5.3 第1课时 分式方程的概念&第2课时 分式方程的解法-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

(3)当所加的这个数为a(a>0)时，分式的值增大了. 理由：2-+a=m<0,<+a .(2-+）23-22 m mta m(m+a) mm+a 第3课时分式的混合运算 -2x-1=0x-2x=1.原式-中号 基础在线 6.原式=a-2. 1.A2.gC6 由于a十2≠0，a-2≠0，∴.a≠±2. 3.C 把a=0代入，得 4.(1)原式=1×m+1)-1=m+1-1=m1 原式=0-2=-2； m mmmm mi 把a=1代入，得 (2)原式= +昂+品 1+x一1 原式=1一2=一1. 阶段测评6(5.1~5.2) t2”2-+月1 1.C2.D3.A4.D5.D6.A7.B8.D (x-1)2 能力在线 9.>-110.4(m-nmt1.z￥ 12.2 5.D6.B 1.原式- 18-101314-号或-号 1 a满足a2-4=0,即a=士2但a-2≠0，.a=-2. 15.(1)原式=- (2)原式=2—2x 当a=一2时，原式=二号号=专 (3》原式=-&-2 a+2 8方法1：原式-（异写+2）.g 16.(1)当x≠0时，分式有意义. 5m+3 (2)-2-3-6632 2 分·m+3m-3n33m+3m动 (3)由表格可得， 5m+3 5m+3 _2(m-32+3(m+3)_2m=6+3m+9_5m+8=1. 当x<0时，是的值随x的增大面减小；当x>0时，号的 5m+3 5m+3 5m+3 5m+3 值随x的增大而减小 方法2：原式-（异6+23）.血3g3》 5m+3 1n.a00(22-2u}3=2- x+1 x+1 「2(m-3) 3(m十3) .(m+3)(m-3) (3)2或4或-10或16 Lm+3)i3+om+3m-3」 5m+3 18.(1)12(a+b)48 5m+3 ,(m+3)(m-32=1. ab a+6 (m+3)(m-3) 5m+3 12(a+b)_48_12(a-b)2 拓展在线 (2)t-2= ab a+b ab(a+b)' 9.C 1≤a≠b≤6，.ab(a+b)>0,(a-b)2>0. 微专题9分式的运算及化简求值 12a-60 1.B ab(a+b)>0,即6-4>0. .t>t2.∴.该工程队应选择方案B. 2.1)原式=3+)3-2÷(3-3+) (x-1)2 （x-1x-i 3 分式方程 =3+x)3-2÷-(x+32 第1课时分式方程的概念 (x-1)2 x-1 基础在线 -28.- (x-1)2 1.B2与-3（答案不唯-）3.A =x3 能力在线 t-I. 4.③④⑤ 5.①②④①④ 2)原式=[2-a29+D]÷4+4+1 6.(1)60 (1+25%)x 60 a+1 a+1 (1+25%)z(从上至下，从左向右格 (器)÷0+1 次填) 60 =2a-a2÷(a-2)2 (2)根据题意列方程，得6 a+1 。a+1+1 x(1+25%)z=30. 拓展在线 =-a(a-2).a十1 25 (a-2)+1 10 a+1 7.3x-0.1 。2+1=。二号+8=号 第2课时分式方程的解法 a-2a-2 基础在线 1.A2.B3.C 3.x-1D(++1=1+2-1=2+x-2 4+Dx+1-3x=2-号-号 x(x+1)-8 5.(1)方程的两边都乘2(x-1),得2x=3-2x十2. 当x=2时，原式=22+2-2=4. 5 4.原式=3x+3x 解这个方程，得x=是 x2+x-5=0,.x+x=5..3x2+3x=15. 检验：当x=时，左边=右边=5，且2x-2≠0， “原式--号 所以，x=号是原方程的根。 一探究在线· (2)方程的两边都乘x(x一2)，得2x2一2x(x一2)=1. (3)方程两边都乘(x十3)(x一2)，得 解这个方程，得x=子 4(x-2)+x(x+3)=(x+3)(x-2); 检验：当x=子时，左边-右边=一9，且x(一2)≠0， 解这个方程，得x=3, 检验：当x=号时，左边=右边，且(x+3)(x一2)≠0， 所以，x=子是原方程的根。 6.A7.5 所以，2=弓是原方程的根。 8.第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以- (4)方程两边都乘(x十2)(x-2),得 个不为0的数（或式子），等式仍然成立. x(x+2)-1=(x+2)(x-2), 小李的解答过程不正确.