阶段测评5(3.1-3.2)-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

(2)由题意易得x=2a-2, 数轴表示如图所示。 y=4-a, ,5<x+3y8, -4-3-2-10123 ∴.5<2a-2+3(4-a)<8,解得2<a<5. (2)对于不等式3一x<5, 即a的取值范围是2<a<5. 移项，得一x<5一3， (3)2<a<5,a为整数， 合并同类项，得一x<2, .a=3或a=4, 两边都除以一1，得x>一2， 当a-3时，1：当a=4时6 数轴表示如图所示。 y=0. ∴.a=3或a=4都满足题意. 43之山012341 (3)原不等式组的解集为一2<x≤3. 阶段测评4(2.3~2.4) 11.B 1.C2.A3.C4.B5.D6.D 12.(1)设甲池的排水速度为xm3/h.由题意，得 7.0(答案不唯一)8.39.3cm或4cm10.-2≤a<-1 36-3x=2×(36一8X3),解得x=4. 11.12m<1512.>30 答：甲池的排水速度为4m3/h. (2x+3≥-5，① (2)设排水a小时， 13. x-2<回 则36×2-(4+8)a≥24，解得a≤4. 答：最多可以排水4小时. 解不等式①，得x≥一4. 13.B14.(-1,0) 解不等式②，得x<5. 15.(1)设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为x元、y元. 因此，原不等式组的解集为一4≤x<5. 14.解不等式①，得x≤1. 则红解用0 y=80. 解不等式②，得x>一3 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元. 因此，原不等式组的解集为一3<x≤1，它的所有负整数 (2)设购买甲种苹果a箱，则购买乙种苹果(12-a)箱. 解为一2，一1. 由题意，得12-a≤a,解得a≥6， 15.(1)设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元. 设该公司需花费心元， 则红1条把 则w=100a+80(12-a)=20a十960 1y=30. 20>0,.w随a的增大而增大. 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元 ∴.当a=6时，w有最小值，为20×6+960=1080. (2)设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面(40一a)袋，总 答：该公司最少需花费1080元. 费用为w元. 核心素养提升 则(1X20130≤350. 16.D17.-10≤a<-4 解得10≤a≤15， 第三章图形的平移与旋转 又a为正整数，.a=10,11,12,13,14,15. 1图形的平移 由题意，得w=(40-a)×20+30a=10a十800. 第1课时平移的认识 10>0,∴.w随a的增大而增大. 基础在线 ∴.当a=10时，w有最小值，最小值为10×10+800= 1.A2.D3.D4.A 900. 5.根据平移作图如图. 答：共有6种购买方案，最低费用为900元. 能力在线 16.(1)在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx十b(k≠0) 6.24 的图象经过点(1,3)和(2,5)， 7.(1)60 ÷6。：得合 (2)证明：由平移可知，CD∥EF, ..∠EAC=∠DCA=30°. (2)2≤m≤3.【解法提示】由(1)，得y= /1,3) 又.∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°， 2x十1和y=x十2，联立得两直线交点 y=x+2 /y=2x+1 .∠EAC=∠ECA. 为(1,3)，当x<1时，画出图象如答图， ∴.AE=CE,∠AEC=120° 要使x<1时，y=mx(m≠0)的值小于 又，AB=CB,.BE垂直平分AC. y=2x+1和y=x十2的值，则y=m.x 答图 ∴∠GEC=∠AEC=60. (m≠0)的图象在两条直线下方，即当x<1时，三条直线 没有交点，当y=mx(m≠0)与y=2x+1的图象交于(1， 由(1)知，∠GCE=60°，.∠EGC=60°. 3)时，m有最大值3；当y=mx(m≠0)与y=2x十1的图 ∴.∠GEC=∠GCE=∠EGC. 象平行时，m有最小值2，∴.当x<1时，若函数y=mx(m ∴.△CEG是等边三角形. ≠0)的值既小于函数y=bx十b的值，也小于函数y=x十 拓展在线 的值，则m的取值范围是2≤m≤3. 