17.2 第4课时 三角形的中位线&微专题11 平行四边形中常见的题型-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

©第4课时 ①基础在线》和识要点分类练 知识点三角形的中位线 1.(驻马店期未)如图，A、B两点被池塘隔开，过 点A、B分别作直线AC、BC相交于点C,点 D、E分别是线段AC、BC的中点，现测得DE =6m,则AB= () A.3 m B.6m C.9 m D.12m 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，点D为AB的中点，H为 AC上一点，连结BH、DH,点E、F分别为 BH、DH的中点，连结EF,若EF=4,则AD 的长为 () A.5 B.8 C.16 D.2 3.(中考·山西)如图，在平行四边形ABCD中， 点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中 点，连结OE.下列两条线段的数量关系中，一 定成立的是 () A.OE-ZAD B.OE~7BC C.OE-AB D.OE-AC 第3题图 第4题图 4.(中考·广东)如图，点D、E、F分别是△ABC 各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=() A.20° B.40° C.70 D.1109 5.如图，E、F是四边形ABCD两边AB、CD的 中点，G、H是对角线AC、BD的中点，若EH 71探究在线八年级数学（下）·HD 三角形的中位线 =6,则以下结论错误的是 A.EH∥GF B.GF=6 C.AD=12 D.BC=12 A 第5题图 第6题图 6.(中考·湖南)如图，在△ABC中，BC=6,点E 是AC的中点，分别以点A、B为圆心，以大于 号AB的长为半径画弧，两孤相交于点M,N, 直线MN交AB于点D,连结DE,则DE的长 是 7.如图，在△ABC中，D、E分 别是边AB、AC的中点，连结 BE、DE.若∠AED=∠BEC, DE=6,则BE的长为 8.（教材P108复习题T9变式)如图，在四边形 ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F 分别是AB、CD的中点，AD=BC,∠PEF= 30°，求∠PFE的度数. 2能力在线 、方法规律综合练 9.(河南二模)如图，在△ABC中，D、E分别是 BC、AC的中点，BF平分∠ABC,交DE于点 F.若AB=6,BC=4,则EF的长是() A.1 B.2 C.3 D.4 E 第9题图 第10题图 10.(焦作期中)如图，在△ABC中，∠BAD= ∠CAD,BE=CE,AD⊥BD,AB=5,AC=9, 则DE的值为 () A.7 B.4 C.2 D.5 11.如图，在△ABC中，DE 是线段BC的垂直平分 线，F是线段AC的中 点，其中CF=5,DF=4, 则△ABE的周长为 12.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD= BC,延长AB至点E,使BE=AB,延长AC 至点F.使CF=AC,连结EF、DF,点M为 EF的中点 (1)若∠ADC=70°，求∠E的度数； (2)求证：AM∥DF. :培优拔尖提升练 ③拓展在线》培优拔失 ● 13.【三角形中位线定理】 已知：如图①，在△ABC中，点D、E分别是 边ABAC的中点，则DE∥BC,DE=2BC. 【应用】 如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别是 边AB、AD的中点，若BC=5,CD=3,EF= 2,∠AFE=45°.求∠ADC的度数； 【拓展】 如图③，在四边形ABCD中，AC与BD相交 于点E,点M、N分别为AD、BC的中点，MN 分别交AC、BD于点F、G,EF=EG.求证： BD=AC. 离② 第17章72 微专题11平行四 堡型①平行四边形与角平分线结合 1.(新乡期末)如图，在□ABCD中，AB=3,AD =5,AF、DE分别平分∠DAB、∠ADC,那么 EF的长为 () A. B.② D.1 第1题图 第2题图 2.(新乡期末)如图，在口ABCD中，以点B为圆 心，适当长为半径作弧，交BA、BC于点F、G, 分别以点F,G为圆心，大于FG的长为半径 作弧，两弧交于点H,作射线BH交AD于点 E,连结CE.若CE⊥AD,AD=3,BE=√I2, 则AB的长为 () A.√20 B.√5 C.2 D.1.5 类型②平行四边形中的面积问题 3.