正确解答如下： 解这个方程，得=一吕， 方程两边都乘(x一2)，得 1-x=-1-2(x-2), 检验：当x=-号时，左边=右边，且(x十2)（红一2）≠0， 解这个方程，得x=2. 经检验，x=2是增根， 所以，x=一号是原方程的根。 原方程无解。 (5)方程两边都乘(x十1)(x一1)，得 9.B -3x(x+1)=5x+1-3(x2-1), 能力在线 1 10.c1.B12.-号 解这个方程，得x=一2， 13.(1)方程两边都乘(x+1)(x一1)，得 检验：当x=一合时，左边=右边，且(x十10(x-1)≠0， 2(x-1)-5(x+1)=-10 所以，2=一号是原方程的根。 解这个方程，得x=1. 检验：当x=1时，(x十1)(x一1)=0，因此x=1不是原方 (6)方程两边都乘(x一2)2，得 x(x-2)-(x-2)2=4, 程的根， 解这个方程，得x=4, 所以，原方程无解. 检验：当x=4时，左边=右边，且(x一2)2≠0， (2)方程两边都乘(2x十1)(2x-1),得 所以，x=4是原方程的根. x+1=3(2x-1)-2(2x+1). (7)方程两边都乘x(x-1),得 解这个方程，得x=6. 3(x-1)+6x=6, 检验：当x=6时，左边=右边=品，且(2x+1)(2x-1) 解这个方程，得x=1, 检验：当x=1时，x(x一1)=0， ≠0. 所以，x=1是原方程的增根. 所以，x=6是原方程的根. 所以，原方程无解. 14.0由愿意，得AB=1-中号子g (8)方程两边都乘x(x一2)，得 (x-2)(2x十2)-x(x+2)=x2-2, (2):B是线段AC的中点， 2(+吾)=1，解得z=5 解这个方程，得x=一日， 经检验，x=5是原方程的根。 检验：当x=一合时，左边=右边，且x(x一2)≠0. 号-书是点A表示的数是是 所以，2=一合是原方程的根。 拓展在线 微专题11由分式方程根的情况确定字母的取值范围 1 1 1 15.(1)x-3x-4x=6x-7 1.A2.m≥2且m≠33.-14.B5.B6.2或-1 7.(1)0x=0(2)0或2 (8方程可变形为产号品产》-名务， x-7-x十6 8.原方程可化为(m十3)x=4m十8. 由于原方程无解，故有以下两种情形： 六(z-3)(x-4=-(x-6)(x-7万 ①若整式方程无实根， 则m十3=0且4m+8≠0，此时m=一3； .(x-3)(x-4)=(x-6)(x-7), ②若整式方程的根是原方程的增根， 解得x=5. 检验：当x=5时，(x一3)(x一4)(x一6)(x一7)≠0， 则物十专-3，解得m=1 ∴x=5是原方程的根. 综上所述，m=-3或1. 微专题10解分式方程 第3课时分式方程的应用 (1)方程两边都乘x(x一2)，得3(x一2)一2x=0, 基础在线 解这个方程，得x=6, 检验：当x=6时，左边=右边，且x(x一2)≠0， 1.设乙款书签价格为x元，则甲款书签价格为x元，由题 所以，x=6是原方程的根， 意，得 (2)方程两边都乘(x一1)(x十2)，得 00=128 6 -3,解得x=16, x(x+2)-(x-1)(x+2)=3, 解这个方程，得x=1, 经检验，x=16是原方程的根，且符合题意， 检验：当x=1时，(x-1)(x十2)=0， 所以，x=1是原方程的增根. “甲款书签价格为号×16=20（元）。 所以，原方程无解。 答：甲款书签价格为20元，乙款书签价格为16元. 年级数学（下）·BS一 253 ©第1课时 ①基础在线> “知识要点分类练 ● 知识点1分式方程的概念 1.下列各式中，是分式方程的是 A.16z=1 ·25π B.21 x-2 c--0 2.(新考向·结论开放)请你利用代数式x一2， x十5,3组成一个分式方程： 知识点2列分式方程 3.(中考·深圳)某社区植树60棵，实际种植人 数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵 树比原计划少了3棵.若设原计划人数为 x人，则下列方程正确的是 () A.60-0=3 B.60-60=3 x2x 2x x C.60=2×60 x+3 D.60=2X60 x-3 2能力在线 、方法规律综合练 …● 4已知方程：①5x+x-1-0,@号+2 31 @与十2<3.其中分式方程 、1 √x-I√x+I 有 .(填序号) 5.(教材P144随堂练习T1变式)某工地调来 144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土 1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力，才能 使挖出来的土能及时运走且不窝工（停工等 待)？