6.3 三角形的中位线-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

:△DAC≌△ECB,∴CD=BE. 拓展在线 又CD∥BE,,四边形BCDE是平行四边形 10.(1)= .DE=BC=8. (2)成立.理由如下： 拓展在线 ,在□ABCD中，AC,BD相交于点O, 15.△ABE,△BCF为等边三角形， ∴.OA=OC,AD∥BC.∴∠DAC=∠ACF '.AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°. 又∠AOE=∠COF, '.∠ABE-∠ABF=∠CBF-∠ABF. .△AOE≌△COF(ASA)..OE=OF. 即∠FBE=∠CBA. (3)如图所示，连接AF,CE, 在△EBF和△ABC中， .OA=OC,OE=OF, EB=AB, ∴四边形AFCE是平行四边形. ∠FBE=∠CBA, ∴.AF=CE. BF=BC, 阶段测评8(6.1~6.2第2课时) ..△EBF≌△ABC(SAS)..EF=AC. 1.A2.B3.C4.C5.D6.A 又，△ADC为等边三角形， 7.1358.209.BE=DF(答案不唯一) .CD=AD=AC.∴.EF=AD 10.211.月-a12.7cm 同理可得△ABC≌△DFC, 13.,四边形ABCD是平行四边形， .'.AB=DF..'.AE=DF. ∴AB=CD,AB∥CD.∴∠BAE=∠DCF ∴.四边形ADFE是平行四边形 (AB=CD, 第2课时平行四边形的判定定理3 在△ABE和△CDF中， ∠BAE=∠DCF 基础在线 AE=CF, 1.平行四边形2.D .△ABE≌△CDF(SAS)..BE=DF 3.,□EFGH的对角线EG,FH相交于点O, 14.如图，过点C作CE∥AD,交AB于点E. ..OE=OG,OF=OH. AB∥DC. E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点， .四边形ADCE是平行四边形 ..OA=20E,OB=2OF,OC-20G,OD-20H. ∴.AD=EC. ..OA=OC,OB-OD. 又.'AD=BC,∴.EC=BC.∴.∠CEB=∠B. ∴，四边形ABCD是平行四边形 CE∥AD,∠CEB=∠A.∠A=∠B. 4.(1)如图，△A'B'C为所求. 15.BD与EF互相平分.理由如下： 四边形ABCD是平行四边形 .AD=BC,CD=BA,∠BAD=∠BCD. :AF,CE分别是∠BAD,∠BCD的平分线， A ·∠DAF-∠BAF-∠BAD,∠DCE-∠BCE- (2)四边形ABA'B是平行四边形.理由如下： 1 ,△ABC与△A'B'C'关于点O对称， ∠BCD. ..OA-OA',OB-OB'. ∴∠DAF=∠BAF=∠DCE=∠BCE. ∴.四边形ABA'B'是平行四边形 (AD-CB, 5.(1)BE=DF(答案不唯一) 在△ADF和△CBE中，∠DAF=∠BCE (2)证明：：口ABCD的对角线AC与BD相交于点O, AF=CE, ..OA=OC,OB=OD. △ADF≌△CBE.DF=BE. 又BE=DF,.OE=OF 同理可得△DEC≌△BFA, .四边形AECF是平行四边形 .DE=BF..四边形BEDF是平行四边形 能力在线 .BD与EF互相平分 6.D7. 16.(1)2tt 8.(1)5 (2):∠C=90°，∠B=30°，AB=60cm, (2)证明：.AO=5,AC=10, ,∴.0C=AC-AO=10-5=5,∴.AO=OC AC-AB-30 cm. ,DO=OB,∴.四边形ABCD为平行四边形. 由(1)知，AM=2tcm,AN=tcm. (3),四边形ABCD为平行四边形， .BM=AB-AM=(60-2t)cm. ..BC=AD=4. ∠ADB=90°，且BD=DO十OB=6, MP LBC,MP-BM-(0-)cm. .S四边形ABCD=AD·BD=4X6=24. MP∥AN, 9.(1):四边形ABCD是平行四边形 ∴MP=AN时，四边形AMPN是平行四边形. ∴.AD∥BC,AB=CD.∠DAE=∠AEB. ∴.30-t=t. :AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE. 解得t=15. ∴.∠BAE=∠AEB.∴.BE=AB.∴.BE=CD 故运动15s时，四边形AMPN是平行四边形 (2)BE=AB,BF平分∠ABE,∴.AF=EF 第3课时平行线间的距离及平行四边形 ∠DAF=∠CEF, 判定方法的选择 在△ADF和△ECF中， AF=EF, 基础在线 ∠AFD=∠EFC, 1.C2.D3.A4.85.AB∥CD或AD=BC6.D ∴.△ADF≌△ECF(ASA)..DF=CF. 7.