5.2.2 第2课时 分式的通分与异分母分式的加减法-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

@第2课时 分式的通 ①基础在线 > 知识要点分类练 …● 知识点1通分及最简公分母 1.分式岩与这的最简公分母是 A.10x7 B.7x C.10x11 D.7x1 2将分式。g和02g进行通分时，分母口-9 可因式分解为 ,分母3a一9 可因式分解为 ,因此最简公分母 是 3.通分： 16与nc: 2与， 知识点2异分母分式的加减 4(中考·天)计第。子的结果等于 () 1 A. a-1 B.1 a+1 C.j-a D.1 5.计算（补充计算过程）： (1)1-1=()1 x 3x () (x-1)(y-1) 分与异分母分式的加减法 6.计算： (1)a+b_b+c. ab bci (2)11 xx-11 知识点3利用分式运算解决实际问题 7.暑假期间，某校组织学生到北京旅游，已知该 校到北京的距离为skm,若旅游车从学校出 发，以vkm/h的速度行驶，则可以在规定时间 到达北京.为了让同学们在天安门广场观看升 国旗仪式，旅游车加速行驶，如果旅游车每小 时多行驶akm,那么同学们可提前多长时间 到达？ 易错点异分母分式加减时，用错分式的基本 性质 8.在数学课上，老师给出了这样一道题：计算 16十42m以下是小明同学的计算过程。 16 16 解：原式三(m-4)(m十4少m二4① 16 2(m+4) (m-4)(m+④)(m=4(m+④@ 16-2m+8 (m-4)(m+4® 第五章90 (1)以上过程中，第 步是进行分式的通 分，通分的依据是 (2)以上计算过程是否正确？若正确，请你继 续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出 是哪一步出现了错误，并写出本题完整、正确 的解答过程. ②能力在线》方法规律综合练 9.四张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片，按如 图所示的方式拼成一个边长为(a十b)的大正 方形，面积记为S,图中小正方形的面积记为 S.若S=852,则+8 b A.2 B16 9 C6 7 2 1 10.已知分式3x-12'z一2：其中m是这两个分 式中分母的公因式，n是这两个分式的最简 公分母，且”-8，则x 11.(怀化期中)如果A一。B=2x一6 x-12-x-(x-1)(x-2)’ 则A= ,B= 12.为节约用水，提高水资源的利用率，某住宅小 区安装了循环用水装置.经测算，原来a天用 水b吨，现在这些水可多用4天，则现在每天 比原来少用水 吨 13.(南京期中)甲、乙两人两次同时在一家加油 站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克 a元和b元(a≠b).甲每次加入40升汽油，乙 每次加入200元汽油， 91探究在线八年级数学（下）·BS (1)若甲两次加油的平均单价为每千克Q1元， 乙两次加油的平均单价为每千克Q2元，则 Q1= ,Q2= (2)请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一 个更便宜，并说明你的理由. 3 拓展在线》培优拔尖提升练 ●4。4 14.已知m>n>0.如果将分式2的分子、分母都 加上同一个不为0的数后，所得分式的值比 ”是增大了还是减小了？请按照以下要求尝 试做探究 (1)举例：比较大小：号 2+1 -3+1 (2)当所加的这个数为1时，请通过计算说明 你的结论； (3)当所加的这个数为a(a>0)时，你能得到 什么结论？请说明理由。(5)原式=3a(a-2b)-6b(a-2b)=3(a-2b)(a-2b)= 第五章分式与分式方程 3(a-2b)2. 1分式及其基本性质 (6)原式=5m(x-y)2-10(x-y)3=5(x-y)[m-2(x y)]=5(x-y)2(m-2x+2y). 