15.3 第2课时 分式方程的应用-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

18.(1)①③ x(x-3)-3(x-1)=x(x-1) (2):分式心二4m(m为常数)是一个“巧分式”，它的 .3 x+3 解这个整式方程，得x= “巧整式”为x一7， .(x十3)(x-7)=x2-4x+m. 检验：把x=号代入x红-D,得（号-）0， .x2-4x-21=x2-4x十m.m=-21. 所以，工=子是原方程的解。 (3)0①：分式二2℃+2匹的“巧整式”为1-x A (2)方程两边都乘以x(x一1)，约去分母，得 ÷A=-2x+2x=2x1-01+D=2z1+x),即A x(x-a)-3(x-1)=x(x-1), 1-x 1-x 整理，得(a十2)x=3. =2x2+2x. ②：2x+4x2+2z-2x(x2+2x+1-(x+1)2」 原分式方程无解， 2x2+2x 2x(x+1) (x+1)=x+1, 则①(a十2)x=3无解，即a十2=0，∴.a=-2; 又x十1是整式，：2x+4+2红是“巧分式” ②(a+2)x=3有解，但它的解是原分式方程的增根， A 即x=1,代入(a十2)x=3,得a=1. 15.3可化为一元一次方程的分式方程 综上，若原分式方程无解，则a的值为1或-2. 第1课时分式方程及其解法 拓展在线 基础在线 16.B 1.D2.B3.A4.C5.3 第2课时分式方程的应用 6.(1)方程两边都乘以(x-1)(x十1)，约去分母，得 基础在线 3(x-1)-(x+1)=0, 1.C2.D3.B 解这个整式方程，得x=2. 检验：把x=2代入(x-1)(x十1)，得 4根据题意，得5×10%=90%，解得SPF=10, (2-1)(2+1)≠0. 经检验，SPF=10是原方程的解，且符合题意. 所以，x=2是原方程的解， 答：该产品的SPF应标示为10. (2)方程两边都乘以(x一4)，约去分母，得 5.设B种纪念章为x元/个，则A种纪念章为(x十4)元/个， 3=5(x-4)-2, 解这个整式方程，得x=5. 根据题意，得000=800，解得x=16. x+4 x 检验：把x=5代入(x-4),得5-4≠0. 经检验，x=16是原方程的解，且符合题意。 所以，x=5是原方程的解. .x十4=20. 7.x=28.C 答：每个A种纪念章和B种纪念章分别为20元和16元 9.(1)2(x+1)检验 (2)方程两边都乘以2(x十1)，约去分母，得 能力在线 2(x+1)-(x-3)=2×3x. 6.D7.A8.C 解这个整式方程，得x=1. 9.设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为(1十 检验：把x=1代入2(x十1)，得2×2=4≠0. 10%)x元，根据题意，得 所以，x=1是原方程的解. 11000_8000=4,解得x=500. 10.B (1+10%)xx 能力在线 经检验，x=500是原方程的解，且符合题意. ∴.(1+10%)x=(1+10%)×500=550. 山1答案不唯-） 答：A种书架的单价为550元，B种书架的单价为500元. 12.D13.A 拓展在线 14.(1)方程两边都乘以3(x一2)，约去分母，得 10.(1)设原计划每天改造排水管道xm,则实际每天改造排 3(5x-4)=4x+10-(3x-6). 水管道(1十20%)xm,根据题意，得 解这个整式方程，得x=2. 48004800 检验：把x=2代人3(x一2)，得3X(2一2)=0. x 1+20%)z-10,解得x=80. 所以，原方程无解。 经检验，x=80是原方程的解，且符合题意. (2)方程两边都乘以(x十2)(x一2)，约去分母，得 ∴.(1+20%)x=(1+20%)×80=96, (x-2)2-(x+2)2=8, 答：实际每天改造排水管道96m. 解这个整式方程，得x=一1. (2)改造完排水管道总长的一半所需时间为4800÷2÷ 检验：把x=-1代入(x十2)(x-2),得 96=25(天). (-1+2)(-1-2)≠0. 设接下来每天改造管道时，还要增加ym,根据题意，得 所以，x=一1是原方程的解 (96+y)(40-25)≥4800÷2，解得y≥64. 15.(1把a=3代人方程，得2=1. .y的最小值为64. 方程两边都乘以x(x一1)，约去分母，得 答：接下来每天改造管道时，至少还要增加64m. 18 一探究在线·八年 微专题2由分式方程解的情况 微专题3分式方程的应用 确定字母的取值（范围） 1.D 1,解分式方程+4=3，得x=2. 2.