(郑州专题练习)如图，E、F分别是平行四边形 ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交 于点P,BF与CE相交于点Q,若S△APp=a, SAc=b,SOABCD=c,则阴影部分的面积为() A.a+b B.c-a-b 1 C.2c-a-b D.2a+b 第3题图 第4题图 类型③平行四边形中的折叠问题 4.(周口一模)如图，在☐ABCD中，将△ADC沿 AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点 73探究在线八年级数学（下）·HD 边形中常见的题型 E处.若∠B=58°，则∠CAD为 () A.32° B.38° C.42° D.58° 5.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD 上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A 正好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为 8,△FCB的周长为22，则FC的长为() A.5 B.6 C.7 D.8 y y=x-1 第5题图 第6题图 类型④平行四边形与函数结合 6.(周口期末)如图，在平面直角坐标系中，平行 四边形ABCO的顶点A(一1,2)和顶点 C(一3,0)，直线y=x一1以每秒1个单位长 度的速度向上移动，经过几秒该直线将平行四 边形ABCO的面积分成相等的两部分() A.3 B.4 C.5 D.6 7.(信阳二模)如图，正比例函数y=3x与反比例 函数y=飞(.x>0)的图象交于点A(a,3),点B 为x轴上一点，点C为OB的中点，过点O作 OD∥AB交AC的延长线于点D (1)求反比例函数y=(x>0)的表达式； (2)连结BD,判定四边形OABD的形状，并说 明理由..AF=CE, .Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).∴.AB=CD. ∴.AF-OA=CE-OC. 又.AD=CB ∴.FO=EO. ∴四边形ABCD是平行四边形 :∠FOD=∠EOB, 4.B5.B .∴.△FOD≌△EOB. 6..'DE∥BF,∴.∠DEF=∠BFE. .BE=DF」 ∴.∠DEA=∠BFC 能力在线 .DE=BF,AE=CF, 8.D9.C10.C11.C ∴.△DEA≌△BFC(SAS). 12.(1),□ABCD的对角线AC与BD相交于点O,其周长 AD=BC,∠DAE=∠BCF 为20， AD∥BC..四边形ABCD是平行四边形 0A=0C,AB+BC=29=10.① 能力在线 2 又，△AOB的周长比△BOC的周长小4， 7.D8B9.9 .BO+OC+BC-(BO+OA+AB)=4. 10.(1)AB∥CD,∴∠B=∠C ∴BC-AB=4.② 又：BF=CE, .BF-EF=CE-EF..'BE=CF. 联立①②，解得AB=3,BC=7. 在△ABE与△DCF中， (2)CE⊥BD,BD=8,CE=2, AB=DC,∠B=∠C,BE=CF, S%m=合BD.CE=合X8X2=8 ∴.△ABE≌△DCF(SAS) (2)连结AF、DE. ∴.SOABCD=2S△BD=2X8=16. 由(1)知，△ABE≌△DCF, 设AB和CD之间的距离为h, ∴.AE=DF,∠AEB=∠DFC. SAD=AB·h,h=S28CD=16 .∠AEF=∠DFE..AE∥DF AB 3 又，AE=DF, ∴AB和CD之间的距离为。 .以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形。 拓展在线 11.(1):△ABF,△BCD,△ACE都是等边三角形， ..AB=FB=AF, 13.(1).四边形ABCD是平行四边形，AC=24m,BD=20m, BC-BD-CD, “0A=0C=2AC=12m,OB=0D=2BD=10m AC=CE=AE, 在△AOB中，过点B作BH⊥OA于点H,如图①. ∠FBA=∠DBC=∠BCD=∠ACE=60°. .∠FBD=∠ABC,∠ACB=∠DCE. .'AB=BO=10 m,OA=12 m,BH I OA, 在△ABC和△FBD中， AH-70A-6 m.:.BH-VABAFF-8 m. ,AB=FB,∠ABC=∠FBD,BC=BD, .△ABC≌△FBD(SAS). Saam=20A·BH=合×12X8=48(m2). (2).△ABC≌△FBD,.AC=FD SDABCD=4SANOB=4X48=192(m2). AE=AC,∴.AE=FD .公园的面积为192m, :BC=DC,∠ACB=∠DCE,AC=CE, .△CAB≌△CED(SAS).∴.AB=DE (2)连结CM,如图②. ,AB=AF,∴.AF=DE 'OA=OC,∴.S△AoM=SACOM, ,AE=FD,∴.