8.(1)33°(2)22°或44°或1329 单元综合复习（二）不等式与不等式组 第2课时 沿x轴或y轴方向一次平移的坐标变化 热门考点突破 基础在线 1.C2.C3.A4.a<35.B6.<1 1.B2.(-2,-1)3.左34.(3,2)5.B 7.3(3或4或5中一个即可)8.x>8 能力在线 6.C7.B8.A 9.(1)a≥1(2)-2≤a<0 拓展在线 10.(1)对于不等式2x≤6， 9.(1)点B,点A都向左平移5个单位长度，分别得到对应 两边都除以2，得x≤3， 点C和D,点A,B的坐标分别为(3，一2)，(3,2)， 22 一探究在线·八 点C的坐标为（一2,2），点D的坐标为（一2，-2）. 拓展在线 画出四边形ABCD如图所示 5.(1)如图，△BCF为所作 (2)连接EF.:∠ACB=90°，AC=BC. ∴.∠A=∠ABC=45 ,△ACD顺时针旋转90°得到△BCF, ∴.CD=CF,BF=AD=2,∠DCF=90°， ∠CBF=∠A=45°. ∠DCE=45°，∴.∠FCE=∠DCF-∠DCE=45°=∠DCE. (CD=CF, (2)设△ABM的AB边上的高为h, 在△DCE和△FCE中，∠DCE=∠FCE, 由题意，得2×4×h=4,解得h=2, CE=CE, .△DCE≌△FCE(SAS)..DE=FE. ,,满足条件的点在直线x=1上，且在长方形内部（不包括 在△BEF中，∠EBC=45°，∠CBF=45°， 边界). .符合条件的所有点M的坐标为(1,1)，(1,0)，(1，一1). .∠EBF=90°..EF=√BE+BF=N13」 第3课时 沿x轴、y轴方向两次平移的坐标变化 ∴.DE=EF=I3, 基础在线 第3课时 中心对称与中心对称图形 1.A2.C3.(-4,5) 基础在线 4.(1)画出△ABC如图所示. 1.C2.C3.C (2)(0,0) 平行且相等 4.△ABC和△EFD关于点O成中心对称， 5.(-5,1) 点A与点E,点B与点F,点C与点D是对应点； 能力在线 AC与ED,AB与EF,BC与FD是对应线段. 6.B7.C 5.如图所示，△A'B'C'即为所求作的△ABC关于点O成中 拓展在线 心对称的三角形. 8.C 2图形的旋转 第1课时旋转的认识 基础在线 6.B7.C8.C 9.B 1.42.D3.B4.A 能力在线 能力在线 10.D11.B12.B 5.C6.(6,4) 13.(1)如图，延长AD至点E,使 7.(1)证明：，△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°得到 DE=DA,连接CE,BE,则 △DBE, △ECB即为所求作的三角形. ∴.∠ABD=∠CBE=100°，∠ABC=∠DBE=40°，AB= (2)易证△ADB≌△EDC,则A BD,BC=BE. AB=EC.EC-AC<AE<EC+AC, 又BA=BC, 2 cm<2AD<10 cm,..1 cm<AD<5 cm ..AB-BC=BD-BE BA=BC, 14.①7(3,2) 在△ABD和△CBE中， ∠ABD=∠CBE, (2)根据经过中心对称图形的对称中 BD=BE, 心的任一直线，都可把这个中心对称 .△ABD≌△CBE(SAS) 图形分成面积相等的两部分，直线 只需过对称中心即可将阴影部分分 直线 (2)40° 拓展在线 成面积相等的两部分，如图所示.（答 012345 8.D 案不唯一) 第2课时 旋转作图 拓展在线 基础在线 15.因为成中心对称的两个图形，绕某点旋转180°可以互相 1.A 重合，所以利用面积相等及图形全等进行分割，且每条分 2.如图，△A'B'C即为所求. 割线必须经过对称中心（点O),如图所示.（答案不唯一） 3.(-4,3)或(4，-3) 能力在线 4.(1)△A1BC如图所示.点A1的坐标为(4，一4). (2)△A2B2C2如图所示.点C2的坐标为（一3,3） 阶段测评5(3.1~3.2) 1.B2.B3.B4.B5.D6.A7.C 8.中、一（答案不唯一）9.(4,2)10.40°11.(1，-1) 12.60°或120 13.(1)如图，连接AD,CF,交于点O,此点即为对称中心， (3)如图.若△A2B2C可以看作由△ABC绕某点旋转90° 得到，作BB,和CC的垂直平分线，它们的交点P即为旋 转中心，由图可得P(-3,一1). (2)35°(3)20 年级数学（下）·BS一 14.(1)△A1B1C1如图所示 3.D (2)△A2B2C2如图所示，C2(-3,5)」 能力在线 (3)△A3B3C3如图所示 4.