选择①CE∥AF 四边形ACED是平行四边形. 理由：四边形ABCD是平行四边形， 一探究在线·八 ∴.AB=CD,AB∥CD..∠ABF=∠CDE. ,CE∥AF,.∠AFE=∠CEF ·∠AFB=∠CED..△ABF≌△CDE(AAS). .CE=AF..四边形AECF是平行四边形 选择③DF=BE. 理由：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD..∠ABF=∠CDE DF=BE,∴.DE=BF.∴△ABF≌△CDE(SAS) .CE=AF,∠CED=∠AFB. ∴.∠CEF=∠AFE.∴CE∥AF ∴.四边形AECF是平行四边形， 选择②无法得出四边形AECF是平行四边形. 8.6cm或2cm 能力在线 9.D10.A11.D12.5.5 13.(1)∠DEF=∠EFB,.AD∥BC. 又，AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形. ∴.OA=OC,即O是线段AC的中点. (2)在△OAE和△OCF中， ∠AEO=∠CFO,∠AOE=∠COF,OA=OC, ∴.△OAE≌△OCF(AAS)..OE=OF. 又：OA=OC,∴.四边形AFCE是平行四边形。 拓展在线 14.（1)分两种情况讨论： ①点F在点C左侧时，AE=CF, 则2(t+1)=6-3.5t, 8 解得t=辽 ②当点F在点C的右侧时，AE=CF. 则2+1)=3.51-6，解得：=9 综上所述，4=吕或9时，AE=CF 8 (2)平行线间的距离相等， ∴.S△ABF,S△AE,SAABC的高相等 当BF+AE<BC时，SAABF+SAACE<SAABC, 即3.5+2(+1)<6，解得立 8 当0<<吕时，Se十Se<Sa 3 三角形的中位线 基础在线 1.C2.C3.3 4.∠ADE=∠AED,∴.AD=AE. .'AB=AC,.'.AB-AD=AC-AE. 即BD=CE F,G,H分别为BE,DE,BC的中点， ,FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线 FG=号BD,FH=CE.∴FG=FH. 5.C6.257.42 8.如图，连接BD. E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的 中点， EH∥BD,EH=?BD,FG∥BD,FG BD. ,EH∥FG,EH=FG ,四边形EFGH是平行四边形. 能力在线 9.B 10.c1.212.}13.号 级数学（下）·BS 14.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形 ∴.AB∥CD,AB=CD .CD=DE,..AB=DE. .四边形ABDE是平行四边形， (2)8 15.连接ME,EN,NF,MF M,N,E,F分别为AD,BC,BD,AC 的中点， ME∥AB且ME=ZAB,NF∥AB 且NF=合AB, ∴.ME∥NF且ME=NF ∴四边形MENF是平行四边形. ∴.MN与EF互相平分. 拓展在线 16.A 微专题12平行四边形性质与判定的综合 1.(1)证明：E是AC的中点，∴.CE=AE. CF∥AB,∴.∠CFE=∠ADE 在△CFE和△ADE中，∠CFE=∠ADE,∠CEF=∠AED CE=AE, ∴.△CFE≌△ADE(AAS)..FE=DE 又：CE=AE,∴.四边形AFCD是平行四边形. (2)6 2.(1)证明：.∠ACB=∠CAD=90°，.AD∥CE 又AE∥DC,∴.四边形AECD是平行四边形. (2),四边形AECD是平行四边形，∠D=60°， .∠AEC=∠D=60°. :AE=BE,∴∠B=号∠AEC=30 '∠CAD=90°，∠D=60°，AD=3, ..CD=2AD=6,AC=CD-AD=33. ∠ACB=90°，∠B=30°，∴.AB=2AC=63, 3.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD. 点E,F分别在BA,DC的延长线上，且BE=DF, .'.AE//CF,BE-AB=DF-CD..'.AE=CF. '.四边形EAFC是平行四边形 (2)四边形EAFC是平行四边形，.∠E=∠F ∠E=∠D,∠D=∠F.AD=AF. △ADF为等腰三角形. 4.（1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ,.AD=BC,AD∥BC. BF=BE,CG=CE, '.BC是△EFG的中位线 ∴BC∥FG,BC=2FPG. :H为FG的中点，FH=号FG .BC∥FH,BC=FH. .AD∥FH,AD=FH .四边形AFHD是平行四边形 D (2):四边形ABCD是平行四边形，∠BAE=70°， ∴.