1.5 第2课时 三角形三个内角的平分线&微专题3 线段及的垂直平分线与角平分线的综合-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

12.如图，△ABC即为所求作的三角形， 6.A7.B 8.DE⊥AB,DF⊥AC,,∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中， “8e-c 第12题答图 第13题答图 ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF.∴.DE=DF. 13.(1)证明：如图，连接OA,OB,OC, AD是∠BAC的平分线. ,·DM垂直平分线段AB,EN垂直平分线段AC, 能力在线 ..OB=OA,OA=OC...OB=OC. 9.C .点O在边BC的垂直平分线上 10.如图，①连接CD,作CD的垂直平分线；②作∠AOB的平 (2)20 分线，交CD的垂直平分线于点P,即货站P的位置. 拓展在线 A 14.B 阶段测评2(1.3~1.4) 1.D2.A3.C4.A5.C6.D7.B8.C E 9.合格10.2711.45°12.5013.√5-114.5或10 第10题答图 第11题答图 15.如图，作AC的垂直平分线交AB 11.如图，过点P作PE⊥AB于点E, 于点D,则D点即为所求作. ,AD∥BC,∠D=90°，∴.∠C=180°-∠D=90°， 16.(1)由题意知，∠BDC=∠ACB= 即PC⊥BC. 90°，.∠A=90°-∠ABC= :BP平分∠ABC,PE⊥AB,PC⊥BC,PC=PE. ∠BCD. P是CD的中点，∴PD=PC.PE=PD. (2)易知∠ABC=90°-∠A=60° 又PE⊥AB,PD⊥AD,.AP平分∠DAB, :BE平分∠ABC,∴∠ABE- 12.(1)证明：如图②，过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC ∠ABC=30° 交AC的延长线于点F, .∠CEF=∠A+∠ABE=60°. :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF (3)= :∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， 17.如图，过点A作AH⊥DE于点H, .∠B=∠FCD. .CD=2,BD=3, :∠F=∠DEB=90°， ∴.BC=5. .△DFC≌△DEB(AAS).∴.DC=DB. :DA平分∠CDE,∠ACD=90° AH⊥ED, .∠ADC=∠ADH,∠C=∠AHD=∠AHE=90 .'AD=AD,∴.△ADC≌△ADH(AAS). ..AC=AH,CD=DH=2. 图② 图③ ,'AB=AE,∴.Rt△ABC≌Rt△AEH(HL) (2)2a提示：如图③，作DF⊥AC交AC的延长线于点F .BC=EH=5...DE=DH+HE=7. AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF. 18.(1)DE⊥DP. :∠B=45°，∠ACD=135°，.∠B+∠ACD=180° 理由如下：，PD=PA,∠A=∠PDA, :∠ACD+∠FCD=180°，∴.∠B=∠FCD. EF是BD的垂直分线，∴BE=DE..∠B=∠EDB. 同理可证△DFC≌△DEB(AAS). ∠C=90°，∠A+∠B=90° .DC=DB,CF=BE. .∠PDA十∠EDB=90°. 在Rt△ADF和Rt△ADE中， ∴.∠PDE=180°-90°=90°.∴.DE⊥DP (AD=AD, (2)连接PE,设DE=x,则BE=x, DF-DE, CE=8-x. .Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)..∴.AF=AE. .AC=6,PA=2, ..AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC++2BE. .PD=PA=2,PC=AC-PA=4. ∴.AB-AC=2BE=2a. ∠C=∠PDE=90°， 拓展在线 ∴.PC十CE2=PE=PD十DE, 13.3或5 即42+(8-x)2=22+x2,解得x=4.75. 第2课时三角形三个内角的平分线 .DE=4.75. 基础在线 5角平分线 1.C2.B3.A4.55 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 5.过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足 基础在线 分别为E,F, 1.C2.D3.C4.4 .OA平分∠BAC,OE⊥AB,OF⊥AC 5..'AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ..OE=OF. .DE=DF,∠BED=∠CFD=90° 同理，OD=OE,OD=OF D是BC的中点，BD=CD. ..OD=OE=OF=3. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， SAANC-SANOB+SABC+SAAOC (BD=CD, S=AB X OE+号BCX OD+-号ACXOF= DE=DF, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∠B=∠C. 