15.3 第1课时 分式方程及其解法-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

18.(1)①③ x(x-3)-3(x-1)=x(x-1) (2):分式心二4m(m为常数)是一个“巧分式”，它的 .3 x+3 解这个整式方程，得x= “巧整式”为x一7， .(x十3)(x-7)=x2-4x+m. 检验：把x=号代入x红-D,得（号-）0， .x2-4x-21=x2-4x十m.m=-21. 所以，工=子是原方程的解。 (3)0①：分式二2℃+2匹的“巧整式”为1-x A (2)方程两边都乘以x(x一1)，约去分母，得 ÷A=-2x+2x=2x1-01+D=2z1+x),即A x(x-a)-3(x-1)=x(x-1), 1-x 1-x 整理，得(a十2)x=3. =2x2+2x. ②：2x+4x2+2z-2x(x2+2x+1-(x+1)2」 原分式方程无解， 2x2+2x 2x(x+1) (x+1)=x+1, 则①(a十2)x=3无解，即a十2=0，∴.a=-2; 又x十1是整式，：2x+4+2红是“巧分式” ②(a+2)x=3有解，但它的解是原分式方程的增根， A 即x=1,代入(a十2)x=3,得a=1. 15.3可化为一元一次方程的分式方程 综上，若原分式方程无解，则a的值为1或-2. 第1课时分式方程及其解法 拓展在线 基础在线 16.B 1.D2.B3.A4.C5.3 第2课时分式方程的应用 6.(1)方程两边都乘以(x-1)(x十1)，约去分母，得 基础在线 3(x-1)-(x+1)=0, 1.C2.D3.B 解这个整式方程，得x=2. 检验：把x=2代入(x-1)(x十1)，得 4根据题意，得5×10%=90%，解得SPF=10, (2-1)(2+1)≠0. 经检验，SPF=10是原方程的解，且符合题意. 所以，x=2是原方程的解， 答：该产品的SPF应标示为10. (2)方程两边都乘以(x一4)，约去分母，得 5.设B种纪念章为x元/个，则A种纪念章为(x十4)元/个， 3=5(x-4)-2, 解这个整式方程，得x=5. 根据题意，得000=800，解得x=16. x+4 x 检验：把x=5代入(x-4),得5-4≠0. 经检验，x=16是原方程的解，且符合题意。 所以，x=5是原方程的解. .x十4=20. 7.x=28.C 答：每个A种纪念章和B种纪念章分别为20元和16元 9.(1)2(x+1)检验 (2)方程两边都乘以2(x十1)，约去分母，得 能力在线 2(x+1)-(x-3)=2×3x. 6.D7.A8.C 解这个整式方程，得x=1. 9.设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为(1十 检验：把x=1代入2(x十1)，得2×2=4≠0. 10%)x元，根据题意，得 所以，x=1是原方程的解. 11000_8000=4,解得x=500. 10.B (1+10%)xx 能力在线 经检验，x=500是原方程的解，且符合题意. ∴.(1+10%)x=(1+10%)×500=550. 山1答案不唯-） 答：A种书架的单价为550元，B种书架的单价为500元. 12.D13.A 拓展在线 14.(1)方程两边都乘以3(x一2)，约去分母，得 10.(1)设原计划每天改造排水管道xm,则实际每天改造排 3(5x-4)=4x+10-(3x-6). 水管道(1十20%)xm,根据题意，得 解这个整式方程，得x=2. 48004800 检验：把x=2代人3(x一2)，得3X(2一2)=0. x 1+20%)z-10,解得x=80. 所以，原方程无解。 经检验，x=80是原方程的解，且符合题意. (2)方程两边都乘以(x十2)(x一2)，约去分母，得 ∴.(1+20%)x=(1+20%)×80=96, (x-2)2-(x+2)2=8, 答：实际每天改造排水管道96m. 