第1课时认识分式 2.(1)原式=(100-1)×(100+1)=1002-12=10000-1= 基础在线 1.B2.2(答案不唯一)3.B4.A5.-2 9999. (2)原式=3.14×(5.52一4.52) 6.0)只 (2)a67.-2 =3.14×(5.5+4.5)×(5.5-4.5) 能力在线 =3.14×10×1=31.4. (3)原式=202+2×202×98+982=(202+98)2=90000. 8.x>3且x≠20259.1)> (2)为任意实数 (w)原式=(1-)×(1+2）)×(1-号)×(1+号)× 10.-111-88 (1-4)×(1+4)×…×(1-9)×(1+9)×(1 拓展在线 12.将x=3a十2，y=1代入函数，整理，得 )×(1+ -3(a+2)(a2-4a+1)=0, =×号×号×号×××…×××盟×0删 0当a+2=0时，即a=-2时，T-号<3， ②当a-4a十1=0时，a≠0， =×18-280 则有a2=4a-1,a2+1=4a,a+1=4. 3.由题意可知， V=xxh()'-xxh(号)‘=[()-（号）门] =+a-+-4子>8 4 综上可知，当a=-2时，T<3;当a2-4a十1=0时，T>3. =(号+号)（号-号）=xx1×(2+)】 第2课时分式的基本性质及约分 基础在线 (2-88-0,6）=0.078m(m). 1.D2.D3.(1)6a2(2)3b(3)a-2(4)x2-y 答：浇制一节这样的排水管道需要0.078πm3的混凝土. 4)-2 (2)4x 5y 3)-0④2 n 单元综合复习（四）因式分解 5.C6.C7.B8. 热门考点突破 9.(1)x2 2 (2)4+m (3)m+2 m 1.D2.C3.D4.B 5.(1)m(m+2)(2)7(m+2)(m-2)(3)2m(x-y) 10.(1)原式=一3m6 2a (2)原式=a a+6 6.(1)原式=(x-y)(3m+n). (2)原式=4xy2(xy+2xx-3x). (3)原式=x+3 x-3 (4)原式=一26+1 (3)原式=5.x(x-2y)3+20y(x-2y) 11.D =5(x-2y)3(x十4y). 能力在线 (4)原式=(x2-6x+9)2=(x-3) 12.B13.D14.C15.×(答案不唯一)16.0，-2，-3 1原式-(4）（告学）=0 17.选择x2一1作为分子，x2+2x+1作为分母，组成分式 x2-1 当a=-日6=2时，原式=ab=一日×2=-子 x2+2x+1 x2-1 (x十1)(x-1)=x-1 8.A9.B10.D11.B12.102515(答案不唯-) x2+2x+1 (x+1)2x+1' 13.(1)根据题意，草坪的面积为(a2-46)平方米. (2)当a=13.6,b=1.8时， 当一2时，原式-宗宁 草坪的面积为a2一4b=(a+2b)(a-2b)=(13.6+2× (答案不唯一) 1.8)×(13.6-2×1.8)=172(平方米). 拓展在线 核心素养提升 18.(1)①③ 14.(1)(m+2n)(2m+n) (2:分式一2x+2匹的“巧整式”为1-x (2)由题意，得mn=10,2m2+2n=58, A .m2+n2=29. .A=-22+2x 1-x ∴.(m十n)2=m2+n2+2mn=29+2X10=49. 15.(1)是不是 A=20)=2x（1十x)=2x2+2z 1-x (2)是.理由如下：(2n十1)2一(2n-1)2 :2x+4r+22-2z(2+2x+1)=（x+1) =[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=8n, 2x2+2x 2x(x+1) (x+1)=x+1, .由两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数. 