(1)设这项工程的规定时间是x天，由题意，得 经检验，x=2是原分式方程的解。 (+2)×6+-1,解得x=12. “关于x的分式方程。马-1的解与方程士-3 经检验，x=12是原分式方程的解. x 答：这项工程的规定时间是12天. 的解相同， 将x=2代人行吕1，得 2 (2)该工程由甲，乙两队合作完成，所需时间为1÷（位十 29-2=1,解得。=- 12×2-8(天). 1 则该工程的施工费用是(3+1.4)×8=35.2（万元）. 经检验，a=一3是原分式方程的解.a=-3. 答：该工程的施工费用为35.2万元. 2.方程两边都乘以(x一1)(x一2)，约去分母，得 2m-2=m(x-1)+(x-2), 3.92z碧 整理，得(m十1)x=3m, “方程有解m十1≠0，解得z,m≠-1. (2侬题意，得9-碧-器条得=15 经检验，x=15是原方程的解，且符合题意， 由于分式方程有增根x=2及x=1, 答：骑车同学的速度为15km/h. 当z=3=2时，解得m=2: 4.(1)设该货船在静水中的航行速度为xkm/h,由题意，得 当x一”-1时，解得m=号 1 2-2×号解得=10 经检验，x=10是原方程的解且符合题意. 即当m=2或m=名时，分式方程有增根。 答：该货船在静水中的航行速度为10km/h. 1 8210 7 综上，当m≠-1，m≠乞，m≠2时，关于x的方程 5.(1)设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价 云2”2十马有解 2m-2 格为号x元.根据题意，得 3.(1)化成整式方程，得2(x+3)+mx=x-2, 即(m+1)x=-8. 300_200=7,解得x=25. 5 4 x 若该方程有增根，则增根为x=2或x=一3， 当x=2时，2(m+1)=-8,解得m=-5; 经检验，x=25是原方程的解，且符合题意. 当x=-3时，-3(m十1)=-8，解得m=号 答：每个A种挂件的价格为25元. (2)设该游客购买y个A种挂件，则购买(y十5)个B种挂件， 综上，当m=-5或m=号时，该方程有增根。 由(1)得每个B种挂件的价格为号×25=20（元），根据题 (2)由(1)可知，当m=-5或m=号时，该方程有增根，即 意，得25y+20(十5)≤60，解得y<19 无解. 由于y为正整数，故该游客最多购买11个A种挂件. 去分母后的整式方程为(m十1)x=一8， 6.(1)当a=500,b=50时，七分糖奶茶的含糖量为0.7b= 当m十1=0时，即m=一1时，x无意义即无解. 综上可知，若原方程无解，则m=-5或m=号或m=-1, 0.7X50=35(克)，全糖奶茶的甜度为：×100%=积× 100%=10%. 4.方程两边都乘以(x-3),得x十m一2m=4(x一3)， 设往七分糖奶茶中再加人x克糖能跟全糖奶茶甜度一样， 解这个整式方程，得x=一弓m十4 此时七分糖奶茶加人糖后含糖量为(35十x)克，奶茶总质 x-3≠0x≠3-写m+4≠3.m≠8. 量为(50+)克，其甜度为瓶十×10%=10%， 分式方程有正整数解，.正数m的值是6或9. 解得x一9。 5.()当x=-1时，已一4=解得m=-7 772 经检验，x=9是原方程的根。 (2)方程两边都乘以(x一1)，得x-4(x-1)=-m, 答：再加入公克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样。 解这个整式方程，得=m十4. 3 (2)五分糖奶茶的甜度为°，5色×100%=05b, 分式方程的解为非负数，且x≠1， m字4>0且≠1，解得m>-4且m≠-1. 三分糖奶茶的含糖量为0.3b克，加入0.2b克糖后，含糖量 变为(0.3b十0.2b)=0.5b克，奶茶总质量为(a十0.2b)克， 级数学（下）·HD一©第2课时 1基础在线> “知识要点分类练 知识点分式方程的应用 1.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题： 一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上 6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一 次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱 的人数为x人，则可列方程 () A.1040 B.40=10 ”xx-6 xx6 c9-96 D.10x=40(x+6) 2.(数学文化)《九章算术》是我国古代重要的数 学专著之一.