解这个整式方程，得x=一1. (2)改造完排水管道总长的一半所需时间为4800÷2÷ 检验：把x=-1代入(x十2)(x-2),得 96=25(天). (-1+2)(-1-2)≠0. 设接下来每天改造管道时，还要增加ym,根据题意，得 所以，x=一1是原方程的解 (96+y)(40-25)≥4800÷2，解得y≥64. 15.(1把a=3代人方程，得2=1. .y的最小值为64. 方程两边都乘以x(x一1)，约去分母，得 答：接下来每天改造管道时，至少还要增加64m. 18 一探究在线·八年 微专题2由分式方程解的情况 微专题3分式方程的应用 确定字母的取值（范围） 1.D 1,解分式方程+4=3，得x=2. 2.(1)设这项工程的规定时间是x天，由题意，得 经检验，x=2是原分式方程的解。 (+2)×6+-1,解得x=12. “关于x的分式方程。马-1的解与方程士-3 经检验，x=12是原分式方程的解. x 答：这项工程的规定时间是12天. 的解相同， 将x=2代人行吕1，得 2 (2)该工程由甲，乙两队合作完成，所需时间为1÷（位十 29-2=1,解得。=- 12×2-8(天). 1 则该工程的施工费用是(3+1.4)×8=35.2（万元）. 经检验，a=一3是原分式方程的解.a=-3. 答：该工程的施工费用为35.2万元. 2.方程两边都乘以(x一1)(x一2)，约去分母，得 2m-2=m(x-1)+(x-2), 3.92z碧 整理，得(m十1)x=3m, “方程有解m十1≠0，解得z,m≠-1. (2侬题意，得9-碧-器条得=15 经检验，x=15是原方程的解，且符合题意， 由于分式方程有增根x=2及x=1, 答：骑车同学的速度为15km/h. 当z=3=2时，解得m=2: 4.(1)设该货船在静水中的航行速度为xkm/h,由题意，得 当x一”-1时，解得m=号 1 2-2×号解得=10 经检验，x=10是原方程的解且符合题意. 即当m=2或m=名时，分式方程有增根。 答：该货船在静水中的航行速度为10km/h. 1 8210 7 综上，当m≠-1，m≠乞，m≠2时，关于x的方程 5.(1)设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价 云2”2十马有解 2m-2 格为号x元.根据题意，得 3.(1)化成整式方程，得2(x+3)+mx=x-2, 即(m+1)x=-8. 300_200=7,解得x=25. 5 4 x 若该方程有增根，则增根为x=2或x=一3， 当x=2时，2(m+1)=-8,解得m=-5; 经检验，x=25是原方程的解，且符合题意. 当x=-3时，-3(m十1)=-8，解得m=号 答：每个A种挂件的价格为25元. (2)设该游客购买y个A种挂件，则购买(y十5)个B种挂件， 综上，当m=-5或m=号时，该方程有增根。 由(1)得每个B种挂件的价格为号×25=20（元），根据题 (2)由(1)可知，当m=-5或m=号时，该方程有增根，即 意，得25y+20(十5)≤60，解得y<19 无解. 由于y为正整数，故该游客最多购买11个A种挂件. 去分母后的整式方程为(m十1)x=一8， 6.(1)当a=500,b=50时，七分糖奶茶的含糖量为0.7b= 当m十1=0时，即m=一1时，x无意义即无解. 综上可知，若原方程无解，则m=-5或m=号或m=-1, 0.7X50=35(克)，全糖奶茶的甜度为：×100%=积× 100%=10%. 4.方程两边都乘以(x-3),得x十m一2m=4(x一3)， 设往七分糖奶茶中再加人x克糖能跟全糖奶茶甜度一样， 解这个整式方程，得x=一弓m十4 此时七分糖奶茶加人糖后含糖量为(35十x)克，奶茶总质 x-3≠0x≠3-写m+4≠3.m≠8. 量为(50+)克，其甜度为瓶十×10%=10%， 分式方程有正整数解，.正数m的值是6或9. 解得x一9。 5.