又x十1是整式， (3)Sm影=1992-197+1952-1932+…+7-52+32-1 :2证+4+2匹是“巧分式” =(199+197)×(199-197)+(195+193)×(195-193) A +…+(7+5)×(7-5)+(3+1)×(3-1) 2分式的运算 =(199+197+195+193+…+3+1)×2 2.1分式的乘除法 =1+199)×100×2 基础在线 2 =20000. ab 2.C 1.a·c2bc·a2 24 一探究在线·八 3.(1)原式=a6 26 (2)原式=m-3m m-11 14.0 15.原式=十y 4.品 2a 2a 362 5.C 16.(1)A+B= A-B-x 1 6.(1)原式=9 (2)x=- 1 3 (2)原式=a2-2a. 2 1 2x-2 7.2+2x+1x- 拓展在线 x十1 当8时原式22-41 17.(1)0x千1 ②a x十c 3+1 (2)2x8-2x+4212=2-12 8.D x+2 x+2 x+2 9. (2)16y 27c 9x2 (3)一28 要求分式-的最小位，则平2的位最大。 10.C11.A ≥0，当x-0时，是有最大值，为6， 12.原式=-a+1 a-1 13.该同学的求解不正确.分式乘除混合运算的顺序为从左 小分式的最小值为2-6=一4 到右，正确的解答过程如下： 3)-2x-+x-3z3x3x十3=3 x+1 x+1 x+1 x÷(x-1)· 3+ 能力在线 14.B15.B16.m-m 为整数要俊分式号十子票的值为壁效， n 1以源支总等·号等 则为整数，x的值为-4或-2或0或2。 ∴.其和为-4-2+0+2=-4. 2)原武=x0)·…字=- xy 第2课时 分式的通分与异分母分式的加减法 181(）》 基础在线 x2-1 1.A -2D出.r= (x-1)2 2.(a+3)(a-3)3(a-3)3(a+3)(a-3) x-1 3.1a而-1807e9ac18a7c 3acx 2bv .当x=2或-2时，原式都等于16. 拓展在线 19.(1)由题意知，A玉米试验田的面积为a2一4，B玉米试验 田的面积为(a-2)2, 4.A a2-4-(a-2)2=4a-8=4(a-2), 5.(1)3 2 一x+y 3x (2)xy-xxy-y(x-1)(y-1) 又a>2,.4(a-2)>0. ,A玉米试验田的面积大. 6.1)原式-a.(2)原式=-z ac ,两块试验田的玉米都收获了600千克， 7.根据题意，得 s s(u+a) sa B玉米试验田的单位面积产量高. vv十av(v十a)v(v+a)v(v十a) (2)由题意可得 600 =a二4=a+2)(a-22=a+2 中. (a-2)2 a-2 答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的牛号倍。 答：同学们可提前中h到达， 8.(1)②分式的基本性质 2.2分式的加减法 (2)第③步错误.正确的解答过程如下： 第1课时同分母分式的加减法 16-2m-8 8-2m 2 基础在线 原式=(m°4)m十④F(m-4(m+=一 m十4 1.A2.B3.B4.a-1 能力在线 5.(1)原式=2.(2)原式=a十2b.(3)原式=-4. 6.①原式=t+2-3=丈-1=(x+1)1D 9D10.号 11.4-212.a+4a x+1x十1 x+1 =x-1, 13.(1)a+b 2ab 2 当x=1时，原式=1-1=0. a+b 7.A (2)Q-Q.=atb-2a6=a-6 2a+b2(a+b)1 &z⑧5 a≠b,∴.(a-b)>0. a>0,b>0, 9.(1)原式=x-y.(2)原式=4 xyx'y ÷%>0,即Q>a 10.xy+y广xy =x十y 答：乙的平均单价更便宜 拓展在线 当x=2十√5，y=2-√3时， 14.