设派x人挖土，其他人运土，下列所列方 程：①14=3：②14-x=号：③x十3x= 分式方程 分式方程的概念 144:④142=3.其中正确的是 这些正确的方程中，是分式方程的是 (填序号) 6.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任 务，为了避开雨季的到来，实际工作时的工作 效率比原计划提高了25%，结果提前30天完 成了这一任务， 设原计划的工作效率为x万平方米/天. 工作效率 工作时间 总任务量 (万平方米/天) (天) (万平方米) 原计划 x 60 实际 60 (1)用含x的式子填表； (2)根据题意及表中所得到的信息列方程. 3 拓展在线》培优拔尖提升练 7.为了降低成本，某出租车y元 25 公司实施了“油改气”措 10 施.如图，y1,y2分别表示 ---4y2 燃油汽车和燃气汽车所需 0 s/千米 费用y(单位：元)与行驶路程s(单位：千米)的 关系.已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气 汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃 气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程 为 第五章96 ©第2课时 ①基础在线 知识要，点分类练 知识点1分式方程的解法 1(中考·湖南)将分式方程早去分母后 得到的整式方程为 () A.x+1=2x B.x+2=1 C.1=2x D.x=2(x+1) 2.若关于x的分式方程m-3 x-1 =1的解为x=2, 则m的值为 A.5 B.4 C.3 D.2 ,1号1化为整式方 3.将分式方程2 3 程时，方程两边都应乘 A.x+1 B.x-1 C.(x+1)(x-1) D.(x+1)(x-1)(x2-1) 4第分式方程：上1子2 解：方程的两边都乘 ,得 解得x= 检验：当x= 时， ≠0，且 左边=右边= 所以，原分式方程的解为x= 5.解下列方程： (1)(中考·西宁)x， 3 x-1-2x-2-1; 97探究在线八年级数学（下）·BS 分式方程的解法 2222= 1 x(x-2)1 知识点2分式方程的增根 6若关于x的分式方程，”写3。=2有塔根， 则增根为 () A.x=3B.x=-3C.x=-1D.x=0 7知果分式方程，2与一1=2与有增根，那么及 的值是 易错点1去分母时，常数项漏乘最简公分母 而出错 8.(中考·广东)在解分式方程1-=。1一2 Ex-2-2-x 时，小李的解法如下： 第一受-2)=22红-2)-2， 第二步：1-x=-1-2, 第三步：-x=-1-2-1, 第四步：x=4. 第五步：检验：当x=4时，x一2≠0. 第六步：∴.原分式方程的解为x=4. 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依 据是什么？判断小李的解答过程是否正确，若 不正确，请写出你的解答过程. 易错点2考虑问题不全面致错 9.分式方程，2=1一”1的解为正数，则m的 取值范围是 () A.m>-3 B.m>-3且m≠-2 C.m<3 D.m<3且m≠-2 ②能力在线沙方法规律综合妹 ● 10.(中考·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程 2十马=2无解，那么实数m的值是 () A.m=1 B.m=-1 C.m=1或m=-1D.m≠1且m≠-1 11.（沧州期末)定义一种新运算“※”为a※b= 。则方程x发3=g”。1的解为() A.x=3 B.x=6 C.x=8 D.x=10 12若方程，爷一1=己≥的解与方程-3的 解相同，则a= 13.解下列方程： ②出42 14.（唐山期中)已知如图，A,B,C三点在数轴上 对应的数分别是1一 (1)用含x的代数式表示线段AB的长； (2)若B是线段AC的中点，求点A表示的数. A B C x+1 1 x+3 3拓展在线 沙塔优拔尖提升然 15.阅读下列材料： 方程21士28的潮是2=1： 方程上-1=1。一1 x-1x-3x-4的解是x=2; 方程1215的解是-3： (1)根据上述规律，可知解为x=5的方程为 ； (2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的. 第五章98