如图，作法如下： ①过点A作AF⊥CM,使AF等于河宽；过点B作BG⊥ CN,使BG等于河宽； ②连接GF,分别与CQ,CP相交于点E',D'; ③过点D作D'D⊥CM于点D,过点E作EE⊥CN于点 E,则DD,EE即为两座桥的位置. 拓展在线 5.(1)如图①，作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称 点D,连接CD,分别交OA,OB于点E,F,则E,F就是所 15.将三条道路都平移到边上去，则空白部分的面积（即蔬菜 要求作的点.100 的总种植面积)不变，所以蔬菜的总种植面积为 (2)存在点E,F.如图②，作点M关于OA的对称点C,作 (20-1X2)(32-1)=558(m). 点N关于OB的对称点D,连接CD,分别交OA,OB于点 答：蔬菜的总种植面积是558m E,F,则E,F就是所要求作的点 16.(1)由旋转得△ABC≌△ADE,且∠a=∠BAD=60°， .AD=AB,∠ABC=∠ADE △ABD是等边三角形.∠ADB=60° ∴.∠ABC=∠ADE=180°-∠ADB=120° (2)证明：，AC=AE,∠EAC=a,.∠E=∠ACE. △ABC≌△ADE,∴.∠ACB=∠E. .∠ACB=∠ACE..CA平分∠BCE 图① 图② (3)证明：如图③，延长AD交CE于点F, 单元综合复习（三） 图形的平移与旋转 .'AE=AC,AD=AD,DE=CD 热门考点突破 '.△ADE≌△ADC...∠DAE=∠CAD 1.B2.C3.C4.(-1,4)5.C6.D7.B8.D9.A △ADE≌△ADC≌△ABC. 10.D11.B12.P ·AFLCE,且CF= 2CE. 图③ 13.(1)如图，△A1BC1即为所求， (2)如图，△A2B2C2即为所求 Sam=2AD·CF=AD·CE= AD·CE. 由图可知，B2(0,一2)，C2(一2，一1). 即SAC=子AD:CE 3简单的图案设计 基础在线 1.A2.C3.C4.图略. 能力在线 5.D6.60°（答案不唯一） 拓展在线 (3)△A1B1C(1,-1) 7.(1)(答案不唯一)我喜欢图案④.图案④的形成过程：以同 14.如图所示.（答案不唯一） 行或同列的两个小正方形组成的长方形为“基本图案”，绕 大正方形的中心旋转180°得到. (2)(答案不唯一)如答图所示. 微专题7旋转在几何中的应用 核心素养提升 答图 15.A 1.B2.A3.C4.55.A6.C 7.(1)由旋转可得AE=AC,∠C=∠AED, 第四章 因式分解 ∴.∠C=∠AEC.∴.∠AED=∠AEC.即EA平分∠CED 1因式分解 (2)如图，连接BD,由旋转可得AE=AC, 基础在线 AB=AD,∠CAE=∠BAD, 1.D2.C3.m2+2mn=m(m+2n) ∴.∠AEC=∠ADB. 4.(3)(6)是因式分解，(1)(2)(4)(5)不是因式分解 :∠AEC+∠AEB=180, 能力在线 ∴.∠ADB+∠AEB=180°. 5.因为255+511=(52)5+511=510+5×510=5×5°+25×5° :∠DAE=∠BAC=90°，.∠DBC=360°-（∠ADB+ =5°×(5+25)=30×5°，所以255十511能被30整除， ∠AEB+∠DAE)=360°-(180°+90)=90 拓展在线 问题解决活动：最短距离 6.设另一个因式为x十a,则2x2十3x一k=(2x一5)(x十a), 基础在线 即2x2十3x-k=2x2十(2a-5)x-5a, 1.C2.如图，最短路径AQ-QP-PB即为所求 .2a一5=3；解得6=20 1-5a=-k, DF M 东 .另一个因式为x十4，k的值为20， D' 2提公因式法 第1课时提单项式因式分解 NO 基础在线 第2题答图 第4题答图 1.2x2.C3.C4.A 一探究在线·八年 5.(1)m(x-2y)(2)a(a+13)6.D 能力在线 7.C8.A 9.(1)-5a(4+3x)(2)-5bc(2a2-3c+4ab) 10.(1)12.5(2)80 11.(1)证明：abcd=1000a+100b+10c+d =(999a+99b+9c)+(a+b+c+d) =9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 9(111a十11b+c)能被9整除，(a+b+c+d)能被g .9(111a十11b+c)+(a十b+c十d)能被9整除. .这个数abcd能被9整除. (2),2十0十2十5=9能被9整除，.2025能被9 拓展在线 12.2032 第2课时提多项式因式分解 基础在线 1.D2.B 3.(1)(a+b)(m+n)(2)2(x-y)(a-2b) 4.(1)原式=(m-2)(a-b). (2)原式=(x-y)(3a-1). 5.