四边形AEDF是平行四边形. ∴.S△AOM+SACNO=SACOM+SAaN=SACMN. 拓展在线 DM=ON,.MN=MO+ON=MO+DM=OD. 12.①②④ ∴.SACMN=SAOOD=S△AB0=48m2, 第2课时平行四边形的判定定理3 .种植草莓区域的面积为48m2. 基础在线 1.A2.D3.D 4.四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC,OB=OD. 又，AF=CE,BH=DG, 图① 图② ∴.AF-OA=CE-OC, 17.2平行四边形的判定 BH-OB=DG-OD. 第1课时平行四边形的判定定理1、2 ..OF-OE,OH-OG. 基础在线 .四边形EGFH是平行四边形， 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 5.(1)如图，点E即为所求作. 2.A (2)证明：D为BC的中点， 3.BD⊥AB,BD⊥CD, .CD-BD. ∴.∠ABD=∠CDB=90° 在△ACD和△EBD中， 在Rt△ABD和Rt△CDB中，.'AD=CB,BD=DB, :∠ACD=∠EBD,CD=BD, 一探究在线·八 ∠ADC=∠EDB, 能力在线 .△ACD≌△EBD(ASA).∴.AD=DE 7.B8.A9.A10.22.8 又CD=BD 11.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .四边形ABEC为平行四边形. ∴.AD=BC,AD∥BC 能力在线 ∴∠ADE=∠CBF. 6.47.D 在△AED和△CFB中， 8.延长AC,在C点上方取点N,A :AD=BC,∠ADE=∠CBF,DE=BF, 点下方取点M,使AM=AE, ∴.△AED≌△CFB(SAS). CN=CF,则由已知可得PM ∴AE=CF,∠AED=∠CFB. PN,易证△PME≌△PNF, ∴∠AEF=∠CFE..AE∥CF. 且△AME,△CNF都是等腰三角形. .四边形AFCE是平行四边形. ∴.∠M=∠N,∠MEP=∠NFP,PE=PF, (2),四边形AFCE是平行四边形，CF=5,AE=5. ∴.∠AEP=∠PFC, AF⊥BD,AF=4, ∴.AD∥BC, ∴，在Rt△AFE中， 可证得△PAE≌△PCF,得PA=PC, EF=√AE-AF-√52-4=3. 再证△PED≌△PFB,得PD=PB. BE=6,∴BF=DE=3.∴BD=9, .四边形ABCD为平行四边形 Sowc-2Som-2XX9X4-36. 拓展在线 9.(1)证明：：AD∥BC,点E、F分别在AD、BC上， 拓展在线 ∴∠EAC=∠FCA 12.(1)= :点O是AC的中点，OA=OC (2)成立 又：∠AOE=∠COF, 证明：，在平行四边形ABCD中， .△AOE≌△COF(ASA).,.OE=OF. AC,BD相交于点O, ∴.OA=OC,AD∥BC .0A=OC, .∠DAC=∠ACF '.四边形AFCE是平行四边形 又∠AOE=∠COF, (2)在不添加任何辅助线的情况下，图中的所有平行四边 ∴△AOE≌△COF(ASA). 形有：□ABFE,□EFCD,□ABCD,□AFCE.理由如下： ..OE=OF. 由(1)可知四边形AFCE是平行四边形， (3)证明：如图所示， :AD∥BC,AD=BC, 连结AF、CE, '.四边形ABCD是平行四边形 .OA=OC,OE=OF, AD∥BC,.AE∥BF .四边形AFCE是平行四边形 :EF∥AB,.四边形ABFE是平行四边形 ..AF=CE. :四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD. 第4课时三角形的中位线 EF∥AB,.EF∥CD. 基础在线 :AD∥BC,.DE∥FC. 1.D2.B3.C4.C5.D6.37.12 ∴四边形EFCD是平行四边形 8.:在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别 第3课时平行四边形性质与判定的综合运用 是AB、CD的中点， 基础在线 .PF、PE分别是△CDB与△DAB的中位线. 1.D2.D3.B4.A 5..四边形MABF的对角线AF和BM交于点O,且OA= ∴PF=合BC,PE=号AD, OF,OM=OB, .AD=BC,..PF=PE. .四边形MABF是平行四边形， ∠PEF=30°， '.MF∥AB,MF=AB. ∴.∠PFE=∠PEF=30°. :四边形ABCD是平行四边形， 能力在线 .AB∥CD,AB=CD. 9.A10.C11.18 ∴.MF∥CD,MF=CD 12.