(1)< 原式=2十√3+2-3=4. (2)增大了 能力在线 11.B12.113.0或-2（答出其中一个即可） 理由治-<0货<号 mm+1' 年级数学（下）·BS一 (3)当所加的这个数为a(a>0)时，分式的值增大了. 理由：2-+a=m<0,<+a .(2-+）23-22 m mta m(m+a) mm+a 第3课时分式的混合运算 -2x-1=0x-2x=1.原式-中号 基础在线 6.原式=a-2. 1.A2.gC6 由于a十2≠0，a-2≠0，∴.a≠±2. 3.C 把a=0代入，得 4.(1)原式=1×m+1)-1=m+1-1=m1 原式=0-2=-2； m mmmm mi 把a=1代入，得 (2)原式= +昂+品 1+x一1 原式=1一2=一1. 阶段测评6(5.1~5.2) t2”2-+月1 1.C2.D3.A4.D5.D6.A7.B8.D (x-1)2 能力在线 9.>-110.4(m-nmt1.z￥ 12.2 5.D6.B 1.原式- 18-101314-号或-号 1 a满足a2-4=0,即a=士2但a-2≠0，.a=-2. 15.(1)原式=- (2)原式=2—2x 当a=一2时，原式=二号号=专 (3》原式=-&-2 a+2 8方法1：原式-（异写+2）.g 16.(1)当x≠0时，分式有意义. 5m+3 (2)-2-3-6632 2 分·m+3m-3n33m+3m动 (3)由表格可得， 5m+3 5m+3 _2(m-32+3(m+3)_2m=6+3m+9_5m+8=1. 当x<0时，是的值随x的增大面减小；当x>0时，号的 5m+3 5m+3 5m+3 5m+3 值随x的增大而减小 方法2：原式-（异6+23）.血3g3》 5m+3 1n.a00(22-2u}3=2- x+1 x+1 「2(m-3) 3(m十3) .(m+3)(m-3) (3)2或4或-10或16 Lm+3)i3+om+3m-3」 5m+3 18.(1)12(a+b)48 5m+3 ,(m+3)(m-32=1. ab a+6 (m+3)(m-3) 5m+3 12(a+b)_48_12(a-b)2 拓展在线 (2)t-2= ab a+b ab(a+b)' 9.C 1≤a≠b≤6，.ab(a+b)>0,(a-b)2>0. 微专题9分式的运算及化简求值 12a-60 1.B ab(a+b)>0,即6-4>0. .t>t2.∴.该工程队应选择方案B. 2.1)原式=3+)3-2÷(3-3+) (x-1)2 （x-1x-i 3 分式方程 =3+x)3-2÷-(x+32 第1课时分式方程的概念 (x-1)2 x-1 基础在线 -28.- (x-1)2 1.B2与-3（答案不唯-）3.A =x3 能力在线 t-I. 4.③④⑤ 5.①②④①④ 2)原式=[2-a29+D]÷4+4+1 6.(1)60 (1+25%)x 60 a+1 a+1 (1+25%)z(从上至下，从左向右格 (器)÷0+1 次填) 60 =2a-a2÷(a-2)2 (2)根据题意列方程，得6 a+1 。a+1+1 x(1+25%)z=30. 拓展在线 =-a(a-2).a十1 25 (a-2)+1 10 a+1 7.3x-0.1 。2+1=。二号+8=号 第2课时分式方程的解法 a-2a-2 基础在线 1.A2.B3.C 3.x-1D(++1=1+2-1=2+x-2 4+Dx+1-3x=2-号-号 x(x+1)-8 5.(1)方程的两边都乘2(x-1),得2x=3-2x十2. 当x=2时，原式=22+2-2=4. 5 4.原式=3x+3x 解这个方程，得x=是 x2+x-5=0,.x+x=5..3x2+3x=15. 检验：当x=时，左边=右边=5，且2x-2≠0， “原式--号 所以，x=号是原方程的根。 一探究在线· (2)方程的两边都乘x(x一2)，得2x2一2x(x一2)=1. (3)方程两边都乘(x十3)(x一2)，得 解这个方程，得x=子 4(x-2)+x(x+3)=(x+3)(x-2); 检验：当x=子时，左边-右边=一9，且x(一2)≠0， 解这个方程，得x=3, 检验：当x=号时，左边=右边，且(x+3)(x一2)≠0， 所以，x=子是原方程的根。 