原式=(a-b)(a+b-a+b)=2b(a-b). 当a=1,6=-分时， 原式=2×(-)×(1+)=-是 能力在线 6.C7.原式=x(x-4)(x一y). 8..'d-ab-ac+bc=0,∴.a(a-c)-b(a-c)=0. .(a-b)(a-c)=0..a-b=0或a-c=0. a=b或a=c.∴△ABC是等腰三角形. 拓展在线 9.8 10.(1)提公因式法2(2)2026(1+x)202 (3)原式=(1十x)+1 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 基础在线 1.A2.C3.D4.(m+4)(m-4) 5.4a2-1(答案不唯一) 6.(1)原式=(ab+4)(ab-4). (2)原式=(3a+b)(b-a). (3)原式=(8m+9n2)(8m-9n2). 7.(1)2025(x+1)(x-1) (2)3(m+3)(m-3) 8.(1)原式=x(y2-4)=x(y十2)(y-2) (2)原式=a2(x-y)-4(x-y)=(x-y)(a2-4)= (x-y)(a+2)(a-2). 9.(1)原式=(201+199)×(201一199)=400×2=800 (2)原式=(30号+29号)×(30号-29号)=60 80. 10.(1)2a·a-2b=2a2-2b, .图中阴影部分的面积为2a2-2b. (2)当a=15.7,b=4.3时，2a2-26=2(a2-b) b)(a-b)=2×(15.7+4.3)×(15.7-4.3)=456. .阴影部分的面积为456. 能力在线 11.D12.D13.a+b14.4 15.(1)原式=2[4x2-(x-y)2] =2[2x+(x-y)][2x-(x-y)] =2(2x十x-y)(2x-x十y) =2(3x-y)(x+y). 级数学（下）·BS一 (2)原式=(x2-y2)+(2x-2y) =(x十y)(x-y)+2(x-y) =(x-y)(x+y+2). (3)原式=(x2)2-(4y)2 =(x2+4y2)(x2-4y2) =(x2+4y2)(x+2y)(x-2y) 16.(1)122-102=44=4×11 (2)设两个连续偶数为2n和2n十2， 整除， .'(2n+2)2-(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=2(4n+ 2)=4(2n+1), '.任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍 整除。 拓展在线 17.(1)64x (2)64π 发现：M-N=S,一S2.证明过程如下： 依题意，M=S,一K,N=S-K, M-N=S-K-(S-K)=S-K-S+K=S-S. 运用：由M-N=20π，得xR2-π2=20x, 故R2-Y2=20, .(R+r)(R-r)=20. 又R+r=10,R-r=2 则尽0解得（因 ∴.这两个圆的面积之和为π×62十πX4=52元. 第2课时运用完全平方公式因式分解 基础在线 1.D2.±123.D4.D5.A6.A7.(x-3) &.1原式=(m+名)广， (2)原式=(4x+3)2. (3)原式=-(x十y)2. 9.(1)2(x+1)2(2)2m(m-3)2 10.(1)原式=3(x2-6xy+9y2)=3(x-3y)2. (2)原式=-a(a2-4ab+4b)=-a(a-2b)2. 11.4x(答案不唯一) 能力在线 12.A13.A14.D15.(x+3)2 16.6417.13 18.(1)原式=(5.5-0.5)2=25. (2)原式=(x-y)2+2X2y(x-y)+(2y) =(x-y+2y)2 =(x十y)2. 19.△ABC是等边三角形 证明：a2十c2=2b(a-b+c), .a2+c2-2ab+2b-2bc=0. a2+c2-2ab+2b-2bc=(a-b)2+(c-b)2, (a-b)2+(c-b)2=0. .a-b=0,c-b=0..a=b,c=b. .a=b=c..△ABC是等边三角形 拓展在线 20.(1)(a+b-2) (2)原式=[1+2(x-y)]2=(2x-2y+1) (3)证明：原式=(n2+3n+2)(n+3m)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(m2+3n+1)2 2(a十 :n为正整数，m十3n十1为正整数. ∴.式子(n十1)(n十2)(n2+3n)十1的值一定是某个整数 的平方. 微专题8因式分解及其应用 1.(1)原式=m(a2-4b)=m(a十2b)(a-2b) (2)原式=a(x-y)十b(x-y)-c(x-y)=(x-y)(a+b一c). (3)原式=-(4a36-12a2b+4ab)=-4ab(a2b-3a+1) (0原式=+3z+是-(+号)月 23阶段测评5 （时间：40分钟 一、选择题（每小题4分，共28分） 1.