合(AB+BC+ACX0D-合×20X3=30. 一探究在线·八年 6.C ,∴.Rt△ADF≌Rt△BDE(HL).'.AF=BE. 7.如图所示，点P为小亭中心的位置 (2)2cm 微专题4构造等腰三角形的常用方法 1.(1)证明：如图，过点P作PF∥AC交 BC于点F 点P,Q同时出发，且速度相同， 能力在线 .BP=CQ. 8.D9.110.10 PF∥AQ, 11.,中转站要到三条公路的距离都相等， ∴.∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC ∴·货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内 又AB=AC,∠B=∠ACB. 角或外角平分线的交点. ∴.∠B=∠PFB.∴.BP=FP..FP=CQ .满足条件的点P有四个，图略 在△PFD和△QCD中， 12.·PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,PD=PE=PF, ∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,FP=CQ, ∴.P是△ABC三个内角平分线的交点. ∴.△PFD≌△QCD(AAS).∴.PD=QD. ∴.CP平分∠ACB,BP平分∠ABC. (2)线段ED的长度保持不变.理由如下： ∴∠PCB=∠ACB,∠PBC=号∠ABC 由(1)知，PB=PF :PE⊥BF,∴.BE=EF.由(I)知，△PFD≌△QCD ∴∠BPC=180°-∠PCB-∠PBC=180°- ∠ACB ∴FD=CD.∴ED-EF+FD=BE+CD=2BC, 合∠ABC=180-合（∠ACB+∠ABC)=180:- .线段ED的长度保持不变 2.如图，延长BA,CD相交于点Q. 合(180°-∠BAC=90+号∠BAC '∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°， .∠ACQ十∠Q=90°， 拓展在线 13.(1)EF⊥AB,.∠AFE=90° ∠ABE+∠Q=90. ∴.∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40° .∠ACQ=∠ABE. :∠BAD=100°，∠DAE=180°-100°-40°=40. I∠ABE=∠ACQ, (2)证明：如图，过点E作 在△ABE和△ACQ中，AB=AC, ∠BAE=∠CAQ: EM⊥AD于点M,ENI ∴.△ABE≌△ACQ(ASA)..BE=CQ. BC于点N, :BE平分∠ABC,EF⊥ BD平分∠ABC,∠CBD=∠QBD. .'∠BDC=90°，.∠BDC=∠BDQ=90° BA,.'.EF=EN. ∠EAF=∠DAE=40°，.AE平分∠DAF. BD=BD,△BCD≌△BQD(ASA), ∴.CD=QD.∴.BE=CQ=2CD .EF=EM..EM=EN. ,EM⊥AD,EN⊥CD,∴.DE平分∠ADC. 3.方法1：（截长法）如图，在BC上取点E, (3)SAACD=SAADE+SAODE 使BE=BA,连接DE. ,BD平分∠ABC, ∴2AD,EM+2CD·EN=18, .'.∠ABD=∠EBD 由(2)知，EM=EN=EF, (AB=EB, 在△ABD和△EBD中，∠ABD=∠EBD 7(AD+CD),EM=18.分×(4+8)XEM=18. BD-BD, ∴.EM=3.∴.EF=3. ∴△ABD≌△EBD(SAS).∴.∠BAC=∠BED=108. ∴SAE=7ABEF=合X6X3=9, .∠DEC=72° AB=AC,.∠C=∠ABC=36°.∴.∠CDE=72° 微专题3线段的垂直平分线与角平分线的综合 ∠CDE=∠CED.∴.CD=CE. 1.D2.43./134.D 则BC=EB+CE=AB十CD. 5.(1)垂直平分线平分线 方法2：（补短法）如图，延长BA至点E,使 (2)过点E作EM⊥AD于点M,如图②. BE=BC,连接DE 因为射线AE是∠DAC的平分线，EG 根据SAS证明△EBD≌△CBD,可得DE ⊥AC,EG=1, =DC,再由三角形内角和求证∠EAD= 所以EM=EG=1, ∠EDA=72°，∴.EA=ED=CD. D ×4×1 所以Sam=号AD·EBM=号 图② 即可证明BC=AB+CD. 4.如图，延长FD至点H,使FD=HD,连 =2. 接BH. 6.(1)证明：如图，连接AD,BD, AD为中线，∴.BD=CD. PD垂直平分AB,∴.AD=BD. 在△BDH和△CDF中， ,CD平分∠ACE,DE⊥BC,DF⊥ BD=CD, AC, ∠BDH=∠CDF, .DE=DF,∠AFD=∠BED=90° HD=FD, 在Rt△ADF和Rt△BDE中， .△BDH≌△CDF(SAS).∴∠H=∠CFD,CF=BH. (AD=BD, .'AE=EF,∴.∠EAF=∠AFE. DF-DE, '∠AFE=∠CFD,∴∠EAF=∠H. ∴.AB=BH.∴.AB=CF. 级数学（下）·BS一 19@©第2课时 三角1 ①基础在线 、知识要点分类练 知识点1角平分线的性质与判定 1.到三角形三边的距离相等的点是三角形 的交点 () A.三条中线 B.三条高线 C.三个内角平分线 D.三边垂直平分线 2.