6.A7.5 所以，2=弓是原方程的根。 8.第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以- (4)方程两边都乘(x十2)(x-2),得 个不为0的数（或式子），等式仍然成立. x(x+2)-1=(x+2)(x-2), 小李的解答过程不正确.正确解答如下： 解这个方程，得=一吕， 方程两边都乘(x一2)，得 1-x=-1-2(x-2), 检验：当x=-号时，左边=右边，且(x十2)（红一2）≠0， 解这个方程，得x=2. 经检验，x=2是增根， 所以，x=一号是原方程的根。 原方程无解。 (5)方程两边都乘(x十1)(x一1)，得 9.B -3x(x+1)=5x+1-3(x2-1), 能力在线 1 10.c1.B12.-号 解这个方程，得x=一2， 13.(1)方程两边都乘(x+1)(x一1)，得 检验：当x=一合时，左边=右边，且(x十10(x-1)≠0， 2(x-1)-5(x+1)=-10 所以，2=一号是原方程的根。 解这个方程，得x=1. 检验：当x=1时，(x十1)(x一1)=0，因此x=1不是原方 (6)方程两边都乘(x一2)2，得 x(x-2)-(x-2)2=4, 程的根， 解这个方程，得x=4, 所以，原方程无解. 检验：当x=4时，左边=右边，且(x一2)2≠0， (2)方程两边都乘(2x十1)(2x-1),得 所以，x=4是原方程的根. x+1=3(2x-1)-2(2x+1). (7)方程两边都乘x(x-1),得 解这个方程，得x=6. 3(x-1)+6x=6, 检验：当x=6时，左边=右边=品，且(2x+1)(2x-1) 解这个方程，得x=1, 检验：当x=1时，x(x一1)=0， ≠0. 所以，x=1是原方程的增根. 所以，x=6是原方程的根. 所以，原方程无解. 14.0由愿意，得AB=1-中号子g (8)方程两边都乘x(x一2)，得 (x-2)(2x十2)-x(x+2)=x2-2, (2):B是线段AC的中点， 2(+吾)=1，解得z=5 解这个方程，得x=一日， 经检验，x=5是原方程的根。 检验：当x=一合时，左边=右边，且x(x一2)≠0. 号-书是点A表示的数是是 所以，2=一合是原方程的根。 拓展在线 微专题11由分式方程根的情况确定字母的取值范围 1 1 1 15.(1)x-3x-4x=6x-7 1.A2.m≥2且m≠33.-14.B5.B6.2或-1 7.(1)0x=0(2)0或2 (8方程可变形为产号品产》-名务， x-7-x十6 8.原方程可化为(m十3)x=4m十8. 由于原方程无解，故有以下两种情形： 六(z-3)(x-4=-(x-6)(x-7万 ①若整式方程无实根， 则m十3=0且4m+8≠0，此时m=一3； .(x-3)(x-4)=(x-6)(x-7), ②若整式方程的根是原方程的增根， 解得x=5. 检验：当x=5时，(x一3)(x一4)(x一6)(x一7)≠0， 则物十专-3，解得m=1 ∴x=5是原方程的根. 综上所述，m=-3或1. 微专题10解分式方程 第3课时分式方程的应用 (1)方程两边都乘x(x一2)，得3(x一2)一2x=0, 基础在线 解这个方程，得x=6, 检验：当x=6时，左边=右边，且x(x一2)≠0， 1.设乙款书签价格为x元，则甲款书签价格为x元，由题 所以，x=6是原方程的根， 意，得 (2)方程两边都乘(x一1)(x十2)，得 00=128 6 -3,解得x=16, x(x+2)-(x-1)(x+2)=3, 解这个方程，得x=1, 经检验，x=16是原方程的根，且符合题意， 检验：当x=1时，(x-1)(x十2)=0， 所以，x=1是原方程的增根. “甲款书签价格为号×16=20（元）。 所以，原方程无解。 答：甲款书签价格为20元，乙款书签价格为16元. 年级数学（下）·BS一 25