()当x=-1时，已一4=解得m=-7 772 经检验，x=9是原方程的根。 (2)方程两边都乘以(x一1)，得x-4(x-1)=-m, 答：再加入公克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样。 解这个整式方程，得=m十4. 3 (2)五分糖奶茶的甜度为°，5色×100%=05b, 分式方程的解为非负数，且x≠1， m字4>0且≠1，解得m>-4且m≠-1. 三分糖奶茶的含糖量为0.3b克，加入0.2b克糖后，含糖量 变为(0.3b十0.2b)=0.5b克，奶茶总质量为(a十0.2b)克， 级数学（下）·HD一15.3 可化为一元一次方程的分式方程 ©第1课时分式方程及其解法 基础在线 :知识要点分类练 45、 3 2 (2) x-4 知识点1分式方程的概念 1.(周口阶段练习)下列关于x的方程中，不是分 式方程的是 () A若-g B.、20 =5 x+1x-1 C年3=5 D.受=晋-x 知识点3分式方程的增根 2.下列说法中，正确的是 ( 7.(驻马店期未)如果方程，2十3=有增 Γ2-x A.分母中含有未知数的式子就是分式方程 根，那么增根为 B.分式方程中，分母中一定含有未知数 8.(驻马店期中)若分式方程2_=飞有增根 C.分式方程就是含有分母的方程 x-5-5-x1 x=5,那么k的值为 () D.含有字母的方程就是分式方程 A.2 B.5 C.3 D.-3 知识点2分式方程的解法 易错点1去分母时，常数项漏乘最简公分母 3.(中考·湖南)将分式方程1=2 远x十1去分母后 9.(南阳期中)下面是某同学解分式方程1 得到的整式方程为 ( 2忌-千的部分过程： A.x+1=2x B.x+2=1 解：方程两边都乘以 ,约去分母，得 C.1=2x D.x=2(x+1) 1-(x-3)=6x, 4方程3、7 x2x十7的解为 ( 解这个整式方程，得x=号 A.x=1 B.x=2 (1)这位同学解题过程中横线处应填的最简公 C.x=3 D.x=4 分母是 ,解题过程缺少的步骤是 5.(平顶山二模)已知x=2是分式方程1 (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少 。1的怎，侧实数 了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程. 6.解方程： (1)(中考·浙江)3，-1 x十1x-=0; 第15章12 易错点2考虑问题不全面而致错 (2)x-2-x+28 10.(驻马店阶段练习)已知关于x的分式方程 x十2x-2x2-4 分是1=写的解大于-1，则m的取值 5-x 范围是 () A.m<5 B.m<5且m≠-1 C.m>1 D.m<1且m≠-1 ②能力在线沙方法规律综合臻… 11.请写出一个解为4的分式方程： 15.(洛阳期中)已知关于x的分式方程二月是 =1. 12.(跨学科)（周口阶段练习）如图所示的并联电 (1)当a=3时，求此时方程的解； (2)若方程无解，求a的值。 路总电阻R是122，总电阻R、R1与R2的关 系是只民十尽若R=银，则RR的值 分别是 A.R1=322,R2=82 B.R1=362,R2=92 C.R1=482,R2=122 D.R1=602,R2=152 13.(新定义)（郑州专题练习）对于实数a、b,定义 一种新运算“⊕”为：a田6一a二ab这里等式 右边是实数运算.按此规定，则方程x① (-2)=- 日2的解是 () A.x=4 B.x=6 C.x=7 D.x=8 ③拓展在线沙培优拔尖提升练… 14.解方程： 16.(中考·眉山)若关于x的不等式组 a号-9-1： 3x1≤x+2 2 至少有两个正整数解，且关于 x+1≥-x十a x的分式方程号一2一3的解为正整数.则 所有满足条件的整数a的值之和为() A.8 B.14 C.18 D.38 13探究在线八年级数学（下）·HD