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线 相交于点O,下面结论中正确的是 () A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.∠1=2∠2 y 第2题图 第3题图 3.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相 等.若∠A=40°，则∠BOC= () A.110°B.115°C.125° D.130° 4.如图，P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥ AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,已 知PD=5cm,则PE=cm,PF=cm. 5.(济宁期末)如图，在△ABC中，∠BAC, ∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过点O作 OD⊥BC于点D,OD=3,AB+BC+AC= 20,求△ABC的面积， D 29探究在线八年级数学（下）·BS 形三个内角的平分线 知识点2三角形角平分线的应用 6.甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选 出正确的作图是 ( ) 问题：某旅游景区内有一块三角形 绿地ABC,如图所示，现要在道路 AB边上建一个休息点M,使它到 AC和BC两边的距离相等，在图中 确定休息，点M的位置 甲的作图乙的作图丙的作图丁的作图 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿 地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小 亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中 心的位置， 2 能力在线沙方法规律综合练 8.如图，在△ABC中，AB=AC,BD,CE分别平 分∠ABC,∠ACB,且相交于点F,则下列说法 错误的是 A.BF=CF B.点F到∠BAC两边的距离相等 C.CE=BD D.点F到A,B,C三点的距离相等 9.如图，在△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,P 是∠BAC,∠ABC的平分线的交点，则点P到 AB边的距离为 HD 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分 线交于点O,连接AO并延长交BC于点D, OH⊥BC于点H.若∠BAC=60°，OH=5, 则OA= 11.直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路，现在 拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的 距离都相等，请画出符合要求的地址（保留作 图痕迹，不要求写作法). 12.如图，P是△ABC内的一点，PD⊥AC,PE AB,PF⊥BC,垂足分别为D,E,F,且PD= PE=PF,求证：∠BPC=90°+2∠BAC. ③拓展在线》培优拨尖提升然】 ● 13.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD =100°，∠ABC的平分线交AC于点E,过点 E作EF⊥BA,垂足为F,且∠AEF=50°，连 接DE. (1)求∠DAE的值； (2)求证：DE平分∠ADC; (3)若AB=6,AD=4,CD=8,且S△AcD=18, 求△ABE的面积. 第-章30 44 微专题3线段的垂直 类型①利用角平分线与线段的垂直平分 线的性质进行计算 1.如图，在△ABC中，DE垂直平分AB,分别交 AB,BC于点D,E,AE平分∠BAC,∠B= 30°，DE=2,则BC的长为 () A.2√3+2 B.43 C.4 D.6 第1题图 第2题图 2.(镇江阶段练习)如图，P是∠AOB的平分线 上一点，PD⊥OA于点D,CE垂直平分OP, 若∠AOB=30°，OE=8,则PD= 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6, AC=5,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于 点D,E,AP平分∠BAC,与DE的延长线交 于点P,连接PC,则PC的长度为 M米 P D E/F 第3题图 第4题图 堡型②利用尺规作图解决问题 4.如图，在△ABC中，若∠BAC=80°，∠ACB= 70°，根据图中的作图痕迹推断，以下结论错误 的是 () A.∠BAQ=40° B.DE-ZBD C.AF-AC D.∠EQF=259 5.(九江期中)在△ABC中，小明利用尺规作了 如图①所示的痕迹. (1)观察图①中尺规作图的痕迹，可以发现直 31探究在线八年级数学（下）·BS 分线与角平分线的综合 线DF是线段AB的 ,射线 AE是∠DAC的 (2)在图①中过点E作AC的垂线，垂足为G, 如图②，若AD=4,EG=1求△ADE的面积. DETI D八E 图① 图② 类型③利用角平分线与线段的垂直平分 线的性质进行证明 6.(安阳期末)如图，CD是∠ACE的平分线，DP 垂直平分AB于点P,DF⊥AC于点F,DE⊥ BC于点E. (1)求证：AF=BE; (2)若BC=6cm,AC=10cm,则CE= A