∠BCD=∠BAE=70° :∠DCE=20, .∠BCE=∠BCD-∠DCE=70°-20°=50. .CB=CE, .∠CBE=∠CEB= 2×(180°-50)=65°. 5.选择①AE=CF. 证明：，四边形ABCD是平行四边形， 27©3三角： ①基础在线沙 知识要点分类练 知识点1三角形中位线定理 1.(中考·广东)如图，点D,E,F分别是△ABC 各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=() A.209 B.40 C.70° D.110° 第1题图 第2题图 2.(中考·山西)如图，在平行四边形ABCD中， 点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中 点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定 成立的是 () A.OE-AD B.OE-7BC C.OE-2AB D.OE-AC 3.(中考·湖南)如图，在△ABC 中，BC=6,点E是AC的中点， D 分别以点A,B为圆心，以大于 N B )AB的长为半径画弧，两弧相 交于点M,N,直线MN交AB于点D,连接 DE,则DE的长是 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是边 AB,AC上的点，连接BE,DE,∠ADE= ∠AED,F,G,H分别为BE,DE,BC的中点. 求证：FG=FH. 119探究在线八年级数学（下）·BS 形的中位线 知识点2三角形中位线定理的应用 5.(教材P173随堂练习T2变式)如图，小张想 估测被池塘隔开的A,B两处景观之间的距 离，他先在AB外取一点C,然后步测出AC, BC的中点D,E,并步测出DE的长约为 18m,由此估测A,B之间的距离约为() A.18m B.24m C.36m D.54m c 第5题图 第6题图 6.如图，一块等边三角形的空地ABC中，E,F 分别是边AB,AC的中点，测量得EF=5米， 某人想把四边形BCFE用篱笆围一圈放养小 鸡，则需要篱笆的长度是 米。 知识点3中点四边形 7.如图，四边形ABCD各边中 点分别是E,F,G,H,若对角 线AC=24,BD=18,则四边 形EFGH的周长是 8.如图，在“飞镖形”ABCD中，E,F,G,H分别 是AB,BC,CD,DA的中点.求证：四边形 EFGH是平行四边形. 2能力在线 方法规律综合练 9.(重庆开学考试)如图，在△ABC中，D,E分别 为AB,AC边的中点，BF平分∠ABC交DE 于点F,若AB=4,BC=6,则EF的长为() A B.1 c D.2 第9题图 第10题图 10.如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD,AC= 6,BD=6√2，E,F分别是边AD,BC的中 点，连接EF,则EF的长是 () A.3 B.3√2 C.3√3 D.3+32 2 11.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,E,F分别是线段AO,BO的中 点，若AC+BD=12cm,△OAB的周长是 10cm,则EF= cm. 第11题图 第12题图 12.(郑州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC= 90°，∠C=30°，AD平分∠BAC,且AD1 BD,AB=3,若E为BC边的中点，则DE的 长度为 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC =8,N是BC边上一点，M为AB边上的动 点，D,E分别为CN,MN的中点，则DE的 最小值是 14.（吉林期末)如图，已知□ABCD,AC,BD相 交于点O,延长CD到点E,使CD=DE,连 接AE. (1)求证：四边形ABDE是平行四边形； (2)连接BE,交AD于点F,连接OF,若OF =2,则CE=· 15.如图，在四边形ABCD中，M,N,E,F分别 为AD,BC,BD,AC的中点，求证：MN与 EF互相平分. ③拓展在线》培化拔尖提升练 16.(中考·平凉)如图①，在等腰直角三角形 ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中 点；动点P从点A出发，沿边AC→CB方向 匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运 动路程为x,△APD的面积为y,y与x的函 数图象如图②所示，当点P运动到CB的中 点时，PD的长为 () 图① 图② A.2 B.2.5 C.2√2 D.4 第六章120