(中考·内蒙古)下列汽车电子控制装置显示 的图案中，是中心对称图形的为 P 2.（中考·吉林)如图，风力 发电机的叶片在风的吹动 下转动，使风能转化为电 能.图中的三个叶片组成 的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本 身重合，则角α的大小可以为 () A.90° B.120°C.150° D.180° 3.在平面直角坐标系中，将点A(1,一3)平移到 点B(一3，一3)处，正确的移动方法是（) A.向右平移4个单位长度 B.向左平移4个单位长度 C.向下平移4个单位长度 D.向上平移4个单位长度 4.已知点P1(a,一3)和点P2(4,b)关于原点对 称，则(a十b)2o25的值为 () A.1 B.-1 C.-52025D.52025 5.(张家口期中)如图，点A,B分别在x轴，y轴 上，OA=1,OB=2,线段AB平移后得到线段 A'B'.若点B的对应点B'的坐标为(3,1)，则 点A'的坐标为 () A.(1,-2) B.(-1,2) C.(3,-1) D.(2,-1) 第5题图 第6题图 (3.1~3.2) 满分：100分) 6.(榆林期末)如图，在△ABC和△ADE中，点 D,E分别在AB,AC上，AB=AC,∠A=30°. 将△ADE绕点A按顺时针方向旋转α得到 △AFG,点D,E的对应点分别为点F,G,当 AF∥BC时，∠BAG的度数为 () A.45° B.40°C.35°D.30 7.如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3,OB =4,将△AOB沿着x轴依次以点A,B,O为 旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③ …则旋转得到的第7个三角形的直角顶点 的坐标为 () B ①/② OA A.(27,0) R(4,号) C.(24,0) D(24,号) 二、填空题（每小题5分，共25分） 8.汉字是象形文字，写出两个是中心对称图形的 汉字： .(不考虑字形 上的细微特征) 9.(中考·深圳)如图，将无人机沿着x轴向右平 移3个单位长度，若无人机上一点P的坐标为 (1,2),则平移后对应点P的坐标为 y 0 R 第9题图 第10题图 10.(德阳期末)如图，将△ABC沿BC方向平移 得到△DEF,点A,B,C分别对应点D,E,F, 若∠ACE=100°，∠EDF=60°，则∠DEF= 11.（北京期末)如图，△ABC绕某点旋转得到 △DEF,则其旋转中心的坐标是 第三章66 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC, ∠BAC=∠DAE=40°，将△ADE绕点A顺 时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE 的度数是 三、解答题（共47分） 13.(9分)（保定阶段练习）如图，△ABC和 △DEF关于点O成中心对称， (1)找出它们的对称中心O: (2)若∠ABC=35°，则∠DEF的度数为 ； (3)若AB=8,AC=5,BC=7,则△DEF的 周长为 14.(12分)（朝阳期中）△ABC在平面直角坐标 系中的位置如图所示。 (1)将△ABC向下平移4个单位长度得到 △A1B1C1,请画出△A1B1C1； (2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到 △A2B2C2,请画出△A2B2C2,并写出点C2的 坐标； (3)请画出△ABC关于原点O的中心对称图 形△A3B3C3. 67探究在线八年级数学（下）·BS 15.（12分)如图，张三打算在院落里种上蔬菜， 已知院落为东西长32m,南北宽20m的长 方形，为了行走方便，要修筑同样宽的三条道 路：东西两条，南北一条，南北道路垂直于东 西道路，余下的部分要分别种上西红柿、青 椒、菜豆、黄瓜等蔬菜，若每条道路的宽均为 1m,则蔬菜的总种植面积是多少？ 16.(14分)（包头期末）如图，在△ABC中， ∠ABC>90°.把△ABC绕点A逆时针旋转 a(0°<a<180),得到△ADE,点B的对应点 是点D,点C的对应点是点E (1)如图①，当点B恰好在ED的延长线上 时，若a=60°，求∠ABC的度数； (2)如图②，当点C恰好在ED的延长线上 时，求证：CA平分∠BCE; (3)如图③，连接CD,EC,若DE=DC,求证： SaAe=是AD.CE. 图① 图② 图③