(1).AB=CD,AD=BC, .四边形DMFC是平行四边形. ∴.四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC, 6.:四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=∠ADC=70°. .AB=CD,AD=BC,∠A=∠C .AB=BE,AC=CF, 在△DAE和△BCF中， ∴BC是△AEF的中位线.∴BC∥EF,BC=2ER '∠A=∠C,AD=BC,∠ADE=∠CBF, ∠E=∠ABC=70. .△DAE≌△BCF(ASA). ∴.DE=BF,AE=CF, (2)证明：MF=号EF,BC=号E,MF=BC ..AB-AE=CD-CF,BE=DF, :AD∥BC,AD=BC,BC∥MF,BC=MF .四边形DEBF为平行四边形， AD∥MF,AD=MF, .BO=DO. .四边形AMFD是平行四边形..AM∥DF. 手级数学（下）·HD 23 拓展在线 .四边形AHCG为平行四边形. 13.【应用】连结BD,如图②， .CG∥AH. E、F分别是边AB、AD的中点， 16.(1):D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点， ∴.EF∥BD,BD=2EF=4. DE是△ABC的中位线， ∴.EF是△ABD的中位线 ∴.∠ADB=∠AFE=45° ∴DE∥BC,DE=2BC.同理GF∥BC,GF= C. .BC=5,CD=3, .DE∥GF,DE=GF. ∴.BD2+CD2=25,BC2=25. .四边形DEFG是平行四边形 ∴.BD2+CD=BC2. (2)取OB、OC的中点G、F,连结DG、GF、 ∴∠BDC=90. FE、DE, ∴.∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°. ∴.OB=2OG,OC=2OF 【拓展】证明：取DC的中点H,连结MH、NH,如图③. 由(1)知，四边形DEFG是平行四边形， :M、H分别是AD、DC的中点， ..OE=0G,OD=OF. ∴.MH是△ADC的中位线. ∴.OB=2OE,OC=2OD ÷MH/AC且MH=2AC 单元综合复习（三） 平行四边形 热门考点突破 同理可得NH∥BD且NH=BD, 1.D2.A3.D4.A5.C EF=EG,.∠EFG=∠EGF. 6.(1)BE=DF(答案不唯一) .MH∥AC,NH∥BD, (2)理由：□ABCD的对角线AC与BD相交于点O, .∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM. ∴.OA=OC,OB=OD. ∴.∠HMN=∠HNM. 又BE=DF,∴.OE=OF. ∴.MH=NH..AC=BD. .四边形AECF是平行四边形. 7.(1),点D为边AB的中点，AD=BD, 在△ADE与△BDF中， AD=BD,∠ADE=∠BDF,DE=DF, 图② 图3 ∴.△ADE≌△BDF(SAS). 微专题11平行四边形中常见的题型 (2)点E为边AC的中点，∴.AE=CE 1.D2.C3.C4.A5.C6.B 由(1)得△ADE≌△BDF, 7.1)A(1,3.反比例函数的表达式为y= .AE=BF,∠AED=∠F x .CE=BF,CE∥BF. (2)四边形OABD是平行四边形.理由如下： .四边形BCEF是平行四边形. .OD∥AB,∴.∠ODC=∠BAC,∠COD=∠CBA. 8.(1)BE=CF, 又：点C是OB的中点，∴OC=BC. ..BE+EC=CF+EC,BC=EF. ∴.△OCD≌△BCA(AAS).∴.AC=DC. 又AB=DF,AC=DE, ∴.四边形OABD是平行四边形. .△ABC≌△DFE(SSS) 阶段测评5(17.1~17.2) ∠B=∠F 1.A2.C3.D4.D5.B6.C7.A8.B DC=DF,∴∠DCF=∠F. 9.610.20°11.312.③⑥13.15 ∴.∠B=∠DCF.AB∥DC 14.AC∥BD,AB∥CD,CD∥EF,CE∥DF,AB∥EF. :AB=CD,四边形ABCD为平 理由：AC=BD,AB=CD, 行四边形. .四边形ABDC是平行四边形.∴.AC∥BD,AB∥CD. (2)延长CG交AD于点M,过点D作 .DF=CE,CD=EF, DN⊥CF于点N, ∴.四边形DCEF是平行四边形. 四边形ABCD为平行四边形， .CD∥EF,CE∥DF.∴.AB∥EF. .AD=BC,AD∥BC. 15.(1)在□ABCD中， ∴.∠MDG=∠GEC,∠DMG=∠GCE. AB∥CD,AD∥CB,AD=CB, G为DE的中点，.GE=GD. ∴∠E=∠F,∠EDG=∠DCH=∠FBH. .