.24 D.26 8.如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O,E 为AD的中点，若∠AOE=∠OAE=25°，则 ∠BDC= ( ) A.50° B.55° C.60° D.65° 第8题图 第10题图 9.在校园艺术节中，同学们准备制作4个边长为 100cm的菱形画框.完成后，他们决定通过测 量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其 中不能判定画框为菱形的测量方式是 60cm 100cmy106 80cm 80cm B.74° 60cm 106 100cm 100cm 100cm 100em06100em C. D.<74° 100cm 100cm 106 10.(中考·德阳)如图，E,F,G,H分别是四边 形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，如果 BD=AC,四边形EFGH的面积为24，且 HF=6,则GH= () A.4 B.5 C.8 D.10 11.用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼 成一个图案，下列拼成的图案中，不含菱形的 是 73探究在线八年级数学（下）·J刀 12.如图，在△ABC中，O是AC边上一点， △EFD和△ABC关于点O成中心对称，连 接BD,BE,AF,CF.若AB=AC,∠BAC= ∠DBC,求证：四边形ABEF是菱形 3 拓展在线》培优拔尖提升练…。 13.（中考·遂宁)如图，在四边形ABCD中，AB ∥CD,点E,F在对角线BD上，BE=EF= FD,且AF⊥AB,CE⊥CD. (1)求证：△ABF≌△CDE; (2)连接AE,CF,若∠ABD=30°，请判断四 边形AECF的形状，并说明理由，