其中记录的一道题译为：把一份 文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间 比规定时间多1天；如果用快马送，需要的时 间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马 速度的2倍，设规定的时间为x天，根据题意 可列方程为 A.90+1=900-3 x 2x B.900-1=900+3 2x C.900×2=900 'x-1 x+3 D09×2-=909 x-3 3.某校为满足学生课外活动多样化的需求，欲购 买排球和足球若干个.已知足球的单价比排球 的单价高60%，用500元购买的排球数量比用 720元购买的足球数量多1个，求排球和足球 的单价各是多少元.小宇同学根据题意得到方 程00 720 x (1十60%)x =1,则方程中未知数x 所表示的是 A.足球的单价 B.排球的单价 C.足球的数量 D.排球的数量 分式方程的应用 4.市面销售的防晒产品标有防晒系数SPF,而 其对抗紫外线的防护率算法为防护率= S鄂R×100%,其中SPP≥1.若厂商宣称升 发出防护率90%的产品，请问该产品的SPF 应标示为多少？ II ※ SPF 5.(开封期末)为落实全民健身国家战略，丰富广 大群众元旦期间的体育生活，展现市民健康向 上的精神风貌，某市第四十届元旦越野跑于 2025年1月1日在市体育中心门前举行，某校 准备为学生制作A、B两种纪念章.经了解，每 个A种纪念章比每个B种纪念章多4元，用 1000元订制A种纪念章的数量与用800元 订制B种纪念章的数量相同，A、B两种纪念 章每个各为多少元？ A纪念章「 B纪念章 第15章14 ②能力在线》 方法规律综合练 6.（郑州期末)共建“一带一路”倡议源于中国，机 遇和成果属于世界，经过十多年的共同发展， 一大批标志性项目和惠民生的“小而美”项目 落地生根.中老铁路项目的建设就是“一带一 路”的标志性体现，该铁路磨丁站与万象站相 距约422km,且较公路缩短了188km,铁路出 行较驾车出行用时缩短了约4.5h,若该铁路 上动车的平均速度是汽车的2倍.设汽车的速 度为xkm/h,可列方程为 () A.422_422+188=4.5 2x B.422-188+4.5=422 2x C.422+188+422=4.5 2x D.422+188-422=4.5 2x 7.(焦作期末)某工程队改造一条长3500m的 人行道，为尽量缩短施工时间，施工时“XX ×”,设计划每天改造人行道xm,则可得方程 3500=3500+8,根据已有信息，题中用“× x+15 ××”表示的缺失条件应补充为 () A.每天比计划多改造15m,结果提前8天完成 B.每天比计划少改造15m,结果延迟8天完成 C.每天比计划多改造15m,结果延迟8天完成 D.每天比计划少改造15m,结果提前8天完成 8.随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产 中得到广泛应用.经实践调查，一架无人机每 小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药 亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷 洒比一个人喷洒节约13h,则一架无人机平均 每小时喷洒农药 () A.32亩 B.45亩 C.60亩 D.75亩 9.(南阳期中)【问题背景】4月23日是“世界读 书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学 15探究在线八年级数学（下）·HD 校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需 购进书架用于摆放书籍 【素材呈现】 素材一：有A、B两种书架可供选择，A种书架 的单价比B种书架的单价高10%； 素材二：用11000元购买A种书架的数量比 用8000元购买B种书架的数量多4个. 【问题解决】 问题：分别求出A、B两种书架的单价. 31 拓展在线 》培优拔尖提升练 10.(安阳期末)我市在开展“清洁家园”活动中， 某区域有一处积水点，为了降低该区域积水的 风险，政府计划对该区域一段长4800m的排 水管道进行改造.实际施工时，每天的施工速 度比原计划提高了20%，经计算，按现有速度 施工，将会比原计划提前10天完成任务， (1)求实际每天改造排水管道的长度； (2)改造完排水管道总长的一半时，为了减少 对市民出行的影响，施工单位决定添加人员 和机械设备加快施工进度，确保总工期不超 过40天，那么接下来每天改造管道时，至少 还要增加多少米？