△MGD≌△CGE.,.MD=EC. 又DE=BF,∴.△EGD≌△FHB. DC=DF,DN⊥CF,∴.CN=NF. ..GD=HB. GC⊥BF,DN⊥BF,∴.DN∥GC. (2)在□ABCD中，∠ADC=∠ABC,AB=CD, MD∥CN,.四边形MCND为平行四边形. 又，DG=BH,.△ABH≌△CDG. ..MD=CN...CF=2CN=2MD=2EC. ∴∠DGC=∠AHB. .EF=3EC. (3)在□ABCD中，AD=BC,AD∥BC. '△ABC≌△DFE,.AD=BC=EF. GD=HB,∴.AG=HC. ∴.AD=3EC. 24 一探究在线·八年 9.D、E分别是AB、AC的中点， .AD∥BC,AD=BC ∴.DE是△ABC的中位线， :BC=BE,∴.AD∥BE,AD=BE DE∥BC,DE=2BC=4. ∴四边形AEBD是平行四边形. (2)过点F作FG⊥BC于点G. .∠EDH=∠DHB. :四边形ABCD为矩形， DH⊥BC,∠DHB=90 ∴.FB=FC=FD. ∴∠EDH=∠DHB=9O. ∴G是BC的中点 在Rt△EDH中，DH=3, FG是△BCD的中位线.∴.FG= ∴.EH=√DH+DE=5. 2CD=4 核心素养提升 在Rt△EFG中，FG=4, 10.【教材呈现】证明：：四边形ABCD是平行四边形， EG-EB+BG-EB+BC-6, ∴.AB=CD,AB∥CD ∴.∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO. ∴.EF=√FG+EG=√52. ∴.△ABO≌△CDO(ASA) 拓展在线 ∴.OA=OC,OB=OD. 【性质应用】证明：：四边形ABCD是平行四边形， 1反号或6 .OB=OD,AD∥BC. 18.1.2矩形的判定 ∴.∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO. 第1课时矩形的判定 .△DEO≌△BFO(AAS). 基础在线 ..OE-OF. 1.D 【拓展提升】24 2.PQ⊥CP,.∠QPC=90° 第18章矩形、菱形与正方形 .∠QPA+∠BPC=180°-90°=90°. 18.1矩形 ∠QPA=∠PCB,∴∠BPC+∠PCB=9O .∠B=180°-（∠BPC+∠PCB)=90°. 18.1.1矩形的性质 :四边形ABCD是平行四边形， 基础在线 .四边形ABCD是矩形. 1.22.B3.B4.C 3.D 5.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， 4.AE⊥CD,CF⊥AB, .AB=CD,∠B=∠C=90° .∠AEC=∠AFC=90° ∠BAE=∠CDF, 在□ABCD中，AB∥CD, '.△ABE≌△DCF(ASA) .∠EAF=180°-∠AEC=90°. (2).'△ABE≌△DCF, .∠EAF=∠AEC=∠AFC=90° .AE=DF=13. .四边形AECF是矩形. ∠B=90°，AB=12, 5.C ∴.BE=√AE2-AB=5. 6.四边形ABCD是平行四边形， 6.C7.A8.D ∴.AB=CD,AB∥CD 9.,四边形ABCD是矩形， 又AB=BE,∴.BE=CD ∴.BD=AC,CD∥AB. .四边形BECD为平行四边形. 又.CE∥BD, ∴.BC=2OC,DE=2OD. ∴.四边形DBEC是平行四边形. 又OD=OC,∴.BC=DE ∴.BD=EC..AC=CE. 口BECD是矩形. 能力在线 能力在线 10.C11.D12.A 7.D8.B9.C10.D 13.(1)如图，△BED即为所求作的三角形. 11.(1)证明：点O是AC的中点，.0A=OC (2)如图，四边形ABCD为矩形， :OD=OB,∴.四边形ABCD是平行四边形. ..AD=BC=2,AB=CD=1,AD//BC :∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形. ∠A=90°.∴∠ADB=∠CBD. (2).L2-=BO+OC+BC-(BO+AB+AO), ∠EBD=∠CBD, AO-OC, .∠FBD=∠FDB..FB=FD ..L2-l1=BC-AB=b-a=2. 设AF=x,则FD=2一x=FB, 四边形ABCD是矩形， 在Rt△ABF中，由勾股定理，得1十x2=(2一x)2, ∴.AB=CD=a,AD=BC=b. 解得x=子.AF的长为子 ∴.a+a+b+6=28..a+b=14. /b-a=2, 14.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， a+b=14 解得a6, b=8. 级数学（下）·HD一